高一数学复习知识点讲解专题训练21---函数的单调性

高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。

如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。

(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。

函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。

⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。

(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。

实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。

(1)定义法:利用增减函数的定义证明。

在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。

⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。

求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。

第二讲 函数的单调性【套路秘籍】1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值【套路修炼】考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4)3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a )2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 3．设a =ln22，b =ln33，c =1e ，则( )A ． c <a <bB ． c <b <aC ． a <b <cD ． b <a <c 4．已知x =1.10.1，y =0.91.1，z =log 2343，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ． x >y >zB ． y >x >zC ． y >z >xD ． x >z >y考向三 单调性的运用二---解不等式【例3】（1）f(x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)（2）已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]【举一反三】1．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ． (0,23)B ． (0,23)∪(1,+∞) C ． (1,+∞) D ． (0,1)2．设函数f (x )={2x ， x ≥0x ， x <0 ，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A ． (−∞ ， −1]B ． (1 ， +∞)C ． (−1 ， 0)D ． (−∞ ， 0)3．定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足f(log 12x)>0的x 的集合为______．4．设函数f(x)=x 3+1,若f(1−2a)<f(a),则实数a 的取值范围是 _______。

函数单调性知识点总结高中一、基本概念函数单调性是指在定义域上函数值的变化趋势。

具体来说，如果对于函数f(x)，当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1, x2)上是增函数；如果对于函数f(x)，当x1 <x2时有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1, x2)上是减函数。

综合起来，可以将函数的单调性分为增函数、减函数和不单调函数。

其次，函数的单调性还与导数的正负有关。

若函数f(x)在区间I上可导，则：1. 若f'(x) > 0对于x∈I，即f(x)严格递增；2. 若f'(x) < 0对于x∈I，即f(x)严格递减；3. 若f'(x) = 0对于x∈I，即f(x)在区间I上是常数函数或拐点函数，不能确定其单调性。

对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，其单调性还需考虑在端点处的情况。

若f(x)在[a, b]上是增函数，且在a处有定义域，则称f(x)在[a, b]上是关于x的增函数；若f(x)在[a, b]上是减函数，且在a处有定义域，则称f(x)在[a, b]上是关于x的减函数。

二、函数单调性的判定方法1. 利用函数的导数判定单调性函数f(x)在区间I上是增函数，当且仅当f'(x) > 0对于x∈I；函数f(x)在区间I上是减函数，当且仅当f'(x) < 0对于x∈I。

因此，判定函数的单调性，可通过求导数并考察导数的正负来进行。

2. 利用函数的增减表判定单调性若函数f(x)在区间I上可导，则可根据f'(x)的正负或0来构建增减表。

增减表是一个用来判定函数单调性的表格，通过列出各点的f'(x)值，来判断函数在各点的单调性。

三、函数单调性的应用1. 函数的最值问题对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，若可判定出f(x)在[a, b]上为增函数，则f(x)在[a, b]上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；若可判定出f(x)在[a, b]上为减函数，则f(x)在[a, b]上的最小值为f(b)，最大值为f(a)。

高考专题函数单调性知识点：函数单调性知识点详解导言：高考数学中，函数单调性是一个重要而常见的考点。

理解和掌握函数单调性的相关知识点，不仅是解题的关键，也是学习高中数学的基础。

本文将从函数单调性的定义、判定和应用三个方面详细介绍这一知识点。

一、函数单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域内的全部或部分区间上是递增或递减的性质。

具体地说，对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在闭区间[a, b]上是递增函数；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在闭区间[a, b]上是递减函数。

