十年高考理科数学真题 专题十六 不等式选 四十二不等式选及答案

2014年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞2已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.【答案】23(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=则x y z ++=_______.二、解答题 1选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】2选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】3不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为34 D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a∴0222233≥---b a ab b a∴b a ab b a 223322-≥-5 选修4—5:不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43].6 在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.【答案】解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.。

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.设函数，，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由所给的不等式可得当时，由，或当时，由，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由，求得N，可得．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证．（1）当时，由得，故；当时，由得，故；所以的解集为.（2）由得解得，因此，故.当时，，于是.【考点】1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．2.设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分所以． 6分（2）由（1）得，．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分【考点】绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1）， 2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.5.在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.6.已知函数f(x)=|2x－1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=－2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>－1,且当x∈[－,)时, f(x)≤g(x),求a的取值范围.【答案】(1){x|0<x<2}(2)(－1,]【解析】(1)当a=－2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|+|2x－2|－x－3<0.设函数y=|2x－1|+|2x－2|－x－3,则y=,其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈[－,)时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a－2对x∈[－,)都成立.故－≥a－2,即a≤.从而a的取值范围是(－1,]7.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。

专题16 选修4-5不等式选讲【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】（1）.（2）.【分析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为.（2）依题意()f x a >-，即恒成立， ，当且仅当时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-， 所以或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是.2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【分析】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像， 是()y f x =平移了个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移个单位，112a ∴≥.3．（2021年全国新高考∴卷数学试题）已知函数. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】（1）函数的定义域为， 又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<， 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为. （2）因为ln ln b a a b a b -=-，故，即，故，设，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，，(),x e ∈+∞时，， 故21x e <<. 先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证，即证：，其中212x <<. 设，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->， 所以()0g x '>，故()g x 在为增函数，所以()()10g x g >=， 故，即成立，所以122x x +>成立， 综上，122x x +>成立. 设21x tx =，则1t >， 结合，可得：， 即：，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：，令， 则，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+. 设，则()1111x u x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在上为增函数，在上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在上为减函数，故()()10S t S <=， 故成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b<+<.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∴））已知函数． （1）画出的图像；（2）求不等式的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）. 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式的解集为．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∴））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）或112x ⎫≥⎬⎭；（2）. 【分析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为或112x ⎫≥⎬⎭. （2）（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）， ，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为.3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∴））设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【分析】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∴））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭当且仅当a b c ==时取等号，即：222111a b c a b c++++≥（2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∴））已知（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）；（2）【分析】（1）当1a =时，原不等式可化为；当1x <时，原不等式可化为，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为；当12x ≤<时，原不等式可化为，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a -≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∴））设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=. （1）求的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 【答案】(1)43；(2)见详解. 【分析】(1) 故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得时等号成立 所以的最小值为43. (2)因为2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即时有成立. 所以2(2)1a +≥成立，所以有3a ≤-或1a ≥-.7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知()11f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为．（2）当()0,1x ∈时成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为．8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)；(2) . 【详解】：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于．而，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是． 9．（2018年全国卷∴理数高考试题） 设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．【答案】（1）见解析 （2）5 【详解】：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可． （2）结合（1）问可得a ，b 范围，进而得到a+b 的最小值 详解：（1） ()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在成立，因此a b +的最小值为5．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数2()4f x x ax =-++，． