第三章 向量空间

线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。

线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。

空间向量及其运算知识点1． 空间向量的有关概念1空间向量：在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量．2单位向量：模为1的向量称为单位向量3相等向量：方向相同且模相等的向量．4共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．5共面向量：平行于同一个平面的向量．2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量112231n n n OA OA A A A A A A ⋯－＝＋＋＋＋.运算律：①加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ②加法结合律：a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋c ③数乘分配律：λa ＋b ＝λa ＋λb.3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理1共线向量定理对空间任意两个向量a ,bb ≠0,a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得a ＝λb . AB 上的充要条件是：存在实数λ,使得AP AB λ= ①或对空间任意一点O,有OP OA AB λ=+ ②或对空间任意一点O ,有OP xOA yOB =+其中x ＋y ＝1 ③推论③推导过程：()(1)OP OA AB OA AO OB OA OB λλλλ=+=++=-+2共面向量定理如果两个向量a ,b 不共线,那么p 与a ,b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对x,y 使p ＝xa ＋ybABC 内的充要条件是存在唯一有序实数对x,y 使AP xAB yAC =+, 或对空间任意一点O ,有OP OA xAB yAC =++或对空间任意一点O ,有OP xOA yOB zOC =++,其中x ＋y ＋z ＝1推论③推导过程：(1)OP OA xAB yAC x y OA xOB yOC =++=--++3空间向量基本定理如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p ＝x a ＋y b ＋z c基底：把{a ,b ,c }叫做空间的一个基底,空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4． 空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作错误!＝a ,错误!＝b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉,其范围是0≤〈a ,b 〉≤π,若〈a ,b 〉＝错误!,则称a 与b 互相垂直,记作a ⊥b .②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a ,b ,向量a ,b 的数量积记作a·b ,且a·b ＝|a||b |cos 〈a ,b 〉．2空间向量数量积的运算律： ①结合律：λa ·b ＝λa·b ； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·b ＋c ＝a·b ＋a·c .5． 空间向量的坐标表示及应用设a ＝a 1,a 2,a 3,b ＝b 1,b 2,b 31数量积的坐标运算：a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.2共线与垂直的坐标表示：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1,a 2＝λb 2,a 3＝λb 3 λ∈R ,a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0a ,b 均为非零向量．3模、夹角和距离公式：|a |＝错误!＝错误!,cos 〈a ,b 〉＝错误!＝错误! .设Aa 1,b 1,c 1,Ba 2,b 2,c 2,则d AB ＝|错误!|＝错误!.6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：1适当的选取基底{a ,b ,c }；2用a ,b ,c 表示相关向量；3通过运算完成证明或计算问题．题型一 空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量,应结合图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,表示为其他向量的和与差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系．例1：三棱锥O —ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用基向量错误!,错误!,错误!表示错误!,错误!.解析：错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!错误!错误!＋错误!－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!.错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!.例2：如图所示,ABCD －A 1B 1C 1D 1中,ABCD 是平行四边形．若错误!＝错误!错误!,错误!＝2错误!,且1=x +y +z EF AB AD AA ,试求x 、y 、z 的值．.解 连接AF ,错误!＝错误!＋错误!. ∵错误!＝－错误!错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!错误!＝错误!－错误!错误!＋错误!＝12133AD A A -∴错误!＝错误!＋错误!＝1111333AD AA AB +-题型二 共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则,用空间中的向量表示a 与b ,化简得出a ＝λb ,从而得出a ∥b ,即a 与b 共线．