[0,π ]
微提醒 1.可通过判断平面法向量的指向,判断二面角 和法向量所成的角互补或是相等. 2.线面角和线线角的范围为 [0,] ,故余弦值非负.
2
微课堂·微思考 【思考1】如何求两条异面直线所成角? 提示:设a,b分别为异面直线l1,l2的方向向量,θ 为异 面直线所成的角,则异面直线所成角公式cos θ = |cos<a,b>|= | a b | .
| a || b |
【思考2】直线与平面所成角的范围是多少?
提示:直线和平面所成角的范围是 [0,];若直线和平面
2
斜交,所成的角为锐角.
【思考3】直线与平面所成的角θ 和直线方向向量a与
平面法向量b的夹角有什么关系?
提示:直线方向向量与平面法向量所夹的锐角α 和直线 与平面所成的角θ 互余,即θ = -α .因此sin θ =cosα
α 所成的二面角的大小为45°. (1)求异面直线AB与CD所成角的大小. (2)设直线BD交平面AFC于点O,求比值BO .
OD
【解析】(1)如图,以点F为原点,FB,FE,FA分别为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系.
因为AF⊥平面FBCE,BC⊥BF,所以BC⊥AB,所以∠ABF就 是平面ABC与平面α所成的二面角的平面角,所以 ∠ABF=45°,从而AF=BF. 令DE=a,则AF=EF=BF=2a,BC=4a, A(0,0,2a),B(2a,0,0),C(2a,4a,0),D(0,2a,a),
所以 AB =(2a,0,-2a), CD=(-2a,-2a,a),cos< AB,CD >
= 4a2 2a2
2 2a 3a
2 2
,所以<
AB,