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线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源和发展介绍线性代数的起源和发展历程，理解线性代数在数学和其他领域的重要性。
1.2 向量空间和线性映射定义向量空间和线性映射，理解它们的基本性质和概念。
1.3 矩阵和行列式介绍矩阵和行列式的概念，理解它们在线性代数中的重要性。
1.4 线性方程组理解线性方程组的定义和性质，学习解线性方程组的方法。
第二章矩阵和行列式2.1 矩阵的概念和运算介绍矩阵的概念和基本运算，如加法、减法、乘法和转置。
2.2 行列式的定义和性质定义行列式并学习其基本性质，如行列式的值与矩阵的行（列）向量之间的关系。
2.3 行列式的计算学习计算行列式的不同方法，如按行（列）展开、代数余子式和行列式的逆。
2.4 矩阵的逆定义矩阵的逆并学习其性质，如矩阵的逆与矩阵的行列式之间的关系。
第三章线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。
3.2 克莱姆法则理解克莱姆法则的原理，学习如何使用克莱姆法则解线性方程组。
3.3 线性方程组的解的性质学习线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和有无限多解。
3.4 线性方程组的应用了解线性方程组在实际问题中的应用，如线性规划、电路分析和物理学中的问题。
第四章向量空间和线性映射4.1 向量空间的概念和性质定义向量空间并学习其基本性质，如向量加法和标量乘法的封闭性。
4.2 子空间和线性相关性理解子空间的概念并学习如何判断向量组线性相关性。
4.3 线性映射的概念和性质定义线性映射并学习其基本性质，如线性映射的矩阵表示和图像。
4.4 特征值和特征向量定义特征值和特征向量，学习如何求解线性映射的特征值和特征向量。
第五章特征值和特征向量5.1 特征值和特征向量的概念定义特征值和特征向量，理解它们在线性代数中的重要性。
5.2 特征值和特征向量的计算学习如何计算线性映射的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式。
5.3 特征空间和不变子空间理解特征空间和不变子空间的概念，学习它们的性质和应用。
《线性代数（B）》课程教学大纲
课程中英文名称：线性代数（B）(Linear Algebra)
课程代码：
课程类别：必修课；一年级；二年级；公共基础课
学分/学时：3学分/51学时
开课学期：
适用专业：
先修/后修课程：
开课单位：
课程负责人：
1、课程性质与教学目标
线性代数是近代数学重要的理论基础,它的理论和方法在现代工程科学,社会科学研究及应用中已得到了非常广泛的应用,因而成为高等院校理工科学生的一门必修课。
通过本课程的学习，使学生掌握线性代数的基本知识和基本理论，培养学生用线性代数的方法分析问题和解决问题的能力，并为以后相关课程的学习打下数学基础。
课程教学目标1：掌握线性代数的基本知识和基本理论。
课程教学目标2：培养学生用线性代数的方法分析问题和解决问题的能力。
2、教学内容及基本要求
本课程教学内容与具体教学要求及学时分配等信息如下表所示。
3、教学方法
课堂教学以板书为主，辅助PPT。
4、考核内容及方式(课程计划的学习成果与毕业要求比较，体现对毕业要求的支撑）
（按“讲一、练二、考三”教学理念），考核方式主要由平时作业、期中考试、期末考试等环节组成，综合三部分的成绩给出该门课程的最终成绩。
各部分所占比例如下：
(1)平时、期中成绩：30%。
主要考核对每堂课知识点的复习、理解和掌握程度。
(2)期末考试成绩：70%。
主要考核线性代数基本概念、基本理论与计算方法的掌握程
度。
书面考试形式。
题型为填空选择题、计算题等。
5、教学安排及方式
课堂教学51学时（每周3学时，共17周）。
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。
《线性代数》课程授课教案课程编号：A11013课程名称：线性代数/Linear Algebra课程总学时/学分：40/2.5 （其中理论36学时，实验 4 学时，课程设计 0 周）一、课程地位线性代数课程是高等学校工科各专业的一门重要的公共基础课。
由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组，求矩阵的特征值与特征向量等已成为工程技术人员经常遇到的课题。
因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科，工科院校的学生必须掌握其基本理论知识，并能熟练地应用其方法。
线性代数是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。
通过本课程的学习，要使学生获得应用科学中常用的行列式计算方法，矩阵方法，线性方程组，二次型等理论及其基本知识，并具有熟练的行列式，矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为后续课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
二、教材及主要参考资料本课程使用教材：同济大学数学教研室主编的《线性代数》（第五版）教学参考书：1、《线性代数辅导》胡金德等编清华大学出版社出版2、《线性代数辅导》石福庆等编铁道出版社出版3、《线性代数解题方法与技巧》毛纲源编湖南大学出版社出版4、《线性代数解题分析》胡海清编湖南科技出版社出版5、《线性代数教学内容、方法与练习》吴声钟编电子工业出版社出版6、《线性代数复习指导》陈文灯等编世界图书出版公司北京公司出版7、《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，第三版，高等教育出版社8、《线性代数》，王萼芳编著，北京，清华大学出版社。
9、《线性代数及其应用》，同济大学应用数学系编，北京，高等教育出版社。
10、《线性代数及其应用》，谢国瑞编，北京，高等教育出版社。
11、《线性代数简明教程》，俞南雁编，机械工业出版社。
12、《线性代数与解析几何》，俞正光，李永乐，詹汉生编，北京，清华大学出版社。
线性代数课 程 教 案学院、部 系、所 授课教师 课程名称 线性代数 课程学时 45学时 实验学时 教材名称年 月 日线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ；再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。
