解析几何答案-廖华奎-王宝富-第一章

1. 在平面上，给定非零向量b ，对任意向量a，定义a ')(2⋅-=。

（1）若)3,1(),3,2(-==，求'a ；（2）若)1,2(=，证明：若位置向量的终点在直线0=++C By Ax 上，则位置向量'a 的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线y x C =2:上时，位置向量'a 终点总在抛物线x y C =2':上，曲线C 和C ′关于直线l 对称，问直线l 与向量满足什么关系？2. 已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件3. 已知双曲线C 经过点（1，1），它的一条渐近线方程为x y 3=。

则双曲线C 的标准方程是_______________。

4. 若椭圆1162522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是_________。

5. 暂无内容6. 已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x =，离心率e =（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(，B 是圆22(1x y +=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标。

7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．8. 圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=9. 已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为y =离心率e =M 是椭圆上的动点．（Ⅰ）若点,C D 的坐标分别是(0,，求MD MC ∙的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+，0=∙BA QA ．求线段QB 的中点P 的轨迹方程；10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．11. 直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为 A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离12. 已知抛物线C ：22(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为174． （I ）求p 与m 的值；（II ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．13. 已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A ．3 B ．4C ．5D ．614. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥ 轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是A ．2B ．2C ．13D ．1215. 已知椭圆C 1：)0(12222>>=+b a bx a y 的右顶点为A （1，0），过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设点P 的抛物线C 2：)(2R h h x y ∈+=上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N ，当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．16. 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若21=，则双曲线的离心率是 A ．2B ．3C ．5D ．1017. 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ()0>c ，过点2,0a E c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于,A B 两点，且1212//,2F A F B F A F B = （1）求椭圆的离心率。

《第二章平面解析几何》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、下列关于直线的倾斜角和斜率描述正确的是（）A、直线的倾斜角越大，其斜率越大B、所有直线都有倾斜角，但并非所有直线都有斜率C、斜率的绝对值越大，直线条数越多D、直线的斜率可以为零2、已知直线(l)经过点 A(3, -2) 和 B(-1, 4)，求直线(l)的斜率(k)。

)A.(−32)B.(32)C.(−23)D.(233、在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线x=1的对称点为B，则点B的坐标为（）A、（0，3）B、（-2，3）C、（-1，3）D、（1，3）4、已知直线(l)的方程为(2x−3y+1=0)，则该直线的斜率是（）。

)A、(23)B、(−23)C、(32)D、(−325、在平面直角坐标系中，若直线y=2x+1与x轴和y轴的交点分别为A、B，点P （m，n）满足m+n=1，则直线上是否存在点Q（x，y）使得|AQ|=|BP|？A. 是B. 否C. A、B两点都在直线y=-x+1上6、在直角坐标系中，点A（3，4）关于直线y=x的对称点是（）A.（4，3）B.（-3，-4）C.（-4，-3）D.（-4，3）7、已知直线(l1:3x+4y−5=0)和(l2:6x+8y−7=0)，则这两条直线的位置关系为（）。

A、平行B、垂直C、重合D、相交但不垂直8、在平面直角坐标系中，点A(-3,2)关于直线y=-x的对称点为B，B的横坐标是：A. 2B. -2C. 3D. -3二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在直角坐标系中，下列说法正确的是（）A. 点P（-3，4）关于x轴的对称点为P’（3，-4）B. 直线y=2x+3的斜率是2C. 圆（x+2）²+（y-1）²=9的圆心坐标是（-2，1）D. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-1，0）和（2，0）2、已知直线(l1)的方程为(2x−3y+1=0)，直线(l2)的方程为(4x−6y+3=0)，则关于(l1)和(l2)的关系，下列说法正确的是（）。

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求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。

解：（1）? M1M2?{?2,?2,1}，又矢量{?1,0,2}平行于所求平面，故所求的平面方程为：?x?3?2u?v??y?1?2u?z??1?u?2v?一般方程为：4x?3y?2z?7?0（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：?x?1?2u??y??5?7u ?z?1?3u?v?一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。

（3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： ?{?4,5,?1}，?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：?x?5?4u?v??y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。

（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面? ?{?4,5,?1}， ??{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}均与??平行，所以??的参数式方程为：?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?一般方程为：2x?y?3z?2?0.2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，xyz???1. ?4?24所以，它的截距式方程为：又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，? 所求平面的参数式方程为：?x??4?2u?v??y??u?z?v?3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：AX?BY?CZ?0. 证明：不妨设A?0，则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：DBC?x???u?v?AAA??y?u?z?v??BC故其方位矢量为：{?,1,0},{?,0,1}，AA从而平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：v，{?BC,1,0},{?,0,1}共面? AAXYB?1AC?0A? AX?BY?CZ?0.Z0?0 14. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B 点的z坐标.解： ??{?3,2,5?z} 而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.5. 求下列平面的一般方程.⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.x?2解:平行于x轴的平面方程为y?1z?1?1000?0.即z?1?0.11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c?? ?2?3c19故一般方程为12x?8y?19z?24?0.⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,x?0∴点法式方程为y?0z?010?2?0 051∴一般方程为2y?z?0.同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n??因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0.??. (5) op??2,9,?6?p?op????4?81?36?11.op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?. 296,cos??,cos???. 111111296y?z?11?0. 则该平面的法式方程为:x?111111∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.1,?8,3?，M1M2??（6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n??1,6,1?，点从?4,1,2? ?x?4写出平面的点位式方程为y?1z?2?863111?83?0，则A???26,61B?313?2,C??14,D??26?4?2?28??74， 111则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0. 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。

in，Functional Analysis，McGraw_Hill Book Company，1973：空间，Banach空间，Hilbert空间（包括有界，紧集，列紧集，完全有界集等）。