点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明A 、B 、C 三点共线,即证明错误!与错误!共线． 例3：如图所示,四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,判断错误!与错误!是否共线∵111111()()222222CE CB BEMN MC CB BN AC CB BA BE AC BA CB BE CB BE =+=++=+++=+++=+ ∴错误!＝2错误!,∴错误!∥错误!,即错误!与错误!共线．例4：如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且错误!＝2ED 1,F 在对角线A 1C 上,且错误!＝错误!错误!.求证：E ,F ,B 三点共线．证明： 设错误!＝a ,错误!＝b ,错误!＝c .∴错误!＝2错误!=错误!错误!＝错误!b ,错误!＝错误!错误!＝错误!错误!=错误!错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!－错误!＝错误!a ＋错误!b －错误!c∴E 错误!＝错误!－错误!＝错误!a －错误!b －错误!c ＝错误!错误!, 错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－错误!b －c ＋a ＝a －错误!b －c ,∴错误!＝错误!错误!.所以E ,F ,B 三点共线．题型三 共面定理应用点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P 、A 、B 、C 四点共面,只要能证明错误!＝x 错误!＋y 错误!,或对空间任一点O,有错误!＝错误!＋x 错误!＋y 错误!或错误!＝x 错误!＋y 错误!＋z 错误!x ＋y ＋z ＝1即可例5：已知A 、B 、C 三点不共线,对于平面ABC 外一点O ,若错误!＝错误! 错误!＋错误!错误!＋错误!错误!,则点P 是否与A 、B 、C 一定共面 试说明理由．解析：∵212212212 (+)(+)(+)=+++553553553OP OA OB OC OP PA OP PB OP PC OP PA PB PC =++=++ ∴错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,故A 、B 、C 、P 四点共面.例6：如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,连结PA 、PB 、PC 、PD,点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心,应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.∵ E、F、G、H分别是所在三角形的重心,∴M、N、Q、R为所在边的中点顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形,且有错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!.∴错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!＋错误!错误!－错误!＝错误!错误!错误!－错误!错误!＋错误!错误!错误!－错误!错误!＝错误!＋错误!. ∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.例7：正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和A1D1的中点,求证向量错误!,错误!,错误!是共面向量．证明：如图所示,错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!－错误!＝错误!错误!－错误!.由向量共面的充要条件知错误!,错误!,错误!是共面向量．题型四空间向量数量积的应用例8：①如图所示,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.1求AC1的长；2求BD1与AC夹角的余弦值．解析：1记错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则|a|＝|b|＝|c|＝1,〈a,b〉＝〈b,c〉＝〈c,a〉＝60°,∴a·b＝b·c＝c·a＝错误!.|错误!|2＝a＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋b·c＋c·a＝1＋1＋1＋2×错误!＝6,∴|错误!|＝错误!,即AC1的长为错误!.2错误!＝b＋c－a,错误!＝a＋b,∴|错误!|＝错误!,|错误!|＝错误!,错误!·错误!＝b＋c－a·a＋b＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!.∴AC与BD1夹角的余弦值为错误!.②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则错误!·错误!的值为A．a2 a2 a2 a2解析：设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则|a|＝|b|＝|c|＝a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.错误!＝错误!a＋b,错误!＝错误!c,∴错误!·错误!＝错误!a＋b·错误!c＝错误!a·c＋b·c＝错误!a2cos60°＋a2cos60°＝错误!a2.题型五空间向量坐标运算例9：如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB＝2,E为PB的中点,cos〈错误!,错误!〉＝错误!,若以DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为A．1,1,1 D．1,1,2设PD＝a a>0,则A2,0,0,B2,2,0,P0,0,a,E错误!,∴错误!＝0,0,a,错误!＝错误!,cos〈错误!,错误!〉＝错误!,∴错误!＝a错误!·错误!,∴a＝2.∴E的坐标为1,1,1．例10：已知a＝2,－1,3,b＝－1,4,－2,c＝7,5,λ．若a,b,c三向量共面,则实数λ=________________解析：由题意得c＝t a＋μb＝2t－μ,－t＋4μ,3t－2μ,∴错误!∴错误!