高中物理竞赛之万有引力部分[原创]

高中物理万有引力知识点总结1. 牛顿的万有引力定律：任何两个物体间都存在引力，这个引力与它们的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。

这就是牛顿的万有引力定律。

公式表示为：F=G(m1m2)/r^2，其中F是两个物体间的引力，m1和m2分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离，G是万有引力常量。

2. 万有引力定律的应用：天体运动：万有引力定律为解释和预测天体运动提供了基础。

例如，行星绕太阳的运动，卫星绕地球的运动等。

重力加速度：在地球表面，万有引力定律可以用来解释重力加速度的存在。

重力加速度是由地球的质量产生的万有引力引起的。

3. 开普勒三定律：第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在其中一个焦点上。

第二定律（面积定律）：对于任何行星，它与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等。

第三定律（周期定律）：所有行星绕太阳一周的周期的平方与它们轨道半长轴的立方之比是一个常数。

4. 万有引力定律与天体运动的关系：通过万有引力定律和牛顿第二定律（F=ma），我们可以推导出天体运动的规律。

例如，行星的轨道周期与其轨道半径的三次方和质量的二次方之间的关系，这就是开普勒第三定律的来源。

5. 人造卫星：人造卫星是利用万有引力定律进行设计和操作的。

通过调整卫星的轨道和速度，可以实现各种任务，如通信、气象观测、导航等。

6. 逃逸速度：逃逸速度是指一个物体从某天体表面发射出去，要逃离该天体的引力束缚所需要的最小速度。

逃逸速度的计算涉及到万有引力定律和动能定理。

以上就是高中物理中万有引力知识点的主要内容。

掌握这些知识，可以帮助我们更好地理解和预测天体运动，以及设计和操作人造卫星等任务。

第14讲 万有引力定律应用本讲提示：1.归纳整理万有引力定律相关的知识体系，并能初步运用。

2.了解并能独立推导第一二三宇宙速度，领会近似计算的技巧。

3. 对于变换参考系处理问题的方法进一步熟练，通过阅读了解科里奥利力以及其算法。

借助这个方法，对于潮汐等现象有量化的理解。

万有引力的现象确实对于计算能力与综合运用能力要求较高，希望同学们在期末考试结束后抽出时间针对复习。

我们下一讲依然会安排一次总复习。

知识点睛上讲貌似学了一火车皮的公式以及推论，我们为大家找个思路把它们串起来： 一．万有引力有两个质点，它们由于有质量就会相互吸引，这个力我们叫万有引力，如图：（ 两质点间相互吸引对方的力： 2rGMmF =万） 显然这个力有点麻烦，因为它的方向大小都会因为物体运动变化，还只能适合于质点。

通过数学家的计算，这个公式可以拓展到均匀球体的外部，r 变为到球心的距离。

比如我们生活在地球上，地球对我们的万有引力就是我们感受到的重力，如图：（不计自转，引力即重力）（考虑自转引力分解为重力与指向O'的向心力）上述表达中R 为到地心的距离，如果研究对面附近的物体，R 近似恒定，为地球半径。

这样就得到行星表面重力加速度为：2Mg G R=当然以上结论是不考虑地球自转的近似，考虑自转，万有引力分解为向心力与重力之合力。

上面右图中，向心力指向O'。

极端的情况，星球自转到一定角速度赤道上的物质会解体。

所以实际能观测的星球密度一定大于自转解体时密度。

如果我们打洞打到地球内部去，因为均匀球壳对内部引力为0，那么我们在星球内部受的万有引力等于内部小球对我们的引力。

公式记为：2内内球万R m GM F =（当物体在均匀球内时，只需考虑颜色较深部分质量对物体的引力）例题精讲【例1】 新发现一行星，其星球半径为6400km ，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km 。

学者们对该行星进行探查时发现。

当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求这个行星表面处的自由落体加速度。

第七章 万有引力与天体运动例题：设地球的密度为ρ，半径为R ，求距离地心为r 处的重力加速度。

解：取m 质点置于r 处。

分二种情形进行讨论：（1）r R ≥时，3243m R F G r πρ= 则：3243R G g r πρ=（2）r R <时， 324433m r Gm F G r r πρπρ== 则：43Gg r πρ=例题：沿地球直径贯穿打一洞，从洞口将一小球由静止释放，小球如何运动。

解：简谐振动F kx =中的43Gmk πρ=振幅：A=R （地球半径）周期：T =最大速度:m V解一：据动能定理：212m W mV =其中重力为线性力，可取平均值，而求出W 。