2. n 阶行列式 其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
由排列知识可知，D 中这样的乘积共有!n 项。
(2) 和式中的任一项都带有符号(1)t -，t 为排列12()n p p p 的逆序数，即当12n p p p 是偶排列时，对应的项取正号；当12n p p p 是奇排列时，对应的项取负号。
综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。
线性代数教学教案
第三章 向量组及其线性组合
授课序号01
,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭
维向量写成
),,n a
个分量，其中T
,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量
0⎪⎪⎪⎭
或()0,0,
,00=.
2n a ⎪⎪
⎪
⎭
称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：
由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：12
2,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
β，k ∈
，则有
1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭
α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,
,n n n n b b
a a a
b a b a b b ⎛⎫
⎪ ⎪=++
+ ⎪ ⎪⎝⎭；
()1112122122
21212
,,
,n n n n n n n n a b a b a b a b a b
a b b b b a a b a b a b ⎛⎫
⎪⎪ ⎪
=⎪ ⎪⎪
⎪⎭
⎝⎭
. 二、向量组及其线性组合：
：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,
,n ααα，对于任意一组数,,
,n k k k ，表达式+n n k k α
,n α和一个,n k ，使得+
+n n k =βα，,
,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.
三、向量组的等价：
由向量组B 线性表示：,
,m αα是m ,
,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表
,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.
A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,
,m αα与向量组:B 2,,
,s βββ. 令矩阵),m A α，
),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程
=B
向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程
=BY A
四、主要例题：
1211222
221122n n n n m m mn n m
a x a x a x a x a x
b ++++
+=中第()121,2,
,i i i mi a a
i n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
α，
维列向量
2m b ⎪⎪⎪⎭
， n n x β+=α12122
212
n n m m mn a a a a a ⎫
⎪⎪
⎪⎪⎭
，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪
⎪
-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫
授课序号02
,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线
性无关.
m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k ++
+=0ααα
有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个
,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性
如果向量组12,,
,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则
2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.
2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭
⎝⎭
e e ，对任意一组数12120001
001n n n n k k k k k k k ⎛⎫
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=++
+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
e ，
0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.
221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα
授课序号03
,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：
r
B ，则R
A B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，
,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大
无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示
20
,,
,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭
⎝⎭
e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它
3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪
=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
