下载文档原格式
数列单元易错题分析
赵玉苗整理
1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？
2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？
① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）.
[问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++= 212求
3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？
4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =)
5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题）
[问题]：已知:.,32,111n n
n n a a a a 求+==-
6、你知道n
n q ∞
→lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？
你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？
7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)
*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳
假设”吗？
1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论.
2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲
1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：
例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n
3－2；
【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）123n n a -=⋅
【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解. 【正解】（1）a n =10n －2; （2）1
1 (1)23 (2)
n n n a n -=⎧=⎨
⋅≥⎩
2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件：
例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) .
【错解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n
) －(1＋2＋3＋…＋n )=(1)(1)
12
n
a a n n a -+--.
【分析】利用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值不能为1.
【正解】S =(a ＋(a 2＋a 3＋…＋a n ) －(1＋2＋3＋…＋n )
当a =1时，S =2
2
n n -；当1a ≠时，S =(1)(1)12n a a n n a -+--
3、 忽视公比的符号
例3、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为1
16
，求这个等比数列的公比．
【错解】四个数成等比数列，可设其分别为3
3,,,,a a aq aq q q
则有4
116a a aq q
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
1q =
或1q =
，故原数列的公比为23q =+
23q =-【分析】按上述设法，等比数列{}n a 的公比是2
q ，是正数，四项中各项一定同号，而原题
中无此条件，所以增加了限制条件。
【正解】设四个数分别为23
,,,,a aq aq aq
则4621
16a q aq aq ⎧=⎪⎨
⎪+=⎩
，()42164q q ∴+= 由0q >
时，可得2
610,3q q q -+=∴=±
当0q <
时，可得2
1010,5q q q ++=∴=--变式、等比数列}{n a 中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值
（A ）是3或－3 （B ） 是3 （C ） 是－3 （D ）不存在
【错解】 }{n a 是等比数列， ∴3a ，5a ，7a 成等比，)1)(9(2
5--=a ＝9，35±=∴a
选A
【分析】3a ，5a ，7a 是}{n a 中的奇数项，这三项要同号。错解中忽视这一点。
【正解】C
4、 (见手写P 13－25 13)
5、 (见手写P 14－25 14)
6、缺乏整体求解的意识
例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的
和为234，求7a
【错解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d
则依题意有 510341510146
22
234311a d a d a a
n n n
+=-=+⋅=⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪()
()()
，三个方程，四个未知数，觉得无法求解。 【分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想。错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将a a n 1+作为一个整体，不能解决问题。事实上，本题求a 7，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，2
13
17a a a +=，求出131a a +即可。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
【正解】设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d 则依题意有
51034151014622
234311a d a d a a
n n n
+=-=+⋅=⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪()
()()
，()()12+可得 a a n 136+=，代入(3)有n =13 ， 从而有a a 11336+=， 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴=
+==a a a 7113236
2
18 例7 (1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .
错误解法 ,2963S S S =+ q q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)
1(21)1(1)1(916131，
.012(363）＝整理得
--q q q
1q 2
4
q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 3
3
3
3
6
=-
=∴=-+∴=--≠或得方程由。
