第十四章 网络函数

①.驱动点函数:激励和响应在同一端口 驱动点函数:
U s ( s) 驱动点阻抗 = I s (s) I s (s) 驱动点导纳 = U s (s)
I s ( s) U s ( s) I 2 (s)
N
3
U 2 ( s)
②.转移函数:激励和响应不再在同一端口 转移函数:
U 2 ( s) I 2 ( s) I s ( s) 转移阻抗 = 转移导纳 = I s (s) U s (s) U s ( s) U 2 (s) I 2 (s) 电压转移函数 = 电流转移函数 = U s ( s) I s (s) 例14－2 14－
2
14.1， 14.1，2 网络函数的定义 网络函数的极点和零点
一.网络函数 电路在单一的独立激励下，其零状态响应r(t)的象函数 的象函数R(s) 电路在单一的独立激励下，其零状态响应 的象函数 与激励e 的象函数 的象函数E(s)的比值，称为电路的网络函数 的比值， 网络函数H(s)。 与激励 (t)的象函数 的比值 称为电路的网络函数 。
如同复频域下网络函数用H(s)中表示，频域 下(正弦激励 网 中表示， 正弦激励)网 如同复频域下网络函数用 中表示 正弦激励 络函数用H(j ω)表示。 表示。 络函数用 表示
H(s) = H 0
∏ (s − z ) ∏ (s − p
j =1 m i =1 n i j
m
)
i
H(jω ) = H 0
0
1
t
8
S + ω 12
h (t ) = cos ω 1 t
(6). 一对共轭极点0
h(t)
σ
0
ω1 H (s) = ( S + α ) 2 + ω 12
p2 ×
t
h (t ) = e − α t sin ω 1 t
h(t)
0
(7). 一对共轭极点在右半平面 1,2＝δ±jω 一对共轭极点在右半平面p
10
jω
σ
零点的分布与冲激响应的关系
s+a H 1(s) = (s + a)2 + ω 2
s H 2 (s) = (s + a)2 + ω 2
z0
h (t ) = e
− at
零点移动 到原点
z0
a −at ω h(t) = e 1+ cos( t −ϕ) ω a −1 ϕ = tg (− ) ω 多了相移
I 2 (s)
N
U 2 ( s)
网络函数的实质：单位冲激响应 网络函数的实质：单位冲激响应h(t)的象函数是网络函数 的象函数是网络函数 H(s) ；网络函数的原函数是单位冲激响应 网络函数的原函数是单位冲激响应h(t)。 。 例14－1 14－ 讲义例1 讲义例1 结论：单位冲激响应和网络函数构成拉氏变换对。 结论：单位冲激响应和网络函数构成拉氏变换对。网络函数 和单位冲激响应都可以用来说明网络的动态特性。网络函数仅取 和单位冲激响应都可以用来说明网络的动态特性。 决于网络的结构和元件参数，与激励无关。在有R、 决于网络的结构和元件参数，与激励无关。在有 、L(M)、C及 、 及 受控源等元件组成的电路，网络函数是s的实系数有理函数 的实系数有理函数， 受控源等元件组成的电路，网络函数是 的实系数有理函数，其 分子和分母多项式的根为实数、虚数或共轭复数。 分子和分母多项式的根为实数、虚数或共轭复数。 4
∏ ( jω − z ) ∏ ( jω − p )
j =1 j i =1 n
= H ( jω ) e jϕ = H ( jω ) ∠ϕ ( jω )
幅频特性： H ( jω ) ＝H 0
∏ ( jω − z ) ∏ ( jω − p )
j =1 m j
m i=1 i=1
m
i =1 n
i
相频特性： arg [ H ( jω ) ]＝∑ arg(jω − zi ) − ∑ arg(jω − pi )
2
cos ω t
幅度多了 一个因子
•零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率。 零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率。 零点的分布只影响时域函数的幅度和相移
11
14.4
极点、 极点、零点与频率响应
频率响应:把一个频率为 的正弦信号加在一个线性网络 频率响应 把一个频率为ω的正弦信号加在一个线性网络 把一个频率为 在稳定状态下， 响应) 激励)之比称 时,在稳定状态下，网络的输出量 响应 与输入量 激励 之比称 在稳定状态下 网络的输出量(响应 与输入量(激励 为频率响应。 为频率响应。其实质是网络在不同频率正弦输入信号的稳态响 反应了网络传递不同频率正弦信号的能力。 应，反应了网络传递不同频率正弦信号的能力。 频率响应是一个复数量。它的幅值 模 和辐角 相位差)随 和辐角(相位差 频率响应是一个复数量。它的幅值(模)和辐角 相位差 随 频率的变化而变化。幅值随频率变化的关系称为网络的幅频特 频率的变化而变化。幅值随频率变化的关系称为网络的幅频特 辐角随频率变化的关系称为网络的相频特性 相频特性。 性；辐角随频率变化的关系称为网络的相频特性。 频率响应是正弦稳态电路中响应和激励之比， 频率响应是正弦稳态电路中响应和激励之比，该比值也称 正弦稳态网络的网络函数，与复频域网络的网络函数类似。 为正弦稳态网络的网络函数，与复频域网络的网络函数类似。 正弦稳态网络的网络函数也分为驱动点函数和转移函数。 正弦稳态网络的网络函数也分为驱动点函数和转移函数。 讲义例 可见，将复频域网络的网络函数中的 用 替换就得到了正 可见，将复频域网络的网络函数中的s用j ω替换就得到了正 12 弦稳态网络的网络函数。反之亦然。 弦稳态网络的网络函数。反之亦然。
