解析几何1

解析⼏何专题1椭圆⽅程知识点及椭圆标准⽅程⾼考数学-椭圆知识点⼀、椭圆的定义：（1）第⼀定义:平⾯内与两定点F2距离和等于常数2a （⼤于）的点的轨迹叫做椭圆（2）第⼆定义：平⾯上到定点的距离与到定直线的距离之⽐为常数e,当0 e 1时，点的轨迹是椭圆?椭圆上⼀点到焦点的距离可以转化为到准线的距离?椭圆定义的表达式：PF, PF22a 2a F,F20 ;M P| PF, PF22a, 2a F,F20 .⼆、椭圆⽅程1?椭圆的标准⽅程：2 2 2 2焦点在x轴:冷占1a b 0 ；焦点在y轴:吿x21 a b 0 .a b a ba是长半轴长，b是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满⾜a2 b2 c2.2. Ax2 By2 CA、B、C均不为零，且AB表⽰椭圆的条件为：Ax2 By2. x2y21C C，C C .A ~B所以只有A、B、C同号，且A B时，⽅程表⽰椭圆；当 C C时，椭圆的焦点在x轴上；A B当 C C时，椭圆的焦点在y轴上.A B2 2三、椭圆的⼏何性质（以笃笃1a b 0为例）a b1. 有限性：x a, y b说明椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形⾥（封闭曲线）.该性质主要⽤于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x轴、y轴对称。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A a,0、A2 a,0、B“ 0, b、B2 0,b .4. 长轴、短轴、焦距：A .A 2叫椭圆的长轴，A A 2a, a 是长半轴长;B 1B 2叫椭圆的短轴，BB 2 2b,b 是短半轴长. F 1F 2叫椭圆的焦距；为2c.5. 离⼼率（1）椭圆焦距与长轴的⽐e -a2 2 2（2） Rt OB 2F 2, B 2F 2 OB 2OF 2 ，即a 2 b 2 c 2.这是椭圆的特征三⾓形，并且cos OF 2B 2的值是椭圆的离⼼率.（3）椭圆的圆扁程度由离⼼率的⼤⼩确定，与焦点所在的坐标轴⽆关 .当e 接近于1时，c 越接近于a ，从⽽b .a 2c 2越⼩，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从⽽b 、、a 2 c 2 越⼤，椭圆越接近圆。

