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【第14章】 网络函数

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第14章 网络函数

第14章 网络函数

图b中： is (t) = 5e-50t ε(t)A
，求图C中：①H(s) = I(s)
U1 (s)
② 若 u1 (t) = 5e-40t ε(t)A , i(t) = ?
+
ε(t)
_
P 图a
+
u0(t)
_
+
δ(t)
_
P is(t) 图b
解： 图(a)：
+
u1(t)
_
P 图c
i(t)
R 30Ω
1
11
n
kie pit
i 1
极点位置不同，响应的变化规律随之变化。
章目录 返回 上一页 下一页
Hi
(s)
(s
a)2
2
j
Hi (s) (s a)2 2
1 Hi(s) s a
设 a>0
1
Hi(s) s
1 Hi(s) s a
Hi(s)
s2
2
章目录 返回 上一页 下一页
说明： 1. 极点的位置决定冲激响应的波形; 2. 极点和零点共同决定冲激响应的幅值。 网络函数极点的位置决定了系统的稳定性： 全部极点在左半平面系统是稳定的，只要有一 个极点在右半平面系统不稳定，极点在虚轴上是 临界稳定。 网络函数极点是该网络变量的固有频率（自然频率）
H ( j )
H0
H0
j 1 / RC j p1
M2
j 2
H(
j )
H0 Me j
j1 P1 用线段M1表示
j 2 P1 用线段M2表示
H ( j ) H0
1
M
M1 1
1
-1/RC
( j )

电路理论第十四章 动态电路的复频域分析与网络函数

电路理论第十四章 动态电路的复频域分析与网络函数

M
di1 (t ) dt
1
i1 +
M
i2 + 2
u1 L1 L2 u2
+ UL(s) -
+ I1(s)
I2(s) +
sL1 -
sL-2
L1i1(0 )
U1(s)
+ +
sMI2
(s) --
L+2i2 +
(0 ) U2
(s)
s-MI1(s)
-
-
- 2'
Mi2(0 ) -+
+Mi1
(0 ) -
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI2 (s) Mi2 (0 )
即有：
1,
2,1
4
f (t) 2 k1 et cos(t 1) (t) 2 0.5
即 f (t) 2et cos(2t ) (t)
2 et cos(2t ) (t)
4
4
3. D(s) 0 具有重根。
设D(s)中含有因式(s p1)3 ，其余为单根，F(s) 可分解为：
F (s)
则有：F (s)
s2
s3 2s 5
s
k1 (1
j2)
k2 s (1
j2)
即 N(s)
s3
k1
[ D(s) ]s p1
[ 2s
2 ]s1 j 2
0.5
j0.5
0.5
j
2e 4
N (s)
s3
j
k2 [ D(s) ]s p2 [ 2s 2]s1 j2 0.5 j0.5 0.5 2e 4
2.零极点的分布与频率响应。

第十四章 网络函数

第十四章 网络函数
①.驱动点函数:激励和响应在同一端口 驱动点函数:
U s ( s) 驱动点阻抗 = I s (s) I s (s) 驱动点导纳 = U s (s)
I s ( s) U s ( s) I 2 (s)
N
3
U 2 ( s)
②.转移函数:激励和响应不再在同一端口 转移函数:
U 2 ( s) I 2 ( s) I s ( s) 转移阻抗 = 转移导纳 = I s (s) U s (s) U s ( s) U 2 (s) I 2 (s) 电压转移函数 = 电流转移函数 = U s ( s) I s (s) 例14－2 14－
2
14.1， 14.1，2 网络函数的定义 网络函数的极点和零点
一.网络函数 电路在单一的独立激励下，其零状态响应r(t)的象函数 的象函数R(s) 电路在单一的独立激励下，其零状态响应 的象函数 与激励e 的象函数 的象函数E(s)的比值，称为电路的网络函数 的比值， 网络函数H(s)。 与激励 (t)的象函数 的比值 称为电路的网络函数 。
如同复频域下网络函数用H(s)中表示，频域 下(正弦激励 网 中表示， 正弦激励)网 如同复频域下网络函数用 中表示 正弦激励 络函数用H(j ω)表示。 表示。 络函数用 表示
H(s) = H 0
∏ (s − z ) ∏ (s − p
j =1 m i =1 n i j
m
)
i
H(jω ) = H 0
0
1
t
8
S + ω 12
h (t ) = cos ω 1 t
(6). 一对共轭极点0
h(t)
σ
0
ω1 H (s) = ( S + α ) 2 + ω 12