Ban 性算子（包括算子范数，有界性，连续性，Hahn-Banach定理，闭图象定理，逆算子定算子Riesz-Schauder理论等）Hilbert空间上的有界线性算子（射影定理、Riesz表示课程名：概率统计名Probability Statistics学分：4：数学分析、线性代数：考试：数学学院各专业概率论基础》（第二版）李贤平高等教育出版社 19971．《概率论》（第一册概率论基础）复旦大学高等教育出版社，1979。

2．《概率论引论》汪仁官北京大学出版社 19943．《概率论及数理统计》（第二版）（上）高等教育出版社 1988：率，条件概率与统计独立性，随机变量与分布函数，数字特征与特征函数，极限定理。

课程名：高等代数-1名：Advanced Algebra-12 学分：5：高中数学：考试：数学数院各专业Linear Algebra》彭国华、李德琅，高等教育出版社，20061。

《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2．《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3．《Linear Slgebra》B。

Jacob W.H.Freeman Company 1990：高等代数以研究线性方程组为出发点来讨论求解和解的结构和分类等问题，进而研究矩空间，线性映射以及二次型的基本理论。

本课程分两个学期讲授。

高等代数-1的主要和线性映射，线性变换，欧氏空间，线性和双线性型。

课程名：高等代数-2名：Advanced Algebra-22 学分：5：高等代数-1：考试：数学学院各专业Linear Algebra》彭国华、李德琅，高等教育出版社，20061．《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2. L.W. Johnson, R.D. Riess J.T. Arnold, Introduction to Linear Algebr , Prentice-Hall Inc. China Machine Press, 2002Lay, Linear Algebra Its Applications (3rd Edition), Pearson Addison Wesley blishing House of Electronics Industry,2003：元多项式、行列式、线性方程组，矩阵代数，二次型，线性空间，线性变换，矩阵法式课程名：解析几何名：Analytic Geometry学分：5：高中数学：考试：数学学院各专业解析几何》廖华奎、王宝富编，科学出版社1．《解析几何》丘维声北京大学出版社。

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1）-=+ （2+=+ （3）-=+ （4+= （5）=- 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ． 解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体A B C D E F G（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。

课程号：20100440 课程名：泛函分析课程英文名：Functional Analysis学时：68 学分：4先修课程：实变函数、高等代数基本面向：数学学院教材：《泛函分析》江泽坚、孙善利编高等教育出版社1998 一版参考书：1.《实变函数与泛函分析》（下册）夏道行等等教育出版社1984 一版2.《实变函数与泛函分析》（下册）曹广福、严从荃编人民教育出版社第2版3. W.Rudin，Functional Analysis，McGraw_HillBook Company，1973课程简介：线性赋范空间，Banach空间，Hilbert空间（包括有界，紧集，列紧集，完全有界集等）。

Banach 空间上有界线性算子（包括算子范数，有界性，连续性，Hahn-Banach定理，闭图象定理，逆算子定理，谱理论，紧算子Riesz-Schauder理论等）Hilbert 空间上的有界线性算子（射影定理、Riesz表示定理）。

课程号：20100640 课程名：概率统计课程英文名Probability and Statistics学时：68 学分：4先修课程：数学分析、线性代数基本面向：数学学院各专业教材：《概率论基础》（第二版）李贤平高等教育出版社1997参考书：1．《概率论》（第一册概率论基础）复旦大学高等教育出版社，1979。

2．《概率论引论》汪仁官北京大学出版社19943．《概率论及数理统计》（第二版）（上）梁之舜等高等教育出版社1988课程简介：事件与概率，条件概率与统计独立性，随机变量与分布函数，数字特征与特征函数，极限定理。

课程号：20100850 课程名：高等代数-1课程英文名：Advanced Algebra-1学时：102 学分：5先修课程：高中数学基本面向：数学数院各专业教材：《Advanced Algebra》彭国华、李德琅高等教育出版社-Springer（计划2004年出版参考书：1。

《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2．《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3．《Linear Slgebra》B。