答案：相交解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．答案：20解析：△PQF 2的周长＝4a ＝20. 答案：4x －y －7＝0解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2（x 2＋x 1）y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：22解析：由题意易知两交点的横坐标为－c 、c ，纵坐标分别为－b 2a 、b 2a ，所以由b 2a －⎝⎛⎭⎫－b 2a c －（－c ）＝22得2b 2＝2ac ＝2(a 2－ c 2)，即2e 2＋2e －2＝0，解得e ＝22或e ＝－2(负根舍去)．答案：x 24－y25＝1解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.解：(1) 设A(x 0，y 0)，由已知B(0，2)，M(33，0)，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫－33，2，MA →＝(x 0－33，y 0)． 由于MB →＝－2MA →，所以(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－1，即A(32，－1)，将A 、B 点的坐标代入曲线E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a·⎝⎛⎭⎫322＋b·（－1）2＝1，a ·02＋b·22＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，所以曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.(2) 当a ＝b ＝1时，曲线E 为圆x 2＋y 2＝1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．又MB →＝－2MA →，所以⎝⎛⎭⎫x 2－33，y 2＝－2(x 1－33，y 1)，即有⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝3，2y 1＋y 2＝0，x 21＋y 21＝1 ①，x 22＋y 22＝1 ②，由①×4－②，得(2x 1＋x 2)(2x 1－x 2)＝3，所以2x 1－x 2＝3，解得x 1＝32，x 2＝0.由x 1＝32，得y 1＝±12.当A ⎝⎛⎭⎫32，－12时，B(0，－1)，此时k AB ＝－3，直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1；当A ⎝⎛⎭⎫32，12时，B(0，1)，此时k AB ＝3，直线AB 的方程为y ＝3x －1.答案：2解析：定点F 分线段AB 成比例，从而分别可以得出A 、B 两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A 、B 点的坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A 、B 两点的坐标，进而求出直线AB 的方程．由已知e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32，所以a ＝2b ，所以a ＝23c ，b ＝c3.椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1变为34x 2＋3y 2＝c 2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又AF →＝3FB →， 所以(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c －x 1＝3（x 2－c ），－y 1＝3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3x 2＝4c ，y 1＋3y 2＝0，34x 21 ＋ 3y 21 ＝ c 2，① 34x 22 ＋ 3y 22 ＝ c 2，② ①－9×②，得34(x 1＋3x 2)(x 1－3x 2)＋3(y 1＋3y 2)(y 1－3y 2)＝－8c 2，所以34×4c(x 1－3x 2)＝－8c 2，所以 x 1－3x 2＝－83c ，所以x 1＝23c ，x 2＝109c.从而y 1＝－23c ，y 2＝29c ，所以A ⎝⎛⎭⎫23c ，－23c ，B ⎝⎛⎭⎫109c ，29c ，故k ＝ 2.(1) 解：由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(－2，0)，N(0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点．又直线PA过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2) 解：将直线PA 的方程y ＝2x 代入椭圆方程x 24＋y 22＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43.于是C ⎝⎛⎭⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3) 证明：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(－x 1，－y 1)，C(x 1，0)，设直线PA 、PB 、AB 的斜率分别为k 、k 1、k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－（－y 1）x 1－（－x 1）＝y 12x 1＝k 2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－（－y 1）x 2－（－x 1）＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝（2y 22＋x 22）－（2y 21＋x 21）x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB.解：(1) 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎨⎧a 2c ＝4，a 2c－c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.∴b＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24 ＋ y 23＝1.(2) 由PF PM ＝e ＝12，得PF ＝12PM.∴PF ≠PM.①若PF ＝FM ，则PF ＋FM ＝PM ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF 不可能与PM 相等．②若FM ＝PM ，设P(x ，y)(x ≠±2)，则M(4，y)．∴32＋y 2＝4－x ，∴9＋y 2＝16－8x＋x 2.又由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3－34x 2.∴9＋3－34x 2＝16－8x ＋x 2，∴74x 2－8x ＋4＝0.∴7x 2－32x ＋16＝0.∴x ＝47或x ＝4. ∵x ∈(－2，2)，∴x ＝47.∴P ⎝⎛⎭⎫47，±3157.综上，存在点P ⎝⎛⎭⎫47，±3157，使得△PFM 为等腰三角形．(1) 解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝92，故所求点P 的轨迹为直线x ＝92.(2) 解：将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M ⎝⎛⎭⎫2，53、N ⎝⎛⎭⎫13，－209.直线MTA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即y ＝13x ＋1.直线NTB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即y ＝56x－52.联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3) 证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)．直线NTB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y25＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（80－m 2）80＋m2，40m 80＋m 2、N(3（m 2－20）20＋m 2，－20m 20＋m 2)． (证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2，令y ＝0，解得x ＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)．(证法2)若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m>0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210.直线MD 的斜率k MD ＝40m 80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2， 直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点． 因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以MN ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2.又因为点A(2，0)到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12MN ·d＝|k|4＋6k 21＋2k 2.由|k|4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1. 解：(1) 依题意，b ＝3，ca ＝2a ＝1，c ＝2，(4分)∴ 双曲线的方程为x 2－y23＝1.(6分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 2(2，0)，直线l ：y ＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，(8分) k ≠±3时，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k(x 1－x 2)，(10分)△F 1AB 的面积S ＝c|y 1－y 2|＝2|k|·|x 1－x 2|＝2|k|·（4k 2）2－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2－3|＝2|k|·k 2＋1|k 2－3|＝63k 4＋8k 2－9＝0k 2＝1k ＝±1，(14分)所以直线l 的方程为y ＝±(x －2)．(16分) 答案：[－1，1]解析：易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q(－2，0)，于是，可设过点Q(－2，0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k （x ＋2）k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1.