秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数学案(新版)新人教版【教案】

人教版数学九年级上册教案：22.3《实际问题与二次函数》一、教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系。

2.掌握解决实际问题的二次函数模型建立方法。

3.能够应用二次函数解决实际问题。

二、教学重难点1.掌握如何将实际问题抽象为二次函数模型。

2.解决实际问题时的思维过程和方法。

三、教学准备1.课本《人教版数学》九年级上册。

2.教学投影仪。

3.讲义、笔、纸等。

四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾上节课学习的内容，并复习二次函数的定义、图像和性质。

2. 引入实际问题给出一个实际问题，例如：小明用压岁钱买了一台照相机，照相机的价格是x 元，如果每售出一台照相机，他能从中获利5x - x^2 元。

请问小明应该以多少价格售出照相机，才能使利润最大化？3. 建立二次函数模型解释给出问题，并引导学生思考如何建立二次函数模型。

提示学生需要确定自变量和因变量，并分析问题中的关系。

通过与学生互动，引导出二次函数模型：利润函数 P(x) = 5x - x^2。

4. 解决问题通过对利润函数进行求导，并求得导函数为0的临界点 x = 2.5。

由此可得，当照相机的价格为2.5元时，小明的利润最大化。

5. 拓展实际问题给出更多类似的实际问题，例如：某体育用品店销售护膝，价格为x元一副，销量为100 - 5x副。

请问店家应该以多少价格销售护膝，才能使利润最大化？引导学生分析问题并建立二次函数模型。

通过解法流程的讲解，帮助学生掌握解决实际问题的方法。

6. 总结回顾对本节课学习的内容进行总结回顾。

重点强调实际问题与二次函数之间的联系，以及解决实际问题的方法。

五、课堂练习根据给出的实际问题，学生单独完成建立二次函数模型，并求解出最优解。

1.某农场种植西瓜，每亩土地种植西瓜数量为x只，销量为100x - 2x^2只。

请问农场应该种植多少只西瓜，才能使销售额最大化？2.某旅游公司举办一次旅行，每人收费为x元，游客的数量为200 - 10x人。

22.3实际问题与二次函数教学目标：1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决面积最大值问题；2.能根据实际意义求出自变量的取值范围；3.在探究二次函数的实际意义中学会分析问题，体会数学建模思想以及数学与生活的紧密联系性。

教学重点：将实际问题转化为二次函数问题，并能用配方法或公式法求出顶点坐标。

教学难点：准确求出自变量的取值范围。

教学准备：多媒体教学过程设计：一、设计问题，创设情境师：八年级我们学习了一次函数，同学们回顾一下：我们都是从哪些方面研究一次函数？学生回答师：类比一次函数的学习过程，我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质，本节课我们将要学习实际问题与二次函数．在正式学习新课之前，请大家看下面问题：出示问题1：用总长为40m的篱笆围成矩形场地，（1）怎样围成一个面积是75m²的矩形场地？（2）能否围成一个面积是150m²的矩形场地，若能，说出围法；若不能，说明理由。

学生独立完成，教师巡视指导，完成后，学生讲解做法，教师适当引导，若存在问题，其他学生补充．（3）设矩形一边的长度为xm，面积为ym²，求矩形的最大面积。

师生活动：引导学生写出函数关系式，教师出示函数图像，学生结合图像求出矩形的最大面积．追问：能否围成面积为130m²，80m²的矩形，你能马上判断出来吗？学生判断．设计说明：学生在接触实际问题与二次函数之前，已经学习了实际问题与一元二次方程，从一元二次方程实际问题引入，学生比较容易接受，另一方面也让学生体会到一元二次方程与二次函数之间的联系．同时，通过解决此问题，能使学生初步体会运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤．二、信息交流，例题讲解在现实生活中，人们为了节省材料，常常借助墙作为花圃的一边，此时你能解决这个问题吗？问题2：欲用长为60m的篱笆，围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？师生活动：１．学生尝试，教师巡视指导，若做题过程中存在困难，小组讨论；2．学生尝试解答题目，初步形成做题思路．如果存在不足或者错误的地方，其他同学给予补充或者改正，教师适当引导，如果展示学生没有错误但巡视过程中存在共性的错误，注意及时纠正；3．师生规范做题过程，教师板书过程；4．学生修改完善做题．教学预设：１．学生设AD的长度为xm；2.学生设AB的长度为xm；3.学生用公式法求顶点坐标；4．学生用配方法求顶点坐标．以上预设，无论出现哪种情况都应该给予学生肯定，并鼓励学生根据具体问题以及自己对知识的掌握情况，灵活选择．学生在探求最大面积时部分学生可能会不易理解顶点的意义，此时教师要注意结合图形进一步引导学生体会顶点的意义．追问：通过刚才的题目，你能概括用二次函数求面积最大问题的一般步骤吗？学生总结，要存在不足，教师引导。

