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群与共轭子群的个数关系概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨群与共轭子群之间的关系，具体而言是研究它们数量上是否存在某种规律或者模式。
群论作为数学中的一个重要分支，对于研究各种结构和现象有着广泛的应用。
而共轭子群则是群论中一个重要的概念，描述了在一个给定群内部变换时所形成的特殊子群。
1.2 文章结构本文将首先介绍群与共轭子群的定义和性质，然后详细解释二者之间的关系。
接下来，我们将进行证明，展示了不同情况下群与共轭子群个数关系的具体计算方式和结果。
最后，我们将讨论该关系在密码学、物理学以及对数学研究方面的应用和意义。
1.3 目的通过研究群与共轭子群之间的个数关系，我们可以更深入地了解这两个概念在数学中的重要性，并且探索它们在其他领域中的实际应用价值。
同时，通过证明与计算具体例子，我们希望能够揭示出不同情况下群与共轭子群个数的规律，为相关研究提供一定的指导和启示。
以上是文章“1. 引言”部分的内容，介绍了文章的概述、结构和目的。
通过阅读本部分，读者可以对整篇文章的内容有一个初步的了解，并对后续章节所涉及到的群与共轭子群关系问题有一个大致的预期。
2. 群与共轭子群的关系:2.1 群的定义和性质:群是一个集合，其中包含了一种二元运算，通常表示为乘法或加法。
群必须满足四条性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
2.2 共轭子群的定义和性质:在一个群中，对于给定的一个元素g，在该群中与g相似的所有元素所组成的集合称为共轭类。
而与给定子群H具有相同共轭类的所有子群所组成的集合称为共轭子群。
共轭类和共轭子群具有以下性质：- 共轭类中的每个元素都在同一个共轭类中- 相等的子群一定是共轭子群- 如果两个子群是共轭子群，则它们具有相同阶数2.3 群与共轭子群的关系解释:在一个给定的群中，不同的元素拥有不同的特性和属性。
当我们考虑这些元素及其乘法关系时，我们可以观察到一些相似性质，例如它们之间所保持的结构、对称性等。
共轭类和正规子群的关系在群论的世界里，聊起共轭类和正规子群，那真是一个有趣的故事啊！想象一下，一群小伙伴们聚在一起，有的玩得很开心，有的却总是要躲在角落里，这就像是共轭类和正规子群的关系。
你看，共轭类就像那些活泼的小朋友，他们总是喜欢围在一起，嘻嘻哈哈，换着不同的角色，展现不同的风采。
比如说，给你一个元素，咱们就可以通过群里的其他元素把它“变身”，就像魔法一样。
哦，对了，别忘了那群小伙伴，咋一看似乎都是不同的角色，但其实在这个大群体里，他们都有着共同的特征，简直就是一窝好基友！而正规子群嘛，嘿，感觉就像是这个大团体里的一小撮人。
他们不太喜欢变化，宁愿扎根在自己的小圈子里。
就像那些对家乡情有独钟的人，虽然外面的世界五光十色，他们却总是喜欢回到那个熟悉的小村庄。
正规子群的每个元素，和整个群体的元素之间，关系可不是一般的亲密哦。
你换哪个元素，他们都能跟得上，完全不掉链子。
这种关系让它们像是个大家庭，彼此之间非常默契，真是“家家有本难念的经”，却又能和谐共处。
聊到这里，有没有觉得这两个概念的关系像极了我们生活中的朋友呢？共轭类就像那些喜欢到处走动，探索新事物的朋友，而正规子群则是那些稳重、踏实的老友。
你想啊，谁不喜欢和一群有趣的小伙伴在一起呢？不过，正是那些相对安静的人，才是你最值得依靠的。
就像正规子群，它们虽然在群体中不那么张扬，但却总能在关键时刻给予支持。
在数学的角度看，共轭类的元素可以通过一个变换来获得，这听起来有点复杂，但其实就像在玩角色扮演游戏。
你选择一个角色，随着游戏的发展，你可以换上不同的装备和技能。
正规子群的元素则是坚守自己角色的人，他们知道自己的能力和局限，不会随便换来换去。
这样的选择让他们在稳定中寻求成长，活得稳稳当当。
而在这个群体中，大家也不会无缘无故地对某些角色排斥，彼此之间会形成一种特殊的关系。
共轭类里的每个元素都能通过正规子群找到归属感，这就像是无形的纽带，把彼此连接在一起。