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）． 【详解】：（1）当1a =时，不等式等价于21140x x x x -+++--≤.∴当1x <-时，∴式化为2340x x --≤，无解； 当时，∴式化为220x x --≤，从而；当1x >时，∴式化为240x x +-≤，从而112x -<≤.所以的解集为{|1x x -≤≤.（2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以的解集包含，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得. 所以a 的取值范围为.11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)； (2)2a b +≤.【答案】(1) 见解析(2) 见解析【分析】证明：（1）由柯西不等式得：553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝，当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时取等号； （2）∴a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2， ∴ab ，由均值不等式可得：ab ≤ ∴（a +b ）3﹣2()334a b +≤，∴14（a +b ）3≤2， ∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】：（1）∴f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∴R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）22231311232x x xx x xx x x⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，，当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x12=-＞1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x32=∴（﹣1，2），∴g（x）≤g（32）9942=-+-154=；当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x12=＜2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g（x）max54 =，∴m的取值范围为（﹣∞，54 ]．13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2016高考新课标∴，理24）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|−|2x−3|.（∴）画出y=f(x)的图象；（∴）求不等式|f(x)|>1的解集．【答案】（1）见解析（2）{x|x<13或1<x<3或x>5}【解析】：（∴）的图像如图所示.（∴）由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或，故的解集为；的解集为， 所以的解集为.14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （∴）求M ；（∴）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+. 【答案】（∴）{|11}M x x =-<<；（∴）详见解析. 【详解】（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（∴）由（∴）知，当时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知函数. （1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）．【详解】：（1）当2a =时()|22|2f x x =-+|22|26x -+≤；（2）由|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+()()3f x g x +≥等价于 |1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ∴ 当1a ≤时，∴等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，∴等价于，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是.16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标）） 已知函数.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（∴）2{|2}3x x <<（∴）（2，+∞） 【解析】试题分析：（I ）当1a =时，()1f x >化为，当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为．（II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，ABC ∆的面积为()2213a +． 由题设得()22163a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标∴））选修4-5不等式选讲 设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明： （∴）若ab cd >，则；（∴）是a b c d -<-的充要条件． 【答案】（∴）详见解析；（∴）详见解析． 【解析】（∴）因为2a b =++2c d =++a b c d +=+，ab cd >，得．因此．（∴）（∴）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（∴）得．（∴）若，则，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-．因此a b c d -<-，综上，是a b c d -<-的充要条件．18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标∴））若且（I ）求的最小值；（II ）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）最小值为（2）不存在a ，b ，使得236a b +=.【解析】：（111a b =+≥，得，且当a b ==则可得：33a b +≥≥且当a b ==.所以33a b +的最小值为2）由（1）知，23a b +≥≥6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.试题解析：（111a b =+≥，得，且当a b ==.故33a b +≥≥a b ==.所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥由于6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国∴卷））设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）． 【详解】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围. 试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.（2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔，解得：.20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g （x ）＝x ＋3． （1）当a ＝－2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （2）设a ＞－1，且当x∴时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．【答案】解：（1）当a ＝－2时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0． 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,21{2,1,236, 1.x x x x x x -<--≤≤-> 其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∴（0,2）时，y ＜0． 所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}．（2）当x∴时，f （x ）＝1＋a ．不等式f （x ）≤g （x ）化为1＋a≤x ＋3．所以x≥a －2对x∴都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤．从而a 的取值范围是． 【解析】试题分析（1）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．（2）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a ﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a 的取值范围．21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（∴）ab+bc+ac ≤13； （∴）2221a b c b c a++≥.【答案】（∴）证明见解析；（II ）证明见解析. 【详解】（∴）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=， 所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （∴）因为22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，所以， 即，所以2221a b c b c a++≥.22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知函数()f x =2x a x ++-. (∴)当3a=-时，求不等式()f x ≥3的解集；(∴) 若()f x ≤4x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. （命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题. 【答案】1．{x |x ≤1或x ≥4} 2．[－3,0] 【详解】 (∴)当3a=-时，()f x =，当x ≤2时，由()f x ≥3得253x -+≥，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，()f x ≥3，无解；当x ≥3时，由()f x ≥3得25x -≥3，解得x ≥4， ∴()f x ≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}； (∴)()f x ≤4x -⇔，当x ∴[1,2]时，=42x x -+-=2， ∴，有条件得且22a -≥，即30a -≤≤， 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]。

