解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章

第一章向量与坐标§1.1 向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、、OC、、、OF、、BC、CD、、EF和FA中，哪些向量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的向量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与AC方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1) AB、; (2) AE、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；互为反向量的向量对是（1）和（4）。

§1.2 向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-E（5=[解]：（1）,-=+（2）,+=+（3≥且,=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘向量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从向量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出向量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线向量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线向量CN BM AL ,,构成一个三角形。

第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。

ABCabcABCDabca b +b c +3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。

4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且 111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

因为M1为P2 P3的中点,故M1(
x2
+ 2
x3
，y2
+ 2
y3 ，z2
+ 2
z3
),又因为G为重心，
故有P1G 2= GM1，即重心G把中线分成定比λ 2，
P1
利用定比分点坐标公式可得
x x= 1 + x2 + x3 ，y y= 1 + y2 + y3 ，z
3
3
z1 + z2 + z3 . G 3
e1, e2 , e3 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；
在一般情况下，叫做仿射标架.
P
e3 r
e1 O
e2
e3 e1 O e2
e3 e1 O e2
注: (1) 标架{O; e1, e2 , e3}中的向量 e1, e2, e3 是有顺序的，交换它们
的次序将会得到另一标架.
(2) 空间标架有无穷多个.
e3
e1 O
e2
e3
e2 O
e1
右手（旋）标架
左手（旋）标架
二、坐标
{ } 定义 1.5.2 （1）式中的 x, y, z 叫做向量 r 关于标架 O;e1, e2, e3 的
坐标或称为分量，记做 r{x, y, z} 或{x, y, z} .
{ } 定义 1.5.3 对于取定了标架 O;e1,e2,e3 的空间中任意点 P ，向量 OP { } 叫做点 P 的向径，或称点 P 的位置向量，向径 OP 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐 { } 标 x, y, z 叫做点 P 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐标，记做 P ( x, y, z) 或 ( x, y, z).

所以 2AM = (AB + AC) + (BM + CM),
但
BM + CM = BM − MB = 0
A
因而 2A= M AB + AC
即 = AM 1 (AB + AC)
2
BM C
例 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，
,
证明三中线矢量 AL, BM, CN 可以构成一个三角形.
例：用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.
[证明]：如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，
BD的交点
A= D OD − OA
B= C OC − OB AD = BC ∴OD − OA = OC − OB OA + OC = OD + OB 由于 (OA + OC) / /AC, (OB + OD) / /BD,
而AC不行于BD, 所以 OA + OC=OB + OD=0
从而OA=OC，OB=OD。
数量乘向量(小结)
一、数乘的概念
二、数乘的运算规律
1⋅ a =a
λ(µ a) = (λµ )a
(λ + µ )a = λa + µ a λ(a + b) = λa + λb
证明:
= AL
1 (AB + AC) 2
= BM 1 (BA + BC) 2
A N
M
= CN 1 (CA + CB)
2
B
L
C
∴ AL + BM + CN= 1 (AB + AC + BA + BC + CA + CB=) 0 2

GF与 CG共线
证明： AG = λGD; BG = µGE;
CG = AG − AC = λ AD − AC
=
λ
•
1
(
1+ λ
AB + AC)
−
AC
1+λ 2
= λ AB − λ + 2 AC
2(1 + λ） 2(1 + λ）
CG = BG − BC = µ BE − BC 1+ µ
= µ • (AE − AB) − BC 1+ µ
八、共面向量的条件
定理1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关.
推论 空间四个以上向量总是线性相关.
例6
设 p = a − b + 5 − 1 b + b − 3a , q = 4a + 5b,
2
5
试证明 : p // q.
证明:
p
=
(1
−
5
组合，即
r = xe1 + ye2 + ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被
e1, e2, e3, r 惟一确定.
P
向量 e1, e2, e3 叫做空间向量的基底.
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例1 已知三角形OAB,其中= OA a= , OB b, 而M、N分别
是三角形OA，OB 两边上的点,且有OM= λ a (0 < λ < 1) ,
线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
七、共线向量的条件

j
i
a
bYX(1XX1X12i(2(jiY1kiji))ZY1X1kY1)2Y(2j((iXk2ji)j) YY21XZj
(a
b)
c
a
c
b
c.
(1.8-5)
证
若
a,
b,
c中至少有一个是零矢
,
或a,
b,
c为一组
共线矢, (1.8 5)成立.
现假设不是上述情况.
设c 为c的单(a位矢b )，先c 证
a
c
b
c
.
证明向量积的分配律: (a+b)c=(a c)+(b c)
引理 a c a2
证明 两矢方向: 一致；引入
成立;
若
a
//
b ，则
a
b
a
b
b
sin (a, b )
a
ba
b a sin (a, b ),
即
a
b 与b
a模相等.
又由向量积定义，a
b 与b
a同时垂直于
a与b,
所其以次, a因 从 b与abba的共终线点. 来看
a,
b 决定的平面
,
顺序
b,
a,
b
a构成右手标架
o; b, a,b a
,
所以a
b与
b
a的方向相反 ,
从而得
a b b a.
定理1.8.4 向量积满足数因子的结 合律,即
为数，(a,ab)为 b任 意a向(量b.)
(a
b ).
(1.8-3)
推论 , 为任意实数，则
(a) (b ) ( )(a b ).