二、函数单调性的判定1. 导数法：对于可导函数，通过判断导数的正负性可以确定函数的单调性。

如果函数的导数f'(x)>0恒成立，则函数递增；如果函数的导数f'(x)<0恒成立，则函数递减。

2. 一阶导数法：对于一次可导函数，通过一阶导数的增减性可判断函数的单调性。

如果在某一区间上一阶导数f'(x)递增，则函数递增；如果一阶导数f'(x)递减，则函数递减。

3. 二阶导数法：对于二次可导函数，通过二阶导数的正负性可以判定函数的单调性。

如果二阶导数f''(x)>0恒成立，则函数为凹函数，即在该区间递增；如果二阶导数f''(x)<0恒成立，则函数为凸函数，即在该区间递减。

三、函数单调性的应用1. 求函数的单调增区间和单调减区间：通过判定函数的单调性，可以求出函数的单调增区间和单调减区间。

在解题时，常常需要利用函数的单调性来确定函数的取值范围、最值、零点等。

2. 求函数的最值：对于持续递增（递减）的函数来说，该函数的最小值（最大值）可以通过求出定义域的最小值（最大值）来得到。

这对于优化问题的解决非常有用。

完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。

函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。

客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。

题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。

一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。

函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。

知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。

注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。

2.函数的单调区间必须是定义域的子集。

3.定义有两种变式。

问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。

2）函数的单调区间必须是定义域的子集。

3）定义有两种变式。

2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。

如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。

知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。

2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。

f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。

1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) 结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x 2”．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．下列函数中，①y ＝1x －x ；②y ＝x 2－x ；③y ＝ln x －x ；④y ＝e x －x ，在区间(0，＋∞)内单调递减的是__________． 答案 ①解析 对于①，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；②，③，④函数在(0，＋∞)上均不单调．2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1.当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减， 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增， 则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1.4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1；③y ＝(12)x ；④y ＝x ＋1x ，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是____________．(3)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为_________________________． 答案 (1)① (2)(－∞，－2) (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增． 引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. 所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]． 思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________0，f (x 2)________0.(判断大小关系) 答案 < >解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)[32，2) 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是__________．(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 (1)(8,9] (2)(0,1]解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (14分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1， ∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分]∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[14分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法．[失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连结，不要用“∪”．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．下列函数f (x )中，①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)答案 ①解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．①中，f (x )＝1x满足要求； ②中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；③中，f (x )＝e x 是增函数；④中，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数．2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 b <a <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 [0，34] 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎨⎧ a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34， 综上a 的取值范围是0≤a ≤34. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log ，x x ≥1，2x ，x <1的值域为________． 答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)， 所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x <2，－x ＋3，x ≥2.当0<x <2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ≥2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.12．定义新运算：当a ≥b 时，ab ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．答案 6解析 由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为_________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。

函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的世界里，函数的单调性与极值点是非常重要的概念。

它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两个概念，并对相关知识点进行总结。

一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性。

如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量的值\（x_1\）、＼（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么就称函数在这个区间上是增函数；反之，如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＞f(x_2)＼），那么就称函数在这个区间上是减函数。

二、函数单调性的判定方法1、定义法设\（x_1\）、＼（x_2\）是给定区间上的任意两个自变量，且\（x_1 ＜ x_2\），函数\（f(x)＼）在给定区间上具有单调性，作差\（f(x_2) f(x_1)＼），然后判断差的正负。

2、导数法对函数\（f(x)＼）求导，如果\（f'（x) ＞ 0\），则函数在相应区间上为增函数；如果\（f'（x) ＜ 0\），则函数在相应区间上为减函数。

三、函数极值点的定义设函数\（f(x)＼）在点\（x_0\）附近有定义，如果对\（x_0\）附近的所有点，都有\（f(x) ＜ f(x_0)＼），则称\（f(x_0)＼）是函数\（f(x)＼）的一个极大值，记作\（y_{极大值}＝f(x_0)＼）；如果对\（x_0\）附近的所有点，都有\（f(x) ＞ f(x_0)＼），则称\（f(x_0)＼）是函数\（f(x)＼）的一个极小值，记作\（y_{极小值}＝f(x_0)＼）。

极大值点和极小值点统称为极值点。

四、函数极值点的判定方法1、第一充分条件设函数\（f(x)＼）在\（x_0\）处连续，且在\（x_0\）的某去心邻域内可导。

（1）若当\（x\）在\（x_0\）的左侧邻近时，＼（f'（x) ＞ 0\）；当\（x\）在\（x_0\）的右侧邻近时，＼（f'（x) ＜ 0\），则\（f(x_0)＼）为极大值。

2021年高考数学函数的单调性必考知识点高中数学知识点：函数的单调性一般地，设函数fx的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1fx2.那么就是fx在这个区间上是减函数。

高中数学知识点：函数的单调区间单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大或减小恒成立。

如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数y=fx在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y=fx的单调区间。

高中数学知识点：函数的单调图像高中数学知识点：函数的单调性的应用高中数学知识点：求函数单调性的基本方法解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。

其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。

最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。

1、把握好函数单调性的定义。

证明函数单调性一般初学最好用定义用定义谨防循环论证，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。

另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。

2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。

理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。

3、高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。

还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。

高中数学知识点：例题判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。

设x^2-2x-3=t，令x^2-2x-3=0，解得：x=3或x=-1，当x>3和x<-1时，t>0，当-1所以得到x^2-2x-1对称轴是1。

（一）函数的单调性1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间．当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间．2．函数单调性的判断方法：（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。