解二：利用振动的能量守恒221122m KA mV =或20122A m F R mv += 解三：利用匀圆在直径上的投影即为简振。

物体在表面各点所受重力沿直径投影力即为小球沿直径运动中各位置所受的力。

所以，该简振之参考圆即为绕地表转的卫星的运动所形成的圆。

则m V 等于第一宇宙速度。

例题：如图，密度为ρ，半径为R 的均质球体将2R 的半径球部分掏空。

质点m 距球心r 。

求万有引力。

解：利用填补法 解略注意：若r<R ，该如何计算万有引力。

例题：证明：质量为M ，半径为R 的匀质薄球壳内任一点P 处的质量为m 质点，受到球壳对其万有引力为零。

解：取微元，θ极小。

211222S r S r = 1212m m S S =1121Gm m f r =，2222Gm mf r = 由上可知：12f f =例题：一颗陨石在飞向质量为M 的行星途中（沿着通过行星中心的直线）碰到绕此行星沿半径为R 的圆周轨道运行的宇宙站，站的质量为陨石质量的10倍，碰撞使得陨石陷入站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为2R的新轨道上，求碰撞前陨石的速度u 。

解：设1υ是碰撞前站的速度，2υ是碰撞后站和陨石具有的瞬时速度，m 是陨石的质量，10m 是站的质量，在碰撞前站绕行星沿半径为R 的圆周轨道运动，于是站的速度满足2121010mMG m R Rυ=列出在x 轴和y 轴方向上动量守恒定律()121010x m m m υυ=+()210y mu m m υ=+碰撞后站过渡到椭圆轨道上，机械能守恒()2222211111111222x ymM m mM GG m R R υυυ-++=-+ 式中υ是站离行星最近时的速度，再根据开普勒第二定律得22x RR υυ=解得u =例题：地球m 绕太阳M 做椭圆运动，已知轨道半长轴为a ，半短轴为b ，如图所示，求地球在椭圆各顶点1、2、3的运动速度的大小及其曲率半径。

高中物理——万有引力与航天知识点总结一、开普勒行星运动定律（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

（2）对于每一颗行星，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

二、万有引力定律1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．2．公式：F＝Gm1m2/r^2，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，称为万有引力常量。

3．适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离。

对于均匀的球体，r是两球心间的距离。

三、万有引力定律的应用1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：F＝Gm1m2/r^2＝mv^2/r＝mω2r＝m(2π/T)2r(2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝Gm1m2/r^2，gR2＝GM.2．天体质量和密度的估算通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r，由万有引力等于向心力，即G r2(Mm)＝m T2(4π2)r，得出天体质量M＝GT2(4π2r3).(1)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝V(M)＝πR3(4)＝GT2R3(3πr3)(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝GT2(3π)可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期，就可求得天体的密度．3．人造卫星(1)研究人造卫星的基本方法看成匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供．G r2(Mm)＝m r(v2)＝mr ω2＝m 224T πr^2＝ma 向．(2)卫星的线速度、角速度、周期与半径的关系①由GMm/r^2＝mv^2/r 得v ＝GM/r ，故r 越大，v 越小②由GMm/r^2＝mr ω2得ω＝GMm/r^3，故r 越大，ω越小③由GMm/r^2＝m(4π^2/T^2)r 得T ＝GM 32r 4π，故r 越大，T 越大(3)人造卫星的超重与失重 ①人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动，这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态。

高中物理竞赛万有引力天体的运动知识点讲解知识点击1．开普勒定律第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。

太阳是在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。

“面积速度”：1sin 2S r t υθ∆=∆（θ为矢径r 与速度υ的夹角）第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。

即：23T a=常量．2．万有引力定律⑴万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2Mm F Gr= ， 11226.6710/G N m kg -=⨯⋅，称为引力常量． ⑵重力加速度的基本计算方法设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2Mm Gmg R =，22GMg R==9.8m/s 在地球上空距地心r=R+h 处：2r Mg G r=， 222()r g R R g r R h ==+ 在地球内部跟离地心r 处：3224433r r r M g G G G r r r πρπρ===，r g r g R = ， r r g g R = 3．行星运动的能量 ⑴行星的动能当一颗质量为m 的行星以速度υ 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动： 2122K MmE m G rυ==，式中GM r υ=。

⑵行星的势能对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距r 时，其体系的引力势能：P MmE Gr =- ⑶行星的机械能：2122K P Mm MmE E E m G Gr rυ=+=-=- 4．宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度（相对地球）第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）．第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）．第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑵引力场、引力半径与宇宙半径．对于任何一个质量为M ，半径为r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度．如果第二宇宙速度超过光速，即2GM c r <，则有关系．22GMr c < 在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r 值被称为引力半径，记为22g GM r c=用地球质量代入，得到r g ≈0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息．如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为ρ，则总质量为343M r πρ=又假设半径r 正好是引力半径，那么32423g g G r r cπρ⋅=，得1223()8g c r G πρ= 此式表示所设环境中光不可能发射到超出r g 的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm 3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径．天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。

高一物理竞赛讲义专题四万有引力定律、引力势能【概念与规律】 1.万有引力定律 （1）公式：2MmF Gr=，其中G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2。

