2014届高考数学一轮复习精品学案：第11讲 空间中的垂直关系

专题42 空间中的垂直关系1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒l⊥α性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定 定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊂β⇒α⊥β性质 定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝a l ⊥al ⊂β⇒l⊥α3.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．高频考点一 直线与平面垂直的判定与性质例1、(1)(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n解析：因为α∩β＝l ，所以l ⊂β，又n ⊥β，所以n ⊥l .故选C. 答案：C(2)如图，三棱锥P ­ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .①证明：AB ⊥平面PFE ；②若四棱锥P ­DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．解：①证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC .又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因为∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PFE .②设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC . 由AD ＝12AE ，S △AFD ＝12S △AFE ＝12×49S △ABC＝29S △ABC ＝19x 36－x 2， 从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD＝12x 36－x 2－19x 36－x 2 ＝718x 36－x 2. 由①知PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ­DFBC 的高． 在Rt△PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝23， 所以V P ­DFBC ＝13S DFBC ·PE＝13×718x 36－x 2×23＝7， 所以x 4－36x 2＋243＝0， 解得x 2＝9或x 2＝27.由于x >0，因此x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.【举一反三】(1)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．①求证：EF ⊥平面BCG ； ②求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．②解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin60°＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h＝13×12BD ·BC ·sin120°·32＝12. (2)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB .求证：PA ⊥CD .【感悟提升】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．学——(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．【变式探究】如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.高频考点二平面与平面垂直的判定与性质例2、(1)如图，P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，又DA⊂平面PAD，∴平面PAD ⊥平面PAB，同理可证平面PAB⊥平面PBC.答案：A(2)(2016·高考北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.①求证：DC⊥平面PAC；②求证：平面PAB⊥平面PAC；③设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．证明：①因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，PC∩CA＝C，所以DC⊥平面PAC.②因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB，且PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC，且AB⊂面PAB.所以平面PAB⊥平面PAC.③棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，所以PA∥平面CEF.【举一反三】(1)如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．①求证：BD∥平面FGH；②若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明①方法一如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.②连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.(2)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD 沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.求证：①CD⊥平面PBD.②平面PBC⊥平面PDC.证明①∵AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°，又∠DCB＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC.∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面PBD.②由CD ⊥平面PBD 得CD ⊥BP . 又BP ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴BP ⊥平面PDC . 又BP ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PDC .【感悟提升】面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．【变式探究】 如图，三棱锥PABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥PDFBC 的体积为7，求线段BC 的长．(2)解 设BC ＝x ，则在Rt△ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， 即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC＝29S △ABC ＝19x 36－x 2. 从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2. 由(1)知，PE ⊥平面ABC ， 所以PE 为四棱锥PDFBC 的高．在Rt△PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 体积V PDFBC ＝13·S DFBC ·PE＝13·718x 36－x 2·23＝7， 故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27， 由于x ＞0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以，BC ＝3或BC ＝3 3.高频考点三 线面角、二面角的求法例3、如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A —PD —C 的正弦值． (1)解 在四棱锥P —ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 从而AB ⊥平面PAD ，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ， 从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt△PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P —ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ，∴AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则可证得AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt△ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA ·AD PD＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt△AEM中，sin∠AME＝AEAM＝144.所以二面角A—PD—C的正弦值为144.【感悟提升】求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．【变式探究】如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE, ∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．(1)证明方法一如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD，又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.(2)解 方法一 设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEFABC 中，G 为AC 的中点，由DF ＝12AC＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此DG ∥FC ，又FC ⊥平面ABC ， 所以DG ⊥平面ABC .在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点． 所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ，因此GB ，GC ，GD 两两垂直． 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz .所以G (0,0,0)，B (2，0,0)，C (0，2，0)，D (0,0,1)． 可得H ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0，F (0，2，1)， 故GH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，GF →＝(0，2，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n ·o (GH ,sup6(→))＝0，n ·GF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧22x ＋22y ＝0，2y ＋z ＝0.令x ＝1，可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，－1，2)． 因为GB →是平面ACFD 的一个法向量，GB →＝(2，0,0)． 所以cos 〈GB →，n 〉＝GB sup6(→)·n |GB →|·|n|＝222＝12.