（2）一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ．如果对于属于定义域I 某个区间A 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，且21x x <，则021<-x x（1）()()则0-21<x f x f ()()()1212120f x f x x x x x -⇔>≠-)(x f 即在区间A 上是增函数； （2）()()则21x f x f >()()()1212120f x f x x x x x -⇔<≠-)(x f 即在区间A 上是减函数． 如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间．单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈若外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 单调递增，若外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 单调递减．（同增异减）3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1x f 在其定义域为减函数．【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间（1）,b kx y +=（2）x ky =， （3）c bx ax y ++=2．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【题型二、用定义法证明单调性】例、定义法证明函数y=2x+3在),(+∞-∞的单调性.例、判断函数f （x ）＝x x 1+在（0,1）上的单调性．【变式训练1】证明函数12)(++=x x x f 在),1(+∞-上是增函数．【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。

新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21 对数函数的概念1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____________．温馨提示：(1)对数函数y＝log a x是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.2．对数函数的图象及性质注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.答案：x (0，＋∞)题型一 对数函数的定义域和值域 1．函数2ln 2()||x f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠， 又()()()2222ln ()||ln x x x f x f x x x x---===---， 所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ； 又因为11()2ln 024f =<，故排除D.故选：B题型二 对数函数的图像问题2．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C.题型三 对数函数的单调性3．函数()12log f x x =的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()0,∞+【答案】C【解析】由112211222log ,01log ,01()log log ,1log ,1x x x x f x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪===⎨⎨-≥⎪⎪≥⎩⎩，而对数函数12log y x=在()0,1上是减函数，2log y x =在[)1,+∞上是增函数，所以函数()f x 单调递增区间为[)1,+∞． 故选：C题型四 对数函数的最值及参数问题4．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min min f x g x ≥.由于函数()()2ln 1f x x =+在区间[]0,3上为增函数，则()()min 00f x f ==，由于函数()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]1,2上为减函数，则()()min 124g x g m ==-，所以，104m -≤，解得14m ≥.故选：D.5．在b ＝log 3a －1(3－2a )中，实数a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭∪23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义， 则310,311,320,a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩解得1233a << 或 2332a <<.故选：B ．6．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（0，1）D ．[3，+∞） 【答案】A【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a故选：A ．7．若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1B ．－1 C ．2D ．无法确定 【答案】B【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 故选：B.8．下列不等号连接不正确的是（ ） A ．0.5 0.5 log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5> C ．35log 4log 6>D ．log log e e ππ> 【答案】D【解析】对于选项A ：因为0.5log y x =在()0,∞+单调递减，2.2 2.3<，所以0.50.5log 2.2log 2.3>，故选项A 正确；对于选项B ：33log 4log 31>=，6660log 1log 5log 61=<<=，即3log 41>，6log 51<， 所以36log 4log 5>，故选项B 正确；对于选项C ：33333444log 4log 3log 3log 1log 333⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，55555666log 6log 5log 5log 1log 555⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，因为33546log log log 3565>>，所以3541log log 3615+>+， 故选项C 正确；对于选项D ：log log 1e πππ<=，log log 1e e e π>=，所以log log e e ππ<，故选项D 不正确； 所以只有选项D 不正确， 故选：D9．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．12．已知0a >，且1a ≠，函数x y a =与()log a y x =-的图象只能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当1a >时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：当01a <<时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B ． 故选：B ．13．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有2个. 故选：B14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 【答案】(5，＋∞)【解析】函数f (x )＝|lg x |定义域为()0,∞+，图象如下：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ， 即1b a=，所以a ＋4b ＝a ＋4a ，令g (a )＝a ＋4a ，易知对勾函数g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g （1）＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞)． 故答案为：(5，＋∞)．15．已知24log 02x +⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ；（2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x ､2x (12x x <)，求1ax 的取值范围.【答案】（1）{}|25A x x =-≤≤；（2）[]4,3840-；（3）[]1,0-.【解析】（1）由24log 02x +⋅≤得， ()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤， 故{}|25A x x =-≤≤为所求.（2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-()()2242824214x x x =⋅-⋅=--，∵25x -≤≤，∴12324x ≤≤，∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域. （3）作出函数()g x 的图象，∵()y g x a =-有两个零点1x ､2x 且12x x <， ∴120x -≤<，02a ≤<， 且()112a f x x ==+，∴()()()2111111211ax f x x x x x ==+=+-， ∵120x -≤<， ∴110ax -≤≤即1ax 的取值范围为[]1,0-.。