解：(1) 因为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线C ：y 2＝4x 上，所以A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，k PA ＝y 1＋2y 214－1＝4（y 1＋2）y 21－4＝4y 1－2，同理k PB ＝4y 2－2，依题意有k PA ＝－k PB ，因为4y 1－2＝－4y 2－2，所以y 1＋y 2＝4.(2) 由(1)知k AB ＝y 2－y 1y 224－y 214＝1，设AB 的方程为y －y 1＝x －y 214，即x －y ＋y 1－y 214＝0，P 到AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142，AB ＝2·⎪⎪⎪⎪y 214－y 224＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|，所以S △PAB ＝12×⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142×22|2－y 1|＝14|y 21－4y 1－12||y 1－2|＝14|(y 1－2)2－16|·|y 1－2|，令y 1－2＝t ，由y 1＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t ≤2.S △PAB ＝14|t 3－16t|，因为S △PAB ＝14|t 3－16t|为偶函数，只考虑0≤t ≤2的情况，记f(t)＝|t 3－16t|＝16t －t 3，f ′(t)＝16－3t 2>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S △PAB 的最大值为6.解：(1) 连结BF ，由已知BF ＝BE ，所以BC ＋BF ＝BC ＋BE ＝CE ＝4，所以点B 的轨迹是以C 、F 为焦点，长轴为4的椭圆，所以B 点的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2) 当点D 位于y 轴的正半轴上时，因为D 是线段EF 的中点，O 为线段CF 的中点，所以CE ∥OD ，且CE ＝2OD ，所以E 、D 的坐标分别为(－1，4)和(0，2)．因为PQ 是线段EF 的垂直平分线，所以直线PQ 的方程为y ＝12x ＋2，即直线PQ 的方程为x －2y ＋4＝0.(3) 设点E 、G 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，因为点E 、G 均在圆C 上，且FG ⊥FE ，所以(x 1＋1)2＋y 21＝16，① (x 2＋1)2＋y 22＝16，②(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，③所以x 21＋y 21＝15－2x 1，x 22＋y 22＝15－2x 2，x 1x 2＋y 1y 2＝x 1＋x 2－1.所以MO 2＝14[(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2]＝14·[(x 21＋y 21)＋(x 22＋y 22)＋2(x 1x 2＋y 1y 2)]＝14[15－2x 1＋15－2x 2＋2(x 1＋x 2－1)]＝7，即M 点到坐标原点O 的距离为定值，且定值为7.解：(1) 由题意知c ＝2，且a ＝b 2＋c 2＝3，可得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y2＝1，其“准圆”方程为x 2＋y 2＝4.(2) 由题意，可设B(m ，n)，D(m ，－n)(－3<m<3)，则有m 23＋n 2＝1，又A 点坐标为(2，0)，故AB →＝(m －2，n)，AD →＝(m －2，－n)，故AB →·AD →＝(m －2)2－n 2＝m 2－4m ＋4－⎝⎛⎭⎫1－m 23＝43m 2－4m ＋3＝43⎝⎛⎭⎫m －322，又－3<m<3，故43⎝⎛⎭⎫m －322∈[0，7＋43]，所以AB →·AD →的取值范围是[0，7＋43)．(3) 设P(s ，t)，则s 2＋t 2＝4.当s ＝±3时，t ＝±1，则l 1，l 2其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l 1⊥l 2.当s ≠±3时，设过P(s ，t)且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －t ＝k(x －s)，代入椭圆C 方程可得x 2＋3[kx ＋(t －ks)]2＝3，即(3k 2＋1)x 2＋6k(t －ks)x ＋3(t －ks)2－3＝0，由Δ＝36k 2(t －ks)2－4(3k 2＋1)[3(t －ks)2－3]＝0，可得(3－s 2)k 2＋2stk ＋1－t 2＝0，其中3－s 2＝0，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是上述方程的两个根，故k 1k 2＝1－t 23－s 2＝1－（4－s 2）3－s 2＝－1，即l 1⊥l 2.综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有l 1⊥l 2.(1) 证明：易知A(2，1)，B(－2，1)．设P(x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2（m －n ），y 0＝m ＋n ，所以4（m －n ）24＋(m ＋n)2＝1，即m 2＋n 2＝12，故点Q(m ，n)在定圆x 2＋y 2＝12上．(2) 解：(解法1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－14，平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(y 1－y 2)x －(x 1－x 2)y ＋x 1y 2－x 2y 1＝0，所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2，所以△OMN 的面积S ＝12MN ·d ＝12|x 1y2－x 2y 1|＝12x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12x 21⎝⎛⎭⎫1－x 224＋x 22⎝⎛⎭⎫1－x 214＋12x 21x 22 ＝12x 21＋x 22＝1，故△OMN 的面积为定值1. (解法2)设OM 的方程为y ＝kx(k>0)，则ON 的方程为y ＝－14kx(k>0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋4y 2＝4，解得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2.同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 2，－11＋4k 2.因为点N 到直线OM 的距离为d ＝1＋4k 21＋k 2，OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋4k 22＝21＋k 21＋4k 2，所以△OMN 的面积S ＝12d ·OM ＝12·1＋4k 21＋k 2·21＋k 21＋4k 2＝1，故△OMN 的面积为定值．答案：53解析：依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c(其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53.证明：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则S ＝12r 1r 2sin2θ.又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理有(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos2θ＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ＝(2a)2－2r 1r 2(1＋cos2θ)，于是2r 1r 2(1＋cos2θ)＝4a 2－4c 2＝4b 2.所以r 1r 2＝2b 21＋cos2θ.这样即有S ＝12·2b 21＋cos2θsin2θ＝b 22sin θcos θ2cos 2θ＝b 2tan θ.(1) 解：由题意知c a ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴ 椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝⎛⎭⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 3（2k 2＋1），x 1x 2＝－169（2k 2＋1）. ∴ AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4（1＋k 2）（9k 2＋4）3（2k 2＋1）＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1. (2) 证明：∵ MA →＝(x 1，y 1－1)，MB →＝(x 2，y 2－1)，∴ MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－43·k(x 1＋x 2)＋169＝－16（1＋k 2）9（2k 2＋1）－16k 29（2k 2＋1）＋169＝0. ∴ 不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.解：(1) ∵ e ＝35 不妨设c ＝3k ，a ＝5k ，则b ＝4k ，其中k>0，故椭圆方程为x 225k 2＋y 216k 2＝1(a>b>0)，∵ P ⎝⎛⎭⎫4，125在椭圆上，∴ 4225k 2＋⎝⎛⎭⎫125216k 2＝1解得k ＝1，∴ 椭圆方程为x 225＋y 216＝1.(2) k AP ＝125－44＝－25 , 则直线AP 的方程为y ＝－25x ＋4，令y ＝t ()0<t<4，则x ＝5（4－t ）2 ∴ M ⎝⎛⎭⎫5（4－t ）2，t .∵ Q(0，t)∴ N ⎝⎛⎭⎫5（4－t ）4，t ， ∵ 圆N 与x 轴相切，∴ 5（4－t ）4＝t ，由题意M 为第一象限的点，则5（4－t ）4＝t ，解得t ＝209.∴ N ⎝⎛⎭⎫209，209，圆N 的方程为⎝⎛⎭⎫x －2092＋⎝⎛⎭⎫y －2092＝40081.(3) F(3，0)，k PF ＝125，∴ 直线PF 的方程为y ＝125(x －3)即12x －5y －36＝0，∴ 点N 到直线PF 的距离为⎪⎪⎪⎪15（4－t ）－5t －3613＝⎪⎪⎪⎪24－20t 13＝413||6－5t ， ∴ d ＝413||6－5t ＋54(4－t)，∵ 0<t<4，∴ 当0<t ≤65时，d ＝413(6－5t)＋54(4－t)＝356－145t 52，此时72≤d<8913，当65<t<4时，d ＝413(5t －6)＋54(4－t)＝164＋15t 52，此时72<d<5613， ∴ 综上， d 的取值范围为⎣⎡⎭⎫72，8913.。