例11：已知△ABC的顶点A1,1,1,B2,2,2,C3,2,4,试求△ABC的面积错误!＝1,1,1,错误!＝2,1,3,|错误!|＝错误!,|错误!|＝错误!,错误!·错误!＝2＋1＋3＝6,∴cos A＝cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!.∴sin A＝错误!＝错误!.∴S△ABC＝错误!|错误!|·|错误!|·sin A＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!.例12：已知a＝λ＋1,0,2,b＝6,2μ－1,2λ,若a∥b,则λ与μ的值可以是A．2,错误!B．－错误!,错误!C．－3,2 D．2,2解析由题意知：错误!解得错误!或错误!例13：已知空间中三点A－2,0,2,B－1,1,2,C－3,0,4,设a＝错误!,b＝错误!.,若ka＋b与ka－2b互相垂直,求实数k 的值．方法一∵k a＋b＝k－1,k,2．k a－2b＝k＋2,k,－4,且k a＋b与k a－2b互相垂直,∴k－1,k,2·k＋2,k,－4＝k－1k＋2＋k2－8＝0,∴k＝2或－错误!,方法二由2知|a|＝错误!,|b|＝错误!,a·b＝－1,∴k a＋b·k a－2b＝k2a2－k a·b－2b2＝2k2＋k－10＝0,得k＝2或－错误!.例14：已知空间三点A0,2,3,B－2,1,6,C1,－1,5．1求以错误!,错误!为边的平行四边形的面积；2若|a|＝错误!,且a分别与错误!,错误!垂直,求向量a的坐标．解1cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.∴sin〈错误!,错误!〉＝错误!,∴以错误!,错误!为边的平行四边形的面积为S＝2×错误!|错误!|·|错误!|·sin〈错误!,错误!〉＝14×错误!＝7错误!.（2）设a＝x,y,z,由题意得错误!,解得错误!或错误!,例15：如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E＝错误!A1D,AF＝错误!AC,则A．EF至多与A1D、AC之一垂直B．EF与A1D、AC都垂直C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：设AB＝1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A11,0,1,D0,0,0,A1,0,0,C0,1,0,E错误!,F错误!,B1,1,0,D10,0,1,错误!＝－1,0,－1,错误!＝－1,1,0,错误!＝错误!,错误!＝－1,－1,1,错误!＝－错误!错误!,错误!·错误!＝错误!·错误!＝0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.例16：已知O0,0,0,A1,2,3,B2,1,2,P1,1,2,点Q在直线OP上运动,当错误!·错误!取最小值时,点Q的坐标是__________．解析：设错误!＝λ错误!＝λ,λ,2λ,则错误!＝1－λ,2－λ,3－2λ,错误!＝2－λ,1－λ,2－2λ．∴错误!·错误!＝1－λ2－λ＋2－λ1－λ＋3－2λ2－2λ＝6λ2－16λ＋10＝6λ－错误!2－错误!.∴当λ＝错误!时,错误!·错误!取最小值为－错误!.此时,错误!＝错误!,错误!,错误!,综合练习一、选择题1、下列命题：其中不正确．．．的所有命题的序号为__________．①若A、B、C、D是空间任意四点,则有错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线,则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!x、y、z∈R,则P、A、B、C四点共面．⑤设命题p：a,b,c是三个非零向量；命题q：{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的充要条件解析：选②③④⑤,①中四点恰好围成一封闭图形,正确；②中当a、b同向时,应有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b 所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1,才有P、A、B、C四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底,应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是①若p＝x a＋y b,则p与a,b共面；②若p与a,b共面,则p＝x a＋y b；③若错误!＝x错误!＋y错误!,则P,M,A、B共面；④若P,M,A,B共面,则错误!＝x错误!＋y错误!.A．1 B．2 C．3 D．4解析其中①③为真命题．②中,若a,b共线,则p≠x a＋y b；3、已知A1,0,0,B0,－1,1,错误!＋λ错误!与错误!的夹角为120°,则λ的值为A．±错误!错误!C．－错误!D．±错误!解析：错误!＋λ错误!＝1,－λ,λ,cos120°＝错误!＝－错误!,得λ＝±错误!.经检验λ＝错误!不合题意,舍去,∴λ＝－错误!.4、如图所示,已知P A⊥平面ABC,∠ABC＝120°,P A＝AB＝BC＝6,则PC等于A．6错误!B．6 C．12 D．144解析错误!2＝错误!＋错误!＋错误!2=错误!2＋错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144∴|错误!|＝12证明设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝－a＋错误!a＋b＋c＝－错误!a＋错误!b＋错误!c,错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＋错误!＝－a＋错误!b＋错误!c＝错误!错误!. ∴错误!∥错误!,即B、G、N三点共线．5、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且错误!＝错误!错误!,N为B1B的中点,则|错误!|为a a a a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则Aa,0,0,C10,a,a,N错误!.设Mx,y,z．∵点M在AC1上且错误!＝错误!错误!,∴x－a,y,z＝错误!－x,a－y,a－z∴x＝错误!a,y＝错误!,z＝错误!.∴M错误!,∴|错误!|＝错误!