专题复习：函数的单调性 2013.11一、函数单调性的定义：1、增函数：2、减函数：3、单调性：4、单调区间：注意：1、21,x x 必须在 内2、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的 性质.3、多个单调区间用“ ”或“ ”隔开4、单调区间尽量用 表示5、若y=f(x)是增函数, 当f(1x )<f(2x )时，则有若y=f(x)是减函数, 当f(1x )<f(2x ) 时，则有二、判断函数单调性的方法：1、定义法：步骤：2、图像法：3、利用函数的运算性质：4、奇偶性：5、复合函数：题型一：用定义法证明判断函数的单调性例1、判断函数 在区间上 的单调性，并用定义证明你的结论练习：函数 x ∈[1,+∞)，①当a=1/2时，求函数的最小值；②若对任意x ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，则a 的范围。

112++=x x x f ）（[)∞+，1x ax x x f ++=2)(2题型二：求函数的单调区间例2、求下列函数的单调区间，并指出增减性（不要求证明）（1） （2）题型三：函数单调性的综合应用例3.（1）若二次函数在区间(-∞,2]上单调递增，求a 的取值范围。

（2）若二次函数 的递增区间是（-∞,2]，求a 的值(3)已知函数 在R 上单调递增，求a 的取值范围（4）若函数 在区间 上有最大值，则a 的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、（5）若不等式mx ＞m －1对任意x ∈［-1,1］总成立，则m 的取值范围是（7）已知函数 在区间[0,1]上的最大值为2，求实数a 的值2()4f x x ax =--+2()4f x x ax =--+⎩⎨⎧≥-=)1()1()32()(x a x x a x f x a axx x f ++-=2)(2()2,∞-2 a 2≤a 2 a 2≥a 214)(2+-+-=a ax x x f 3232--=x x y ）（632221y 5+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x ）（的取值范围，试求，若且其中，）设（x y y 1,0y y 621522132122 ≠==-++-a a a a x x x x 3242-+=x x y ）（（8）定义在 [－1 , 1 ] 上的函数 f ( x ) 是奇函数，并且在 [－1 , 1 ] 上 是增函数，求满足条件f ( 1－a ) + f ( 21a - ) ≤ 0 的 a 的取值 范围。

学科教师辅导教案―函数单调性教学内容1、概念： 单调增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) < f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调增函数，I 称为y=f(x)的单调增区间.单调减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) > f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间.2、函数单调性的几何意义：函数的单调性在图像上的反映是：若f(x)在区间I 上是单调增函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是上升的；若f(x)在区间I 上是单调减函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是下降的；3、单调区间：如果函数y=f(x)在区间I 上是单调增函数或者单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间 和单调减区间统称为单调区间.【注意点】1、在函数的单调性定义中，x 1,x 2有三个特征：一是任意：即区间内任意取两个值x 1,x 2；二是有大小：一般设x 1< x 2；三是同属于一个单调区间：任意x 1,x 2∈I.2、理解函数单调区间应注意的问题：①函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须先求函数的定义域；②单调区间可以是开区间，也可以是闭区间.但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点，要用开区间；③一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而应用“，”或“和”连接；如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上为减函数，而不能说在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数； ④函数的单调性是一个局部性质，介绍函数单调性时，一定要指出在哪一个区间上，而不能笼统说函数是单调的；⑤单调性与单调函数的区别：单调性是指在函数定义域的子区间上具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性，如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上分别具有单调性，但是它不是单调函数；函数y=3x+1在整个定义域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.知识模块1函数单调性的概念y 2y 1 x y =x 2 x 2 0 x 2 x 1 x y y =x 2 0 y 1 x y y 2x 1[例1]根据下图说出函数在每个单调区间上是增函数还是减函数？[巩固1]下图是定义在（-5，5）上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出函数y=f(x)的单调区间以及在每一个区间上y=f(x)是单调增函数还是单调减函数.[例2] 说出下列函数的单调区间及在各个单调区间上的单调性.（1）xy1=（2）11-=xy（3）32+=xy（4）322-+=xxy[巩固2]下列说法不正确的是____________①若x1,x2∈I，当x1<x2时，f(x1) < f(x2)，则y=f(x)在I上是单调增函数②函数y=x2在R上是单调增函数③函数xy1-=在定义域上是单调增函数④函数xy1=的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）思考：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性是怎样的？1、定义法：（1）取值：在区间内任取x1，x2，且x1< x2；（2）比较大小：比较f(x1) 和f(x2)的大小（作差或作商），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）根据定义，得出结论.当符号不确定时，可以进行分类讨论，在确定差的符号.[例1] 证明函数322-+=xxy在（-1，+∞）上的单调性.知识模块2函数单调性的判定与证明精典例题透析。