22.3.3实际问题与二次函数一、教学目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题二、课时安排1课时三、教学重点会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.四、教学难点建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题五、教学过程（一）导入新课我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！（二）讲授新课探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?解：建立如图所示坐标系,设二次函数解析式为2.y ax =由抛物线经过点（2，-2），可得1,2a =- 所以，这条抛物线的解析式为21.2y x =- 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为 3.y =-当 3.y =- 时，x =所以，水面下降1m ，水面的宽度为m .所以水面的宽度增加了()4m.探究4：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?请同学们分别求出对应的函数解析式解：设y =-ax 2+2将（-2,0）代入得a =12- ∴y =2122x -+； 设y =-a （x-2）2+2将（0,0）代入得a =12- ∴y =21(2)2x -- +2； 归纳：解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.（三）重难点精讲在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？解：如图建立直角坐标系.则点A 的坐标是（0，209），B 点坐标是（4，4），C 点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y =a (x -4)2+4 ①. 把点A (0,209 )代入①得220=(04)4,9a -+ 解得 1.9a =- 所以抛物线的解析式是21(4)49y x =--+ 当x =8时，则2120(84)43,99y =--+=≠ 所以此球不能投中.若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.（四）归纳小结用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是利用 数形结合 和 函数 思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用 待定系数 求出运动轨迹（即抛物线）的解析式，再用二次的性质去分析解决问题。

22.3 实际问题与二次函数第1课时用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a＞0时，图象开口向________，当a＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用．二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S最大？分析：提问1：矩形面积公式是什么？提问2：如何用l表示另一边？提问3：面积S的函数关系式是什么？问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？ 提问3：面积S 的函数关系式是什么？答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？答案：x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450.问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x＝－x22＋30x.提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？ 答案：0＜x≤18.提问6：如何求最值？答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、回归教材阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？四、基础练习1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题． 2．阅读教材第52～54页． 五、课堂小结与作业布置 课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．作业布置教材第52页 习题第4～7题，第9题．。