各省历年高考数学试题及答案汇编十二不等式选讲安徽省（试题）1、19．（12分）（2011安徽）（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．福建省（试题）1、21．（14分）（2009福建）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．2、21．（14分）（2010福建）已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

3、21．（14分）（2011福建）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（3）（本小题满分7分）选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．4、23．（2012福建）已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．5、23．（2013福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．6、23．（2014福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．7、23．（7分）（2015福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．广东省（试题）1、14．（5分）（2009广东）（不等式选讲选做题）不等式112xx+≥+的实数解为．2、9．（5分）（2011广东）不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是3、9．（5分）（2012广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为．4、9．（5分）（2014广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．海南省（试题）1、24．（2010新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f （x ）的图象：（Ⅱ）若不等式f （x ）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围． 2、24．（2008海南）自选题：已知函数f （x ）=|x ﹣8|﹣|x ﹣4|． （Ⅰ）作出函数y=f （x ）的图象； （Ⅱ）解不等式|x ﹣8|﹣|x ﹣4|＞2．湖北省（试题）1、6．（5分）（2012湖北）设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，则=（ ）．B ．C ．D ．2、13．（5分）（2013湖北）设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z= ．湖南省（试题） 1、10．（5分）（2012湖南）不等式|2x+1|﹣2|x ﹣1|＞0的解集为 ．2、13．（2014湖南）若关于x 的不等式|ax ﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x ＜}，则a= ．3、18．（2015湖南）设a ＞0，b ＞0，且a+b=+．证明： （ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a 2+a ＜2与b 2+b ＜2不可能同时成立．江苏省（试题） 1、24．（2008江苏）设a ，b ，c 为正实数，求证：．2、21．（10分）（2010江苏）设a 、b 是非负实数，求证：．3、21.（本小题满分10分）（2011江苏） 解不等式：|21|3x x +-<4、21．（10分）（2012江苏）已知实数x ，y 满足：|x+y|＜，|2x ﹣y|＜，求证：|y|＜．5、24．（2013江苏）已知a≥b＞0，求证：2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2b ．6、24．（2014江苏）已知x ＞0，y ＞0，证明（1+x+y 2）（1+x 2+y ）≥9xy． 7、24．（2015江苏）解不等式x+|2x+3|≥2． 8、24．（2016江苏）设a ＞0，|x ﹣1|＜，|y ﹣2|＜，求证：|2x+y ﹣4|＜a ．9、24．（10分）（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，证明ac+bd ≤8．江西省（试题）1、5．（5分）（2010江西）不等式|x ﹣2|＞x ﹣2的解集是（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，+∞） C ．（2，+∞） D ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）2、15．（5分）（2011江西）对于x ∈R ，不等式|x+10|﹣|x ﹣2|≥8的解集为 ．3、16．（2013江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x ﹣2|﹣1|≤1的解集为 ． 4、15．（5分）（2014江西）x ，y ∈R ，若|x|+|y|+|x ﹣1|+|y ﹣1|≤2，则x+y 的取值范围为 ． 5、3．（5分）（2010江西）不等式||＞的解集是（ ）A ．（0，2）B ．（﹣∞，0）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（0，+∞） 6、15．（5分）（2011江西）（2）（不等式选做题）对于实数x ，y ，若|x ﹣1|≤1，|y ﹣2|≤1，则|x ﹣2y+1|的最大值为 ． 7、15．（5分）（2012江西）（1）（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x ﹣1|+|2x+1|≤6的解集为 ． 8、16．（2013江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x ﹣2|﹣1|≤1的解集为 ．1、26．（2009辽宁）设函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|， （1）若a=﹣1，解不等式f （x ）≥3；（2）如果x ∈R ，f （x ）≥2，求a 的取值范围．2、24．（10分）（2010辽宁）已知a ，b ，c 均为正数，证明：≥6，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．3、24．（10分）（2011辽宁）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|2x -||-5x -|． （I ）证明： 3()3f x -剟；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．4、24．（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知f （x ）=|ax+1|（a ∈R ），不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若恒成立，求k 的取值范围．5、24．（2013辽宁）已知函数f （x ）=|x ﹣a|，其中a ＞1（1）当a=2时，求不等式f （x ）≥4﹣|x ﹣4|的解集；（2）已知关于x 的不等式|f （2x+a ）﹣2f （x ）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a 的值．6、24．（2014辽宁）设函数f （x ）=2|x ﹣1|+x ﹣1，g （x ）=16x 2﹣8x+1．记f （x ）≤1的解集为M ，g （x ）≤4的解集为N ． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x ∈M∩N 时，证明：x 2f （x ）+x[f （x ）]2≤．山东省（试题）1、16．（4分）（2008山东）若不等式|3x ﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 ．2、13．（4分）（2009山东）不等式|x+3|﹣|x ﹣2|≥3的解集为 ．3、4．（3分）（2011山东）不等式|x ﹣5|+|x+3|≥10的解集是（ ） A ．[﹣5，7] B ．[﹣4，6] C ．（﹣∞，﹣5]∪[7，+∞） D ．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）4、13．（4分）（2012山东）若不等式|kx ﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k= ．1、15．（5分）（2011陕西）若不等式|x+1|+|x ﹣2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ．2、15．（5分）（2012陕西）若存在实数x 使|x ﹣a|+|x ﹣1|≤3成立，则实数a 的取值范围是 ．3、15. （5分）（2013陕西）设a,b ∈R , 2a b ->,则关于实数x 的不等式2x a x b -+->的解集是 .4、15．（5分）（2014陕西）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2+b 2=5，ma+nb=5，则的最小值为 ． 5、15．（5分）（2010陕西）不等式|x+3|﹣|x ﹣2|≥3的解集为 ． 6、15．（5分）（2011陕西）若不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 7、15．