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°. 方法二 如图，作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH .设AB ＝2，则CF ＝1.由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ， 又FC ∩AC ＝C ， 所以HM ⊥平面ACFD .因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角． 在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝22，由△GNM ∽△GCF ，可得MN FC ＝GMGF， 从而MN ＝66. 由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ， 得HM ⊥MN ，因此tan∠MNH ＝HMMN＝3， 所以∠MNH ＝60°，所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°. 高频考点四、 空间垂直关系的探索例4、 (1)如图，已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4，D 是棱AA 1上的任一点，M ，N 分别为AB ，BC 1的中点．①求证：MN∥平面DCC1；②试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC.解：①证明：法一：如图，连接AC1，因为M，N分别为AB，BC1的中点，故MN∥AC1，又AC1⊂平面DCC1，MN⊄平面DCC1，故MN∥平面DCC1.法二：如图，取BC的中点G，连接GN，GM，则GN∥CC1，又CC1⊂平面DCC1，GN⊄平面DCC1，故GN∥平面DCC1.同理可知GM∥平面DCC1，又GN，GM是平面NMG内的两条相交直线，故平面NMG∥平面DCC1，又MN⊂平面NMG，故MN∥平面DCC1.②当点D为AA1的中点时，满足DC1⊥平面DBC.证明：由题意可知BC⊥AC，BC⊥CC1，而AC，CC1是平面AA1C1C内的两条相交直线，故BC ⊥平面AA1C1C，又DC1⊂平面AA1C1C，故DC1⊥BC.在△CDC1中，CD＝22，DC1＝22，CC1＝4，满足CD2＋DC21＝CC21，所以DC1⊥DC，又BC，DC是平面DBC内的两条相交直线，故DC1⊥平面DBC.(2)如图，已知三棱柱ABC­A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N 分别为A′B和B′C′的中点．①证明：MN∥平面AA′C′C；②设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．证明：①连接AB ′，AC ′，∴M ∈AB ′，M 是AB ′的中点， 在△B ′AC ′中，MN 为其中位线，∴MN ∥AC ′，AC ′⊂面AA ′C ′C ，MN ⊄面AA ′C ′C . ∴MN ∥面AA ′C ′C .②连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ， 由题意知BC ＝2λa ，CN ＝BN ＝a 2＋12λ2a 2，因为三棱柱ABC ­A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面， 所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C ，因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ，所以CN ⊥A ′N ，要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可，所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2，解得λ＝2，故当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN .【变式探究】如图，在四棱锥S ­ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD .四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点．(1)求证：CD ⊥平面SAD ；(2)若SA ＝SD ，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形， 所以CD ⊥AD .又平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面SAD .所以NO ∥SP .易知SP ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，并且SP ⊥AD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD .又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD .1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【答案】（I ）见解析（II ）21919- 【解析】（Ⅰ）由已知可得ΑF DF ⊥，ΑF FE ⊥，所以ΑF ⊥平面ΕFDC ． 又F A ⊂平面ΑΒΕF ，故平面ΑΒΕF ⊥平面ΕFDC ．（Ⅱ）过D 作DG ΕF ⊥，垂足为G ，由（Ⅰ）知DG ⊥平面ΑΒΕF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=，则2DF =，3DG =，可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，()0,0,3D ．由已知，//AB EF ，所以//AB 平面EFDC ． 又平面ABCD平面EFDC DC =，故//AB CD ，//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以C ΕF ∠为二面角C BE F --的平面角，60C ΕF ∠=．从而可得()2,0,3C -．所以()1,0,3ΕC =，()0,4,0ΕΒ=，()3,4,3ΑC =--，()4,0,0ΑΒ=-． 设(),,x y z =n 是平面ΒC Ε的法向量，则00ΕC ΕΒ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 所以可取()3,0,3=-n ．设m 是平面ΑΒCD 的法向量，则0ΑC ΑΒ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，同理可取()0,3,4=m ．则219cos ,19⋅==-n m n m n m ． 故二面角E BC A 的余弦值为21919-．2.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；295【解析】（Ⅰ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故AC EF ∥. 因此EF HD ⊥，从而EF D H '⊥.由5AB =,6AC =得2204DO B AB AO =-=.由EF AC ∥得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，==3D H DH '. 于是222223110D H OH D O ''+=+==，故D H OH '⊥. 又D H EF '⊥，而OHEF H =，所以D H ABCD '⊥平面.（Ⅱ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,1,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,x y z =m 是平面ABD '的法向量，则00AB AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩m m ，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可取()4,3,5=-m .设()222,,x y z =n 是平面ACD '的法向量，则0AC AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩n n ，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可取()0,3,1=-n .于是75cos ,5010⋅<>===⨯m n m n m n 295sin ,<>=m n .因此二面角B D A C '--2953.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面 4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）33；（3）存在，14AM AP = 【解析】（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥， 所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥， 又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ；如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=n .又)1,1,1(-=PB ，所以33,cos -=⋅>=<PBn PB n PB n . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.5.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ）34． 【解析】（Ⅰ）延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥． 又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK △为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥． 所以BF ⊥平面ACFD ．（Ⅱ）方法一：过点F 作FQ AK ⊥于Q ，连结BQ ．因为BF ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ AK ⊥． 所以BQF ∠是二面角B AD F --的平面角．在Rt ACK △中，3AC =，2CK =，得313FQ =． 在Rt BQF △中，313FQ =，3BF =3cos BQF ∠=． 所以二面角B AD F --3． 方法二：如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则BCK △为等边三角形．取BC 的中点O ，则KO BC ⊥，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以，KO ⊥平面ABC ． 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．由题意得()1,0,0B ，()1,0,0C -，3)K ，()1,3,0A --，13(,0,)22E ，13F(,0,22-．因此，()0,3,0AC =，(3AK =，()2,3,0AB =．设平面ACK 的法向量为()111,,x y z =m ，平面ABK 的法向量为()222,,x y z =n ．由00AC AK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得111130330y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,0,1=-m ；由00AB AK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得22222230330x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取(3,3=-n ．于是，3cos ,⋅==⋅m n m n m n ． 所以，二面角B AD F --31.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。

