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第一章向量与坐标§1.1 向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、、OC、、、OF、、BC、CD、、EF和FA中，哪些向量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的向量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与AC方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1) AB、; (2) AE、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-E（5=[解]：（1）,-=+（2）,+=+（3≥且,=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘向量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从向量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出向量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线向量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线向量CN BM AL ,,构成一个三角形。
第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。
ABCabcABCDabca b +b c +3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。
4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且 111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、OB、、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.和和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1=+（2+=+（3-=+（4+=C（5=[解]：（1）,-=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=Θ )(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
7. 设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA +=Θ OM += NC ON OC +=)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ON OM OL OC OB OA ++=++∴8. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +＝4.[证明]：因为OM ＝21(OA +OC ), ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB ++OD ) 所以OA +OB +OC +＝4.9 在平行六面体ABCDEFGH （参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AG AH AF AC 2．证明 →→→→→→→→→→→→=+++=+++=++AG CG FG AF AC DH AD AF AC AH AF AC 2．图1-510. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即)(21→→→+=BC AD MN ，故→MN 平行且等于)(21→→+BC AD ．11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD的交点但 OBOD OC OAOBOC BC OA OD AD +=+-=-∴=-=-=Θ由于)(+∥,)(+∥,而AC 不平行于，∴0=+=+，从而OA=OC ，OB=OD 。
12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0ρ.[证明]：因为1OA ＋3OA ＝λ2OA , 2OA ＋4OA ＝λ3OA , ……1-n OA +1OA ＝λn OA ,n OA ＋2OA ＝λ1OA ,所以 2(1OA +2OA +…+n OA )＝λ(1OA +2OA +…+n OA ),所以 (λ－2)(1OA +2OA +…+n OA )＝0ρ. 显然 λ≠2, 即 λ－2≠0.所以 1OA +2OA +…+n OA ＝0ρ.13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明：n PA PA PA n =+++K 21 证明：21=+++n OA OA OA ΛΘ()()()21=-++-+-∴PA PA n Λ即 n PA PA n =+++Λ21§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,==求.,,, 解：()()()()a b DA a b CD a b BC a b AB +-=-=+=--=21,21,21,21．设边BC 和CD 的（2）中点M 和N ，且==,求,。
解：()()32122,21-=⎪⎭⎫⎝⎛--==-=()+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-==21212222．在平行六面体ABCD-EFGH 中，设,,,321e e e ===三个面上对角线矢量设为,,,===试把矢量γμλ++=写成321,,e e e 的线性组合。
证明：2312,e e e e -==-==， 13e e -==，AF AH AC a γμλ++=()()()321e e e γμμλγλ++-++-=3. 设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1[证明]：如图1-7，因为＝－OA ,PB ＝OB －,所以 －OA ＝λ (OB －),(1+λ)OP ＝+λ,从而 OP ＝λλ++1OB.4. 在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()12123131,e e e e -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123132e e +=（2）因为||||TC ＝||11e , 且 BT 与TC 方向相同，所以 BT ||21e . 由上题结论有||||1||212211e e e e e e +||||212112e e +5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量OC OB OA ,,,的分解式。
解：G Θ是ABC ∆的重心。
∴连接并延长与BC 交于P()()()AC AB AC AB AP AG AC AB AP +=+•==+=31213232,21Θ 同理()()+=+=31,31 C O()++=+=∴31（1） G P()++=+=31（2） A B()CB CA OC CG OC OG ++=+=31（3） （图1）由（1）（2）（3）得()()++++++++=31313 ++= 即()OC OB OA OG ++=316．用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：设BC ，CA ，AB 中，点分别为L ，M ，N 。
AL 与BM 交于1P ，AL 于CN 交于2P BM 于CN 交于3P ，取空间任一点O ，则 A()BC BA OB BM OB BP OB OP ++=+=+=313211 ()()OC OB OA OB OC OB OA OB ++=-+-+=3131 A同理()OP ++=312 N M()OP ++=313 B L C321,,P P P ∴三点重合 O ∴三角形三中线共点 （图2） （第3页）7．已知矢量,不共线，问-=2与23-=是否线性相关？ 证明：设存在不全为0的μλ,，使得0=+μλ 即()()()()0232022=--+-⇒=--+-μλμλμλλ故由已知,不共线得{{0003202===-=--⇒μλμλμλ与假设矛盾， 故不存在不全为0的μλ,，使得0=+μλ成立。
所以,线性无关。
8. 证明三个矢量a ρ＝－1e +32e +23e , b ρ＝41e －62e +23e ，c ρ＝－31e +122e ＋113e 共面，其中能否用b ρ,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.[证明]：由于矢量1e , 2e , 3e 不共面，即它们线性无关.考虑表达式 λ+μb ρ+v ＝0ρ，即λ (－1e +32e +23e )+μ (41e －62e +23e )+v (－31e +122e ＋113e )＝0ρ,或 (－λ+4μ－3v ) 1e +(3λ－6μ＋12v ) 2e +(2λ+2μ＋11v ) 3e ＝0ρ.由于1e , 2e , 3e 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧=++==-+-.01122,01263,034v v v μλμλμλ＋－ 解得 λ＝－10，μ＝－1，v ＝2.由于 λ＝－10≠0，所以a ρ能用b ρ,c ρ线性表示a ρ＝－101b ρ＋51c ρ.9．证明三个矢量λννμμλ---,,共面。