（5分）（2013陕西）已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．8、15．（5分）（2014陕西）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2+b 2=5，ma+nb=5，则的最小值为 ． 9、24．（10分）（2015陕西）已知关于x 的不等式|x+a|＜b 的解集为{x|2＜x ＜4} （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）求+的最大值． 10、24．（10分）（2015陕西）已知关于x 的不等式|x+a|＜b 的解集为{x|2＜x ＜4} （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）求+的最大值．上海市（试题）1、11．（4分）（2008上海）已知a1，a2，…，a n；b1，b2，…，b n（n是正整数），令L1=b1+b2+…+b n，L2=b2+b3+…+b n，…，L n=b n、某人用右图分析得到恒等式：a1b1+a2b2+…+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+…+c k L k+…+…+c n L n，则c k= ．（2≤k≤n）．重庆市（试题）1、5．（5分）（2009重庆）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2、16．（5分）（2013重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．3、16．（2015重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a= ．安徽省（答案）1、证明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；则x+y+≤++xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；用作差法，右式﹣左式=（x+y+（xy）2）﹣（xy（x+y）+1）=（（xy）2﹣1）﹣（xy（x+y）﹣（x+y））=（xy+1）（xy﹣1）﹣（x+y）（xy﹣1）=（xy﹣1）（xy﹣x﹣y+1）=（xy﹣1）（x﹣1）（y﹣1）；又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式﹣左式≥0，从而不等式得到证明．（Ⅱ）设log a b=x，log b c=y，由换底公式可得：log b a=，log c b=，log c a=，log a c=xy，于是要证明的不等式可转化为x+y+≤++xy；其中log a b=x≥1，log b c=y≥1，由（Ⅰ）的结论可得，要证明的不等式成立．福建省（答案）1、当x≥时，原不等式变为：2x﹣1＜x+1，解得x＜2，所以原不等式的解集为[，2）；当0≤x＜时，原不等式变为：1﹣2x＜x+1，解得x＞0，所以原不等式的解集为（0，）；当x＜0时，原不等式变为：1﹣2x＜﹣x+1，解得x＞0，所以原不等式无解．综上，原不等式的解集为[0，2）．2、解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3，又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以，解得a=2．（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，设g（x）=f（x）+f（x+5），于是g（x）=|x﹣2|+|x+3|=，所以，当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．实数m的取值范围是m≤5．3、（3）（Ⅰ）解：∵|2x﹣1|＜1∴﹣1＜2x﹣1＜1即0＜x＜1即M为{x|0＜x＜1}（Ⅱ）∵a，b∈M∴a﹣1＜0．b﹣1＜0∴（b﹣1）（a﹣1）＞0∴（ab+1）﹣（a+b）=a（b﹣1）+（1﹣b）=（b﹣1）（a﹣1）＞0即（ab+1）＞（a+b）4、解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（Ⅱ）由a，b，c∈R，且=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=1++++1++++1=3++++++≥3+6=9，当且仅当======1时，等号成立．所以a+2b+3c≥95、解：（Ⅰ）因为，所以且，解得，因为a∈N*，所以a的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≤0，即﹣1≤x≤2时取等号，所以函数f（x）的最小值为3．6、（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3．7、解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．广东省（答案）1、解：112xx+≥+232)2()1(22122-≤⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔xxxxxxx且2-≠x.2、解：不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0等价于①，或②，或③．解①得无解，解②得{ x|3＞x≥1}，解③得{x|x≥3}．综上，不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是 {x|3＞x≥1，或x≥3}，即{x|x≥1}．故答案为{x|x≥1}或[1，+∞）．3、解：∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为4、解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③．解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2．综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．海南省（答案）1、解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或x≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．2、解：（Ⅰ）f（x）=图象如下：（Ⅱ）不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|＞2，即f（x）＞2，观察知当4＜x＜8时，存在函数值为2的点．由﹣2x+12=2得x=5．由函数f（x）图象可知，原不等式的解集为（﹣∞，5）．湖北省（答案）1、解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．2、解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：湖南省（答案）1、解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．2、解：显然，a=0不满足条件．当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣＜x＜，再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，a无解．当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得＜x＜﹣，再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，解得a=﹣3，故答案为：﹣3．3、证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．江苏省（答案）1、证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得，即，所以，，而，所以，2、证明：==因为实数a、b≥0，所以上式≥0．即有．（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得==当a≥b时，，从而，得；当a＜b时，，从而，得；所以．3、答案:4 (2,)3 -解:原不等式等价于：43213,23x x x x-<-<-∴-<<，解集为4(2,)3-.4、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜，|2x﹣y|＜，∴3|y|＜，∴5、证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．6、证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．7、解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}8、证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．9、证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．江西省（答案）1、解：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，满足不等式，故x=1在解集内，排除答案C、D．把x=3代入不等式检验，不满足不等式，故 x=3 不在解集内，排除答案B，故答案选A．方法二：∵不等式|x﹣2|＞x﹣2，∴x﹣2＜0，即 x＜2∴解集为（﹣∞，2），故选答案 A2、解：不等式|x+10|﹣|x﹣2|≥8化为：或或，解得 x＞2或0≤x≤2或 x∈∅，即x≥0故不等式的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．