（2）适用条件：公示只适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远远大于物体本身的尺寸时，物体可视为质点。

均匀球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

（3）由万有引力定律可以推出，质量为M 、半径为R 的均匀球壳对球心为r 、质量为m 的质点的万有引力为()()20r R F GMmr R r⎧⎪=⎨⎪⎩ ＞＞ 2.应用万有引力定律解决天体运动问题基本方法：把天体看作是做匀速圆周运动的物体，其所需的向心力由万有引力提供，即()2222222Mm v G m mr m r m f r r r T πωπ⎛⎫==== ⎪⎝⎭在地面上2Mm mg GR =地地。

在空中h 高处()2'Mm mg G R h =+。

物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等。

3.开普勒三定律（1）轨道定律：行星绕太阳做椭圆轨道运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。

此定律揭示了太阳系各行星的轨道形状以及太阳和行星的相对位置。

由于行星的椭圆轨道跟圆相似，所以通常把行星轨道作为圆周来处理。

（2）面积定律：行星和太阳之间的连线，在相等的时间内，所扫过的面积相等。

如图所示。

此定律反映了行星速率变化的规律，说明行星在远日点速率最小，在近日点速率最大。

2221111111111111222v S R R t R t R θω===，2222222222222111222v S R R t R t R θω=== 因t 1=t 2，S 1=S 2，故R 1v 1=R 2v 2。

（3）周期定律：行星运动周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。

即32R T=常数（此常数只与太阳质量有关）。

此定律阐明了各行星运动周期与其轨道的长半轴的关系。

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高中物理-—万有引力与航天知识点总结一、开普勒行星运动定律（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

（2）对于每一颗行星,太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

（3)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

二、万有引力定律1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．2．公式:F＝Gm1m2/r^2，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，称为万有引力常量。

3．适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离.对于均匀的球体，r是两球心间的距离.三、万有引力定律的应用1．解决天体（卫星)运动问题的基本思路(1)把天体(或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：F ＝Gm1m2/r^2＝mv^2/r ＝m ω2r ＝m (2π/T)2r（2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝Gm1m2/r^2，gR 2＝GM .2．天体质量和密度的估算通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T ,轨道半径r ,由万有引力等于向心力，即G r2(Mm ）＝m T2(4π2)r ,得出天体质量M ＝GT2(4π2r3）. (1)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝V(M ）＝πR3（4）＝GT2R3（3πr3）（2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r 等于天体半径R ,则天体密度ρ＝GT2（3π)可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期,就可求得天体的密度．3．人造卫星(1）研究人造卫星的基本方法看成匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供．G r2(Mm)＝m r(v2）＝mr ω2＝m 224T r^2＝ma 向．（2）卫星的线速度、角速度、周期与半径的关系①由GMm/r^2＝mv^2/r 得v ＝GM/r ,故r 越大，v 越小②由GMm/r^2＝mr ω2得ω＝GMm/r^3，故r 越大，ω越小③由GMm/r^2＝m （4π^2/T^2)r 得T ＝GM 32r 4 ，故r 越大，T 越大（3）人造卫星的超重与失重①人造卫星在发射升空时,有一段加速运动;在返回地面时，有一段减速运动,这两个过程加速度方向均向上,因而都是超重状态。

真题分类----万有引力（26届初赛）16．（20分）一个质量为m1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km 高空作圆周运动，在某处和一个质量为m2＝m1/9的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动．碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km ，其轨道和卫星轨道在同一平面内．已知质量为m 的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和2Mm E G a=-，式中G 是引力常量，M 是地球的质量，a 为椭圆轨道的半长轴．设地球是半径R=6371km 的质量均匀分布的球体，不计空气阻力．（i ）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上．（ii ）如果此事件是发生在北级上空（地心和北极的连线方向上），碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？（23届初赛）（25分）从赤道上的C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N ，要求发射所用的能量最少。

假定地球是一质量均匀分布的半径为R 的球体，R=6400km 。

已知质量为m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E 与椭圆半长轴a 的关系为E=－G aMm2式中M 为地球质量，G 为引力常量。

（1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心O 到发射点C 的连线之间的夹角表示）。

（2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？（3）试导出E=－G aMm 2。

o c（17初赛）七、当质量为m 的质点距离—个质量为M 、半径为R 的质量均匀分布的致密天体中心的距离为r (r ≥R ) 时，其引力势能为P /E GMm r =-，其中11226.6710N m kg G =⨯⋅⋅－－为万有引力常量．设致密天体是中子星，其半径10km R =，质量 1.5M M =⊙（301 2.010kg M ⨯⊙＝，为太阳的质量)．1．1Kg 的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少?2．在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为m ，则反应中的质量亏损为0.0072 m ，问1kg 的原料通过核聚变提供的能量与第1问中所释放的引力势能之比是多少?3．天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图预17-7所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉冲星的电磁辐射。