高一函数的单调性的知识点函数是数学中的重要概念之一，而在高一阶段学习的数学中，函数的单调性是一个重要的知识点。

下面我们将详细介绍高一函数的单调性的相关知识。

一、函数的单调性定义函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

具体来说，若对于定义域上的任意两个数x₁和x₂，当x₁<x₂时，函数f(x₁)的值与函数f(x₂)的值之间的关系。

如果函数在定义域上满足这种关系，我们称之为函数的单调性。

二、单调递增与单调递减函数的单调性可分为单调递增和单调递减两种情况。

1. 单调递增函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≤f(x₂)，则函数f(x)是单调递增的。

例如，对于函数f(x)=x²，在整个实数范围上，无论取哪两个不相等的实数x₁和x₂，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立。

因此，函数f(x)=x²是单调递增的。

2. 单调递减函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≥f(x₂)，则函数f(x)是单调递减的。

例如，对于函数f(x)=1/x，在定义域(0，+∞)上，当x₁<x₂时，f(x₁)≥f(x₂)恒成立。

因此，函数f(x)=1/x是单调递减的。

三、判断函数的单调性的方法我们可以通过函数图像、导数和函数的增减性来判断函数的单调性。

1. 函数图像法通过画出函数的图像，观察图像随x的变化趋势，判断函数的单调性。

例如，对于函数f(x)=x³，我们可以绘制出函数的图像。

通过观察图像可知，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立，因此函数f(x)=x³是单调递增的。