解析几何复习题参考解答一、填空题1.07-26-2=+z y x2.)21,34,23(π 3.)0,1,5(- 4.3π 5.2 6.5.22 7.同 8.26 9.13262 10.034-2--222=+++z y x z yz y 11.14169222=++z y x 12.0115-7=+-z y x 13.z y x ==2- 14.5 15.4π；4；0222=±X Y 16.)1,1,-3( 17.02≠I 18.0043≠=I I ，二、解:0)5-32-()22-3(=++++z y x z y x μλλμ2)1,1,1(0=−−−→−P 08-85-5=+→z y x三、解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=t z t y tx 25 21205=−−−−→−=++t y x 代入→交点坐标是)9,2-,3-(（2）nnννθ⋅=sin 220112)1()2(021112222222=+++-+-⨯+⨯-⨯-=4πθ=→ 四、解：（如图所示）设旧坐标系、新坐标系的基本单位向量组分别是321321,,;,,e e e e e e '''，则有：⎪⎩⎪⎨⎧+=-+-='+=---='='323233232211 cos sin -)cos()sin( sin cos )sin()cos(e e e e e e e e e e e eθθθθθθθθ ⎪⎩⎪⎨⎧'+'='-'='=∴θθθθcos sin sin cos z y z z y y x x 五、解：设点),,(z y x P 为旋转曲面上的任一点，它是由直线上的点),,(0000z y x P 绕z 轴旋转所得, 则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+-=-+-+-===200202020220000)()0()0()()0()0(0-z z y x z z y x z y x z z βα 消去参数000,,z y x ，得：y )(x x 'zy 'z ')(O O 'θθ 3e3e ' )(11e e ' 2e ' 2e22222βα=-+z y x 为所求旋转曲面的方程（1）当βα、均非零时，所求旋转曲面表示旋转单叶双曲面 （2）当0,0≠=βα时，所求旋转曲面表示母线平行于z 轴的圆柱面 （3）当0,0=≠βα时，所求旋转曲面表示圆锥面 六、解：设所求柱面上的任一点为),,(z y x P ，过该点的母线交准于点),(0000z y x P则有：⎪⎩⎪⎨⎧===++=++000000202020---01zz y y x x z y x z y x , 消去参数000,,z y x ，得：3)---2(222=++zx yz xy z y x 为所求柱面的方程七、解：设),,(z y x P 为所求轨迹上任一点，该点所在抛物线的顶点为),,(0000z y x P则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=-=)(20020200020z z x y y x z y 消去参数000,,z y x ,得轨迹方程z y x 222=-表示双曲抛物面八、（10分）解：811113-6-13-836-30,-98330,8321=====I I I 特征方程:0982=--λλ，1,921-==λλ标准方程：1922=-Y X 或1922=-X Y 为双曲线一、填空题1.02=++z y x ；平面2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,34,23π；⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3,1ππ 3.)2,2,2( 4.2π；)12,4,20( 5.2 6.5.22 7.1- 8.26 9.13262 10.2z y x =+ 11.14169222=++z y x 12.08855=-+-z y x 13.5 14.4π；2； 022=±X Y 15.)0,1,0( 16.抛物面 二、解:)1,1,3()1,1,1(21-⨯-=⨯=n nν)4,2,2(=⇒ν2211:-=-=-⇒z y x L 三、解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=-=--=t z t y t x 2322, 代入平面方程，求得：1-=t ∴交点坐标是)1,1,0(（2）n nννθ⋅=sin 220112)1()2(021112222222=+++-+-⨯+⨯-⨯-= 4πθ=∴ 四、解：（如图所示）设旧坐标系、新坐标系的基本单位向量组分别是321321,,;,,e e e e e e '''，则有：⎪⎩⎪⎨⎧+=-+--='='-=-+-='313132231311cos sin )cos()sin(sin cos )sin()cos(e e e e e e e e e e e e θθθθθθθθ ⎪⎩⎪⎨⎧+='='-='∴θθθθcos sin sin cos z x z y y z x x 五、解：设点),,(z y x P 为旋转曲面上的任一点，它是由直线上的点),,(0000z y x P 绕z 轴旋转所得, 则有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+-=-+-+--===222020202000000)0()0()()0()0()(0z y x x z y x x z y x x x βα 消去参数000,,z y x ，得：22222βα=-+x z y 为所求旋转曲面的方程 （1）当βα、均非零时，所求旋转曲面表示单叶旋转双曲面 （2）当0,0≠=βα时，所求旋转曲面表示母线平行于z 轴的圆柱面z)(y y ' xz 'x 'O θθ1e1e ')(22e e ' 3e ' 3e（3）当0,0=≠βα时，所求旋转曲面表示圆锥面六、解:设所求锥面上的任一点为),,(z y x P ，过该点的母线交截口于点),(0000z y x P则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====+00002020416z zy y x x z y x , 消去参数000,,z y x ，得:0222=-+z y x 为所求锥面的方程 七、解：设),,(z y x P 为所求轨迹上任一点，该点所在抛物线的顶点为),,(0000z y x P则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=-=)(20020200020z z x y y x z y ,消去参数000,,z y x ,得轨迹方程z y x 222=-表示双曲抛物面 八、解：36311151113,36311331155113,11321===++==I I I3654024311015121134-=----=I 特征方程036361123=-+-λλλ特征根:6,3,2321===λλλ 标准方程为：1632222=++Z Y X 表示椭球面。

2011~2012 学年潮阳林百欣中学高三理科数学第二轮复习专题五
解析几何（教师版）
解析几何是高考命题的热点内容之一，通常有 1-2个小题和 1 个大题，约占 24分左右。客 观题重点考查的内容是：直线与方程，圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程及其应用，离心 率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质。解答题重点考查的内容是：圆锥曲线的标准方程， 直线与圆及圆锥曲线的位置关系等。常考常新的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几 何证明和探究性问题等。 一、选择、填空题 主要考点： 1、点、直线、圆的位置关系问题； 2、直线、圆的方程问题； 3、有关圆锥曲线的定义的问题； 4、圆锥曲线的几何性质； 5、直线与圆锥曲线位置关系问题。
（3）多动点的轨迹问题——参数法 ＋ 交轨法。
x2 例 1、已知椭圆 a 2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为 33 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径
的圆与直线 y x 2 相切．(1)求 a 与 b ； (2)设该椭圆的左，右焦点分别为 F1 和 F2，直线 l 1
过 F2 且与 x 轴垂直，动直线 l2 与 y 轴垂直，l2 交 l1 与点 P .求线段 PF1 垂直平分线与 l2 的交点 M
（Ⅱ）已知平面 内的曲线 C ' 的方程是 (x' 2)2 2 y'2 2 0 ，则曲线 C 在平面
'
影 C 的方程是____________________．
内的射
-2-
2011~2012 学年潮阳林百欣中学高三理科数学第二轮复习专题五
例 14、曲线 C 是平面内与两个定点 F1 ( 1,0) 和 F2 (1,0)的距离的积等于常数 a 2(a 1)的点的轨
．答：