1 高中数学人教B 版必修二
解析几何（1）
一、平面直角坐标系中的基本公式
1. 数轴上的基本公式：
（1）数轴上点P 的坐标记法
（2）向量
相等向量
（3）向量的坐标
（4）数轴上两点间距离公式
（5）数轴上两点间的中点公式
2. 平面直角坐标系中的基本公式
（1）平面上两点间距离公式
（2）平面上两点间的中点公式
练习：
1. 已知()3A ，()11B x ，()22B x ，且18AB =，28AB =，则1x 和2x 的值为
2.已知在数轴上，点P 的坐标为()P x ，若x 满足13x x +-=，则x 的值为
3. 已知()A x 位于()2B x 的右侧，求(),d A B 的最大值.
4. 已知平行四边形A B C D 的三个顶点为()1,2A ，()3,7B ，()2,9C ，求顶点(),D x y 的坐标.
5. 已知A B C 的三个顶点()1,2A ，()2,3B ，()4,5C -，则B C 边上的中线长为
6. 已知A 在x 轴上，B 在y 轴上，A B 中点是()2,1P -，则A B =
7. 已知()5,21A a -，()1,4B a a +-，当A B 取最小值时，实数a 的值是
8. 已知三角形三个顶点坐标：()3,8A ，()11,3B -，()8,2C --，则:AB AC = ，B C 边上的高A D 的长为。