第28卷㊀第3期2023年6月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.3Jun.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Wielandt 定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群田云凤,㊀史江涛,㊀刘文静(烟台大学数学与信息科学学院,山东烟台264005)摘㊀要:为了进一步研究每个非幂零极大子群的指数皆为素数的有限群的可解性,使用反证法和极小阶反例的方法,并结合应用Wielandt 给出的一个关于具有幂零Hall -子群(不是Sylow -子群)的有限群G 的结构刻画的定理,得到了一个较为初等的关于每个非幂零极大子群的指数皆为素数的有限群G 的可解性的证明㊂该证明没有应用Glauberman-Thompson p -幂零准则和Rose 的关于具有幂零极大子群的非交换单群的分类和关于具有幂零极大子群且中心等于1的非可解群的刻画,这改进了之前在相关的研究文献中关于这个结论的证明㊂关键词:Wielandt 定理;非幂零极大子群;指数;素数;可解DOI :10.15938/j.jhust.2023.03.017中图分类号:O152.1文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)03-0140-04Wielandtᶄs Theorem and Finite Groups with Every Non-nilpotent Maximal Subgroup with Prime IndexTIAN Yunfeng,㊀SHI Jiangtao,㊀LIU Wenjing(School of Mathematics and Information Sciences,Yantai University,Yantai 264005,China)Abstract :In order to give a further study of the solvability of a finite group in which every non-nilpotent maximal subgroup hasprime index,the methods of the proof by contradiction and the counterexample of the smallest order and a theorem of Wielandt on the characterization of the structure of a finite group G with a nilpotent Hall-subgroup which is not a Sylow subgroup are applied to obtain a more elementary proof of the solvability of a finite group in which every non-nilpotent maximal subgroup has prime index.The proof does not apply the Glauberman-Thompson p -nilpotent criterion and Roseᶄs two results on a classification of non-abelian simple groups with nilpotent maximal subgroup and a characterization of non-solvable group with nilpotent maximal subgroup and trivial centerrespectively,which improves the proof of the result in the relevant research references.Keywords :Wielandtᶄs theorem;non-nilpotent maximal subgroup;index;prime;solvable㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-03-01基金项目:国家自然科学基金(11761079);山东省自然科学基金(ZR2017MA022;ZR2020MA044);烟台大学研究生科研创新基金(GGI-FYTU2312).