自考线性代数第三章向量空间习题

习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。

自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。

答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。

答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。

答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。

第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。

分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。

请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。

习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。

一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。

矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。

两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。

n 维向量组的线性组合也是n 维向量。

定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。

判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。

反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。

B 、向量组(Ⅰ)线性相关时,向量组(Ⅱ)线性相关C 、向量组(Ⅱ)线性相关时,向量组(Ⅰ)线性相关D 、向量组(Ⅱ)线性无关时,向量组(Ⅰ)线性相关4、 下列命题中正确的就是( C ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关5、 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ,则( D )(A)s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s <6、 n 维向量组 s ααα，，，Λ21(3≤ s ≤ n)线性无关的充要条件就是( B )、 (A)s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，，Λ21中不含零向量 7、 向量组n ααα,,,21⋅⋅⋅线性无关的充要条件就是(D ) A 、任意i α不为零向量B 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任两个向量的对应分量不成比例C 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中有部分向量线性无关D 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8、 设A 为n 阶方阵,n r A R <=)(,则A 的行向量中(A ) A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示9、 设A 为n 阶方阵,且秩12() 1.,A n αα=-就是非齐次方程组AX B =的两个不同的解向量,则AX =0的通解为( C )A 、1αkB 、2αkC 、)(21αα-kD 、)(21αα+k 10、 已知向量组()()()1231,1,1,1,2,0,,0,0,2,5,2t ααα=-==--的秩为2,则=t ( A)、 A 、3 B 、-3 C 、2 D 、-2 11、 设A 为n 阶方阵,n r A R <=)(,则A 的行向量中( A ) A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示12、 设向量组A: 321,,ααα线性无关,则下列向量组线性无关的就是(C ) A 、321ααα++,321232ααα+-,321323ααα+- B 、21αα+,32αα+,13αα- C 、212αα+,3232αα+,133αα+ D 、12-αα+,32αα+,3212ααα++-14、 已知向量组A 线性相关,则在这个向量组中( C ) (A)必有一个零向量 、 (B)必有两个向量成比例 、(C)必有一个向量就是其余向量的线性组合 、 (D)任一个向量就是其余向量的线性组合 、15、 设A 为n 阶方阵,且秩()1R A n =-,12,a a 就是非齐次方程组Ax b =的两个不同的解向量, 则0Ax = 的通解为 ( )(A)12()k a a + (B) 12()k a a - (C) 1ka (D) 2ka 16、 已知向量组1,,m ααK 线性相关, 则(C ) (A)该向量组的任何部分组必线性相关 、 (B) 该向量组的任何部分组必线性无关 、(C) 该向量组的秩小于m 、 (D) 该向量组的最大线性无关组就是唯一的、 17.已知123234(,,)2,(,,)3,R R αααααα==则 ( C )(A)123,,ααα 线性无关 (B) 234,,ααα 线性相关(C) 1α能由23,αα 线性表示 (D) 4α能由123,,ααα 线性表示18、 若有 1133016,02135k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4第三题 计算题:1、 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα(1)求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组; (2)将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。

α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。

如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。

4 D.327。

设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。

α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。

第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

空间向量的习题及答案空间向量是线性代数中的重要概念之一，它在解决几何问题时起到了关键作用。

本文将通过一些典型的习题来探讨空间向量的性质和应用，并给出详细的答案解析。

1. 习题一：已知向量a = (1, 2, -3)，向量b = (-2, 1, 4)，求向量a与向量b的数量积和向量积。

解析：向量a与向量b的数量积为：a·b = 1*(-2) + 2*1 + (-3)*4 = -2 + 2 - 12 = -12。

向量a与向量b的向量积为：a×b = (2*(-3) - 1*4, 1*(-3) - (-2)*4, 1*1 - (-2)*(-3)) = (-6 - 4, -3 + 8, 1 + 6) = (-10, 5, 7)。

2. 习题二：已知向量a = (2, -1, 3)，向量b = (3, 4, -2)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

解析：向量a与向量b的夹角的余弦值为：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)。

其中，a·b为向量a与向量b的数量积，|a|为向量a的模，|b|为向量b的模。

计算得到：a·b = 2*3 + (-1)*4 + 3*(-2) = 6 - 4 - 6 = -4，|a| = √(2^2 + (-1)^2+ 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14，|b| = √(3^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(9 + 16 + 4)= √29。