《解析几何》知识点复习1解析几何是数学中一个非常重要的分支，它将代数与几何巧妙地结合在一起，通过建立坐标系，用代数方法来研究几何图形的性质和相互关系。

接下来，让我们一起对解析几何的一些关键知识点进行复习。

一、坐标系坐标系是解析几何的基础，最常见的是直角坐标系（也称为笛卡尔坐标系）。

在直角坐标系中，我们通过两条互相垂直的数轴，即 x 轴和 y 轴，来确定平面上点的位置。

一个点的坐标就是它在 x 轴和 y 轴上的投影所对应的数值，通常表示为（x, y)。

此外，还有极坐标系。

在极坐标系中，一个点的位置由极径和极角来确定。

极径是该点到极点的距离，极角是极轴（通常为 x 轴的正半轴）到该点的连线与极轴所成的角。

二、直线1、直线的方程点斜式：若已知直线上一点（x₁, y₁) 以及直线的斜率 k，则直线方程为 y y₁＝ k(x x₁)。

斜截式：若直线的斜率为 k，且在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 y ＝ kx ＋ b。

两点式：若已知直线上两点（x₁, y₁) 和（x₂, y₂)，则直线方程为（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)。

一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （A、B 不同时为 0）。

2、直线的位置关系平行：两条直线斜率相等。

垂直：两条直线斜率之积为－1。

3、距离公式点到直线的距离：d ＝｜Ax₁＋ By₁＋ C| ／√（A²＋ B²) ，其中（x₁, y₁) 是点的坐标，Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 是直线方程。

三、圆1、圆的方程标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中（a, b) 是圆心坐标，r 是半径。

一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 （D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心坐标为（D/2, E/2) ，半径为√（D²＋ E² 4F) ／ 2 。

高等代数与解析几何1 电弧
在高等代数与解析几何中，电弧是指圆上的一段弧，即由圆上两个点之间的弧段。

电弧通常用一个字母表示，例如AB。

电弧的长度可以通过圆的半径和圆心角来计算。

如果圆的半径为r，圆心角为θ（以弧度为单位），则电弧的长度可以通过以下公式计算：
长度= r * θ
其中，θ可以通过以下两种方式计算：
1. 弧度制：θ = s / r，其中s为电弧的长度。