邱关源—电路—教学大纲—第十四章

邱关源—电路—教学大纲—第十四章
2 2 其中， A(ω ) = H ( jω ) = P (ω ) + Q (ω )
ϕ (ω ) = ∠H ( jω ) = arctg
Q (ω ) P (ω )
H(ω)的模A(ω)反映了定常线性系统在正弦信号激励下，其稳态输出信号与输入信号 的幅值比，称为系统的幅频特性； 幅角ϕ(ω)反映了稳态输出信号与输入信号的相位差，称为系统的相频特性； 幅频特性与相频特性统称系统的频率特性。 因此，所谓频率特性即: 系统在正弦信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比及相位差 随激励频率 ω 变化的特性。
网络函数极点的位置决定了电路单位冲激响应（暂态响应）的性质。
H ( s) =
H ( s) =
ω0 2 ( s + α ) 2 + ω0
1 s+α
↔
h( t ) = e -αt
p12 = -α + jω0 ↔ h( t ) = e -αt sinω0 t
α = ω0 = 0 , H ( s ) = ↔ h( t ) = ε ( t )
（四）
教学内容和要点
R(S) bm S m + bm-1 S m-1 + " + b1 S + b0 = E(S) an S n + an-1 S n-1 + " + a1 S + a0
一、极点分布与冲激响应 网络函数： H(S) = 可以变形为:
(an S n + an-1 S n-1 + " + a1 S + a0 )R(S) = (bm S m + bm-1 S m-1 + " + b1 S + b0 )E(S)

第十四章 网络函数

第十四章 网络函数
根据理想变压器特性再列补充方程
U（ = nU（ 1 s） 2 s）
1 I（ = − I（ 1 s） 2 s） n
将已知数代入上述方程并整理得：
(0.5 + 4s )U 2 ( s) + I1 ( s) = 0.1U s ( s) (− 4s + 0.1)U 2 ( s) − 5I1 ( s) = 0
1F 1Ω
1H
i
1F
1H 1V
+ −
S
图14 − 2
解 这是个平衡电桥电路， 1Ω 电阻两端电位相等，从电源端看进去的输入阻抗
Z (s) =
所求的网络函数
(s + 1s ) = s
2
2
+1 2s
Y (s) =
I (s) 1 2s = = 2 U (s ) Z (s) s + 1 U 0 ( s) 。图中的运算放大器是理想 U i ( s)
在 U 1 ( s ), U 2 ( s ) 两个结点，可得如下关系
I 1 ( s ) = I 2 ( s ) + I 3 ( s )...............( KCL) I 2 ( s ) = I 4 ( s )...........................(虚断）
⎧ U i (s) − U 1 (s) = sC1 U 1 (s) + sC 2 (U1 (s) − U 0 (s) ).............(1) ⎪ ⎪ R1 即⎨ U (s) ⎪sC1 U 1 (s) = − 0 .......................................................(2) ⎪ R2 ⎩
将（2）代入（1）并整理，可得，