专题11 空间中的平行与垂直2014高考对本内容的考查主要有：(1)主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.4．垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.考点1、空间几何体的认识及表面积与体积的计算【例1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A­BB1D1D的体积为________cm3.【变式探究】已知正六棱锥P­ABCDEF的底面边长为1 cm，侧面积为3 cm2，则该棱锥的体积为________cm3.体积＝13×332×12＝34(cm 3)． 【答案】34考点2、空间中点线面位置关系的判断【例2】设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；③若l 上有两点到α的距离相等，则l ∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．【解析】 由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④.【答案】②④【方法技巧】这类题为高考常考题型，其实质为多项选择．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选．【变式探究】 设l 是直线，α，β是两个不同的平面①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β，则上述命题中正确的是________．难点1、线线、线面、面面平行与垂直的证明【例1】如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.【方法技巧】证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规X，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．【变式探究】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB ＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M­ACD的体积．【证明】(1)证明∵AB∥DC，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD.∴AB∥平面PCD.(2)证明在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形1．对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中正确命题的序号是________．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.则其中正确命题的序号是________．【解析】根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确．【答案】①②3．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B­B1EF的体积为________．4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a⊥b的条件是________(填序号)．①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β.5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF 的长度等于________．6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号______(写出所有真命题的序号)．7．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上(M ，N 不与B 1，C 1重合)，且AM ＝BN ，那么①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1异面，以上4个结论中，正确结论的序号是________．8．在正三棱锥P ­ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确结论的序号是________．9．如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC .(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)点F 在BE 上．若DE ∥平面ACF ，求BFBE的值．10.如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD.【证明】11.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；(2)证明：C1F∥平面ABE；(3)设P是BE的中点，求三棱锥P­B1C1F的体积．在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1E綉AM，四边形AMC1B是平面四边形，∴C1M∥AE。

高三新数学第一轮复习第十一讲—空间中的垂直关系一．知识整合1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

