高中函数单调性知识点及习题

函数的简单性质

一、 函数的单调性

1、单增函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即：f(x2)> f(x1)那就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，．

2、单减函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)<0，即：f(x2)< f(x1)就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，

2．单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间M上是单增函数或是单减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．

3、证明单调性：

用定义证明函数单调性的步骤

(1)设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1

(2)作差变形(变形方法：因式分解、配方、分子有理化等)或作商变形．

(3)判断差的正负或商与1的大小的关系．

(4)结论．

4．单调性的判定方法

(1)定义法；

(2)图像法；

(3)对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，则y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数；若t＝g(x)与y＝f(t)单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为单增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)单调性相反，则y＝f[g(x)]为单减函数； 5、常用结论：

（1）若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数

（2）若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数

（3）若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数

（4）若f(x)>0,且为增函数，则函数为增函数，为减函数

若f(x)>0,且为减函数，则函数为减函数，为增函数

练习：

1、（函数单调性的判断）

（1）证明函数xxf)(在定义域上是减函数。（定义法）

（2）证明函数3()2fxxx在R上是单调递减函数；（定义法）

（3）证明函数2()231fxxx在区间3(,]4上是单调递增函数；（图像法）

2、（求函数的单调区间）

（1）求函数()1fxx的单调区间．

（2）求函数yxx的单调区间

（3）函数2()1fxxx的单调递减区间为．

（4）指出函数322xxy的单调区间.

（5）求函数221fxxx的单增区间.

（6）函数223yxx的递减区间是__________．

（7）函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是

3、（复合函数单调区间）

（1）y=log0.5|x2-x-12|; (2)y=ln(x2-2x-3).

4、（应用单调性求参数的取值范围)

（1）若函数y=(a＋1)x＋b，x∈R在其定义域上是增函数，则（ ）

A．a＞－1 B．a＜－1 C．b＞0 D．b＜0

（2）函数3122xaxy在1,内单调递减，则a的取值范围是____ ____．

（3） 若函数axxy3在区间,1上为增函数，则a的取值范围是

（4） 已知函数1()2axfxx在区间(2,)上是增函数，求实数a的取值范围．

5、（应用单调性解抽象不等式）

（1）已知函数xf为R上的减函数，则满足11fxf的实数x的取值范围是（ ）

A.1,1 B.1,0 C.1,00,1 D.,11,

（2）)(xf为),(上的减函数，Ra，则 （ ）

A )2()(afaf B)()(2afaf

C)()1(2afaf D)()(2afaaf