Ch14网络函数

Ch14网络函数
二.拉氏变换的卷积定理
L[ f1(t) f2 (t)] = F (s)F2 (s) 1
式中: F1(s) = L[ f1(t )], F2 (s) = L[ f2 (t )]
总目录 章目录 返回 上一页 下一页
∵L[ f2 (t) f1(t)] = F2 (s)F (s) 1
∴卷积积分满足交换律,即:f1(t) f2 (t) = f2 (t) f1(t) 利用卷积求电路响应r(t) 三.利用卷积求电路响应
(1) (2) (3)
(4)
(1):电流转移函数 电流转移函数 电流 i(t) (2):转移阻抗 转移阻抗 转移导纳 电压u(t) (3):转移导纳 电压 (4):电压转移函数 电压转移函数
同一端口 同一端口
电压u(t) 电压 电流 i(t)
驱动点阻抗 驱动点导纳
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解:由结点电压法:
1 1 U1(s) ( )Un1(s) = + sC + sL1 sL2 + R sL1 s +2 解出:Un1(s) = 3 U1(s) 2 2s + 4s + 4s + 2 U1(s) Un1(s) 2s2 + 4s + 3 ∴I1(s) = = 3 U1(s) 2 sL1 3(s + 2s + 2s +1)
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串联电路,激励为恒定电压源 例,RLC串联电路 激励为恒定电压源 s,据 串联电路 激励为恒定电压源u 据 的变换规律. 的极点分布情况分析u 的变换规律 的极点分布情况分析 c(t)的变换规律. 解:
H(s) =
Uc (s) Us (s)
uc (t ) = 强制分量+自由分量 强制分量+ = Us +自由分量 极点分布 ← Uc (t ) 1 1 1 H(s) = = = 2 Us (t ) R + sL+ 1 sC s LC + sRC + 1 sC 1 1 = 2 LC s + R s + 1 L LC 总目录 章目录 返回 上一页 下一页

第十四章 网络函数


2、冲激响应 、 由于一般情况下h(t)的特性就是时域响应自由 由于一般情况下 的特性就是时域响应自由 分量的特性， 分量的特性， 而h(t)=L-1[H(s)]， ， 所以分析网络函数的极点 冲激响应的关系就 极点与 所以分析网络函数的极点与冲激响应的关系就 可预见时域响应的特点。 可预见时域响应的特点。 若网络函数为真分式且分母具有单根， 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络 的冲激响应为
例：绘出H(s)的零、极点图。 绘出 的零、极点图。 的零
2 s 2 − 12 s + 16 H (s) = 3 s + 4s 2 + 6s + 3
解：分子 N(s)=2(s2-6s+8)=2(s-2)(s-4) 分母 D(s)=(s+1)(s2+3s+3) =(s+1)(s+1.5+j0.866) (s+1.5-j0.866) H(s)有2个零点： z1=2， z2=4； 有 个零点 个零点： ， ； p2=-1.5-j0.866， 3个极点： p1=-1， 个极点： ， ， 个极点 p3=-1.5+j0.866
R L + UC S(t=0) + US C
解：
U C (s) H (s) = = U S ( s)
1/sC R+sL+1/sC
U C (s) H (s) = = U S ( s)
1/sC
R+sL+1/sC 1 = 2 s LC + sRC + 1
1 1 ⋅ = LC ( s − p1 )( s − p2 )
n Ki h(t)=L-1[H(s)] = L−1 ∑ i =1 s − p i

第14章 网络函数-1

n
由激励函数极点形成的 强制分量(稳态分量)
n ki 1 = L-1[ ] = kie Pi t h(t ) L [ H ( s)] i =1 s - P i =1 i
H(s)的极点反映了响应中的自由分量(暂态分量)。
极点位置不同，响 应性质不同。
H i ( s)