定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
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O
A1
A2
A3
A4
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则
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返回
向量减法
上一页
下一页
返回
A
B
C
上一页
返回
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
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下一页
返回
解
设
为直线上的点，
6、线段的定比分点坐标
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返回
由题意知：
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返回
定理1.5.4 已知两个非零向量
7、其它相关定理
则
共线的充要条件是
定理1.5.6 已知三个非零向量
，则
共面的充要条件是
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返回
空间一点在轴上的投影(Projection)
§1.6 向量在轴上的射影
解
根据题意有
所求方程为
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返回
根据题意有
化简得所求方程
解
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返回
例4 方程 的图形是怎样的？
根据题意有
图形上不封顶，下封底．
解
以上方法称为截痕法.
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e

R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），求此平面方程.
z
将 A D, B D, C D,
c
a
b
c
代入所设方程
Ax By Cz D 0,
o
xa
y
b
得
x y z 1 平面的截距式方程
a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
5. 平面的截距式方程
若已知三点为平面与三坐标的交点 M1 a,0,0, M2 0,b,0,
化简得
n1
n2
2x 3 y z 6 0.
nr
例 求过点(1,0,-1), 且平行于向量 n1 {2,1,1} 和 n1 {1, 1, 0} 的平
面方程.
解 取所求平面法向量 n n1 n2 {1,1, 3},
所求平面方程为
1 ( x 1) 1 ( y 0) 3 ( z 1) 0, n1
为所求平面之法向.
故得平面方程为： r
( x x1, y y1, z z1) n 14( x 2) 9( y 1) (z 4)
14x 9 y z 15 0
或
r ( x x2, y y2, z z2) n
14( x 1) 9( y 3) (z 2)
14x 9 y－z 15 0
所以, 点B与C分居在平面的两侧.
的方位向量。
ur uur ur
uuuuur ur
在空间取仿射坐标系 O;e1, e2, e3 ，并设点 M0 的向 OM0 r0 ，平面
z
uuuur r
上任意一点 M 的向径为 OM r ，
b
r ur r r
M0
a
M
则平面 的向量式参数方程为 r r0 ua vb

由上题结论知： AL + BM + CN = 0
∴OA + OB + OC = OL + OM + ON
4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. [证明]：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点
∵ AD = OD − OA
BC = OC − OB
但 AD = BC
BM = 1 (BA + BC) 2
CN = 1 (CA + CB) 2
∴ AL + BM + CN = 1 ( AB + AC + BA + BC + CA + CB) = 0 2
从而三中线矢量 AL, BM ,CN 构成一个三角形。
3. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明
第 1 章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1Байду номын сангаас单位球面； （2）单位圆
＝3 PiGi ,
从而 OPi
＝ OAi + 3OGi 1+ 3
，
设 Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则
G1
⎜⎛ ⎝
x2
+
x3 3
+
x4
,
y2 + y3 + y4 , 3

有向线段
有向线段的方向表示向量的方向.
有向线段的长度表示向量的大小,
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模为1的向量.
所有的零向量都相等.
零向量：
模为0的向量.
单位向量：
或
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为
＝
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.
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下一页
必有
一、平面的点法式方程
下一页
返回
平面的点法式方程
已知点
返回
5.5 二次曲线的主直径和主方向
5.7 应用不变量化简二次曲线方程
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.
向量(矢量)既有大小又有方向的量.
向量的几何表示：
| |
向量的模：
向量的大小.
或
或
两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量;
e3
.
,
,
3
2
1
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e

一组数x, y，使 r xe1 ye2 .
3）若e1, e2 , e3不共面，则 r可表示为
r
xe1
ye2
ze3
(系数x,
y,
z被e1
,
e2
,
e3
,
r唯一确定
).
关于线性相关性的几个重要定理：
1) a1, a2,, an (n 2)线性相关 其中有一个矢量 是其余矢量的线性组合.
2)若一组矢量中的一部分 矢量线性相关 ,则这一
(a (ba)aa) (c0a()aaa0；)；(b(c)a);
( )a a a
(a
b)
a
b
多边形法则
OA OA1 A1A2 An1An .
3、向量的分解与线性关系
关于矢量分解的几个重要结论：
1）若e 0，则r与e共线 存在唯一实
数x，使r＝xe，
2）若e1, e2不共线，则 r与e1, e2共面 存在唯一
组矢3)量一线个性矢相量关a线. 性相关
a
0,
两a,个b共矢量 线线性存相 关在不 全两为矢零 量共的线数,, ,使 a b 0.
三个矢量线性相关 三矢量共面.
a,
b,
c共面
存在不全 为0的数,
,
,
使
a b c 0.
4) 空间中任意四个矢量总 是线性相关的.
即存在线性关系
a b c d 0.
4、向量在轴上的射影
点在轴上的射影 (点) 向量在轴上的射影 (数)
射影定理
Pr ju AB | AB | cos(AB,u);
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
Pr
ju a Pr

