线性代数第三章 向量与向量空间

第三章 几何空间一、 向量的运算1. 向量的数量积（1） 在仿射坐标系123{;,,}O e e e 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则112323(,,)y x x x A y y αβ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，其中111213212223313233e e e e e e A e e e e e e e e e e e e ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭. （2） 在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则131233213(,,)i i i y x x x I y x y y αβ=⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭∑ ∙ =0αβαβ⊥⇔⋅2. 向量的向量积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则123123i jk x x x y y y αβ⨯=. ∙ //=0αβαβ⇔⨯3. 向量的混合积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，123(,,)z z z γ=则123123123(,,)x x x y y y z z z αβγ=. ∙ (,,)0αβγαβγ⇔=，，共面例：（1）设=αβγδ⨯⨯， =αγβδ⨯⨯，证明αδ-，βγ-共线.（2）设0αββγγα⨯+⨯+⨯=，证明αβγ，，共面.（3）证明()()βγααγβγ⋅-⋅⊥.证明：（1）因为()()αδβγ-⨯-=αβαγδβδγ⨯-⨯-⨯+⨯=αβγδαγ⨯-⨯-⨯+0βδ⨯=，所以αδ-，βγ-共线.(2)因为()αβγ=，，()αβγ⨯⋅=()βγγ-⨯⋅()γαγ-⨯⋅=()βγγ-，，()γαγ-，，0=，所以αβγ，，共面.（3） 因为(()βγα⋅())αγβγ-⋅⋅=()βγ⋅()αγ⋅()αγ-⋅()βγ⋅0=，所以()βγα⋅()αγβ-⋅γ⊥.二、 位置关系的判断1. 两个向量的共线；三个向量的共面.2. 两条直线异面，共面（相交、平行、重合）3. 两个平面相交、平行、重合4. 直线与平面相交、平行、直线在平面上.三、距离和垂线（在右手直角坐标系中讨论）1. 点到直线的距离，垂线方程垂线方程：设直线过已知点0000,,)P x y z （方向向量为0()X Y Z υ=，，，求过111(,,)P x y z 点直线的垂线方程。

线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。

线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。

线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。

本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。

一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。

向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。

向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。

二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。

矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。

其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。

线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。

三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。

线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。

3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。

特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。

其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。

四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。

内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。

4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。

正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。

五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。

线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。