作者简介:田云凤(1998 ),女,硕士研究生;刘文静(1997 ),女,硕士研究生.通信作者:史江涛(1980 ),男,博士,副教授,硕士研究生导师,E-mail:jiangtaoshi@.0㊀引㊀言本文讨论的群都是有限群,所用符号都是标准的,见文[1]㊂对于群的一般极大子群,Guralnick 在文[2]中证明了如果群G 的每一极大子群的指数皆为素数幂,则G /O ɕG ≅1或PSL (2,7),其中O ɕG为G 的最大的正规可解子群.Huppert 定理(见文[1]第IX 章定理1.12)证明了群G 是超可解群当且仅当G 的所有极大子群的指数是素数㊂对于具有幂零极大子群的群,Thompson 定理(见文[3]定理10.4.2)证明了如果群G 具有一个奇数阶幂零极大子群M ,则G 可解㊂王宏在定理3中证明了对于具有幂零极大子群和交换Sylow 2-子群的群G ,如果G的奇素数阶子群都是半正规的,则G有亏零2-块的充分必要条件是O2(G)=1㊂考虑群的非幂零极大子群,文[5]证明了如果群G的每一非幂零极大子群的指数为素数幂,则G/S(G)≅1或PSL(2,7),其中S(G)为G的最大的可解正规子群㊂文[6]定理1.1得到了对于非可解群G的阶的任意素因子p,G中均存在阶能被p 整除的非幂零极大子群㊂文[7]定理1.1和定理1.3分别刻画了非幂零极大子群共轭类类数等于2的群的可解性和非幂零极大子群同阶类类数等于2的非可解群的结构㊂文[8]定理2给出了非可解群所含非幂零极大子群个数的一个下界㊂对于每个非幂零极大子群皆正规的群,文[9]引理4㊁文[10]定理1.3和定理3.5㊁文[11]定理1和文[12]定理1.1分别从不同的角度证明了该类群是可解群㊂特别地,文[13]定理5在非幂零极大子群皆正规的群是可解群的基础上进一步证明了该类群具有Sylow塔,而作为文[13]定理5的证明的改进,文[14]定理1的证明不需要用到非幂零极大子群皆正规的群的可解性,直接证明了该类群具有Sylow塔㊂1㊀主要结果与预备引理进一步考虑每个非幂零极大子群指数皆为素数的群,文[10]定理1.2(1)㊁文[15]定理1.3和文[16]定理7分别从不同的角度证明了下述结论成立:定理1[10,15,16]㊀如果群G的每个非幂零极大子群的指数皆为素数,则G可解㊂文[17]在定理1中的群是可解群的基础上,进一步证明了该类群具有Sylow塔㊂文[18]在定理1中的群是可解群的基础上刻画了该类群的子群结构㊂需要指出的是,在文[10]定理1.2(1)的证明中用到了下面的Glauberman-Thompson p-幂零准则:定理2[1]㊀设G为群,p为奇素数,PɪSyl p(G)㊂若N G(Z(J(P))有正规p-补,则G也有正规p-补,其中J(P)是P的Thompson子群㊂在文[15]定理1.3的证明中用到的关键定理是Rose在文[19]中给出的关于具有幂零极大子群的非交换单群的分类刻画和关于具有幂零极大子群且中心等于1的非可解群的刻画:定理3[19]㊀具有幂零极大子群的非交换单群必为某个射影特殊线性群PSL(2,p),其中p为大于等于17的费马素数或梅森素数㊂定理4[19]㊀设G是一个具有幂零极大子群M 的非可解群,若Z(G)=1,则M是G的Sylow2-子群㊂在文[16]定理7的证明中用到的关键定理为上述定理4㊂在文[20]第四章定理7.3中,Wielandt定理给出了具有幂零Hall-子群的群G的结构刻画:定理5[20]㊀设H是群G的幂零Hall-子群但不是Sylow子群㊂假若对于|H|的任一素因子p,H 的Sylow p-子群P都满足N G(P)=H,那么存在G 的正规子群K使得G=KH且KɘH=1㊂在本文中,我们将不应用上述定理2㊁定理3和定理4,使用反证法和极小阶反例的方法,并结合应用上述定理5给出关于上述定理1的一个较为初等的新证明,我们的证明改进了文[10]定理1.2(1)㊁文[15]定理1.3和文[16]定理7中的证明㊂引理1[3]㊀假设群G的每个极大子群皆幂零但G自身非幂零,则G可解㊂引理2[1]㊀令p是群G的阶的最大素因子,PɪSyl p(G),那么或者P正规于G,或者包含N