代入公式得到：cosθ = (-4) / (√14 * √29)。

3. 习题三：已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，求向量a与向量b的和、差和模长。

解析：向量a与向量b的和为：a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。

向量a与向量b的差为：a - b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。

线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中的基是一组向量，以下哪个不是基的性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 张成整个空间D. 可以是空间中的任意向量2. 矩阵A和矩阵B相乘，结果矩阵的行列式等于：A. A的行列式乘以B的行列式B. B的行列式乘以A的行列式C. 两个矩阵的行列式之和D. 无法确定3. 对于线性变换，以下哪个说法是错误的？A. 线性变换保持向量的加法运算B. 线性变换保持标量的乘法C. 线性变换保持向量的长度D. 线性变换保持向量的点积4. 一个矩阵的特征值是指：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的行列式C. 使得矩阵的某个特征向量不为零的标量D. 矩阵的迹5. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵6. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中最大的线性无关行或列的数量D. 矩阵的行数或列数7. 线性方程组的解集可以是：A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 无限多个解8. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵的对角线元素之和D. 矩阵的转置矩阵9. 向量空间的维数是指：A. 空间中向量的个数B. 空间中基的向量个数C. 空间中任意向量的个数D. 空间中线性无关向量的最大个数10. 线性变换的核是指：A. 变换后为零向量的集合B. 变换后为单位向量的集合C. 变换后为任意向量的集合D. 变换后为非零向量的集合二、简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个例子。

2. 描述如何计算矩阵的特征值和特征向量。

3. 解释什么是正交矩阵，并给出正交矩阵的一个性质。

三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定矩阵A = \[\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。

第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。

分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。

请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。

习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。

一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。

矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。

两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。

n 维向量组的线性组合也是n 维向量。

定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。

判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。

反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。

第三章 向量与向量空间一.判断题1. 若向量β能由m ααα ,,21线性表出,则βααα,,,21m 线性相关.( )2. 若向量组B 能由向量组A 线性表示,则B 的秩不大于A 的秩( )3. 设m ααα ,,21均为n 维向量,若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有02211≠+++m m k k k ααα ,则m ααα ,,21线性无关( )4. 若112211220m m m m k k k k k k αααβββ+++++++= 只有当120m k k k ==== 时才成立则该向量组1212,,,;,,,m m αααβββ 都线性无关。

（ ） 5. 若向量12,,,s ααα 线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.（ ）二.填空题1.设α１＝（1,1,0），α2＝（0,1,1），α3＝（3,4,0）则3α１＋2α２－α３. .2.设向量组123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α 线性相关。

3.已知向量组[]11234α=，[]22345α=，[]33456α=，[]44567α=，则该向量组的秩为 。

4. 向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是 ，最大线性无关组是 。

三.选择题1、关于最大无关组，下列说法正确的是（ ）（A ）秩相同的向量组一定是等价向量组； （B ）一个向量组的最大无关组是唯一的； （C ）向量组与其最大无关组是等价的；（D ）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。

2、设矩阵()ij m n A a ⨯=的秩为r ，则下列说法错误的是（ ） （A ）矩阵A 存在一个r 阶子式不等于零； （B ）矩阵A 的所有1r +阶子式全等于零； （C ）矩阵A 存在r 个列向量线性无关；（D ）矩阵A 存在m r -个行向量线性无关。