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、OB、、OD、OE、、AB、、、DE、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-C（5=[解]：（1）,-=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。

第二章 直线与平面习题1.求通过两点(2,3,4)A 和(5,2,1)B -的直线方程。

解：直线的方向向量为(3,1,5)AB =--，所以直线的方程为234.315x y z ---==-- 2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。

（1）过点(1,2,0),(2,1,4),(3,1,5)----； （2）过点(3,12)-和z 轴；（3）过点(2,0,1)-和(1,3,4)-，平行于y 轴； （4）过点(1,5,4)--，平行于平面3250x y -+=。

解：（1）平面的方位向量为12(1,3,4),(4,1,5)v v =--=--，所以平面的参数方程14,23,45.x y z λμλμλμ=--+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩平面的普通方程为121340,415x y z+---=--即19111330.x y z ++-= （2）平面的方位向量为12(3,1,2),(0,0,1)v v =-=，所以平面的参数方程33,1,22.x y z λλλμ=+⎧⎪=+⎨⎪=--+⎩因为过z 轴，所以也可选经过的点为(0,0,0)，那么参数方程也可以写为 3,,2.x y z λλλμ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩平面的普通方程为3120,01x y z-=即30.x y -= （3）平面的方位向量为12(3,3,5),(0,1,0)v v =-=，所以平面的参数方程23,3,15.x y z λλμλ=-⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩平面的普通方程为213350,01x y z -+-=即5370.x z +-=（4）平面的方位向量平行于平面3250x y -+=，方位向量(,,)X Y Z 满足320X Y -=，因此可以选为12(2,3,0),(0,0,1)v v ==。

所以平面的参数方程12,53,4.x y z λλμ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩平面的普通方程为1542300,01x y z ++-=即3270.x y --=3.在直角坐标系中，求通过点(1,0,2)-并与平面1:220x y z ∏+--=和2:30x y z ∏---=均垂直的平面方程。