二．典例精析题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。

例2．（2006全国Ⅱ，19）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。

学案41 空间的垂直关系导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．自主梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l⊂α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．4．二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的序号是________．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)5．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．探究点一线面垂直的判定与性质例1 Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1 四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.探究点二面面垂直的判定与性质例2 如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.探究点三直线与平面、平面与平面所成的角例3 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝2a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值．变式迁移3 如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA ＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．转化与化归思想例(14分)已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的菱形，又PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.(1)证明：DN∥平面PMB；(2)证明：平面PMB⊥平面PAD.【答题模板】证明(1)取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QN∥BC∥MD，且QN＝MD，故四边形QNDM是平行四边形，于是DN∥MQ.[4分]又∵MQ⊂平面PMB，DN⊄平面PMB∴DN∥平面PMB.[7分](2)∵PD⊥平面ABCD，MB⊂平面ABCD，∴PD⊥MB.[9分]又因为底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD.又AD∩PD＝D，所以MB⊥平面PAD.[12分]又∵MB⊂平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD.[14分]【突破思维障碍】1．立体几何中平行与垂直的证明充分体现了转化与化归的思想，其转化关系如图．2．在解决线面、面面平行或垂直的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线”到“线面”，再到“面面”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．1．证明线面垂直的方法：(1)定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.2．证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；(4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b .3．证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知直线a ，b 和平面α，β，且a ⊥α，b ⊥β，那么α⊥β是a ⊥b 的________条件．2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β；④若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n .其中正确命题是________(填序号)．3．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．其中错误的是________．4．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号是__________(写出所有真命题的序号)．5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为____________________________________________________________．6．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积为________．7．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是____________．8．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．二、解答题(共42分)9．(12分)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥F－OBED的体积．10．(14分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E 为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．11．(16分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，证明平面MBD ⊥平面PAD . (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．学案41 空间的垂直关系答案自主梳理1．(1)②相交 ③垂直 (2)①任意 ②平行 ③平行 2．射影 直角 0° 3.(1)②一条垂线 (2)交线 4.垂直于 自我检测1．② 2.2 3.④ 4.DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等) 5.23解析 方法一 如图，建立空间直角坐标系．设面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．设正方体的棱长为1，∵A (1,0,0)，E (1,1，13)，F (0,1，23)，∴AE →＝(0,1，13)，EF →＝(－1,0，13)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111，∴面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，∴tanα＝23.方法二 如图，设正方体的棱长为3，则由题意知CF ＝2，BE ＝1，分别延长FE 、CB 交于点M ，连结AM ，作BN ⊥AM 于点N ，连结EN .∵EB ⊥平面ABM ，AM ⊂平面ABM ， ∴EB ⊥AM .又BN ⊥AM ，EB ∩BN ＝B ， ∴AM ⊥平面BEN ，∴AM ⊥EN .∴∠BNE 即为面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角． ∵BE ∥CF ，∴BE CF ＝MB MC ，即12＝MBMB ＋3，∴MB ＝3，∴AM ＝AB 2＋MB 2＝3 2. 由12AM ·BN ＝12BM ·AB 得 BN ＝BM ·AB AM ＝3×332＝322.又EB ⊥平面ABM ，∴EB ⊥BN ，∴tan ∠BNE ＝BE BN ＝1322＝23.课堂活动区例1 解题导引 线面垂直的判定方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线．即从“线线垂直”到“线面垂直”．证明(1)取AB 中点E ，连结SE ，DE ，在Rt △ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点， 故DE ∥BC ，且DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴△SAB 为等腰三角形， ∴SE ⊥AB .∵SE ⊥AB ，DE ⊥AB ，SE ∩DE ＝E ， ∴AB ⊥面SDE .而SD ⊂面SDE ，∴AB ⊥SD . 在△SAC 中，SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又∵AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)若AB ＝BC ，则BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥面ABC ，而BD ⊂面ABC ， ∴SD ⊥BD .又∵SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC . 变式迁移1 证明 作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ， 由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD .因为SA ＝SB ，所以AO ＝BO .又∠ABC ＝45°，故△AOB 为等腰直角三角形，且AO ⊥BO ， 又SO ⊥BC ，SO ∩AO ＝O ，∴BC ⊥面SAO .又SA ⊂面SAO ，∴SA ⊥BC .例2 解题导引 证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行．证明如图所示，连结AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点．由棱柱的性质知：A1O1∥OC，且A1O1＝OC，∴四边形A1OCO1为平行四边形，∴A1O∥O1C，又A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD，又O1C⊂平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2证明(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.例3 解题导引高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一．有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查．根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)→认(指)→求．(1)证明如图所示，连结BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE.(2)解 如图所示，由SD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴SD ⊥CD .又底面ABCD 是正方形， ∴CD ⊥AD .又SD ∩AD ＝D ， ∴CD ⊥平面SAD .过点D 在平面SAD 内作DF ⊥AE 于F ，连结CF ，则CF ⊥AE ，故∠CFD 是二面角C —AE —D 的平面角，即∠CFD ＝θ.在Rt △BDE 中，∵BD ＝2a ，DE ＝λa ， ∴tan φ＝DE BD ＝λ2.在Rt △ADE 中，∵AD ＝2a ＝CD ，DE ＝λa ， ∴AE ＝a λ2＋2， 从而DF ＝AD ·DE AE ＝2λaλ2＋2. 在Rt △CDF 中，tan θ＝CD DF ＝λ2＋2λ，由tan θ·tan φ＝1，得λ2＋2λ·λ2＝1⇒λ2＋2＝2⇒λ2＝2.由λ∈(0,2]，解得λ＝ 2.变式迁移3 (1)证明 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又AC ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .(2)解 ∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB .又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形． ∴AD ＝22AB . 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12AB .∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成角的正弦值为24. (3)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC .又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ， ∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°. ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC . 这时，∠AEP ＝90°，故存在点E 使得二面角A —DE —P 是直二面角． 课后练习区1．充要 2.①②③ 3.①③④ 4.①② 5.1056. 3解析 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA 为三棱锥P －ABC 的高，且PA ＝3.∵底面ABC 为正三角形且边长为2，∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P －ABC ＝13×3×3＝ 3.7．①②③ 8.6＋ 2 9.(1)证明 方法一 (综合法)如图所示，设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点．由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，且OD ＝2，所以OB 綊12DE ，(3分)OG ＝OD ＝2.(5分)同理，设G ′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点，有OC 綊12DF ，OG ′＝OD ＝2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上， 所以G 与G ′重合．(10分)在△GED 和△GFD 中，由OB 綊12DE 和OC 綊12DF ，可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF .(12分)方法二 (向量法)过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，连结QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，从而FQ ⊥QE ，FQ ⊥DQ .以Q 为坐标原点，QE →为x 轴正方向，QD →为y 轴正方向，QF →为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(4分)由条件知E (3，0,0)，F (0,0，3)，B (32，－32，0)，C (0，－32，32)，则BC →＝(－32，0，32)，EF →＝(－3，0，3)． 所以EF →＝2BC →，即BC ∥EF .(7分)(2)由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知S △OBE ＝32，而△OED 是边长为2的正三角形，故S △OED ＝ 3.所以S 四边形OBED ＝S △OBE ＋S △OED ＝332.(10分)过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F －OBED 的高，且FQ ＝3，所以V F －OBED ＝13FQ ·S 四边形OBED ＝32.(12分)10．(1)证明设AC ∩BD ＝H ，连结EH .在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点，又由题设，知E 为PC 的中点，故EH ∥PA .又EH ⊂平面BDE ，且PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(4分)(2)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC .由(1)可得，DB ⊥AC .又PD ∩DB ＝D ，故AC ⊥平面PBD .(8分)(3)解 由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角．由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，DB ＝22，可得DH ＝CH ＝22，BH ＝322.在Rt △BHC 中，tan ∠CBH ＝CH BH ＝13.所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13.(14分)11．(1)证明 在△ABD 中，由于AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，所以AD 2＋BD 2＝AB 2. 故AD ⊥BD .(2分)又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD . 又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD .(6分)(2)解 过点P 作PO ⊥AD 交AD 于点O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .(8分) 因此PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△PAD 是边长为4的等边三角形， 因此PO ＝32×4＝2 3.(10分) 在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， 所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 上的高为4×845＝855，此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为S ＝25＋452×855＝24.故V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.(16分)。