3、解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．所以不等式的解集为[0，4]．故答案为：[0，4]．4、解：根据绝对值的意义可得|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤x≤1，0≤y≤1，∴0≤x+y≤2，故答案为：[0，2]．5、解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．6、（2）|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，即0≤x≤2，1≤y≤3，则|x﹣2y+1|=|x﹣1﹣2y+4﹣2|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2≤1+2×1+2=5，∴|x﹣2y+1|的最大值为5，故答案为：5．7、（2）不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6化为不等式|x﹣|+|x+|≤3，如图所示数轴上点，到点的距离之和为3，所以解集为{}故答案为：{}8、解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．所以不等式的解集为[0，4]．故答案为：[0，4]．9、解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，]，y∈[0，1]成立．故选：C．辽宁省（答案）1、解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3据绝对值几何意义求解，|x﹣1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，﹣1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数﹣左侧的点与数右侧的点与数﹣1与1的距离之和不小3，所以所求不等式解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）2、证明：证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c ，（ab ）2=（bc ）2=（ac ）2=3时，③式等号成立． 即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．3、解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ （II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+≤≤的解集为 4、解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． ∴当a≤0时，不合题意； 当a ＞0时，，∴a=2； （Ⅱ）记，∴h （x ）=∴|h （x ）|≤1 ∵恒成立，∴k≥1．5、解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a=3．6、解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．山东省（答案）1、解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．故答案为5＜b＜7．2、解：当x＜﹣3时，因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3去绝对值号得：﹣（x+3）+（x﹣2）≥3可推出﹣5≥3，这显然不可能，当﹣3≤x≤2时，因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3去绝对值号得：（x+3）+（x﹣2）≥3可推出，x≥1，故当1≤x≤2不等式成立．当x＞2时，因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3去绝对值号得：（x+3）﹣（x﹣2）≥3可推出5≥3，这显然恒成立．故综上所述，不等式的解集为x|x≥1，故答案为{x|x≥1}．3、解：法一：当x=0时，|x﹣5|+|x+3|=8≥10不成立可排除A，B当x=﹣4时，|x﹣5|+|x+3|=10≥10成立可排除C故选D法二：当x＜﹣3时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：﹣（x﹣5）﹣（x+3）≥10解得：x≤﹣4当﹣3≤x≤5时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：﹣（x﹣5）+（x+3）=8≥10恒不成立当x＞5时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：（x﹣5）+（x+3）≥10解得：x≥6故不等式|x﹣5|+|x+3|≥10解集为：（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）故选D4、解：∵|kx﹣4|≤2，∴（kx﹣4）2≤4，即k2x2﹣8kx+12≤0，∵不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，∴1和3是方程k2x2﹣8kx+12=0的两根，∴1+3=，∴k=2．故答案为2．5、解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A．陕西省（答案）1、解：已知不等式|x+1|+|x ﹣2|≥a 恒成立，即需要a 小于等于|x+1|+|x ﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x ﹣2|． 设﹣1、2、x 在数轴上所对应的点分别是A 、B 、P ． 则函数y=|x+1|+|x ﹣2|的含义是P 到A 的距离与P 到B 的距离的和．可以分析到当P 在A 和B 的中间的时候，距离和为线段AB 的长度，此时最小． 即：y=|x+1|+|x ﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x ﹣2|的最小值为3． 即：k≤3． 故答案为：（﹣∞，3]．2、解：∵存在实数x 使|x ﹣a|+|x ﹣1|≤3成立，而|x ﹣a|+|x ﹣1|表示数轴上的x 到a 的距离加上它到1的距离，又最大值等于3，由图可得：当表示a 的点位于AB 之间时满足|x ﹣a|+|x ﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4，故答案为：﹣2≤a≤4． 3、答案:(),-∞+∞ 解:,,a b ∈R 则2a b ->,其几何意义是数轴上表示数a,b 的两点距离大于2，x a -+x b -的几何意义为数轴上任意一点到a,b 两点的距离之和，当x 处于a,b 之间时x a x b -+-取最小值.距离恰巧为a,b 两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R .4、解：由柯西不等式得，（ma+nb ）2≤（m 2+n 2）（a 2+b 2） ∵a 2+b 2=5，ma+nb=5，∴（m 2+n 2）≥5 ∴的最小值为故答案为：5、解：A 、法一：分段讨论x ＜﹣3时，原不等式等价于﹣5≥3， ∴x ∈φ﹣3≤x＜2时，原不等式等价于2x+1≥3，x≥1 ∴1≤x＜2x≥2时，原不等式等价于5≥3， ∴x≥2综上，原不等式解集为{x|x≥1}法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究 法三：借助函数y=|x+3|﹣|x ﹣2|的图象研究 6、解：A ．先作出函数y=|x+1|+|x ﹣2|的图象可知函数的最小值为3，故当a∈[3，+∞）上不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，故答案为：[3，+∞）7、(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)…2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2当且仅当m＝n 所求最小值为2.8、解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：9、解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为410、解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4上海市式（答案）1、解：因为已知恒等式a1b1+a2b2+…+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+…+c k L k+…+…+c n L n且L1=b1+b2+…+b n，L2=b2+b3+…+b n，…，L n=b n、又由图中的面积S=a1b1+a2b2+…+a n b n=a1（b1+b2+b3+…+b n）+（a2﹣a1）（b2+b3+…+b n）+…+（a n﹣1﹣a n﹣2）（b n﹣1+b n）+（a n﹣a n﹣1）b n =a1L1+（a2﹣a1）L2+…+（a n﹣1﹣a n﹣2）L n﹣1+（a n﹣a n﹣1）L n所以c k=a k﹣a k﹣1重庆市（答案）1、解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．2、解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．3、解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．21。