第五章 二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .（1）22221x y a b +=；（2）22221x y a b-=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++=（5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）22100100001a A b ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =；221(,)F x y y b =；3(,)1F x y =-； （2）22100100001a A b ⎛⎫ ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-. （3）0001000p A p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020305022A ⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+；（5）1232171227342A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=-⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342F x y x y =-+-.2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点. （1）550x y --=； （2）220x y ++=； （3）410x y +-=； （4）30x y -=； （5）2690x y --=.解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）15(,),(1,0)22-；（2）47,55⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭，47,55⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭； （3）二重点(1,0)；（4）11,26⎛⎫⎪⎝⎭； （5）无交点.3. 求直线10x y --=与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点；（2）直线1,{x kt y k t=+=+与二次曲线22430x xy y y -+-=交于一点；（3）10x ky --=与二次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点； （4）1,{1x t y t=+=+与二次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k >.§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的.（1）22230x xy y x y ++++=； （2）22342250x xy y x y ++--+=； （3）24230xy x y --+=.解：（1）由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物型的；（2）由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的；（3）由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）22224630x xy y x y -+--+=； （2）22442210x xy y x y -++--=； （3）2281230y x y ++-=； （4）2296620x xy y x y -+-+=. 解：（1）因为2111012I -==≠-，所以它为中心曲线；（2）因为212024I -==-且121241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为200002I ==且004026=≠，所以它为无心曲线； （4）因为293031I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线； 3. 求下列二次曲线的中心.（1）225232360x xy y x y -+-+-=； （2）222526350x xy y x y ++--+=； （3）22930258150x xy y x y -++-=.解：（1）由510,3302x y x y --=⎧⎪⎨-++=⎪⎩得中心坐标为313(,)2828-； （2）由5230,2532022x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩得中心坐标为(1,2)-；（3）由91540,15152502x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩知无解，所以曲线为无心曲线. 4. 当,a b 满足什么条件时，二次曲线226340x xy ay x by ++++-=（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.解：（1）由330,2302x y b x ay ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩知，当9a ≠时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2）当9,9a b =≠时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当9a b ==时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.5. 试证如果二次曲线22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=有渐进线，那么它的两个渐进线方程是Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为二次曲线的中心.证明：设(,)x y 为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.6. 求下列二次曲线的渐进线.（1）226310x xy y x y --++-=； （2）2232340x xy y x y -++-+=； （3）2222240x xy y x y ++++-=.解：（1）由1360,2211022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩得中心坐标13(,)55-.而由2260X XY Y --=得渐进方向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线方程分别为210x y -+=与30x y +=（2）由310,22332022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩得中心坐标13(,)55-.而由22320X XY Y -+=得渐进方向为:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线方程分别为20x y -+=与210x y --=（3）由10,10x y x y ++=⎧⎨++=⎩知曲线为线心曲线，.所以渐进线为线心线，其方程为10x y ++=.7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是230I I ==，成为无心曲线的充要条件是230,0I I =≠.证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是131112122223a a a a a a ==也即230I I ==； 为无心曲线的充要条件是131112122223a a a a a a =≠也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线方程总能写成111()()0A x By C Ax By C D +++++=.证明：设以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=，其中00(,)x y 为曲线的中心，从而有Φ00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++=而Φ00(,)x x y y --=22110120022022111222110120221202201101200220()2()()()22()2()2,a x x a x x y y a y y a x a xy a y a x a y xa x a y y a x a x y a y -+--+-=++-+-++++因为00(,)x y 为曲线的中心，所以有11012013a x a y a +=-，12022023a x a y a +=- 因此Φ000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-，令0033(,)x y a D φ-=-，代入上式得00(,)(,)F x y x x y y D φ=--+即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++，所以以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.9.求下列二次曲线的方程.（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10x y +-=为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得：（1）40xy x --=；（2）2223570x xy y x ---+=.§5.3二次曲线的切线1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线223457830x xy y x y ++---=在点（2，1）； （2）曲线曲线223457830x xy y x y ++---=在点在原点； （3）曲线22430x xy y x y +++++=经过点（-2，-1）；（4）曲线225658x xy y ++=经过点；（5）曲线222210x xy y x y -----=经过点（0，2）. 解：（1）910280x y +-=； （2）20x y -=；（3）10,30y x y +=++=；（4）1150,0x y x y +-=-+=； （5）0x =.2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.（1）曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=； （2）曲线223x xy y ++=的切线平行于两坐标轴. 解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-； （2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--. 3. 求下列二次曲线的奇异点. （1）22326410x y x y -+++=； （2）22210xy y x +--=； （3）2222210x xy y x y -+-++=.解：（1）解方程组330,220x y +=⎧⎨-+=⎩得奇异点为(1,1)-；（2）解方程组10,0y x y -=⎧⎨+=⎩得奇异点为(1,1)-.4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的二次曲线方程.解：利用（5.3-5）可得226320x xy y x y +-+-=.5.设有共焦点的曲线族2222221x y a h b h+=++，这里h 是一个变动的参数，作平行于已知直线y mx =的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程. 解：设切点坐标为00(,)x y ，则由（5.3-4）得曲线的切线为0022221x x y ya hb h+=++，因为它平行与y mx =，所以有2220000x b my a h x my +=-+，代入220022221x y a h b h +=++整理得 222220000(1)()0mx m x y my m a b +----=，所以切点的轨迹为22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.§5.4二次曲线的直径1. 已知二次曲线223754510x xy y x y +++++=.求它的（1）与x 轴平行的弦的中点轨迹； （2）与y 轴平行的弦的中点轨迹；（3）与直线10x y ++=平行的弦的中点轨迹.解：（1）因为x 轴的方向为:1:0X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程6740x y ++=； （2）因为y 轴的方向为:0:1X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程71050x y ++=； （3）因为直线10x y ++=的方向为:1:1X Y =-代入（5.4-3）得中点轨迹方程310x y ++=.2.求曲线224260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入(2)(21)0X x Y y -+-=得:1:6X Y =，再代入上式整理得直径方程为1280x y +-=，其共轭直径为122230x y --=.3.已知曲线22310xy y x y --+-=的直径与y 轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.解：直径方程为10x -=，其共轭直径方程为230x y -+=. 4.已知抛物线28y x =-，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分. 解：430x y ++=.5. 求双曲线22164x y -=一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为',k k ，则'23kk =.又因为它们交角45度，所以''11k k kk -=+，从而13k =-或2，'2k =-或13，故直径和共轭直径的方程为30x y +=和20x y -=或20x y +=和30x y -=.6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.7．求下列两条曲线的公共直径.（1）223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=； （2）220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解：（1）210x y -+=；（2）5520x y ++=. 8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线320,5540x y x y --=⎧⎨--=⎩与530,210y x y +=⎧⎨--=⎩ 为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程.解：设曲线的方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得1112221323331111,,1,,,0222a a a a a a ==-=-=-=-=，所以曲线的方程为220x xy y x y ----=.§5.5二次曲线的主直径与主方向1.分别求椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=，抛物线22y px =的主方向与主直径.解：椭圆的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；双曲线的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；抛物线的主方向分别为0：1和1：0，主直径分别为0y =.2. 求下列二次曲线的主方向与主直径. （1）22585181890x xy y x y ++--+=； （2）22210xy x y -+-=；（3）229241618101190x xy y x y -+--+=.解：（1）曲线的主方向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为0,20x y x y -=+-=； （2）其主方向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为0,20x y x y +=-+=； （3）其主方向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3470x y -+=； （4）任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径.3.直线10x y ++=是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的方程.解：设二次曲线方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代入上面方程同时利用直线10x y ++=为其主直径可得111222132333774,,4,,4,022a a a a a a ==-==-==，所以所求曲线方程为22474780x xy y x y -+-+=. 4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.证明：设12,λλ分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为11:X Y 与22:X Y 则1111211112122111,,a X a Y X a X a Y Y λλ+=⎧⎨+=⎩与1121222212222222,a X a Y X a X a Y Y λλ+=⎧⎨+=⎩， 所以 11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++11212211222221221221()(),a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+从而有121212()()0X X YY λλ-+=，因为12λλ≠，所以12120X X YY +=，由此两主方向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.§5.6二次曲线方程的化简与分类1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形. （1）225422412180x xy y x y ++--+=； （2）222410x xy y x y ++-+-=； （3）25122212190x xy x y +---=； （4）222220x xy y x y ++++=.解（1）因为二次曲线含xy 项，我们先通过转轴消去xy ，设旋转角为α，则324ctg α=，即21324tg tg αα-=，所以12tg α=或-2.取2tg α=-，那么sin α=，cos α=，所以转轴公式为''''2),2).x x y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入原方程化简再配方整理得新方程为''2''26120x y +-=；类似的化简可得（2）''2''250y +=；（3）''2''294360x y --=；（4）''2210x -=.2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.（1）22845816160x xy y x y +++--=； （2）22421040x xy y x y --++=； （3）22446830x xy y x y -++-+=； （4）2244420x xy y x y -++-=. 解：（1）已知二次曲线的距阵是8242584816⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭， 18513I =+=，2823625I ==，所以曲线的特征方程为213360λλ-+=，其特征根为14λ=，29λ=，两个主方向为11:1:2X Y =-，22:2:1X Y =；其对应的主直径分别为8200x y -+=，7740x y +-=. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式'''')1,2) 2.x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'294360x y +-=.（2）已知二次曲线的距阵是225222520-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭坐标变换公式''''2)1,) 2.x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'23210x y -+-=.（3）已知二次曲线的距阵是423214343-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭， 坐标变换公式''''92),101).5x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'50y x =. （4）坐标变换公式''''22),51).5x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2510y -=.3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式'2'22213231313a a a a +=+.证明：设旋转角为α，则''131323cos sin a a a αα=-，''231323sin cos a a a αα=+，两式平方相加得'2'22213231313a a a a +=+.3. 试证二次曲线222ax hxy ay d ++=的两条主直径为220x y -=，曲线的两半轴的长分别为. 证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.§5.7应用不变量化简二次曲线的方程1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程.（1）2266210x xy y x y ++++-=； （2）223234440x xy y x y -+++-=； （3）2243220x xy y x y -++-=； （4）22442210x xy y x y -++--=； （5）222246290x xy y x y -+--+=； （6（7）2222240x xy y x y ++++-=； （8）224412690x xy y x y -++-+=.解：（1）因为12I =，213831I ==-，13331116311=-，322II =-，而特征方程2280λλ--=的两根为124,2λλ==-，所以曲线的简化方程（略去撇号）为224220x y --=，曲线的标准方程为2221012x y --=，曲线为双曲线； 类似地得下面：（2）曲线的简化方程（略去撇号）为222480x y +-=，曲线的标准方程为22142x y +=， 曲线为椭圆；（3）曲线的简化方程（略去撇号）为22(2(20x y ++=，曲线的标准方程为22011x y -=， 曲线为两相交直线；（4）曲线的简化方程（略去撇号）为250y =， 曲线的标准方程为2y =， 曲线为抛物线；（5）曲线的简化方程（略去撇号）为220x y +=， 曲线的标准方程为22011x y +=， 曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线； （6）曲线的简化方程（略去撇号）为220,0,0)y x a y a -=≤≤≤≤（，曲线的标准方程为2y =，0,0)x a y a ≤≤≤≤（曲线为抛物线的一部分；（7）曲线的简化方程（略去撇号）为2250y -=，曲线的标准方程为252y =， 曲线为两平行直线；（8）曲线的简化方程（略去撇号）为250y =，曲线的标准方程为20y =，曲线为两重合直线.2. 当λ取何值时，方程2244230x xy y x y λ++---=表示两条直线. 解：方程2244230x xy y x y λ++---=表示两条直线当且仅当3222110213I λ-=-=---，即4λ=.3. 按实数λ的值讨论方程2222250x xy y x y λλ-+-++=表示什么曲线.解：因为12I λ=，2(1)(1)I λλ=-+，3(53)(1)I λλ=+-，12(51)K λ=-， 所以当λ的值变化时，1231,,,I I I K 也随着变化，它们的变化关系如下表：所以有对应于下面的结果：4. 设221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是d =证明：曲线的方程可简化为y =， 这里当曲线表示两条平行的实直线时，10K <. 所以这两条直线之间的距离是d =5. 试证方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.证明：当曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表示一个实圆的充要条件是其特征方程2120I I λλ-+=有相等实根且120I I <，即21240I I ∆=-=且120I I <，从而方程确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.6. 试证如果二次曲线的10I =，那么20I <. 证明：因为111220I a a =+=即1122a a =-，所以1112222211221*********()a a I a a a a a a a ==-=-+，而111222,,a a a 不全0，所以有20I <.7. 试证如果二次曲线的230,0I I =≠，那么10I ≠，而且120I I <.证明：当230,0I I =≠时，由5.2节习题7知，曲线为无心曲线，从而有10I ≠，而且120I I <.。