1 2 3 单元测验(满分 100 分，共 12 个题)1.设三维向量组α1 ,α2 ,α3 线性无关，γ1 = α1 +α2 -α3 ,γ 2 = 3α1 -α2 ,γ 3 = 4α1 -α3 ,γ 4 = 2α1 - 2α2 +α3，则向量组γ1 ,γ 2 ,γ3 ,γ 4 的秩为. A. 2B.4C.1D.8答案：A解 记 A = [α1 ,α2 ,α3 ]，则由 α1 ,α2 ,α3 线性无关知 r ( A ) = 3. 又因A 为 为一三阶方阵，故A 可逆. 记 B = [γ1 ,γ 2 ,γ 3 ,γ 4 ]⎡ 1 3 4 2⎤则 B = AC ，其中 C = ⎢ 1 -1 0 -2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣-1 0 -1 1 ⎥⎦根 据 A 的可逆性及矩阵秩的结论可得 r (B ) = r (C ) 对矩阵 C 作初等行变换化为梯形阵，讨论其秩得⎡ 1 3 4 2⎤ ⎡1 -1 0 -2 ⎤ ⎡1 -1 0 -2 ⎤ C = ⎢ 1 -1 0 -2⎥ → ⎢0 4 4 4⎥ → ⎢0 1 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣-1 0 -1 1⎥⎦ ⎣⎢0 -1 -1 -1⎦⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ ∴向量组的秩为2 2.设有向量组(I)：α = (1,0, 2)T 、α = (1,1,3)T 、α = (1, -1, a + 2)T和向量组(II)：β = (1, 2, a + 3)T 、β = (2,1, a + 6)T 、β = (2,1, a + 4)T123则当a 时，向量组(I)与向量组(II)等价.(A) a ≠ -1 (B) a ≠ 1(C) a = -1(D) a = 1答案：A3.设有向量组α1 = (1, -1, 2, 4)，α2 = (0, 3,1, 2)，α3 = (3, 0, 7,14)，α4 = (1, -2, 2, 0)，α5 = (2,1,, 5,10)，则该向量组的极大无关组是(A) α1,α2 ,α4 (B) α1,α2 ,α5 (C) α1,α2 ,α3 (D) α1,α2 ,α4 ,α5答案：A解 把向量组列排成矩阵，并进行初等行变换.⎡ 1 0 3 1 2 ⎤ ⎡1 0 3 1 2 ⎤ ⎡1 0 3 1 2 ⎤ ⎡1 0 3 1 2 ⎤ ⎢-1 3 0 -2 1 ⎥ ⎢0 3 3 -1 3 ⎥ ⎢0 1 1 0 1 ⎥ ⎢0 1 1 0 1 ⎥⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ ⎢ 2 1 7 2 5 ⎥ ⎢0 1 1 0 1 ⎥ ⎢0 0 0 -1 0 ⎥ ⎢0 0 0 1 0 ⎥ ⎢ 4 2 14 0 10⎥ ⎢0 2 2 -4 2⎥ ⎢0 0 0 -4 0⎥ ⎢0 0 0 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦4.设向量组α1、α2、α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是 (A) α1 + 2α2、2α2 + 3α3、3α3 + α1 (B) α1 + α2、α2 + α3、α1 + 2α2 + α3 (C) α1 + α2、α2 + α3、α3 - α1(D) α1 + α2 + α3、2α1 - 3α2 + 22α3、3α1 + 5α2 - 5α3 答案：A= , = = , = α β5.设 n 维列向量组α1,α2 , ,αm(m < n )线性无关，则n 维列向量组β1, β2 , , βm 线性无关的充分必要条件为(A) 矩阵 A = (α1,α2 ,(B) 向量组 β1, β2(C) 向量组α1,α2(D) 向量组α1,α2 , 答案：A6.从 R 2 的基α⎡1⎤ ⎢0⎥ 2⎡ 1 ⎤⎢-1⎥到基 β1⎡1⎤ ⎢1⎥ 2⎡1⎤ ⎢2⎥的过渡矩阵为⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦(A)⎡ 2 3 ⎤ (B) ⎡2 3⎤ (C)⎡ 2 3⎤ (D) ⎡2 3 ⎤⎢-1 -2⎥ ⎢1 2⎥⎢-1 2⎥ ⎢1 -2⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦答案：A,αm ) 与矩阵 B = (β1, β2 , , βm ) 等价, βm 可由向量组α1,α2 , ,αm 线性表示 ,αm 与向量组 β1, β2 , , βm 等价,αm 可由向量组 β1, β2 , , βm 线性表示 1⎥ ⎢7.已知三维线性空间的一组基底为α1 = (1,1, 0), 则向量 u = (2, 0, 0) 在上述基底下的坐标是α2 = (1, 0,1),α3 = (0,1,1)，(A) (1,1, -1)(B) (1, -1, -1) (C) (1,1,1)(D) (2, 0, 0)答案：A解 设向量u = (2, 0, 0)在基底α1 ,α2 ,α3下的坐标为x = (x 1 , x 2 , x 3 )，则(2, 0, 0) = x α+ x α + x α ⎡1 1 0⎤ = (x , x , x ) ⎢1 0 1⎥ 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ⎢ ⎥⎢⎣0 1 1⎥⎦⎡ 1 1－ 1 ⎤⎡1 1 0⎤－1 ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 2 ⎥ ⎢ 1 1 1 ⎥ 解得 (x , x , x )＝(2, 0, 0) ⎢1 0 1⎥ ＝(2, 0, 0)⎢ － ⎥＝(1,1, -1) 1 2 3⎢ 2 2 2 ⎥8.