不等式选讲年份题号考点考查内容2011文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2012文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2013卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲多元不等式的证明2014卷1文理24不等式选讲基本不等式的应用卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2015卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲不等式的证明2016卷1文理24不等式选讲分段函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明卷3文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2017卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲不等式的证明卷3文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题2018卷1文理23不等式选绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法讲卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法2019卷1文理23不等式选讲三元条件不等式的证明卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明2020卷1文理23不等式选讲绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件不等式的证明考点出现频率2021年预测考点120绝对值不等式的求解23次考4次2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点121含绝对值不等式的恒成立问题23次考12次考点122不等式的证明23次考7次考点120绝对值不等式的求解1．(2020全国Ⅰ文理22)已知函数()3121f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()()1f x f x >+的解集．【解析】(1)∵()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图像，如图所示：(2)将函数()f x 的图像向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图像，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-，∴不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．2．(2020江苏23)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩，21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤，∴解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．3．(2016全国I 文理)已知函数()|1||23|f x x x =+--．(I)在图中画出()y f x =的图像；(II)求不等式|()|1f x >的解集．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤；当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<；当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >．综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．4．(2014全国II 文理)设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【解析】(I)由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2．(Ⅱ)1(3)33f a a=++-．当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a ＜5212；当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12＜a ≤3．综上：a 的取值范围是(152+，5212+)．5．(2011新课标文理)设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥，由此可得3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x ax a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aax ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，∴不等式组的解集为{}|2a x x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．考点121含绝对值不等式的恒成立问题6．(2020全国Ⅱ文理22)已知函数()221f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．【思路导引】(1)分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；(2)利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果．【解析】(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．7．(2019全国II 文理23)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1)当1a =时，求不等式()0f x <的解集；(2)若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【解析】(1)当a=1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥，∴不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．(2)因为()=0f a ，∴1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----∴a 的取值范围是[1,)+∞．8．(2018全国Ⅰ文理)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x 故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，∴21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．9．(2018全国Ⅱ文理)设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，∴a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．10．(2018全国Ⅲ文理)设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．11．(2018江苏)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，∴2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，∴222x y z ++的最小值为4．12．(2017全国Ⅰ文理)已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤，∴()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤．(2)当[1,1]x ∈-时，()2g x =，∴()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，∴(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤，∴a 的取值范围为[1,1]-．13．(2017全国Ⅲ文理)已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】(1)3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤；当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．∴()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．(2)由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤，且当32x =时，2512=4x x x x +---+，故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．14．(2016全国III 文理)已知函数()|2|f x x a a =-+(Ⅰ)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+ ，得13x - ，因此()6f x ≤的解集为{|13}x x - ．(Ⅱ)当x R ∈时，()()|2||12|f xg x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+ |1|a a =-+，当12x =时等号成立，∴当x R ∈时，()()3f x g x + 等价于|1|3a a -+ ．①当1a 时，①等价于13a a -+ ，无解．当1a >时，①等价于13a a -+ ，解得2a ．∴a 的取值范围是[2,)+∞．15．(2015全国I 文理)已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．∴()1f x >的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，∴函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．∴a 的取值范围为(2,)+∞．16．(2014全国I 文理)若0,0ab >>，且11a b +=．(Ⅰ)求33a b +的最小值；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】(I)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33ab+≥≥，且当a b ==∴33a b +的最小值为(II)由(I)知，23a b +≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．16．(2013全国I 文理)已知函数()f x =|21||2|x x a -++，()g x =3x +．(Ⅰ)当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；(Ⅱ)设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．(Ⅱ)当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．(2012新课标文理)已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．(Ⅰ)当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；(Ⅱ)若()|4|f x x - 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+- 2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩ 或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 1x ⇔ 或4x ．(2)原命题()4f x x ⇔- 在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-- 在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--- 在[1,2]上恒成立30a ⇔- ．考点122不等式的证明18．(2020全国Ⅲ文理23)设,,,0,1a b c a b c abc ∈++==R ．(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)用{}max ,,a b c 表示,,a b c 的最大值，证明：{}3max ,,4a b c ≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．【思路导引】(1)根据题设条件,0=++c b a 两边平方，再利用均值不等式证明即可；(2)思路一：不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bc bc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明．思路二：假设出c b a ,,中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．【解析】(1)证明：().0,02=++∴=++c b a c b a ,0222222=+++++∴ca ac ab c b a 即()222222c b a ca bc ab ++-=++.0,0222<++∴<++∴ca bc ab ca bc ab (2)证法一：不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=，当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．证法二：不妨设403<<<≤c b a ，则,4,41133>=-->=c b a c ab而1132a b ->--≥>==矛盾，∴命题得证．19．(2019全国I 文理23)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc=1．证明：(1)222111a b c a b c++≤++；(2)333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++，∴222111a b c a b c++≤++．(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24．∴333()()()24a b b c c a +++++≥．20．(2019全国III 文理23)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x=53，y=–13，13z =-时等号成立．∴222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立，因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a + ，解得3a - 或1a - ．21．(2017全国Ⅱ文理)已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【解析】(1)556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++()22244ab a b =+-≥．(2)∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+，∴3()8a b +≤，因此2a b +≤．22．(2017江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+=∴2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．23．(2016全国II 文理)已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．(I)求M ；(II)证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】(I)当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．(Ⅱ)当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．24．(2015全国II 文理)设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab >cd ，则a b c d +>+；(Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件．【解析】(Ⅰ)∵2()2a b a b ab +=++，2()c d c d cd +=++由题设a b c d +=+，ab cd >得22()a b c d >+a b c d +>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，∴ab cd >，由(Ⅰ)得a b c d >(ⅱ)a b c d +>则22(a b c d >+，即a b ab c d cd ++>++因为a b c d +=+，∴ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-．a b c d +>||||a b c d -<-的充要条件．25．(2013全国II 文理)设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：(Ⅰ)13ab bc ca ++≤；(Ⅱ)2221a b c b c a++≥．【解析】(Ⅰ)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=，∴()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤．(Ⅱ)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥，∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222a b c a b c b c a ++≥++，∴2221a b c b c a ++≥．。