空间解析几何（Space Analytic Geometry）课程编号：（由教务处统一编写）学分：3学时：45 （其中：讲课学时：45 实验学时：上机学时：）先修课程：无适用专业：数学各专业1年级教材：(教材名称；主编；出版社、版次)蔡国梁等主编，解析几何教程，江苏大学出版社，2012开课学院：理学院一、课程的性质与任务：《解析几何》是高等学校本、专科数学与应用数学、信息与计算专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石，也是江苏大学重点建设的“842”核心课程之一。

自江苏大学成立以来，《空间解析几何》课程一直是我系数学与应用数学专业（师范和非师范）及信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程，课时数为45课时，在第1学期开设。

解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。

通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。

学好空间解析几何是学生学好其他后继数学课程的基础，数学知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，空间解析几何课程正是其中最重要的一个环节。

数学分析、高等代数和解析几何是大学数学类专业的三大主要基础课程。

解析几何是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推进到可以计算的定量的层面，“数形结合”是解析几何的精髓。

解析几何是现代数学区别于经典数学的里程碑。

《空间解析几何》是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。

空间解析几何是用坐标法和向量法作为主要的研究工具，用代数方法来研究几何图形的几何学,它把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。

空间解析几何，作为高等师范学校数学系开设的一门专业课，它是培养初中数学教师知识体系的一部分，是构成合格的初中数学教师的智能结构中的一个元素.它是由中学的平面几何、立体几何发展起来的几何学的一个分支。