( s a)
全部极点在左半平面系统是稳定的，只要有一个极点在 右半平面系统不稳定，极点在虚轴上是临界稳定。 网络函数极点是该网络函数的固有频率
14-4 极点、零点与频率响应
1. 由网络函数能求同一网络（电路）的正弦稳态响应
R( s ) 令 s=j H ( s) E( s) 响应相量 • R( j ) R H ( j ) = • E ( j ) E 激励相量
结论：网络函数等于单位冲激响应的拉氏变换（象函数）。
例：R1=8，R2=4，L=2H， C =
1 F ，求电路的单位冲激响应。 16
R1 L
解：
L[h(t)] H(s) = L[δ(t)] 1 (R 2 + sL) // sC R 2 = 1 (R 2 + sL) // + R 1 R 2 + sL sC 2 2 = 2 (s + 2) 2 + (2 2) 2
m
( j ) arg[H ( j )]
arg( j zi ) arg( j pi )
i 1 i 1 m n
频率特性：1）计算；2）作图
R(s)=H(s)E(s)
D( s) 0有n个根(si ) Q ( s) 0有m个根(s j )
设D(s) 和E(s)没有相同的极点
n m Aj Ai N (s) P(s) R( s ) H ( s ) E ( s ) D(s) Q(s) i 1 s si j 1 s s j

电路原理第14章


]= L Σ
−1
n
kj s − pj
j =1
= Σ k je
j =1
n
p jt
从上式可以看出，H（s）的零点只影响 k j 的大小，而不影响h（t） 变化率；H（s）的极点决定h（t）的幅度，对相位也有影响。当极 j 点p 为负实根时，对应项h（t）将是按指数规律衰减的；当 p j 为正 实根时，h（t）则是按指数规律增长的。当极点为一对共轭复根时， 按其实部的正负，h（t）将有增长或衰减的正弦项；当 p j 为虚根时， h（t）将是纯正弦项。电路冲击响应的性质随网络函数极点位置不 同而变化的情况如图所示。可以看出，若极点位于s平面的左半开平 面，即极点的实部σ < 0，则电路是稳定的；若极点在s轴的虚轴上， 则电路为临界稳定；若极点在s平面右半开平面，即 σ > 0 ，则电路 是不稳定的。
h(t ) = L [ H ( s )] = L[ H
−1
i =1 0 n j =1
Π(s − zi )
m
Π (s − p j )
]= L Σ
−1
n
kj s − pj
j =1
= Σ k je
j =1
n
p jt
14-4 网络函数的零、极点与频率响应 网络函数的零、
1、应用网络函数概念的优点 、
（1）理论上描述了电路在不同频率下正弦稳态响应与激励 关系。通过幅频、相频特性曲线，可以直观得反映出电源 频率变化时电路特性（如输入阻抗、电压比等）的变化情 况。 （2）简化分析计算。一旦确定网络函数，就能方便地利 用下式求出任一给定频率的激励作用下电路的响应。 当采用相量分析法时，由于元件参数（阻抗或导纳）是 频率的函数，故在工作频率改变时需要重新分析计算。

网络函数

1
h( t )
(t) 1 零 状态
[ H ( s )]
h(t)=r(t) R(s)
网络函数和冲激响应构成 一对拉氏变换对
例1 电路激励is(t)=(t)，求冲击响应h(t)，即电容电压uC(t)。 iS
R C +
_
uc
Is( s)
R
1/sC
+
_
UC(s)
UC ( s) UC ( s) 1 1 1 H ( s) 1 C 1 I S ( s) 1 sC s R RC
例
设 H0
1 , s j RC
_
uS
C
uc
_
H ( j )
H0 H ( j ) ( j ) j 1 / RC
H0 H0 H ( jω ) jω 1 / RC jω p1
j M2 M1
－1/RC
j2
H0 H ( j ) Me j
j p1
1
1 1 1 2 LCs RCs 1 LC ( s p1 )(s p2 )
L 1)当R 2 时，有 C
p1, 2 R R 2 1 ( ) <0 2L 2L LC
j ×p1' ×p1' ' p2 p1 × × ×p2 ' ×p2 ' '
1 LC )
L 2)当R 2 时，有 C
U2 U1