不等式高考试题及答案一、选择题1. 若不等式3x+2>7成立，则x的取值范围是：A. x < -1B. x > -1C. x < 1D. x > 1答案：D2. 已知不等式2(x-1) > 3(x+2)，则x的取值范围是：A. x < -7/5B. x > -7/5C. x < -1D. x > -1答案：C3. 若x<y，则对x+y，下列不等式成立的是：A. x + y < 2xB. x + y < 2yC. x + y > 2xD. x + y > 2y答案：C4. 若不等式5x+3y > 6成立，下列不等式中一定成立的是：A. 10x + 6y > 12B. 5x + 6y > 12C. 5x + 3y > 6D. 10x + 3y > 6答案：D5. 下列不等式组中，解集与其他三个不同的是：A. {x | -2 < x < 3}B. {x | 0 < x < 5}C. {x | 1 < x < 4}D. {x | -3 < x < 2}答案：B二、填空题1. 若不等式2x - 1 > 5成立，则x的取值范围为________。

答案：x > 32. 若不等式-3(x - 1) < 2(x + 3)成立，则x的取值范围为________。

答案：x < 13/53. 已知不等式2x - 3 < 5x + 4，则x的取值范围为________。

答案：x > -7/34. 若不等式x + 5 > 2x - 3成立，则x的取值范围为________。

答案：x < 85. 若不等式3x - 2 > 5成立，则x的取值范围为________。

答案：x > 7/3三、解答题1. 解不等式组{x | 2x + 3 > 5, x - 1 < 4}，并将解表示在数轴上。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科）不等式选讲（精解精析版）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞ ．（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．解析：（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x 的解集；(2)若()4f x ，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ ．解析：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．解析：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为，即()210x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a-<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因为1a x <≤时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤；(2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c=324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】（1）()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x的图象如下图（2）依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．（2）()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ．10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24f x x ax =-++,()11g x x x =++-．(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科【答案】(1)112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭;(2)[]1,1-．【分析】(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =．若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥,则()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()12f -≥且()12f ≥,得11a -≤≤,所以a的取值范围为[]1,1-．【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--<①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤所以不等式()()f x g x ≥的解集为11712x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭(2)当[]1,1x ∈-时,()2g x =所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩,得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[]1,1-．【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题．12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()12f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ){}1x x ≥;(Ⅱ)5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩所以不等式()1f x ≥等价于131x <-⎧⎨-≥⎩或12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩或231x >⎧⎨≥⎩由131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 无解；由1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤；由231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥综上可得不等式()1f x ≥的解集为[)1,+∞．（2）解法一：先求不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时m 的取值范围不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集等价于不等式()2m f x x x >-+恒成立记()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩，则()maxm F x >⎡⎤⎣⎦当1x <-时，()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭当12x -≤≤时，()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x >时，()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭所以()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时，54m >所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空时，m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．解法二：原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m-+≥设2()()g x f x x x=-+由（1）知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-，其开口向下，对称轴112x =>-所以()()11135g x g ≤-=---=-当12x -<<时，()231g x x x =-+-，其开口向下，对称轴为32x =所以()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-=⎪⎝⎭当2x ≥时，()23g x x x =-++，其开口向下，对称轴为12x =所以()()24231g x g ≤=-++=综上()max 54g x =⎡⎤⎣⎦所以m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】绝对值不等式的解法【点评】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知330,0,2a b a b >>+=，证明：(1)33()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a bab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b +-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b++-≥，即55()()4a b ab ++≥．（2）解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2233()()()4()4a b a b a b a b ⎡⎤+≥+⋅+-⎢⎥⎣⎦+=所以2a b +≤．解法二：（反证法）假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤．解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a baa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-．又0,0a b >>，所以:()()230a b a b -+-≤。

专题16 选修4-5不等式选讲【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知()11f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.9．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤.12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2016高考新课标Ⅰ，理24）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )=|x +1|−|2x −3|.（Ⅰ）画出y =f (x )的图象；（Ⅰ）求不等式|f (x )|>1的解集．14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））选修4-5：不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ； （Ⅰ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标））已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））选修4-5不等式选讲设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >；（Ⅰ>是a b c d -<-的充要条件．18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若且 （I ）求的最小值； （II ）是否存在，使得？并说明理由.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g （x ）＝x ＋3．（1）当a ＝－2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（2）设a ＞－1，且当xⅠ1,22a ⎛⎫-⎪⎝⎭时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅰ）2221a b c b c a++≥.22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知函数()f x =2x a x ++-. (Ⅰ)当3a =-时，求不等式()f x ≥3的解集；(Ⅰ) 若()f x ≤4x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.（命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.。

历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1) 该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？规范解答 (1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) (1) 由题知d ＝AB ，则tan α＝H d.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝()h hH H d d-+，当且仅当d ＝555时取等号． 又0<α－β<π2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大．因为0<β<α<π2，所以当d ＝555时，α－β的值最大．3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．规范解答 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0， 解得a ≤6，所以0<a ≤6.所以当a 不超过6km 时，炮弹可击中目标．一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。