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易错考点排查练解析几何1.到两定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹为( )A.椭圆B.两条射线C.双曲线D.线段【解析】选B.因为到两定点F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6,而|F1F2|=6,所以满足条件的点的轨迹为两条射线.2.若曲线+=1的离心率e=,则m=( )A.-3B.3C.-3或-27D.3或27【解析】选D.因为离心率e=∈(0,1),故该曲线为椭圆.若焦点在x 轴上,则m>9,e2==2,解得m=27;若焦点在y轴上,则0<m<9,e2==2,解得m=3.综上, m=3或27.3.已知直线2kx-y+1=0与椭圆+=1 恒有公共点,则实数m的取值范围为 ( )A.(1,9]B.[1,+∞)C.[1,9)∪(9,+∞)D.(9,+∞)【解析】选C.直线2kx-y+1=0恒过定点P(0,1),直线2kx-y+1=0与椭圆+=1恒有公共点,即点P(0,1)在椭圆内或椭圆上,所以+≤1,即m≥1,又m≠9, 所以1≤m<9或m>9.4.若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1 |=7,则|PF2 |等于( )A.1B.13C.1或13D.15【解析】选B.由题意得a=3,c=5,||PF1 |-|PF2 | |=6,而|PF1 |=7,解得|PF2 |=13或1.而|PF2 |≥c-a=2,所以|PF2 |=13.5.直线l过点(,0)且与双曲线-y2=1仅有一个公共点,这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.不确定【解析】选C.因为(,0)为双曲线-y2=1的右顶点, 所以过点(,0)且与双曲线-y2=1有且只有一个公共点的直线有三条:(1)过点(,0)斜率不存在时,即垂直于x轴的直线满足条件;(2)斜率存在时,过点(,0)平行于渐近线y=x或y=-x的直线也满足条件.6.直线l过点P(-2,-4)且与抛物线y2=-8x只有一个公共点,这样的直线共有 ( )A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选C.由题意可知点P(-2,-4)在抛物线y2=-8x上,所以过点P(-2,-4)的直线l斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2)-4.联立,整理可得k2 x2+(4k2-8k+8)x+4k2-16k+16=0.①当k=0时,可得x=-2,y=-4,符合题意;②当k≠0时,Δ=[(4k2-8k+8)]2-4k2·(4k2-16k+16)=0,即k2-2k+1=0,则k=1.综上,满足条件的直线有2条.7.方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)表示的曲线不可能是( )A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.直线【解析】选B.(1)当m(m+1)=0,即m=0或m=-1时,方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)可化为y=0或x=0,故方程表示直线; (2)当m(m+1)>0,即m>0或m<-1时,方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)可化为+=1,当m>0时,方程表示椭圆,当m<-1时,方程无解,不能表示任何曲线;(3)当m(m+1)<0,即-1<m<0时,方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)可化为+=1,表示双曲线;综上,可知方程mx2+(m+1)y2=m(m+1)(m∈R)不能表示抛物线.8.已知椭圆C1:+=1的左、右焦点为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2,若A(1,2),B(x1,y1),C(x2,y2)是C2上不同的点,且AB⊥BC,则y2的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪[10,+∞)B.(-∞,6]∪[10,+∞)C.(-∞,-6)∪(10,+∞)D.以上都不正确【解析】选A.F1(-1,0),F2(1,0).设线段PF2的垂直平分线与l2的交点为M,则|MP|=|MF2|.根据抛物线的定义知点M的轨迹是以F2为焦点,l1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.点B、C在抛物线上,所以=4x1,=4x2,二者相减得,=,即k B C=.因为AB⊥BC,所以k AB k B C=-1,即=-1⇒y2=-y1-=-(y1+2)-+2,当y1+2<0时,-(y1+2)-+2≥8+2=10(y1=-6时取“=”);当y1+2>0时,-(y1+2)-+2≤-8+2=-6(y1=2时取“=”).但点B与点A不重合,故y1≠2,所以y2<-6.综上知y2的取值范围是(-∞,-6)∪[10,+∞).9.若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最小值为 ( )A.2-B.C.2+D.1【解析】选B.设点P(x,y),所以=(x,y),=(x-1,y),由此可得·=(x,y)·(x-1,y)=x2-x+y2=x2-x+1=(x-1)2+,x∈[-,],所以(·)min=.10.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称,则k的值为( )A.-1B.1C.±1D.0【解析】选A.化圆x2+y2+2k2 x+2y+4k=0为(x+k2 )2+(y+1)2=k4-4k+1. 则圆心坐标为(-k2,-1),因为圆x2+y2+2k2 x+2y+4k=0关于y=x对称,所以直线y=x经过圆心, 所以-k2=-1,得k=±1.当k=1时,k4-4k+1<0,不合题意,所以k=-1.11.设A,B为双曲线-=λ(λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点,若向量n=(0,2),||=3且=-1,则双曲线的离心率为( )世纪金榜导学号A.2或B.3或C. D.3【解析】选B.由题意得,cos<,n>==·=-, 所以sin<,n>=.双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,所以点(0,2)到渐近线的距离为d==|n|sin<,n>=,整理得=,a2=8b2,①当焦点在x轴上时,λ>0, 可得e2==,得e=.②当焦点在y轴上时,λ<0,可得e2==9.得e=3.12.设双曲线- =1(a>b>0)的半焦距为c,设直线l过点(a,0)和(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为( )世纪金榜导学号A.4或B.2C.2或D.【解析】选D.由题意,直线l的方程为:+=1,即bx+ay-ab=0,所以原点O到l的距离为d==,因为原点O到l的距离为c,所以=c,整理可得:3c4-16a2 c2+16a4=0,所以3e4-16e2+16=0,所以e2=4或e2=,所以e=2或e=,因为a>b,所以e==<,故e=2不合题意,舍去,双曲线的离心率为e=.13.如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是________.【解析】由椭圆方程可知m-3>4-m>0,所以<m<4.★★★答案★★★:,414.直线L:y=k(x-5)与圆O:x2+y2=16相交于A,B两点,当k变动时,则弦AB的中点M的轨迹方程为________.【解析】设点M的坐标为(x,y),易知直线恒过定点P(5,0),再由OM⊥AP,得:|OP|2=|OM|2+|MP|2,所以x2+y2+(x-5)2+y2=25,整理得:x-2+y2=,因为点M应在圆内,故易求得轨迹为圆内的部分,此时0≤x<.故所求轨迹的方程为x-2+y2=0≤x<.★★★答案★★★:x-2+y2=0≤x<15.已知曲线C: y=与直线L:y=-x+m仅有一个公共点,则实数m 的取值范围为________. 世纪金榜导学号【解析】曲线C:y=可化为x2+4y2=20,联立,得:5x2-8mx+4m2-20=0,由Δ=0,得m=±5.因为y∈[0,+∞),故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图),结合图形易求得m的范围为m=5或-2≤m<2.★★★答案★★★: m=5或-2≤m<216.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的平方为________. 世纪金榜导学号【解析】由直线AB的方程为+=1,整理得bx-ay+ab=0,由已知,直线AB与圆O:x2+y2=c2相切,得d==c,两边平方,整理得c4-3c2a2+a4=0,两边同时除以a4,又e2=,所以e4-3e2+1=0,解得e2=,又椭圆的离心率e∈(0,1),所以e2=,即椭圆的离心率的平方为.★★★答案★★★:给易错点找题号序易错点题练后感悟关闭Word文档返回原板块感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海。