1 ( j)3 2( j)2 2( j) 1
2( j)2 4( j) 3 3 2 3 ( j ) 6 ( j ) 6( j) 3 U1 I1

令网络函数H(S)中的复频率 S 等于j，分析H(j)随
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1 1 sC LC = 1 R 1 2 R+ + SL S + S + sC L LC 1.网络函数是由网络的结构和参数决定,与激励无关 网络函数是由网络的结构和参数决定, 网络函数是由网络的结构和参数决定
2.网络函数是S的实系数有理分式 网络函数是S 网络函数是 3.分母是微分电路方程的特征方程 分母是微分电路方程的特征方程
第14章 14章
§14-1 14§14-2 14§14-3 14§14-4 14-
网络函数
网络函数的定义 网络函数的极点和零点 极点, 极点,零点与冲激响应 极点,零点与频率响应 极点,
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§14-1 网络函数的定义 14一,定义
零 状 激励 态 e(t) r(t) 响应
电路在单一激励作用下 其零状态响应 的象函数 的象函数R(s) 电路在单一激励作用下,其零状态响应r(t)的象函数 单一激励作用 与激励e(t)的象函数 的象函数E(s)之比为该电路的网络函数 之比为该电路的网络函数H(s). 与激励 的象函数 之比为该电路的网络函数 .
+ _ +
解: -1/RC
×
us
C
uc
_
1 U c ( s) = RC H ( s) = = 1 1 U s ( s) s+ R+ RC sC 1 sC
0
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1/RC H(jω) = = H(jω) ∠ ( jω ) jω + 1/RC ( jω )
相频响应
∠( jω ) = tan ωRC
L[ 零状态响应 ] R ( s ) H (s) = = L[激励函数 ] E (s)
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U c (s) 图示电路, 例:图示电路,试求网络函数 H ( s ) = U s ( s)
R + _ us
+
R C L
_ + _
uc uL
+ _ Us
+
C L
_ + _
UC UL
解: U c (s) H (s) = = U s ( s)
s
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2.由网络函数确定正弦稳态响应 2.由网络函数确定正弦稳态响应
在 H ( s ) 中令s = jω 可得正弦稳态下的传递函数
H ( j ω ) = H ( s ) s = jω s=
R ( jω ) = = E ( jω )
响应相量
R E
激励相量
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H ( j ω ) = H ( jω ) e j = H ( j ω ) ∠ ( j ω )
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幅频响应 频率响应 相频响应
H ( jω ) ~ ω
= arg[ H ( jω )] ~ ω
jω
U c (s) 频率特性,并画H(s)零极图. 零极图. 例:求 H(s) = 频率特性,并画 零极图 U s (s) R
当 s = z i时 H ( s ) = 0 , 称 z1 z m 为零点
零点用" 零点用" "表示. 表示.
当 s = p j时 D ( s ) = 0 , H ( s ) = ∞ , 称 p1 p n 为极点
极点用" 极点用"×"表示. 表示. 零极图
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2 s 2 12 s + 16 绘出其极零点图. ,绘出其极零点图. 例1: ( s ) = 3 : H 2 s + 4s + 6s + 3
说明: 说明: 1. 极点的位置决定冲激响应的波形 极点的位置决定冲激响应的波形; 2. 极点和零点共同决定冲激响应的幅值. 极点和零点共同决定冲激响应的幅值. 网络函数极点的位置决定了系统的稳定性: 网络函数极点的位置决定了系统的稳定性: 全部极点在左半平面系统是稳定的, 全部极点在左半平面系统是稳定的,只要有一 个极点在右半平面系统不稳定,极点在虚轴上是 个极点在右半平面系统不稳定, 临界稳定. 临界稳定. 网络函数极点是该网络变量的固有频率(自然频率) 网络函数极点是该网络变量的固有频率(自然频率)
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H i ( s) =
ω
(s + a) + ω
2 2
jω