＝错误!a.6、如图所示,已知空间四边形OABC,OB＝OC,且∠AOB＝∠AOC＝错误!,则cos〈错误!,错误!〉的值为A．0解析设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,由已知条件〈a,b〉＝〈a,c〉＝错误!,且|b|＝|c|,错误!·错误!＝a·c－b＝a·c－a·b＝错误!|a||c|－错误!|a||b|＝0,∴cos〈错误!,错误!〉＝0.7、如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则下列向量中与错误!相等的向量是A．－错误!a＋错误!b＋c 错误!a＋错误!b＋c C．－错误!a－错误!b＋c 错误!a－错误! b＋c解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!－错误!＝c＋错误!b－a＝－错误!a＋错误!b ＋c.8、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,向量错误!,错误!,错误!两两的夹角均为60°,且|错误!|＝1,|错误!|＝2,|错误!|＝3,则|错误!|等于A．5 B．6 C．4 D．8设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,则错误!＝a＋b＋c,错误!2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25,|错误!|＝5.9、在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是＝3错误!－2错误!－错误!B．错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0 C．错误!＋错误!＋错误!＝0 D．错误!＝错误!错误!－错误!＋错误!错误!解析：C中错误!＝－错误!－错误!.故M、A、B、C四点共面．二、填空题10、同时垂直于a＝2,2,1和b＝4,5,3的单位向量是____________________．解析设与a＝2,2,1和b＝4,5,3同时垂直b单位向量是c＝p,q,r,则错误!解得错误!或错误!所求向量为错误!或错误!.11．若向量a＝1,λ,2,b＝2,－1,2且a与b的夹角的余弦值为错误!,则λ＝________.解析由已知得错误!＝错误!＝错误!,∴8错误!＝36－λ,解得λ＝－2或λ＝错误!.12．在空间直角坐标系中,以点A4,1,9、B10,－1,6、Cx,4,3为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为________．解析由题意知错误!·错误!＝0,|错误!|＝|错误!|,可解得x＝2.13．已知a＋3b与7a－5b垂直,且a－4b与7a－2b垂直,则〈a,b〉＝________.解析由条件知a＋3b·7a－5b＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0,及a－4b·7a－2b＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.两式相减,得46a·b＝23|b|2,∴a·b＝错误!|b|2.代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a,b〉＝错误!＝错误!＝错误!.∴〈a,b〉＝60°.14. 如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θ错误!,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB＝BC＝CD＝1,则AD的长为________．解析:错误!2＝错误!＋错误!＋错误!2=错误!2＋错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!＋2错误!·错误!＋2错误!·错误!＝1＋1＋1＋2cosπ－θ＝3－2cos θ.15．已知a＝1－t,1－t,t,b＝2,t,t,则|b－a|的最小值为________．解析b－a＝1＋t,2t－1,0,∴|b－a|＝错误!＝错误!,∴当t＝错误!时,|b－a|取得最小值错误!.三、解答题16、如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是C1D1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1＝4∶1,设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,用基底{a,b,c}表示以下向量：1错误!；2错误!；3错误!；4错误!.1错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＝错误!a＋b＋c．2错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋2错误!＋错误!＝错误!a＋2b＋c．3错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＋2错误!＋2错误!＝错误!a＋2b＋2c＝错误!a＋b＋c.4错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!c17、如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线．18．13分直三棱柱ABC—A′B′C′中,AC＝BC＝AA′,∠ACB＝90°,D、E分别为AB、BB′的中点．1求证：CE⊥A′D；2求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．1证明：设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c,根据题意,|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.∴错误!＝b＋错误!c,错误!＝－c＋错误!b－错误!a.∴错误!·错误!＝－错误!c2＋错误!b2＝0,∴错误!⊥错误!,即CE⊥A′D.2错误!＝－a＋c,∴|错误!|＝错误!|a|,|错误!|＝错误!|a|.错误!·错误!＝－a＋c·错误!＝错误!c2＝错误!|a|2, ∴cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为错误!.。