G(P)的极大子群有合数指数㊂引理3[3]㊀如果群G具有一个奇数阶的幂零极大子群,则G可解㊂引理4[21]㊀设G为非交换单群,πt(G)是G的所有极大子群指数的集合㊂如果πt(G)中存在一个素数p,则p必为|G|的最大素因子㊂2㊀定理1的新证明证明:设G为极小阶反例㊂如果群G的每个极大子群皆幂零,因为G非幂零,则G是内幂零群,由引理1知G可解,矛盾㊂如果G的每个极大子群皆非幂零,由题设知G的每个极大子群的指数皆为素数,则G为超可解群,亦有G可解,矛盾㊂故G既有幂零极大子群亦有非幂零极大子群㊂设p为|G|的最大素因子,因为G非可解,则p 必为奇素数㊂设PɪSyl p(G)㊂若P正规于G,显然商群G/P满足题设条件且|G/P|<|G|,由G为极小阶反例知G/P可解,从而G可解,矛盾㊂故P不正规于G㊂特别地,G不含可解的非平凡正规子群㊂141第3期田云凤等:Wielandt定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群由引理2知G 的包含N G (P )的极大子群具有合数指数㊂由题设,N G (P )只能包含在G 的某个幂零极大子群内㊂不妨设M 为G 的幂零极大子群使得N G (P )ɤM ㊂先证M 是G 的Hall -子群㊂反证,假设M 不是G 的Hall -子群,则|M |存在一个素因子q 使得M 的Sylow q -子群不是G 的Sylow q -子群㊂不妨设Q 1ɪSyl q (M )和Q ɪSyl q (G )使得Q 1<Q ,则存在Q 2ɤQ 使得Q 1<Q 2且|Q 2ʒQ 1|=q ,于是Q 1正规于Q 2㊂又因为M 幂零,知N G (Q 1)ȡ M ,Q 2⓪>M ㊂由M 为G 的极大子群得N G (Q 1)=G ,说明Q 1正规于G ,与G 不含可解的非平凡正规子群矛盾㊂故M 是G 的Hall -子群㊂下证M 不是G 的Sylow 子群㊂反证㊂如果M 是G 的Sylow 子群,因为M ȡN G (P ),则有M =N G (P )=P ㊂注意p 为奇素数,于是M 是G 的奇阶幂零极大子群,由引理3知G 可解,矛盾㊂故M 不是G 的Sylow 子群㊂设w 为|M |的任一素因子,令W ɪSyl w (M ),因为M 幂零,则M ɤN G (W )㊂又M 为G 的极大子群且G 不含可解的非平凡正规子群,所以必有N G (W )=M ㊂由定理5知,存在G 的正规子群H ,使得G =HM 且H ɘM =1,即G 为H 和M 的半直积㊂因为M 是G 的极大子群,知H 必为G 的极小正规子群㊂又H 非可解,于是H 为若干同构的非交换单群的直积㊂不妨设H =H 1ˑH 2ˑ ˑH m ,其中∀1ɤi ɤj ɤm 都有H i ≅H j ㊂设r 是|H |的最大素因子,则r 是奇素数㊂注意r 亦为每一个|H i |的最大素因子㊂因为M 是G 的Hall -子群,故r 不整除|M |㊂令R ɪSyl r (H ),则R 亦为G 的Sylow r -子群㊂显然R 不正规于G ,于是N G (R )<G ㊂设K 为G 的极大子群使得N G (R )ɤK ㊂由Frattini 论断,知G =HN G (R )=HK ㊂下面对K 分幂零和非幂零两种情形进行讨论:如果K 幂零,因为G =HM =HK ,则|HM |=|HK |,即|H ||M |=|H ||K ||H ɘK |㊂于是|M |=|K ||H ɘK |整除|K |㊂因为K 为G 的幂零极大子群,类似上面关于M 的讨论,知K 为G 的Hall -子群但不是G 的Sylow 子群㊂设s 是|M |的任一素因子,则s ||K |㊂令S 1ɪSyl s (M )和S 2ɪSyl s (K ),则S 1和S 2都是G的Sylow s -子群㊂因此,存在g ɪG ,使得S 1=S g 2㊂因为S 2ɤK ,所以S g2ɤK g㊂由K 幂零知K g亦幂零㊂注意R g ɤK g 且r ʂs ,则S g2和R g 可交换,即S 1和R g可交换㊂于是R g ɤN G (S 1)㊂又M ɤN G (S 1),因此N G (S 1)ȡ M ,R g ⓪㊂又r 不整除|M |,所以 M ,R g ⓪>M ,得N G (S 1)ȡ M ,R g ⓪>M ,从而有S 1正规于G ,矛盾㊂如果K 非幂零,由题设知|G ʒK |为素数,设该素数为t ㊂因为K ȡN G (R ),所以t ʂr ㊂由于G =HK ,知|G ʒK |=|HK ʒK |=|H ʒH ɘK |=t ʂr ㊂则H ɘK 是H 的极大子群㊂注意H =H 1ˑH 2ˑ ˑH m ,于是必然存在某个H i ,使得H i 不包含于H ɘK ㊂不妨设H 1不包含于H ɘK ,因为H 1正规于H 且H ɘK 是H 的极大子群,则H =H 1(H ɘK )㊂于是|H ʒH ɘK |=|H 1(H ɘK )ʒH ɘK |=|H 1ʒH 1ɘ(H ɘK )|=|H 1ʒ(H 1ɘK )|=t ʂr ,知非交换单群H 1有一个指数为素数t 的极大子群H 1ɘK ㊂由引理4知,t 必为|H 1|的最大素因子㊂进而t 必为|H |的最大素因子,这与r 是|H |的最大素因子且t ʂr 矛盾㊂综上讨论,说明极小阶反例不存在,故G 是可解的㊂证毕㊂参考文献:[1]㊀徐明曜,黄建华,李慧陵,李世荣.