H i ( s) =
ω
( s a )2 + ω 2
×
×
×
1 H i ( s) = s
1 H i ( s) = s+a
×
×
1 H i ( s) = sa
×
σ
×
设 a>0
×H
ω i ( s) = 2 s +ω2
×
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5 图(b):U S ( S ) = 1 , I S ( S ) = ) + S + 50 δ(t) _ 100 ′ 图(d): E ( S ) = U 0 ( S ) = ) S + 100
′ U0 20( S + 50) Z(S) = = IS (S) S + 100 E( S ) 2 I(S) = = Z ( S ) + R S + 80 I(S) I(S) 2 H(S) = = = L[δ( t )] 1 S + 80
解: N ( s ) = 2( s 2 6 s + 8) = 2( s 2)( s 4)
D( s ) = ( s + 1)( s + 3 s + 3)
2
3 3 3 3 )( s + j ) = ( s + 1)( s + + j 2 2 2 2 H(s)的零点为 z1=2 ; z2=4 jω
I ( S ) = H ( S ) U1 ( S )
is(t) ) P 图b
+ _
I(s) () E(s)
R Z(s)
图d
+ u1(t) _
i(t) () P R 图c
2 5 1 1 1 = = ( ) × S + 80 S + 40 4 S + 40 S + 80
1 -40 t -80 t 图(c):i ( t ) = L [ I ( S )] = (e - e ) × ε ( t ) A ) 4
1
ω
-π/2 π
2
幅频响应
1 1 ω + 0.707 RC 1 当 H ( jω ) = = 0.707 时, 2
2
H ( jω ) =
1 RC
H ( jω )
对应的频率叫做截止频率. 对应的频率叫做截止频率.
ω0
ω
低通滤波器
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�
网络函数是单位冲激响应的象函数. 网络函数是单位冲激响应的象函数.H ( s ) = L[ h( t )]
n ki pi t 1 1 h( t ) = L [ H (
n
极点位置不同,响应的变化规律随之变化. 极点位置不同,响应的变化规律随之变化.
+
ε(t)
_
P 图a
u0(t) )
_
+
δ(t)
_
+
is(t) ) P 图b
30Ω 30Ω
解: (a): 图(a):
u1(t)
_
+
i(t) () P R 图c
1 1 1 100 U S ( S ) = , U0 ( S ) = = S S S + 100 S ( S + 100)
100 则在单位冲激函数作用下: ′ 则在单位冲激函数作用下:U 0 ( S ) = S + 100 章目录
-1
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§14-2 14jω
网络函数的极点和零点
s = σ + jω
H(s)的一般表示 H(s)的一般表示
×
o
σ
复频率平面
N ( s ) H 0 ( s z1 ) ( s z m ) H ( s) = = D( s ) ( s p1 ) ( s pn )
零 U(s) 状 _ 态 U ( s) 若I(s)为激励 H ( s ) = 为激励 I ( s) I ( s) 若U(s)为激励 H ( s ) = 为激励 U ( s) I(s)
+
驱动点阻抗 驱动点导纳
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2)转移函数(传递函数) 2)转移函数(传递函数) 转移函数 激励与响应不在同一个端口上. 激励与响应不在同一个端口上.
δ(t)
_
k1 k2 = + s+1 s+ 2
4 2 k1 = , k2 = 解得 3 3 4 -t 2 -2t ∴ h(t) = i L (t) = ( e - e )ε(t) 3 3
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三,网络函数的应用
1.由网络函数求取任意激励的零状态响应 1.由网络函数求取任意激励的零状态响应
e(t)
激励
零 状 态
r(t) )
响应
R( s ) H (s) = E (s)
R (s) = H ( s ) E ( s )
则单位阶跃响应为
若e ( t ) = ε ( t )
r ( t ) = L1 [ R( s )] = L1 [ H ( s ) E ( s )] = L1[ H ( s) 1 ]
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二,网络函数的分类
1.按R(S)/E(S)的性质 1.按R(S)/E(S)的性质