1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减•如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数•
注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件•
2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为
负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.
一般地，当函数
y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是：
(1)如果在X。附近的左侧f
'
(x) 0
，右侧f'(x)：：：
，那么f(X0)是极大值.
(2)如果在X o附近的左侧f
'(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值.
注：导数为0的点不一定是极值点
知识点一：导数与函数的单调性
方法归纳：
在某个区间(a,b )内，如果f (x) •0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那
么函数y二f(x)在这个区间内单调递减•如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数•注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的
充分不必要条件•
例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y •7 = 0 •
(I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间•
【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上•函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数
f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0.
3
【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围•
【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得：
f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解
a
【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x).
x
(I)求函数F(x)的单调区间；
1 (n)若以函数y = F (x)(x •(0,3］)图像上任意一点P(x°, y°)为切点的切线的斜率k 恒成立，
求实数a的最小值
【课堂练习】
3 2
1. ( B) 已知函数f(x)=ax bx的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x 9y = 0垂直.
(I)求实数a,b的值;
(n)若函数f (x)在区间［m,m上单调递增，求m的取值范围
1 2 1 2
2.( B类)设函数g(x) x -ax -bx(a,b・R)，在其图象上一点P (x, y)处的切线的斜率记为
3 2
f(x).
(1)若方程f(x) =0有两个实根分别为-2和4,求f (x)的表达式;
(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数，求a2b2的最小值
f(x) n^x2 -mln x (m -1)x , m R •当m - 0 时，讨论函数
3. (A类)已知函数 f (x)的单调
2
例一［解析】(I)由f(x)的图象经过P(0, 2)，知d =2,
3
2
所以 f (x) = x bx cx 2 .
2
所以 f (x) =3x 2bx c .
由在M(-1, f(-1))处的切线方程是 6x-y ・7=0,
知 _6 _ f (_1) 7 =0，即 f (_1) =1, f '(—1) =6 •
即
2b -c = 3,
解得 b = c= —3. b
-c = 0.
k.
故所求的解析式是 f(x)=x -3x -3x 2 .
2
(n)因为 f (x) =3x -6x -3 ,
令 3x 2
-6x -3 =0，即 x 2
-2x -1=0 , 解得 ％ =1 -「2 , x 2 .2 . 当 x _1 - 2 或 x _1
2 时，
f
'(x) 一。,
当 1—Ji^x£1 + Ji 时，f '(X)兰 0,
故f(x) =x 3 -3x 2
-3x 在(
一〜
1
一'三］内是增函数，在［1
- ■ 21
•
2］
内是减函数，在
［i 、2
, V 内是增函数.
2
例二【解析】
f(x)=3ax ，1又f (x)在区间［—1,1］上单调递增
2 1 _
-f(x)=3ax *1—0在［—1,1］上恒成立 即a 2在x ［ — 1,1］时恒成立.
3x
1
1
-a
故a 的取值范围为［——，；］
3
3
例三解析】(I ) F x = f x ］、g x in x 旦 x 0 , F' x =丄-弓二
x
2
a
x 0 x x x x
••• a 0，由 F' x • 0= ［a, •：：，二 F x 在 a, •：：上单调递增.
由F' x ：：： 0= x “0,a ，二F x 在0, a 上单调递减.
••• F x 的单调递减区间为 0,a ，单调递增区间为 a,匸：.
所以3
一加＜皿 l_1
+b_c +2 =1.