有限群导引(下册)[M].北京:科学出版社,1999.[2]㊀GURALNICK R.M..Subgroups of Prime Power Index in a Simple Group[J].Journal of Algebra,1983,81:304.[3]㊀ROBINSON D.J.S..A Course in the Theory of Groups [M].New York:Springer,2003.[4]㊀王宏,钱方生.某些子群是半正规的有限群亏零块的存在性[J ].哈尔滨理工大学学报,2020,25(4):167.WANG Hong,QIAN Fangsheng.The Existence of p -blocks of Defect 0in a Finite Groups with Some Sub-groups Being Seminormal[J].Journal of Harbin Universi-ty of Science and Technology,2020,25(4):167.[5]㊀郭秀云.非幂零极大子群指数为素数幂的有限群[J].数学年刊:A 辑,1994,15(6):721.GUO Xiuyun.Finite Groups in Which Every 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非正规子群是Sylow子群的有限群褚智伟【期刊名称】《《南通大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(018)002【总页数】4页(P87-90)【关键词】有限群; 非正规子群; 共轭; Sylow子群【作者】褚智伟【作者单位】南通师范高等专科学校学前教育第一学院江苏南通 226006【正文语种】中文【中图分类】O152.1研究子群的正规性与有限群结构的关系是有限群的重要课题之一。
著名的Dedekind 群就是每个子群都正规的有限群。
这里我们讨论其对偶问题：非正规子群的性质对有限群结构的影响。
Sylow 子群是有限群中最重要的子群，它的正规性影响到群的幂零性，又是群性质和数量性质沟通的桥梁。
文献[1-2]研究了子群的性质对有限群结构的影响；文献[3]给出了恰有p 个相互共轭的非正规子群的有限群结构；文献[4]给出了非正规子群的共轭类类数为4的有限幂零群；文献[5-10]给出了恰有2，4，5，6，7 个非正规子群的有限群及有限NN-群的非正规子群的有限群结构。
本文将研究非正规子群为Sylow 子群的群结构，从数量性质出发探讨群结构的存在性。
1 预备知识和相关引理本文中涉及的群均为有限群。
Pr表示群G 的Sylow r-子群；nr表示群G 的Sylow r-子群的个数；表示群G 的非正规子群的共轭类类数；τ(G)表示群G 中非正规子群的个数；π(G)表示群G 的阶所含全体素因子的集合；表示与H 共轭的子群的个数。
首先，我们介绍几个有用的引理。
引理1[11]若G 为有限群，则如下命题等价：1）。
2）是一个非交换可裂扩张，其中N 为素数阶循环群，P 为素数幂阶循环群，，即，其中：p=2 时，n ≥3；p ≥3 时，n ≥2。
引理2[12]若G 为有限非幂零群，，P为G 的非正规的Sylow p-子群，则G 中除Sylow p-子群外，其余Sylow 子群都正规于G。
当P ＜ NG(P)时，，其中是一非交换可裂扩张，。