第二章平面解析几何2.1 坐标法课后训练巩固提升1.已知点A(1,2),B(3,1),则到A,B两点距离相等的点P的坐标(x,y)满足的条件是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5解析:由已知,得|PA|=|PB|,即√(x-1)2+(y-2)2=√(x-3)2+(y-1)2,故4x-2y=5.答案:B2.已知在y轴上存在一点P到点A(1,2),B(3,7)的距离相等,则该点的纵坐标为( )A.4.5B.2C.5.3D.2.5解析:设P(0,y),由已知得|PA|=|PB|,则√12+(2-y)2=√32+(7-y)2,得y=5.3.故选C.答案:C3.已知点A,B 的坐标分别为(1,1),(4,3),点P 在x 轴上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.20B.12C.5D.4解析:依题意,A(1,1)关于x 轴的对称点为A'(1,-1),则|PA|+|PB|的最小值为|A'B|=√(4-1)2+(3+1)2=5.答案:C4.已知A(1,2),B(a,6),且|AB|=5,则a 的值为( )A.4B.4或-2C.-2D.-4或2答案:B5.已知点M 到的坐标为 .答案:(2,10)或(-10,10)6.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取得最小值时,实数a 的值是 .解析:由已知,得|AB|=√[2a -1-(a -4)]2+[5-(a +1)]2=√2(a -12)2+492,故当a=12时,|AB|取得最小值.答案:127.已知△BCD的顶点为B(4,-2),C(6,0),D(2,4),则边BD上的中线CN的长为.解析:(方法一)由题意可知,N为BD的中点,则N(3,1),故|CN|=√(3-6)2-(1-0)2=√10.(方法二)∵B(4,-2),C(6,0),D(2,4),∴|BC|=√(4-6)2+(-2-0)2=2√2,|CD|=√(6-2)2+(0-4)2=4√2,|BD|=√(4-2)2+(-2-4)2=2√10.∵|BC|2+|CD|2=|BD|2,∴△BCD为直角三角形.∵CN为Rt△BCD斜边上的中线,∴|CN|=12|BD|=√10.答案:√108.已知点A(3,-2),B(1,4),线段AC的中点M在y轴上,线段BC的中点N 在x轴上.求:(1)点C的坐标;(2)△ABC的面积.解:(1)设C((x+32,y-22),N(x+12,y+42).由题意可知{x+32=0,y+42=0,解得{x=-3,y=-4.故点C的坐标为(-3,-4).(2)由(1)知,|AC|=√(-3-3)2+(-4+2)2=2√10,|BC|=√(-3-1)2+(-4-4)2=4√5, |AB|=√(1-3)2+(4+2)2=2√10.因为|AC|2+|AB|2=|BC|2,所以∠BAC=90°,所以S△ABC=12|AB||AC|=20.9.已知以点A(-3,y)与点B(x,2)为端点的线段的中点C在x轴上,O为原点.(1)若|OC|=1,求点B的坐标;(2)当|AC|取最小值时,求点B的坐标.解:由题意可知,点C的坐标为(x-32,y+22).因为点C在x轴上,所以y=-2,所以A(-3,-2),C x-32,0.(1)因为|OC|=1,所以|x-32|=1,解得x=5或x=1.故点B的坐标为(5,2)或(1,2).(2)因为|AC|=√(x-32+3)2+(0+2)2=√(x+32)2+4,所以当x=-3时,|AC|取最小值2,此时点B的坐标为(-3,2).。