2. 导数法对于一元函数f(x)，如果其导数f'(x)的值恒大于0（或小于0），则函数f(x)是单调递增的（或递减的）。

例如，对于函数f(x)=2x²-3x，我们首先求出其导数f'(x)=4x-3。

通过观察导数的值可知，f'(x)在整个实数范围上恒大于0，也就是说函数f(x)是单调递增的。

第3讲 函数的单调性教学内容一、知识梳理单调性定义设函数y ＝)(x f 的定义域为A ，区间A M ⊆.如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2，改变量12x x x -=∆＞0，则 当)()(12x f x f y -=∆＞0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数； 当)()(12x f x f y -=∆＜0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）．二、方法归纳在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．设[]b a x x ,,21∈，若有 （1）2121)()(x x x f x f --＞0，则有[]b a x f ,)(在上是增函数．（2）2121)()(x x x f x f --＜0，则有[]b a x f ,)(在上是减函数．在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． 函数的单调性常应用于如下三类问题： （1）利用函数的单调性比较函数值的大小．（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两 个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值． 若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递增，则函数值域为()(a f ，)(b f )；若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递减,则函数值域为()(b f ，)(a f )； 若函数)(x f y =在定义域[]b a , 上递增，则函数值域为 [)(a f ，)(b f ] ； 若函数)(x f y =在定义域 []b a , 上递减，则函数值域为 [)(b f ，)(a f ]； 若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递增，则函数的最大值为)(b f ，最小值为)(a f ；若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递减，则函数的最大值为)(a f ，最小值为)(b f ；三、典型例题精讲［例1］若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是( )A. 在()+∞∞-,上是增函数B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数，得 a ＜0，又函数xby -=在()+∞,0上是减函数，得 b ＜0， 于是，函数3ax ，bx 在()+∞∞-,上都是减函数， ∴ 函数bx ax y +=3在()+∞∞-,上是减函数，故选C ．【技巧提示】 熟悉函数ax y =，3ax y =，bx y =，xby =的单调性与a 、b 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性．［例2］求函数31)(--+=x x x f 的最大值．解析：由31431)(-++=--+=x x x x x f ，知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3，+∞ )上是减函数． 所以31)(--+=x x x f 的最大值是2)3(=f ．【技巧提示】 显然由31431-++=--+x x x x 使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．又例 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=12的值域是 .解析：∵ x x y --+=12在[]1,0∈x 上单调递增，∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f ．即[]3,12-．再例 求函数x x y 21++=的值域．解析：∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数，∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21．［例3］函数)(x f 在R 上为增函数，求函数)1(+=x f y 单调递减区间． 解析：令1+=x u ，则u 在(－∞,－1]上递减， 又函数)(x f 在R 上为增函数，∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(－∞,－1].【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1+x 的单调性，)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同．如果变函数)(x f 在R 上为减函数，那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数1+x 的单调性相反，即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(－∞,－1].又例 设函数)(x f 在R 上为减函数，求函数)1(xf y =单调区间． 再例 设函数)(x f 在R 上为增函数，且)(x f ＞0，求证函数)(1x f y =在R 上单调递减．［例4］试判断函数xbax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.解析：设120x x >> ，()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x ->故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数，同理可证函数()f x在⎛⎝上为减函数.【技巧提示】 xbax x f +=)()0,0(>>b a 是一种重要的函数模型，要引起足够的重视．事实上，函数()()0,0b f x ax a b x =+>>的增函数区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭，减函数区间为⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．但注意本题中不能说()f x在,⎛-∞ ⎝⎫∞⎪⎪⎭上为增函数，在⎛ ⎝⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．又例：求函数4522++=x x y 的最小值．解析：由()u g uu x x x x y =+=+++=++=1414452222,[)+∞∈,2u ,用单调性的定义法易证()u u u g 1+= 在[)+∞,2上是增函数，易求函数4522++=x x y 的最小值为25为所求． 再例：已知函数()[)+∞∈++=,1,22x xax x x f . 若对于x [)+∞∈,1,)(x f ＞0恒成立，试求a 的取值范围.解析：由)(x f ＝ [)+∞∈++=++,1,222x xax x a x x .当a ＞0时， ()2++=xa x x f 显然有)(x f ＞0 在[)∞+.1恒成立； a ≤0时，由()[)+∞∈++=++=,x ,xax x a x x x f 1222知其为增函数，只需)(x f 的最小值)1(f ＝3＋a ＞0,解之，a ＞－3.