a '13 a '23 a '33
a11
a12
a11x0 a12 y0 a13
a12 a22 a12 x0 a22 y0 a23
a11 x0 a12 y0 a13 a12 x0 a22 y0 a23
F ( x0 , y0 )
a11
a12
a12
a22
a11x0 a12 y0 a13 a12 x0 a22 y0 a23
方程的常数项不变，所以又有a '33 a33，因此
I '3
a1' 3
a '12 a '22
a '13 a '23
a2' 3
a '13 a '23
a '11 a '12
a33
a11 a12
a12 , a22
将(5.6-7)代入
a a
'12 '22
a '13 ，化简整理得 a '23
a '12 a '13 a12 a '22 a '23 a13
F( x, y) 2xy ，它的 K1 0 ，而通过移轴(5.6-1), F ( x, y) 变为
F '( x ', y ') 2x ' y' 2 y0 x ' 2 x0 y' 2 x0 y0,
而这时
0 K '1 y0
y0
0
2 x0 y0 x0
x0 2 x0 y0
( x02
y02 ) 0.
a11 a12 a13 I3 a12 a22 a23

第一章 矢量与坐标§ 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21AC AB AL +=Θ )(21+=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC +=)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量,,构成一个三角形。

8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB ++OD ＝4OM .[证明]：因为OM ＝21(OA +), OM ＝21(OB +OD ), 所以 2＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB ++OD ＝4OM .10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．图1-5证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§ 矢量的线性关系与矢量的分解3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝(－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1[证明]：如图1-7，因为＝－OA ,PB ＝OB －,所以 －OA ＝ (OB －),(1+)OP ＝+,从而 OP ＝λλ++1OB.4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()12123131,e e e e -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123132e e AE +=（2）因为||||TC ||11e e , 且 BT 与方向相同， 所以 BT ||21e e .由上题结论有AT ||||1||212211e e e e e +||||212112e e e e e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。