2019年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）空间中的垂直关系一．【课标要求】以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二．【命题走向】近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

预测2019年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点. 三．【要点精讲】1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直.推式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a. 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理. ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

直线、平面垂直的判定与性质{INCLUDEPICTURE"基础知识要打牢.tif"|[知识能否忆起]一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论3．直线与平面垂直的性质定理二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理2．平面与平面垂直的性质定理[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α、β都垂直 解析：选D A 中平面可与α平行或相交，不正确． B 中直线可与α垂直或斜交，不正确． C 中平面可与直线l 平行或相交，不正确．2.(2012·厦门模拟)如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1D ．A 1C 1解析：选D 易知A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 又B 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴A 1C 1⊥B 1O .3．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n B ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β解析：选C 对于选项A ，若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n ，或m ，n 是异面直线，所以A 错误；对于选项B ，n 可能在平面α内，所以B 错误；对于选项D ，m 与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．4.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案：45．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB.则下列命题正确的有________．①P A⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.解析：由P A⊥平面ABC，∴P A⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD与平面P AE相交，BC∥AD，故不正确；④中PD与平面ABC所成角为45°.答案：①1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．典题导入[例1](2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n ⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案] ①③④由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．以题试法1．(2012·长春模拟)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α；②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 对于①，由b 不在平面α内知，直线b 或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b 与平面α相交，则直线b 与直线a 不可能垂直，这与已知“a ⊥b ”相矛盾，因此①正确．对于②，由a ∥α知，在平面α内必存在直线a 1∥a ，又a ⊥β，所以有a 1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a 与平面α相交于点A ，过点A 作平面α、β的交线的垂线m ，则m ⊥β，又α⊥β，则有a ∥m ，这与“直线a 、m 有公共点A ”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O 分别向平面α、β引垂线a 1、b 1，则有a ∥a 1，b ∥b 1，又a ⊥b ，所以a 1⊥b 1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.典题导入[例2] (2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12|AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2|，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .[自主解答] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点，所以EG ∥PH ， 且EG ＝12|PH ＝12|.因为PH ⊥平面ABCD ， 所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥AD .所以底面ABCD 为直角梯形．所以V E －BCF ＝13|S △BCF ·EG ＝13|·12|·FC ·AD ·EG ＝212|.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME . 因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12|AB .又因为DF 綊12|AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB .因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．以题试法2．(2012·启东模拟)如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 证明：(1)连接AC ，AN ，BN ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC ，在Rt △P AC 中，N 为PC 中点，∴AN ＝12|PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ， P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .∴BC ⊥PB .从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12|PC .∴AN ＝BN .∴△ABN 为等腰三角形，又M 为AB 的中点，∴MN ⊥AB ， 又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .(2)连接PM ，MC ，∵∠PDA ＝45°，P A ⊥AD ，∴AP ＝AD .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴AP ＝BC . 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM . 而∠P AM ＝∠CBM ＝90°， ∴△P AM ≌△CBM . ∴PM ＝CM .又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC .由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD .典题导入[例3] (2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .[自主解答] (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1， CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD . 又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .由题悟法1．判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．以题试法3．(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若点M 在线段PC 上，且PM ＝tPC (t >0)，试确定实数t 的值，使得P A ∥平面MQB .解：(1)因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD .连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°， 所以AB ＝BD . 所以BQ ⊥AD .因为BQ ⊂平面PQB ，PQ ⊂平面PQB ， BQ ∩PQ ＝Q ， 所以AD ⊥平面PQB .因为AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)当t ＝13|时，P A ∥平面MQB .证明如下：连接AC ，设AC ∩BQ ＝O ，连接OM .在△AOQ 与△COB 中， 因为AD ∥BC ，所以∠OQA ＝∠OBC ，∠OAQ ＝∠OCB .所以△AOQ ∽△COB .所以AO OC |＝AQ CB |＝12|.所以AO AC |＝13|，即OC AC |＝23|.由PM ＝13|PC ，知CM CP |＝23|，所以CM CP |＝OCAC |，所以AP ∥OM .因为OM ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，所以P A ∥平面MQB .1．(2012·杭州模拟)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α解析：选C 对于选项C ，在平面α内存在c ∥b ，因为a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；A ，B 选项中，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 选项中一定有a ∥b .2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α；③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l ⊄β，且l ∥α，则l ∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：选D 对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l ⊥α，l ∩α＝A 时，l 上到A 距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．