22.3 实际问题与二次函数教学目标1. 会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．教学重点1. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立合适的直角坐标系．2. 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题课时安排3课时.第1页共11页教案A第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．二、新课教学问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）．然后让学生计算当t ＝1、t ＝2、t ＝3、t ＝4、t ＝5、t ＝6时，h 的值是多少？再让学生根据算出的数据，画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．当t ＝－ab 2＝－)5(230-⨯＝3时，h 有最大值a b ac 442-＝)5(4302-⨯-＝45． 答：小球运动的时间是3s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m ．问题2 如何求出二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值？学生根据问题1归纳总结：当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低第3页 共11页（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值a b ac 442-． 三、巩固练习探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．解：矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，所以另一边长（260－l ） m ．场地的面积S ＝l (30－l )，即S ＝－l 2＋30l （0＜l ＜30）． 因此，当l ＝－a b 2＝－)1(230-⨯＝15时，S 有最大值a b ac 442-＝)1(4302-⨯-＝225．也就是说，当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．四、课堂小结利用二次函数解决实际问题的过程是什么？找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．五、布置作业习题22.3 第1、4题．第2课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．（1）我们先看涨价的情况．设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60 + x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即y＝－l0x2+100x+6 000．列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x的取值范围呢？由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30．根据上面的函数，可知：当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．（2）我们再看降价的情况．设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x) (300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6 000．怎样确定x的取值范围呢？由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20．当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元．由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．三、巩固练习1．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则y与x之间的关系式是，销售所获得的利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式是．2．某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？参考答案：1．y＝－30x＋96 0，w＝(x－16)(－30x＋960)2．y＝(13.5－x－2.5)(500＋200x)＝－200x2＋1 700x＋550 0，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5－4.25＝9.25时，可取得最大利润9112.5元．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第8题．第3课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y＝ax2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．第5页共11页如上图，设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a ×22， a ＝－21． 这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21 x 2． 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为－3，根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为6，－6，据此可求出这时的水面宽度是26．答：水面下降1m ，水面宽度增加26－4m ．三、巩固练习某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示．根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45． （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教师让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题（1）就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题（2）就是求右图B 点的横坐标． 学生独立解答，教师巡视指导，最后让一两位同学板演，教师讲评．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．第7页 共11页教案B第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究．二、新课教学问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）．然后画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，可以观察到当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m ．一般地，当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值a b ac 442 ． 探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．具体步骤可见教材第50页．三、巩固练习1．已知一个矩形的周长是100 cm ，设它的一边长为x cm ，则它的另一边长为______cm ，若设面积为s cm 2，则s 与x 的函数关系式是__________，自变量x 的取值范围是________．当x 等于_____cm 时，s 最大，为_______ cm 2.2．已知：正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上任意一点，且AE =AF ，若EC =x ，请写出△AEF 的面积y 与x 之间的函数关系式，并求出x 为何值时y 最大．参考答案：1．50－x ，s=x (50－x )，0<x <50，25，6252．y ＝－21x 2＋4x ，当x ＝4时，y 有最大值8． 四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题22.3 第1、4题．第2课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学1．探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体步骤见教材第50页．2．巩固练习第9页 共11页重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P ＝－150(x －30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q ＝－4950(50－x )2＋1945(50－x )＋308万元． （1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?（2）若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?（3）根据（1）（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．解：（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P ＝－150(x －30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M 1＝10×10＝100万元．（2）若对该产品开发，在前5年中，当x ＝25时，每年最大利润是：P ＝－150(25－30)2＋10＝9.5（万元）． 则前5年的最大利润为M 2＝9.5×5＝47.5万元．设后5年中x 万元就是用于本地销售的投资，则由Q ＝－4950 (50－x )＋1945(50－x )＋308知，将余下的(50－x )万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．则后5年的利润是M 3＝[－150(x －30)2＋10]×5＋(－4950x 2＋1945x ＋308)×5 ＝－5(x －20)2＋3500．故当x ＝20时，M 3取得最大值为3500万元．∴10年的最大利润为M ＝M 2＋M 3＝3547.5万元．（3）因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．三、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？四、布置作业习题22.3 第8题．第3课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y ＝ax 2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2． 当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？第11页 共11页 分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 (a ＜0) ①因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82 所以a ＝－154因此，函数关系式是y ＝－154x 2 ② ∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．将y ＝－0.9代入②式得－0.9＝－154x 2 解得 x 1＝56，x 2＝―56． 涵洞宽ED ＝256≈0.98＜1． 四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．。

人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22章第三节的内容。

本节课主要让学生学习如何将实际问题转化为二次函数模型，并通过解决实际问题来巩固和提高对二次函数的理解和应用能力。

教材通过引入一些实际问题，让学生学会用二次函数的知识去解决这些问题，从而培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题，对学生来说可能还是有一定的难度。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识联系起来，让学生在解决实际问题的过程中，加深对二次函数的理解。

三. 教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系，学会将实际问题转化为二次函数模型。

2.掌握二次函数在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。

3.培养学生的数学应用意识，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.教学重点：实际问题与二次函数之间的转化，二次函数在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，如何运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学法，通过引入一些实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决这些问题。

在解决问题的过程中，教师引导学生总结实际问题与二次函数之间的关系，从而达到巩固知识，提高应用能力的目的。

六. 教学准备1.准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识去解决。

2.准备教学PPT，用于展示和讲解实际问题与二次函数之间的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何运用二次函数的知识去解决这些问题。

2.呈现（15分钟）教师呈现一些实际问题，让学生独立思考，尝试将实际问题转化为二次函数模型。

教师在这个过程中，给予学生适当的引导和帮助。