习题1答案1.(1) 有两个分量为零；（2）有一个分量为零；（3）y 坐标为3；（4）z 坐标为±5.2.A 位于xOz 面上；B 位于yOz 面上；C 位于z 轴上；D 位于y 轴上.3.A 在Ⅳ卦限；B 在Ⅴ卦限；C 在Ⅷ卦限；D 在Ⅲ卦限.4. (1) （2，-3，1）,（-2，-3，-1）,（2，3，-1）;(2) （2，3，1）,（-2，-3，1）,（-2，3，-1）;(3) （-2，3，1）;(1)（a , b , -c ）, （-a , b , c ）, （a , -b , c ）;(2) （a , -b , -c ）,（-a , b , -c ）,（-a , -b , c ）;(3) （-a , -b , -c ）;5. 提示：CA =CB =66.（0，1，-2）.7. 134+e e ; 123243-+-e e e ; 3243107-+-e e e .8. 提示：2102AB BC CD AB ++=+=a b .9. B （-2，4，-3） 10. 21P P = (-2, -2, -2)； 521P P = (-10, -10, -10). 11. =a 3, =b 38, =c 3; 333(,,)333=a , 235(,,)383838-=b ,212(,,)333--=c ;12()()()()1111,,,2222AB BC CD DA =-=+=-=-+a b a b b a a b ..13.24334233CD BC ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩l kl k.14.方法1：→+→=→AM OA OM .方法2：提示：延长 O M 至 N ，使 2ON OM =.15.提示：方法1：()()1123OM OA OB OC AM BM CM =+++++.方法2：坐标法.16.提示：→→→+=AM OA OM ,→→→+=BM OB OM ,→→→+=CM OC OM ,→→→+=DM OD OM17.提示：取AC 的中点O ，则OM ，ON 分别为中位线.18.1))(21→→→+=AC AB AD ,→→→-=AB AC BE 21,→→→-=AC AB CF 21.2) 0=++→→→CF BE AD .19．提示：→→+→-=+i 11OP OP OP i i λ.（其中2 λ）20. 提示：A ，B ，C 三点共线,→→→+=OB OA OC μλ其中21．提示：A ,B ,C ,D 四点共面→→→+=CA k BC k AD 21. 22．)(32321r r r ++=→ED 23.提示：过L 作LD=BM .24．提示：证向量共线.25.1)3a -2b +c =，2)5a +6b +c 26.→AB (1,3,3)27.B （3，4，4）28. A （-1，2，4）; B （8，-4，-2）.29. (1) 3,57++i j k ; (2) 18,10214-++i j k ;(3) cos ∠（a ，b ）=3221; sin ∠（a ，b ）= 527; tan ∠（a ，b ）=533. 30. (1) 10l =; (2) 2l =-.31. (1) 824j k --; (2) j k --; (3) 2 32. (1) 36; (2)3217, 3677. 33. 1.34.（1） 提示：()()()()[]⋅⋅-=-a a b c ac b a ab c a ac b .（2）提示： 因为 m 1m 2,所以，对该平面上任意矢量c ＝λm 1＋μm 2.（3）提示： BC AC AB =-, AD CD CA =- .35．(1)5；(2)-3；(3)72-；(4)11. 36.(1) 32-(2) 222123=++r 14=, r 与a ,b ,c 的夹角分别为arccos 1414，14arccos 7，314arccos .14(3)cos (,)∠=a b 3π (4)40λ=37.解：1)向量a ,b ,c 不共面，c 不能表成a ,b 的线性组合.2)向量a ,b ,c 共面,b a c 3221+= 3)向量a ,b ,c 共面,c 不能表成a ,b 的线性组合.38. B (10,0，513) 39.|AB |=149,AB 边上的中线长：2461,|BC |=292,BC 边上的中线长：352, |AC |=212,AC 边上的中线长：2341.40.1）20 2）11.41.1）x ·y =354,105,2310==y x ， 354(,)arccos242550∠=x y 2）x ·y =929,426,2237==y x ， 929(,)arccos 952962∠=x y42.(3a +2b )·(2a -5b ）=633314-，两向量间的夹角为π43. 43.略. 44.3=OL ，321531+=→OM ，(,)OL OM ∠3215633arccos --=45.D 分AB 的比为1，T 分AB 的中为b a .H 分AB 的线为θθcos 2cos 2ab b ab a--. 46．略.47．略.48. 略.49.1) a ×b=(6, 3 3), S=63;2） a ×b =(12,26, 8) , =2221S ; 3） a ×b = (72, 24, 0),=2410S . . 50．1) (2,1,2), (2, 1, 2).2) (16, 4, 16). 3) 2, 2.4) (3,4,5), (1, 2, 1).51.略.52.四面体的体积596V =. 53.提示：(a, b , c )=0.自我测验题1一、填空题.1.Ⅵ，(4,2,-6), (4,-2,-6)，(8,-4,8).2．68,(-5,15,-7),-34,9299.3.求面积、求垂直向量、证明平行问题.4.0⋅=a b ，(),,0=a b c5.在三轴上的射影，1-1对应.二、判断题.1.√2.×3.√4. ×5.×三、计算题.1.1) x 与 y 共线或 x 与 y 中至少有一个为 0 . 2） x 与 y 共线或 x 与 y 中至少有一个为 0 . .2. 3a +3b -5c .3.x =2||b a b b ⨯-a .4.x =ba c ab ⋅⨯+α. 5..096172,22,63=+--z y x四、证明题.1.提示：证AD AB 与共线.2.略.。

y
O
x
ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割
②用y = k截曲面
⇒ C y=k= ： x2
2a2
z
−
y2 2b2
，( 抛物线 )
结论：取这样两个抛物线，
y
=
k.
z
它们所在的平面互相垂直，
它们的顶点和轴都重合，且
两抛物线有相同的开口方向，
让其中一条抛物线平行于自
己（即与抛物线所在的平面
平行），且使其顶点在另一
z
=
2uv,
式中 u, v 为参数.
双曲抛物面
x2 a2
−
y2 b2
= −2z
椭圆抛物面 x2 + y2 = −2z
a2 b2
x2 a2
−
y2 b2
= ±2z
x2 a2
+
y2 b2
= ±2z
抛物面的方程可以写成统一的形式：
Ax2 + By=2 2z ( AB ≠ 0) （＊）
当 AB > 0 时， （＊）表示椭圆抛物面； 当 AB < 0 时，（＊）表示双曲抛物面.
绕它的对称轴旋转
.
o
x
旋转抛物面
x2 + y2 = 2 pz
y
二、椭圆抛物面的性质
x2 + = y2 a2 b2
2z (a,b > 0)
1 对称性
关于 z 轴，xOz 、yOz 坐标平面对称;
2 顶点
(0, 0, 0) 为椭圆抛物面的顶点.
3 范围 方程（4.6-1）表示的曲面全部在 xOy 平面的一侧.
个抛物线上滑动，那么前一
抛物线的运动轨迹是一个椭