n kn ki k1 k2 H(s)＝ + + iii+ =∑ ( s − p1 ) ( s − p2 ) ( s − pn ) i =1 s − pi
ki与零点分布有关
总特性
第 i个极点决定
n n ki n 冲激函数：h(t ) = L−1 ∑ = ∑ ki e pi t = ∑ hi (t ) s − pi i =1 i =1 i =1
13 已知函数的极零点，便可求出网络的频率响应。 已知函数的极零点，便可求出网络的频率响应。 例14－5 14－
14.5
R(s)=H(s)• E ( s ) 或
卷积
根据网络函数的定义，可得： 根据网络函数的定义，可得：
r (t ) = L−1 [ R(s)] = L−1 [ H(s)• E ( s ) ]
复频域下，任意激励的零状态响应的象函数R(s)是网络函数 复频域下，任意激励的零状态响应的象函数 是网络函数 H(s)和激励象函数 和激励象函数E(s)的乘积。对该乘积进行反拉氏变换即可求 的乘积。 和激励象函数 的乘积 时域下任意激励的零状态响应 而网络函数H(s)与网络的单 任意激励的零状态响应。 与网络的单 出时域下任意激励的零状态响应。而网络函数 位冲激响应h(t)构成拉氏变换对关系。 构成拉氏变换对关系。 位冲激响应 构成拉氏变换对关系 问题：时域下，任意激励的零状态响应 与激励函数 与激励函数e(t)和 问题：时域下，任意激励的零状态响应r(t)与激励函数 和 网络的单位冲激响应h(t)之间是一种什么关系？ 之间是一种什么关系？ 网络的单位冲激响应 之间是一种什么关系 结论：时域下，任意激励的零状态响应 等于激励函数 结论：时域下，任意激励的零状态响应r(t)等于激励函数 e(t)和网络的单位冲激响应 的卷积。记作： 和网络的单位冲激响应h(t)的卷积。记作： 和网络的单位冲激响应
jω
0
jω
jω
×
p1 σ
×
p1
0
σ
p1
0
×
σ
1 H (s) = s
1 H (s) = s +α
h(t )
1 H (s) = s −α
h (t )
0
0
h(t )
e −αt
0
e
h (t ) = e
αt
t
h (t ) = ε (t )
t
t
αt 7
h (t ) = e
−α t
(4). 一对共轭极点在虚轴上
jω
0
×
p1
σ
× p2
ω1 H (s) = ( S − α ) 2 + ω 12
t
h ( t ) = eα t sin ω 1 t . 9
2.极点的分布与冲激响应的关系 极点的分布与冲激响应的关系 (1).极点位于原点上 极点位于原点上 阶跃函数 (2).极点位于正半实轴上 极点位于正半实轴上 增长的指数函数， 增长的指数函数，不稳定 (3).极点位于负半实轴上 极点位于负半实轴上 衰减的指数函数， 衰减的指数函数，稳定 (4).极点位于虚轴上 极点位于虚轴上 等幅正弦曲线， 等幅正弦曲线，临界稳定 (5).极点位于一、四象限上 极点位于一、 极点位于一 增长指数函数为包络线的正弦曲线， 增长指数函数为包络线的正弦曲线，不稳定 (6).极点位于二、三象限上 极点位于二、 极点位于二 衰减指数函数为包络线的正弦曲线， 衰减指数函数为包络线的正弦曲线，稳定
r(t )=h(t )∗ e(t )
14
可见，卷积表明了时域下，任意激励的零状态响应 与 可见，卷积表明了时域下，任意激励的零状态响应r(t)与 激励函数e(t)和网络的单位冲激响应 和网络的单位冲激响应h(t)之间的关系。提出了 之间的关系 激励函数 和网络的单位冲激响应 之间的关系。 一种在时域下直接求解任意激励零状态响应的方法， 一种在时域下直接求解任意激励零状态响应的方法，那么卷 积究竟表明r(t)、 三者之间存在一种什么样的关系？ 积究竟表明 、 e(t)和h(t)三者之间存在一种什么样的关系？ 和 三者之间存在一种什么样的关系 卷积的物理解释： 卷积的物理解释： 可近似用一系列宽度为∆ 激励 e(t)可近似用一系列宽度为∆τ ， 可近似用一系列宽度为 矩形脉冲的叠加表示。 高度为 e(τ )矩形脉冲的叠加表示。 矩形脉冲的叠加表示 的零状态响应r(t)可近似用 激励 e(t)的零状态响应 可近似用 的零状态响应 该系列矩形脉冲产生的响应叠加表示 叠加表示。 该系列矩形脉冲产生的响应叠加表示。 趋进0时 中的每个矩形脉 ∆τ 趋进 时， e(t)中的每个矩形脉 中的每个 冲都变成冲激函数， 冲都变成冲激函数，所产生的响应则是 冲激响应和一系列延迟冲激响应， 冲激响应和一系列延迟冲激响应，将其 积分，便求出任意激励e(t)的零状态响 积分，便求出任意激励 的零状态响 该过程就称之为卷积。 应r(t)。该过程就称之为卷积。 15