3．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B (1)错，也可能相交；(2)正确；(3)“α⊥β”是“m ⊥β”的必要条件，命题错误；(4)当异面直线a ，b 垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误．4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－AB1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③解析：选B对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．(2012·忻州一中月考)正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是BC 的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的长为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接SO ，取CD 的中点F ，SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，设EF 交AC 于点H ，连接GH ，易知AC ⊥EF ，GH ∥SO ， ∴GH ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ，故动点P 的轨迹是△EFG ，由已知易得EF ＝2|， GE ＝GF ＝62|，∴△EFG 的周长为2|＋6|，故动点P 的轨迹长为2|＋6|. 答案：2|＋6|9.(2013·蚌埠模拟)点P 在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________．解析：连接BD 交AC 于O ，连接DC 1交D 1C 于O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1. ∴BC1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变， ∴三棱锥P －AD 1C 的体积不变． 又VP －AD 1C ＝VA －D 1PC ，∴①正确． ∵平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ， ∴A 1P ∥平面ACD 1，②正确． 由于DB 不垂直于BC 1显然③不正确； 由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， ∴DB 1⊥平面AD 1C .DB 1⊂平面PDB 1， ∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确． 答案：①②④10. 如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC .证明：(1)由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC .(2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .11.(2012·北京海淀二模)如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB |上，且OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ；(2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥P A .因为P A ⊂平面P AC ，OE ⊄平面P AC ，所以OE ∥平面P AC .因为OM ∥AC ，且AC ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ，所以OM ∥平面P AC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面P AC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .因为BC ⊂平面PCB ，所以平面P AC ⊥平面PCB .12．(2012·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB ＝π2|. (1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π2|，所以BC ⊥AC .又因为BC ⊂平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB ＝∠DAC .所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2|，所以∠DAC ＝π6|，即∠CBO ＝π6|. 又因为∠ACB ＝π2|，CB ＝a ，所以CO ＝33|a .连接FO ，由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形，所以EM ＝CO ＝33|a .1.如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .2．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B ∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ，∴b ⊥面ABC ，∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形．3.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△P AC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.(1)现给出三个条件：①PB ＝3|；②PB ⊥BC ；③平面P AB ⊥平面ABC .试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A⊥平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．解：法一：(1)选取条件①在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝2|.又∵P A＝AC，∴P A＝2|.∴在△P AB中，AB＝1，P A＝2|.又∵PB＝3|，∴AB2＋P A2＝PB2.∴∠P AB＝90°，即P A⊥AB.又∵P A⊥AC，AB∩AC＝A，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC，V三棱锥P－ABC＝13|P A·S△ABC＝13|×2|×12|×12＝26|.法二：(1)选取条件②∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.又∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC. ∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2|，∴P A＝2|，∴V三棱锥P－ABC＝13|P A·S△ABC＝13|×12|AB·BC·P A＝13|×12|×1×1×2|＝26|.法三：(1)选取条件③若平面P AB⊥平面ABC，∵平面P AB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.∴P A ⊥平面ABC .(2)同法二．1．(2012·福建高考)如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点．(1)求三棱锥A －MCC 1的体积；(2)当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC .解：(1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1.又S △MCC 1＝12|CC 1×CD ＝12|×2×1＝1， ∴VA －MCC 1＝13|AD ·S △MCC 1＝13|. (2)证明：将侧面CDD1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M ＋MC 取得最小值．由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2，得M 为DD 1中点．连接A 1M ，B 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2|，MC ＝2|，CC 1＝2，∴CC 21|＝MC 21|＋MC 2，得∠CMC 1＝90°，即CM ⊥MC 1. 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，∴B 1C 1⊥CM .又B 1C 1∩C 1M ＝C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M .同理可证，B 1M ⊥AM .又AM ∩MC ＝M ，∴B 1M ⊥平面MAC .2．(2012·江西模拟)如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，P A ，NC 都垂直于平面ABCD ，且P A ＝AB ＝4，NC ＝2，M 是线段P A 上的一动点．(1)求证：平面P AC ⊥平面NEF ；(2)若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．解：(1)证明：连接BD ，∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD .∴BD ⊥平面P AC .又∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴EF ∥BD .∴EF ⊥平面P AC ，又EF ⊂平面NEF ，∴平面P AC ⊥平面NEF .(2)连接OM ，∵PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，∴PC ∥OM ，∴PM P A |＝OC AC |＝14|， 故PM ∶MA ＝1∶3.3．(2012·陕西高考)(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图1，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λ b ＋μ n ，则a·c ＝a·(λ b ＋μ n )＝λ(a·b )＋μ(a·n )．因为a ⊥b ，所以a·b ＝0.又因为a ⊂π，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图2，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .∵PO ⊥π，a ⊂π，∴直线PO ⊥a .又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO .又c ⊂平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．。