2. 度制：θ = π * d / 180，其中d为电弧对应的圆心角的度数。

需要注意的是，电弧的长度是弧度与半径的乘积，而不是简单地两点之间的直线距离。

这是因为圆的弧长是沿着圆周的曲线，而不是直线。

电弧在解析几何中经常用于描述圆的性质和关系，例如圆的切线、切点、弦等。

电弧也可以用于描述两点之间的距离或角度。

高等代数与解析几何1 逆元逆元是高等代数与解析几何中一个重要的概念。

在代数结构中，逆元是指对于一个元素a，存在另一个元素b，使得a与b的乘积等于单位元，即ab=ba=1，其中1是乘法单位元。

在解析几何中，逆元也可以理解为一个向量的相反向量。

在代数中，一个集合上的二元运算，如果对于集合中的任意两个元素a和b，都存在一个元素c使得a与c的乘积等于b（即ac=b），那么元素a就有一个逆元，记作a的逆元为a^-1，其中乘法单位元为1。

同理，对于整数的加法运算，如果存在一个整数b，使得a+b=0，那么b就是a的逆元。

若不存在这样的b，则我们说整数a没有逆元。

现在我们来看一些具体的代数结构中逆元的性质。

首先考虑一个整数的加法运算。

在整数集合中，0是加法单位元，即0+a=a+0=a，对于任意整数a，存在一个整数-b，使得a+(-b)=0，这里的-b就是a的逆元。

例如，对于整数5，它的逆元是-5，因为5+(-5)=0。

然而，整数的乘法运算并不满足逆元的性质。

对于任意非零整数a，我们无法找到一个整数b使得ab=1。

因此，我们说非零整数的乘法运算没有逆元。

这是因为在整数乘法的运算中，1是乘法单位元，但并非所有非零整数都有一个逆元。

现在我们转移到解析几何中，讨论逆元与向量的关系。

在解析几何中，向量是一个具有大小和方向的量。

通常将一个向量表示为一组有序实数，例如(x, y)代表一个二维向量，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。

向量的逆元可以理解为其相反方向的向量。

考虑二维平面上的一个向量v=(x, y)，其中x和y都是实数。

如果我们给向量v乘以-1，那么得到的向量w=(-x, -y)，w与v的方向是相反的。

因此，w就是v的逆元。

同样地，对于三维空间中的向量v=(x, y, z)，其逆元为w=(-x, -y, -z)，w与v的方向相反。

在多维空间中同样适用这一规律。

在解析几何中，逆元的概念也可以应用于向量的加法运算。

大一解析几何第一章知识点解析解析几何是大学数学中的一门重要学科，它以坐标系和代数方法为基础，研究几何图形的性质和关系。

在大一的解析几何课程中，第一章主要介绍了直线、平面及其相关基本概念和性质。

本文将对这些知识点进行解析。

一、直线的方程在解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。

直线的方程可以用多种形式表示，其中最常见的形式是一般式方程和截距式方程。

一般式方程: Ax + By + C = 0其中A、B、C是实数且A和B不同时为0。

在一般式方程中，A表示直线的斜率，B表示直线的斜率的相反数。

截距式方程: x/a + y/b = 1其中a和b是实数且不同时为0。

截距式方程通过直线在x轴和y轴上的截距来表示直线的方程。

二、直线之间的关系在解析几何中，直线之间的关系是解题的关键。

直线之间的三种基本关系是相交、平行和重合。

相交: 当两条直线有一个交点时，它们相交。

平行: 当两条直线没有交点且永远不会相交时，它们平行。

重合: 当两条直线完全重合时，它们重合。

三、直线与平面的关系直线与平面的关系也是解析几何中的重要内容。

直线可以与平面相交、平行或者包含在平面中。

相交: 当直线与平面有一个交点时，它们相交。

平行: 当直线与平面没有交点且永远不会相交时，它们平行。

包含: 当直线的所有点都在平面上时，它被包含在平面中。

四、平面的方程平面是解析几何中的另一个重要几何图形。

平面的方程可以用多种形式表示，其中最常见的形式是一般式方程和点法式方程。

一般式方程: Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D是实数且A、B和C不同时为0。

在一般式方程中，A、B和C表示平面的法向量。

点法式方程: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0其中A、B、C是实数且A、B和C不同时为0，(x₀, y₀, z₀)是平面上的一点。