∴当a ＞－3时，)(x f ＞0在[)+∞,1上恒成立.［例5］已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)10(f ＝1，设)(x F =)(1)(x f x f +，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论． 解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(2x f ＞)(1x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)10(f ＝1，∴当x ＜10时0＜)(x f ＜1，而当x ＞10时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜10，则0＜)(1x f ＜ )(2x f ＜1， ∴0＜ )(1x f )(2x f ＜1， ∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 2x ＞1x ＞10，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1， ∴)()(1121x f x f -＞0， ∴ )(2x F ＞)(1x F ；综上，)(x F 在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键．［例6］已知113a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．（1）求函数()g a 的表达式； （2）判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求()g a 的最小值． 解析：（1）∵131≤≤a ∴ 函数()f x 的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为].3,1[1∈=ax ∴()f x 有最小值aa N 11)(-= .当2≤a 1≤3时，a ∈[)(],21,31x f 有最大值()()11M a f a ==-； 当1≤a 1＜2时，a ∈()(],1,21x f 有最大值M （a ）＝f (3)＝9a －5；∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=).121(169),2131(12)(a a a a a a a g（2）设1211,32a a ≤<≤则 121212121()()()(1)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=-->∴> ∴ ]21,31[)(在a g 上是减函数．设1211,2a a <<≤ 则121212121()()()(9)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=--<∴< ∴ ]1,21()(在a g 上是增函数． ∴当12a =时，()g a 有最小值21． 【技巧提示】 当知道对称轴为]3,1[1∈=ax 后，要求2()21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，就必须分类讨论．本题对培养学生分类讨论的思想有很好的作用．第（2）问讨论一个分段函数的单调性并求最值，也具有一定的典型性．四、课后训练1、函数1()(0)f x x x x=+≠的单调性描述，正确的是（ ） A 、在(－∞，＋∞)上是增函数； B 、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数； C 、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数； D 、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数 2、证明函数()x f ＝2x 在[0，＋∞）上是增函数．3、证明函数x x y 14+= 在),21[+∞上是增函数． 4、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_____________.5、已知函数)(x f 、)(x g 在R 上是增函数，求证：))((x g f 在R 上也是增函数.6、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数7、函数()f x 是定义在[0,)+∞上的单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =递减区间是9、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最值．11、若函数22)(2+-=x x x f 当]1,[+∈t t x 时的最小值为()g t ，求函数()g t 当]2,3[--∈t 时的最值．12、讨论函数()f x ＝)0(12≠-a x ax，在－1＜x ＜1上的单调性． 五、参考答案1．D 2．略 3．解析：设1x ＞2x ≥21， 则 )(2x f －)(1x f ＝2214x x +－（1114x x +） ＝212112)(4x x x x x x -+-＝21211214)(x x x x x x -⋅-， ∵ 012<-x x ，4121>x x ， ∴ )(2x f －)(1x f ＜0∴ 函数x x y 14+= 在),21[+∞上是增函数． 4．25．证明：设1x ＞2x ，则)(1x f －)(2x f ＞0，)(1x g －)(2x g ＞0， 即 )(1x g ＞)(2x g于是 ))((1x g f －))((2x g f ＞0 ∴ ))((x g f 在R 上也是增函数.6．C 7．]1,0[ 8．)2,(--∞和),2(+∞- ]2,2(- 9．),3[+∞10．解析：函数12)(2--=ax x x f )1()(22+--=a a x ，当 0<a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)0(f ＝－1 )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 10<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 21<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 当 2≥a 时，)(x f 在区间上的最小值为)(min x f ＝)2(f ＝a 43- )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 11．解析：因为函数22)(2+-=x x x f ＝1)1(2+-x 当t ≤0时，最小值)(t g ＝)1(+t f ＝12+t ； 当0＜t ≤1时，最小值)(t g ＝)1(f ＝1； 当t ＞1时，最小值)(t g ＝)(t f ＝222+-t t ；∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+=1,2210,10,1)(22t t t t t t t g ，)(t g 当]2,3[--∈t 时的最大值为)3(-g ＝10；最小值为)2(-g ＝5．12．解析：函数)(x f ＝12-x ax ＝xx a 1- 作函数xx x g 1)(-=， )(x g 为奇函数且在)0,1(-和)1,0(上都是增函数， ∴ 当a ＜0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是增函数； 当a ＞0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是减函数．。