⎡1 2 ⎢⎣0 1 1⎥⎦-2⎤ ⎡a ⎤ ⎢ 1 1 1 ⎥ － ⎣⎢ 2 2 2 ⎥⎦已知矩阵 A = ⎢2 1 2 ⎥，向量α = ⎢1 ⎥，若 A α 与α 线性相关，则a = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 0 4 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦(A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) - 2答案：A9.设有任意两个 n 维向量组α1， ，αm 和 β1， ，βm ，若存在两组不全为零的数 λ1， ，λm 和k 1， ，k m ，使 (λ1 + k 1 )α1 ++ (λm + k m )αm + (λ1 - k 1 )β1 ++ (λm - k m )βm = 0，则(A) α1 +β1， ，αm + βm ，α1 - β1， ，αm - βm 线性相关 (B) α1， ，αm 和 β1， ，βm 都线性无关(C) α1 +β1， ，αm + βm ，α1 - β1， ，αm - βm 线性无关 (D) α1， 答案：A，αm 和 β1， ，βm 都线性相关10.⎡1 0 0 -2 ⎤⎢ 1 ⎥ ⎢0 0 3 ⎥矩阵A = [α1,α2 ,α3 ,α4 ]经过初等行变换得到矩阵B ，B = ⎢ 2 ⎥ ,⎢0 0 -1 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦若向量组α1,α2 ,α3 ,α4 的一个极大无关组是α1,α2 ,α3，则α4 由此极大无关组线性表示的关系式为(A) α4 = -2α1 + 6α2 - 5α3 (B) α4 = 2α1 + 6α2 - 5α3(C) α4 = -2α1 + 3α2 - 5α3(D) α4 = -2α1 + 3α2 + 5α3答案：Ai i ⎢ ⎥ 3 解 求向量组的极大无关组的一个重要方法是矩阵的行初等变换法. 即把向量组中的各向量作为矩阵的列，对上述矩阵作行的初等变换， 变成阶梯形矩阵后，每一阶梯取一列，则对应的向量所构成的向量 组即为极大线性无关组.本题中矩阵A 就是向量组α1 ,α2 ,α3 ,α4 列排后得到的矩阵，故经过 初等行变换后得到的矩阵B 即为阶梯形矩阵，所以其极大无关组可为α1 ,α2 ,α3，或α1 ,α2 ,α4 .B = [β1 , β2 , β3 , β4 ]，则由 B = PA ，其中 P 为某些初等矩阵的乘积， 且 P 是可逆的[α ,α ,α ,α ] = A = P -1B = P -1[β , β , β , β ] = [P -1β , P -1β , P -1β , P -1β ]123412341234则有 α = P -1β ，i = 1, 2,3, 4.通过观察矩阵 B 的列向量组，得：β4＝- 2β1 + 6β2 - 5β3 . 所以 α ＝P -1β = P -1 (-2β + 6β - 5β ) 4 4 123= -2P -1β + 6P -1β - 5P -1β = -2α + 6α - 5α12312311.⎡ 0 ⎤ ⎡a ⎤ ⎡b ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡3⎤已知向量组 β = ⎢ 1 ⎥、β = ⎢2⎥、β = ⎢1⎥ 与向量组α = ⎢ 2 ⎥、α = ⎢0⎥、⎡ 9 ⎤1 ⎢ ⎥ ⎢⎣-1⎥⎦2 ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦3 ⎢ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣-3⎥⎦ 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ α = ⎢ 6 ⎥ 具有相同的秩，且 β ⎢⎣-7⎥⎦ 3 可由α1、α2、α3 线性表示，则a = . 答案：1512.已知向量组(I ) :α1，α2，α3； (II ) :α1，α2，α3，α4 ; (III ) :α1，α2，α3，α5 . 如果各向量组的秩r (I ) = r (II ) = 3 r (III ) = 4，则向量组α1，α2，α3，α5 -α4 的秩是答案：4k 证明 因 r (I)＝r (II)＝3，所以 α1 ,α2 ,α3 线性无关，而 α1 ,α2 ,α3 ,α4 线性相关.由此可知 α4 必可由 α1 ,α2 ,α3 线性表示， 即存在 λ1，λ2，λ3，使 α4 = λ1α1 + λ2α2 + λ3α3 ⊗ 设有数k 1 , k 2 , k 3 , k 4，使得k 1α1 + k 2α2 + k 3α3 + k 4 (α5 -α4 ) = 0 把 ⊗ 式代入上式，化简得(k 1 - λ1k 4 )α1 + (k 2 - λ2 k 4 )α2 + (k 3 - λ3k 4 )α3 + k 4α5 = 0由 r (III) = 4 知，α1 ,α2 ,α3 ,α5 线性无关.⎧k 1 ⎪ 所以 ⎪ -λ1k 4＝0 2 -λ2 k 4＝0 ⎨ k - λ k ＝0 ⎪ 3 3 4 ⎩⎪ k 4 = 0解得 k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0，故 α1 ,α2 ,α3 ,α5 -α4 线性无关，从而其秩为4.。