在点法式方程中，A、B和C表示平面的法向量，(x₀, y₀, z₀)表示平面上的一个点。

第一章向量代数一、向量及其线性运算1.向量及其表示（1）向量：有大小和方向的量。

（2）表示：AB ，A 为向量的起点，B 为向量的重点。

（3）向量的模：||AB 。

（4）向径（半径向量/定位向量）：称为P 的向径，简记为P 。

（5）单位向量：模为1，记为|a |aa o =。

（6）零向量：模为0，任意方向，与任何向量共线。

（7）自由向量：可自由平行移动。

（8）相等（相反）：大小相等，方向相同（相反）。

（9）共线（平行）：平行移动到同一始点，在一条直线上；共面。

（10）共面：平行移动到同一始点，在一个平面上。

2.向量的加法和减法（1）加法：①三角/多边形法则（定义1.1）：首尾相连，第一个向量起点到最后一个向量终点；②平行四边形法则（定义1.2）：首首相连，平行四边形过起点的对角线；③三角/多边形不等式：|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。

（2）减法：三角形法则（定义1.3）：首首相连，OA OB AB -=。

3.向量的数乘（1）定义1.4：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记为λa。

|λa|=|λ||a|，方向取决于λ。

4.运算律（图形法证明）①交换律：a ±b =b ±a②结合律：（a ±b ）±c =a ±（b ±c ）；λ（μa ）=（λμ）a③分配律：（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb5.共线及共面向量的判定（1）定理1.1：向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ，使b=λa ；推论1.1：两个向量a ，b 共线⟺∃λ，μ∈R ，且λ，μ不同时为0，使λa +μb =0。

（2）定理1.2：若a ，b 不共线，向量c 与a ，b 共面⟺∃λ，μ∈R ，使c =λa +μb ；推论1.2：三个向量a ，b ，c 共面⟺∃λ，μ，φ∈R ，使λa +μb+φc =0。

解析几何知识点大一几何学作为数学的一个分支，主要研究对象是图形的形状、大小、位置以及它们之间的相互关系。

在大一的解析几何课程中，我们将学习一些基本的几何知识点，这些知识点不仅对解决几何问题有重要指导意义，而且对于我们今后学习高等数学和相关学科也具有很大的帮助。

本文将介绍大一解析几何课程中的几个重要知识点。

知识点一：坐标系在解析几何中，坐标系是非常重要的概念。

我们通常使用二维笛卡尔坐标系或直角坐标系来描述平面上的点。

笛卡尔坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。

通过在每个坐标轴上选择一个原点，并规定一个单位长度，我们可以使用有序对(x, y)来表示平面上的任意一个点P，其中x表示点P在x 轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度。

利用坐标系，我们可以方便地描述点的位置以及直线、曲线等几何图形。

知识点二：直线与曲线直线和曲线是几何中的基本图形。

直线由无数个点组成，它们满足一条基本性质：直线上任意两点之间的线段是最短的。

对于直线的描述，我们可以使用两点确定直线的方法，即通过直线上的两个已知点求出直线方程。

曲线则是由多个点组成，点的位置满足一定的规律。

在解析几何中，我们学习了抛物线、椭圆、双曲线等曲线的方程和性质，这些曲线在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

知识点三：向量向量是解析几何中一个重要的工具。

向量可以看作是带有方向的线段，它有大小和方向两个属性。

常用的表示向量的方法是用一个带箭头的小写字母表示，例如a。

根据向量的定义，我们可以进行向量的加法、减法和数乘等运算。

此外，向量还可以表示平面上的位移、速度等物理量。

在解析几何中，我们研究了向量的共线、夹角以及向量的线性相关与线性无关等性质。

知识点四：圆与圆锥曲线圆是一个非常重要的几何图形，它由平面上到定点的距离恒定的点的集合组成。

在解析几何中，我们学习了圆的方程、性质以及与其他几何图形的关系。

除了圆，我们还研究了椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线。