若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.
事实上，W1 是n元齐次线性方程组
x1 x2 xn 0
①
的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
§6.5 线性子空间
1 (1, 1,0, ,0), 2 (1,0, 1,0, ,0),
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
§6.5 线性子空间
例5 判断下列子集合哪些是Pn的子空间： W1 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P} W2 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P}
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
为V的一组基．即在 V中必定可找到 n－m 个向量
m1,m2 , ,n ，使 1,2 , ,n为 V 的一组基．
证明：对n－m作数学归纳法． 当 n－m＝0时，即 n＝m，
1,2 , ,m 就是V的一组基. 定理成立．
假设当n－m＝k时结论成立.
§6.5 线性子空间
下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形．
§6.5 线性子空间
同理可得， L(1, 2 , , s ) L(1,2, ,r ) 故， L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
2）设向量组 1,2 , ,r 的秩为 t，不妨设 1,2 , ,t (t r) 为它的一个极大无关组．
因为 1,2 , ,r 与 1,2 , ,t 等价， 所以,
1
3 1
,
1
3
(1 , 2
, 3 ,4
)
3 0 3
,