山东省沂水县第一中学高考数学一轮复习学案：空间中的垂直关系1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线．②垂直于同一个平面的两条直线 ．③垂直于同一直线的两平面 ．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面．直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定不光是确立垂直关系的重要依据，也以后计算角和距离重要环节。

因此，垂直关系及其相互转化是整个立体几何部分的重点和关键。

再现型题组⒈. 给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 ⒉已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线l 是异面直线AB 1 和A 1D 的公垂线，则直线l 与直线BD 1的关系为（ ）A ．l ⊥BD 1B ．l ∥BD 1C ．l 与BD 1 相交 D ．不确定3．如图，在四面体ABCD 中，ABC AD 面⊥，3==AD AB ，45==BC AC ，，（1）四面体ABCD 的各面中有几个直角三角形？为什么？（2）四面体ABCD 的各面中有几组平面互相垂直？为什么？（3）你能找出A 在面BCD 上的射影吗？为什么？巩固型题组⒋如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．5．如图２，在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，Ｅ为垂足，作AH BE ⊥于H ．求证：AH BCD ⊥平面．6．如图３，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE PC ⊥ ，E 为垂足，F 是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．提高型题组7.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。

第4课 空间中的垂直关系【考点导读】1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。

2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。

【基础练习】1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的 必要 条件。

2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。

3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。

4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。

5．在正方体1111ABCD A B C D -中，写出过顶点A 的一个平面__AB 1D 1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。

【范例导析】例1．如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明PA //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD .解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中,EO 是中位线,∴PA // EO而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ,所以,PA // 平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线,同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC .而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ②由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD . 例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。

b βα第四十三课时 空间中的垂直关系课前预习案以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.1.两条直线垂直（1）定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.（2）判定：<1>平面几何中的重要结论：①等腰三角形ABC 中，D 为BC 的中点，则 ； ②若四边形ABCD 为菱形，则 ； ③已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，则有 ； ④已知MN 为圆O 的一条弦，P 为MN 的中点， 则有 .<2>若//a b ，b c ⊥，则 .<3>线面垂直的性质：若a α⊥，α⊂b ，则 . 2.直线和平面垂直（1）定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和 ，我们就说这条直线和这个平面垂直，记作 ，直线叫做平面的 ，平面叫做直线的 ，交点叫做垂足. （2）判定：<1>线面垂直的判定定理： 如图（1）<2>线面垂直判定定理的推论:如图（2）<3>面面平行的性质：如图（3）<4>面面垂直的性质：如图（4）3.面面垂直两个平面垂直的判定定理： .C1 ．（2013广东高考）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂ ,n β⊂ ,则m n ⊥ B.若//αβ,m α⊂ ,n β⊂ ,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂ ,n β⊂ ,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β ,则αβ⊥ 2 ．（2013新课标Ⅱ高考）已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l课堂探究案考点1：线线垂直问题【典例1】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =. 点D 是AB 的中点， （1）求证：1AC BC ⊥； （2）求证：1//AC 面1CDB .考点2 线面垂直问题【典例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是菱形，其中2AB =,60BAD ∠=.（1）求证:BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求四棱锥P ABCD -的体积.DCBAP【变式1】已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥. 求证：AD ⊥面SBC ．考点3 面面垂直问题【典例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==，2AB =，120PAB ∠=，90PBC ∠=.（1）求证：平面PAD ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.【变式2】如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）求证：平面PDC ⊥平面PDA ；（2）求几何体P ABCD -被平面ACE 分得的两部分的体积比ACDE V ：.PABCE V1.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面三个结论： ①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥.其中正确的个数为：（ ）A ．0个B ．1个C ． 2个D ． 3个2.已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则n 应满足的条件是3. 如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，ABC ∆内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，现有以下命题： ①BC PC ⊥；②平面⊥PAC 平面PBC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中真命题的序号为 。