第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。

α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。

如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。

4 D.327。

设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。

α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。

人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义讲堂合作研究重点难点突破知识点一 共线向量定理（1）定理内容：对空间两个向量()0,≠b b a ，b a //的充要条件是存在唯一的实数x ， 使xb a =。

此定理可以分化为以下两个命题；①若()0//≠b b a ，则存在唯一实数x ，使xb a =。

②存在实数x ，使()0≠=b xb a ，则b a //。

（2）在定理中为什么要准则0≠b 呢?当时0=b ，若0=a ，则b a //，也存在实数x 使xb a =；但若0≠a ，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数x ，使xb a =，因此在定理中准则了0≠b 。

若将定理写成xa b b a =⇔//，则应准则0≠a 。

说明：①在xb a =功中，敷衍确定的x 和b ，xb a =功表示空间与b 平行或共线且长度为xb 的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。

知识点二 共面向量定理（1）共面向量已知向量a ，作a OA =，要是OA 的基线平行于平面a ，记作α//a （右图），通常我们把平行于联合平面的向量，叫做共面向量。

说明：①α//a 是指a 的基线在平面α内或平行平面α。

②共面向量是指这些向量的基线平行或在联合平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面。

我们已知，对空间恣意两个向量，它们总是共面的，但空间恣意三个向量就不一定共面了。

比方，在下图中的长方体，向量AB 、AC 、AD ，无论怎样平移都不能使它们在联合平面内。

（2）共面向量定理共面向量定理：要是两个向量a 、b 不共线，则向量c 与向量a 、b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数y x ,，使yb xac +=。

说明：①在证明充要条件标题时，要证明两个方面即充分性和必要性。

②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明恣意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是鉴别三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。

第三章 向量空间§3.1 n 维向量及其运算一、N 维向量的概念 1．定义1定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数i a 称为第i 个分量.记为 ()12,,,n a a a a =，出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，前者称为行向量，而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵，故又称行矩阵；而列向量可看作一个1n ⨯矩阵，故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便，我们约定：用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量，用,,,T T T T a b αβ表示行向量.也可用T n a a a ),,(21 来表示一个列向量。

即T n a a a ),,(21 =α是一种很觉的表述。

在不特别声明时我们说到的向量均为列向量，行向量视为列向量的转置.例如：二维向量可以表示平面上一个点的坐标。

三维向量可以表示空间里的一个点的坐标。

四维以上的向量，四维以上的向量，没有具体的几何意义。

但在研究中是常见的向量。

2．几个特殊的向量及与向量相关的概念（1）分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. （2）分量全为零的向量，称为零向量。

记为O 。

（3）相等向量：二个向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b b 21当且仅当i i b a =的时候，b a = （4）方程组的矩阵表示式中的向量：b x A =，方程组的解通常也直接表示成：βα,=x 等。

（5）向量的加法： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+n n b a b a b a b a 2211（6）向量的数乘：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n kb kb kb kb 21（7）负向量a a)1(-=-。

3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。