函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。

高一数学函数的单调性与奇偶性【本讲主要内容】一. 本周教学内容：函数的单调性与奇偶性函数单调性概念；增（减）函数的定义及判定方法；函数奇偶性定义及判定方法。

【知识掌握】 【知识点精析】（一）函数的单调性1. 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f x ()，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12、，当x x 12<时，都有f x f x ()()12<［或都有f x f x ()()12>］，那么就说f x ()在这个区间上是增函数（或减函数）。

如果函数y f x -()在某个区间上是增函数（或减函数），就说f x ()在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f x ()的单调区间。

如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。

2. 函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f x ()，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f x ()，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径。

注：利用导数研究函数单调性更便捷。

（二）函数奇偶性1. 奇函数：对于函数f x ()的定义域内任意一个x ，都有f x f x ()()-=-［或f x f x ()()+-=0］，则称f x ()为奇函数。

2. 偶函数：对于函数f x ()的定义域内任意一个x ，都有f x f x ()()-=［或f x f x ()()--=0］，则称f x ()为偶函数。

3. 奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

1．增函数、减函数的定高中数学函数的单调性(解析版)义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2．常用结论结论1：增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2>0；y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0．结论2：单调性的运算性质(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与()ny f x=和y(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝1f(x)单调性相反．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．结论3：复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．结论4：奇函数与偶函数的单调性奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论5：对勾函数与飘带函数的单调性对勾函数：f(x)＝ax＋bx(ab＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是增函数，在[－b a ，0)，(0b a ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是减函数，在[－b a ，0)，(0b a]上是增函数；飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；考点一确定函数的单调性或单调区间【方法总结】确定函数的单调性或单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x答案A解析对于选项A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数，故选A ．(2)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A ．32，＋B ．1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2D ∞，32和[2，＋∞)答案B解析y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，x 2－3x ＋2），1<x <2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(4)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．(5)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案(－∞，1)(2，＋∞)解析令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数是y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2．所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【对点训练】1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1．其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④1．答案B解析①y ＝x 12在(0，1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0，1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0，1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0，1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0，1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③．2．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是()A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．答案C解析当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当xf (x )＝x 2－3x 为减函数，当x时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．答案C解析根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D ．4．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是()A ．[1，2]B ．[－1，0]C ．[0，2]D ．[2，＋∞)4．答案A解析由于f (x )＝|x －2|x2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．5．设函数f (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]5．答案B解析由题知，g (x )2，x >1，，x ＝1，x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．故选B ．6．函数y ＝22311(3x x -+的单调递增区间为()A ．(1，＋∞)B ∞，34CD ．34，＋6．答案B 解析令u ＝2x 2－3x＋1＝－18．因为u ＝－18在∞，34上单调递减，函数y在R 上单调递减．所以yx 2－3x ＋1∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为∞，34．7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)7．答案B 解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3．所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)8．答案D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2．因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．考点二比较函数值或自变量的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【例题选讲】[例2](1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案A 解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b答案C解析由f (x )是奇函数可得a ＝－f f (log 25)．因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a ．(3)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案B解析因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0．故选B ．(4)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0．设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案C解析由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．(5)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有()A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案B解析设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0．【对点训练】9．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c9．答案D解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c ．10．已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )10．答案D解析因为a ＝33.1＞30＝1，0＜b ＝1，c ＝ln 13＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，故选D ．考点三解函数不等式【方法总结】含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f x 的取值范围是()A B ．13，C D ．12，答案D解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23．(2)已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R )()A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案D解析由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(3)定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．答案[0，1)解析因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2<a 2－a ≤2，解得0≤a <1．(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案B解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)>0，－8>0，(x－8)≤9，解得8<x≤9．(5)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()AB∞(1，＋∞)C－13，D∞答案A解析∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋(－x)2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1．故选A．【对点训练】11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且0，则满足f log19x>0的x的集合为________．11．答案(1，3)解析由题意，y＝f(x)为奇函数且0，所以0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是x>0，x>或x<0，x>x>0，x>12x<0，x>－12，解得0<x<13或1<x<3．12．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．12．答案(3，＋∞)解析因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，2－a>a＋3，2－a>0，＋3>0，解得－3<a<－1或a>3．又a>0，所以a>3．13．设函数f(x)x，x<2，2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(B)A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2，6]D．[2，＋∞)13．答案B解析易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2．故实数a的取值范围是(－∞，2]．14．设函数f(x)－x，x≤0，，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)14．答案D解析因为f (x )－x ，x ≤0，，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D ．15．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．答案(－∞，－2)解析作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2．考点四求参数的取值范围【方法总结】求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例题选讲】[例4](1)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么a 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2．(2)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1．∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－2－a x 2＋(x 1－x 2．∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1．∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(3)若函数f (x )＝a |b －x |＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a ，b 的取值范围分别为__________．答案(0，＋∞)，0解析因为|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下：因为f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b ＝0，a >0．(4)已知函数f (x )ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．14，12B ．14，12C ．0，12D ．12，1答案B解析由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1．又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 0<<1，12a ≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈14，12．(5)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案－12，2解析令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，－－a 2≤1，g 1>0，a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2．【对点训练】16．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()A －14，＋∞B ．－14，＋∞C ．－14，0D ．－14，016．答案D解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0．综上所述，得－14≤a ≤0．故选D ．17．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．17．答案(－∞，3)解析f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3．18．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是(D)A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]18．答案D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0．综上可得，m 的取值范围是(0，1]．19．已知f (x )－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．19．答案32，解析由已知条件得f (x )为增函数，－a >0，>1，2－a×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是32，20．已知函数f (x )x 2－ax －5，x ≤1，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是()A ．[－3，0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)20．答案C解析若f (x )是R －a2≥1，<0，12－a ×1－5≤a1，解得－3≤a ≤－2．21．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)21．答案D解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D ．22．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．22．解析(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2．任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a)．因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1．所以0＜a≤1．所以a的取值范围为(0，1]．23．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．23．解析(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。

函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性目录一、常规题型方法1题型一函数的单调性1题型二函数的奇偶性4题型三单调性与奇偶性的综合应用10题型四函数的周期性13题型五函数的对称性18题型六周期性与对称性的综合应用22二、针对性巩固练习26练习一函数的单调性26练习二函数的奇偶性28练习三单调性与奇偶性的综合应用30练习四函数的周期性32练习五函数的对称性34练习六周期性与对称性的综合应用36常规题型方法题型一函数的单调性【典例分析】典例1-1．(2020·天津·高一期末)函数f (x )=log 13-x 2+6x -5 的单调递减区间是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(1,3]D.[3,5)【答案】C 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由f x =log 13-x 2+6x -5 ，则-x 2+6x -5>0，x -5 x -1 <0，解得1<x <5，即函数f x 的定义域1,5 ，由题意，令g x =log 13x ，h x =-x 2+6x -5，则f x =g h x ，易知g x 在其定义域上单调递减，要求函数f x 的单调递减区间，需求在1,5 上二次函数h x 的递增区间，由h x =-x 2+6x -5=-x -3 2+4，则在1,5 上二次函数h x 的递增区间为1,3 ，故选：C .典例1-2．(2022·湖北武汉·高一期中)若二次函数f x =ax 2+a +6 x -5在区间-∞，1 为增函数，则a 的取值范围为( )A.-2，0B.-2，0C.-2，0D.-2，0【答案】A 【分析】根据条件确定二次函数的图象应开口向下，再利用端点值和对称轴比较大小.【详解】当a <0时，-a +62a≥1，解得：a ≥-2，所以-2≤a <0，当a >0时，不满足条件，综上可知：-2≤a <0故选：A典例1-3．(浙江省台州山海协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1ax ,x >1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,2B.1,2C.1,+∞D.0,1【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1a x,x >1 是定义在R 上的减函数，所以a ≥1a >01-2a +52a ≥a解得1≤a ≤2，即a ∈1,2 .故选：A .【方法技巧总结】1.函数单调性的判断方法有：定义法、性质法、图像法、导数法。