空间中的垂直关系一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·北京模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是 ( )(A)若m∥α，α∩β＝n，则m∥n(B)若m∥n，m⊥α，则n⊥α(C)若m⊥α，m⊥β，则α∥β(D)若m⊥α，m⊂β，则α⊥β2. (2012·青岛模拟)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的( )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )(A)BC∥平面PDF(B)DF⊥平面PAE(C)平面PDF⊥平面PAE(D)平面PDE⊥平面ABC4.(易错题)a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，b⊂α，c α则下列命题不成立的是( )(A)若α∥β，c⊥α，则c⊥β(B)“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题(C)若a是c在α内的射影，a⊥b，则b⊥c(D)“若b∥c，则c∥α”的逆否命题5.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为( )(A)α⊥β，α∩β＝l，m⊥l(B)n⊥α，n⊥β，m⊥α(C)α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ(D)α⊥γ，β⊥γ，m⊥α6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )(A)线段B1C(B)线段BC1(C)BB1中点与CC1中点连成的线段(D)BC中点与B1C1中点连成的线段二、填空题(每小题6分，共18分)7. (2012·桂林模拟)设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题①若l⊥α，则l与α相交②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n其中正确命题的序号为.8. (2012·威海模拟)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是.9.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是.(写出所有正确结论的编号)三、解答题(每小题15分，共30分)10.(预测题)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，P 分别是BC ，A 1D 1的中点，M ，N 分别是AE ，CD 1的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a.(1)求证：MN∥平面ADD 1A 1；(2)求三棱锥P —DEN 的体积.11.(2012·济宁模拟)如图，已知直角梯形ABCD 的上底BC ＝2，BC∥AD，BC ＝12AD ，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD ，△PCD 是边长为2的等边三角形.(1)证明： AB⊥PB；(2)求三棱锥A －PBD 的体积.【探究创新】(16分)已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论.答案解析1.【解析】选A.因为A中的直线m、n也可能异面.2.【解析】选B.充分性：若α∥β，∵l⊥α，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m，为平面β，直线l过点B，B1，直线m过点A，D，则符合条件，但不能推出α∥β，不是必要条件.3.【解析】选D.因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a，∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b⊂α，c α，b∥c，∴c ∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确.当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β，故B不成立.【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素.5.【解析】选B.如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错.由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.6.【解题指南】联想正方体体对角线与面对角线的关系.【解析】选A.连接AC、CB1、AB1.易证BD1⊥平面AB1C.所以点P的轨迹是线段B1C.7.【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n，又l⊥α，故n⊥α，从而③正确；由m⊥α，n⊥α知m∥n，故l∥n，故④正确.答案：①③④8.【解析】由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD 上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；因为B1C⊥BC1，AB⊥B1C，且AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.答案：①②③9.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD 都与平面ABCD 垂直，故平面PBC 不可能与平面ABCD 垂直，②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD>PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，所以EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，故④错.答案：①③10.【解析】(1)取CD 的中点K ，连接MK ，NK ，∵M ，N ，K 分别为AE ，CD 1，CD 的中点，∴MK ∥AD ，NK ∥DD 1，∴MK ∥平面ADD 1A 1，NK ∥平面ADD 1A 1，MK ∩NK ＝K ，∴平面MNK ∥平面ADD 1A 1，∴MN ∥平面ADD 1A 1.(2)S △NEP ＝121ECD P S 矩形＝14BC ·CD 1＝14·a ·a 2＋4a 2＝54a 2， 作DQ ⊥CD 1，交CD 1于Q ，由A 1D 1⊥平面CDD 1C 1得A 1D 1⊥DQ.∴DQ ⊥平面BCD 1A 1，∴在Rt △CDD 1中，DQ ＝CD ·DD 1CD 1＝2a ·a 5a ＝25a. ∴V P —DEN ＝V D —ENP ＝13S △NEP ·DQ ＝13·54a 2·25a ＝16a 3. 11.【解析】 (1)在直角梯形ABCD 中，因为AD ＝22，BC ＝2，CD ＝2，所以AB ＝(AD －BC)2＋CD 2＝ 6.因为BC ⊥CD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，所以BC ⊥平面PDC ，因此在Rt △BCP 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝ 6.因为BC ∥AD 所以AD ⊥平面PDC ，所以在Rt △PAD 中，PA ＝AD 2＋PD 2＝(22)2＋22＝2 3.所以在△PAB 中，PA 2＝AB 2＋PB 2，所以AB ⊥PB.(2)过P 作PE ⊥DC ，△PCD 为等边三角形，∴E 为DC 中点，易得PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3，所以V A －PBD ＝V P －ABD ＝13S △ABD ·PE ＝13×(12·AD ·DC)· 3 ＝16×22×2×3＝263. 【探究创新】【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.(2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直.【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×12×2＝23， 即四棱锥P －ABCD 的体积为23. (2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.证明如下：连接AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC.∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC.又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC.∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC.∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.。