高考数学不等式练习题及答案解析：一、选择题1.已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x) f (x 4) ，且当 x 2 时， f (x) 单调递增，如果 x1 x2 4 且 (x1 2)(x2 2) 0 ，则 f (x1) f (x2 ) 的值 （）A、恒大于 0 B、恒小于 0 C、可能为 0 D、可正可负2.已知函数 f (x) x x3 , x1 、 x2 、 x3 R ,且 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 ，则 f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) 的值（）A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有 3.设 M x, y y x2 2bx 1 ， P x, y y 2ax b， S a,bM P ，则 S 的面积是 （ ）A. 1B. C. 4D. 44.设f (x) 是 (x2 1 )6 2x 展开式的中间项，若 f (x) mx 在区间 2, 2数 m 的取值范围是（） 2 上恒成立，则实A． 0, B． 5 4, C． 5 4,5D． 5, 5.若不等式x2logmx0在 0,1 2 内恒成立,则实数m的取值范围是1 m1 A. 160m 1B.160m 1C.4m 1 D. 16()6.已知实数 x，y 满足 3x2+2y2=6x，则 x2+y2 的最大值是( )9 A、 2B、4C、5D、27.若 0 < a，b，c < 1，并且 a + b + c = 2，则 a 2 + b 2 + c 2 的取值范围是（ ）4 （A）[ 3 ，+ ∞ )4 （B）[ 3 ，2 ]4 （C）[ 3 ，2 )4 （D）( 3 ，2 )8.不等式 1 log2 x > 1 – log 2 x 的解是（（A）x ≥ 2（B）x > 1） （C）1 < x < 8（D）x > 2sin cossin 29.设 a = f (2)，b = f ( sin cos )，c = f ( sin cos )，其中 f ( x ) = log sin θ x， θ∈( 0， 2 )，那么（ （A）a ≤ c ≤ b） （B）b ≤ c ≤ a（C）c ≤ b ≤ a（D）a ≤ b ≤ c11110.S = 1 + 2 + 3 + … + 1000000 ，则 S 的整数部分是（ ）（A）1997（B）1998（C）1999（D）200011n 11.设 a > b > c，n∈N，且 a b + b c ≥ a c 恒成立，则 n 的最大值为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）51 12.使不等式 2 x – a > arccos x 的解是– 2 < x ≤ 1 的实数 a 的值是（ ） （A）1 – 22 2 （B） 2 – 32 5 （C） 2 – 61 （D） 2 – π13.若不等式 a b m4 a2 b2 对所有正实数 a，b 都成立，则 m 的最小值是（ ）33A. 2 B. 2 2 C. 2 4 D. 45 xi R, xi 0(i 1,2,3,4,5)14.设 xii 11 ，则 ma xx1 x2 , x2 x3 , x3 x4, x4 x5的最小值等于（）1 A． 41 B． 31 C． 61 D． 415.已知 x, y, z 满足方程 x2 ( y 2)2 (z 2)2 2 ，则 x2 y2 z2 的最大值是A．4 2B．2 3C． 3 2D． 216. 若 直 线 y kx 1 与 圆 x2 y 2 kx my 4 0 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 关 于 直 线kkxx y2 my 00x y 0 对称,动点 P a,b 在不等式组 y 0表示的平面区域内部及边界上运动，则w b2 a 1 的取值范围是（）A．[2,) B． (,2] C．[2,2] D． (,2] [2,)17.已知x0,y0，且2 x1 y1，若x2ym22m 恒成立，则实数 m的取值范围是( )A． m 4或 m 2 B． m 2或 m 4 C． 2 m 4 D． 4 m 218.关于 x 的不等式 cos x lg(9 x2) cos x lg(9 x2) 的解集为（）A． (3, 2 2) (2 2,3)(2 2, ) ( , 2 2)B．22C． (2 2, 2 2)D． (3,3)19. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，其中 、 分别表示不大于 、的最大整数，例如 （），， 则 与 的关系A．B.C.D.20. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，（其中 、 分别表示不大于 、的最大整数），则点一定在（）A．直线左上方的区域内B．直线上C．直线右下方的区域内D．直线左下方的区域内0 21.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则北S 可以用不等式组表示为（0 x 20 A. 0 y 20x2 y2 400 x0 y0C.）x2 y2 400 B. x y 20x y 20 x 20 y 20D.yP. (x, y)东Ox(m)0 22.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则 S 的面积（单位：平方米）等于（ ）A. 100B. 100 200C. 400 100D. 200北yP. (x, y)东Ox(m)23.定义：若存在常数 ，使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数 ， 均有成立，则称函数在定义域 D 上满足利普希茨条件．对于函数满足利普希茨条件、则常数 k 的最小值应是A．2 B．1 C． D．24.如果直线 y＝kx＋1 与圆交于 M、N 两点，且 M、N 关于直线x＋y＝0 对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ ）A．B．25. 给出下列四个命题：①若C．1 ；D．2②“a<2”是函数“无零点”的充分不必要条件；③若向量 p=e1+e2，其中 e1，e2 是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；④命题“若 lgx>lgy，则 x>y”的逆命题.其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．③④D．①②③26.已知点（x, y）构成的平面区域如图（阴影部分）所示， 区域内取得最大值优解有无数多个，则 m 的值为A．B．C．D．（m 为常数），在平面27. 若 A．228.2C．4B．3 D．229. 如果正数满足A、，且等号成立时B、，且等号成立时C、，且等号成立时的最大值为C．4D．5，那么 的取值唯一 的取值唯一 的取值不唯一（）D、，且等号成立时的取值不唯一30. 设 变 量 （）最小值为A.9B.431.设两个向量C.3 和D.2其中为实数.若则的取值范围是()A.B.C.D.32.某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料和原料 分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总 额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（A） 33.若（B） 且（C） ，则（D） 的最小值是（A）（B）3 （C）2 （D）34.若且则的最小值为（ ）（A）（B）35. 对任意实数 x,不等式（C）（D）恒成立，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题36.已知函数 y f x是定义在 R 上的偶函数，当 x ＜0 时， f x 是单调递增的，则不等式 f x 1 ＞ f 1 2x 的解集是_________________________. 37.已知集合 A x x2 ax x a ，集合 B x1 log2 x 1 2 ，若 A B ，则实数a 的取值范围是________________________.38.设 A {x 1 x 2}, B {x f (x) m 3}，若 f (x) x2 1, A B ，则 m 的取值范围是_____39.已知 x 0, y 0 ，且 x y xy ，则 u x 4 y 的取值范围是_____________. xy02x y 2 y040.若不等式组 x y a 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 a 的取值范围是． 41.不等式 loga x2 2x 3 1 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是_________________.42. 下 列 四 个 命 题 中 : ① a b 2ab②sin2x4 sin2x4③设x, y都是正整数,若1 x9 y1 ,则 x y的最小值为12④若x2,y2,则xy 2其中所有真命题的序号是___________________.a b 1 43.已知 x, y 是正数, a, b 是正常数,且 x y , x y 的最小值为______________.44.已知 a,b, a b 成等差数列, a,b, ab 成等比数列,且 0 logm ab 1,则 m 的取值范围是______.45.已知 a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则 ax+by+cz 的最大值为 三、解答题 46.（本小题满分 12 分）已知数列{an }和{bn }中， a1 t(t 0), a2 t 2 .当x t时, 函数 f (x) 1 3(an1an )x3(anan1 )x(n2)取得极值。