正规子群求解方法的一个注记陈一萍【摘要】Cayley定理是抽象代数中一个非常重要的定理.因为这个定理建立了抽象的有限群G和一个具体群S n之间的联系.即G同构于S n的一个子群.所以,对于Sn的子群的研究就显得尤其重要.但是,在教学实践中,学生只是通过定义来求Sn或是S n的子群的正规子群往往是很困难的事情.本文给出了在群论和表示论中经常用到求Sn的正规子群的一种方法.通过这种方法,希望可以加深学生对相应知识的理解.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】4页(P80-83)【关键词】对称群;正规子群;共轭关系;共轭类【作者】陈一萍【作者单位】武汉大学数学与统计学学院,武汉 430072【正文语种】中文【中图分类】O152.11 引言给定一个有限群G，如何确定G的结构是群论中的一个主要问题.Cayley定理是抽象代数中很重要的一个定理.因为这个定理给出了研究抽象的有限群的一种表示论的看法.根据Cayley定理的叙述：设G是阶为n的群，则G同构于Sn的一个子群.这样，有限的抽象群就可以用一个具体的对称群表示出来.如果想要弄清所有的有限群的结构，就只需要弄清楚对称群的所有子群.可是，事实上，这种做法比较困难.但是，尽管如此，对称群的研究对我们理解一般抽象群是十分有益的.在传统教材中[1-2]，我们发现对共轭类，正规子群的叙述较少，在后续的教学研究中有一些新的研究内容涉及这两个问题[3-4].但总体来说内容不多.以至于在实际的教学中，学生在求正规子群时会有很多困难.这些困难的来源一方面在于很多学生不能认真，仔细地完成这项工作；另一方面的原因也在于按照传统教材的叙述如果仅仅是从定义出发，这项工作会变得繁冗，条理不清晰.基于这些原因，我们希望给出求解正规子群的一般方法.这些方法和技巧在研究群论和表示论中被经常用到.但是，在抽象代数教材中又几乎没有涉及.但愿这篇文章能够弥补这个知识点的空缺.按照Cayley定理，研究有限群的正规子群最终归结为研究对称群Sn子群的正规子群.在以下几节里，我们将重点讨论这种情形.2 正规子群与共轭类假设G是n阶有限群，H是G的m阶子群.经典的拉格朗日定理表明m是n的因子.假设α和β是G中的两个元素.α与β共轭是指存在G中的元素γ使得α=γβγ-1.共轭关系是一种等价关系，即满足：自反性，对称性和传递性.利用共轭关系可以给出群G中元素的共轭分类.群G中所有和α共轭的元素称为α的共轭类，记作[α].群N是群G的正规子群如果N是G的子群且对于任意g∈G有N=gNg-1.根据正规子群的定义，群G的正规子群是G中一些共轭类的并集.即：相反，从定义可以直接验证：如果G中一些共轭类的并集和单位元构成群，则它一定是G的正规子群.那么，求解群G的正规子群归根结底就是要确定群G的共轭类.在下面一节将要讨论n元对称群的共轭类.3 共轭类和n元置换的型我们首先回忆一下：Sn中任意一个n元置换都可以写成不相交轮换的乘积.假设α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)是{1，…，n}的一个n元置换α的不相交轮换的分解，并且假设1，…，n这些数字在这些轮换中都已经出现.根据n元置换的定义，在α的基础上去掉括号，a11…a1ia21…a2j…ar1…ark是{1，…，n}的一个排列.例如：S5中置换(13)(24)会被记为(13)(24)(5).这样，打开括号后，得到1，…，5的一个排列13245.下面的一个引理给出Sn中共轭地作用下得到的置换与原来的置换之间的关系.定理1 设n元置换α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)，则对于Sn中任意置换γ，有γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))(γ(a21)…γ(a2j))…(γ(ar1)…γ(ark)).证显然γ(a11)…γ(a1i)γ(a21)…γ(a2j)…γ(ar1)…γ(ark)是1，…，n的一个排列.左边置换作用在γ(a11)后得到γ(a12).右边的置换作用在γ(a11)上得到γ(a12).故此时等式成立.分别带入a12，…，ark至等式两端可以验证等式成立.这个引理表明共轭类中的所有置换在写成不相交轮换分解时候，任何一个特定长度的轮换个数是相同的.记α的循环分解中，长度为l的轮换个数为λl(α)个.显然，λl(α)是一个大于或者等于0的整数.称λl(α)为n元置换α的第l个型函数.符号(λ1(α)，…，λn(α))称为置换α的型.通过定义可知，型函数满足公式λ1(α)+2λ2(α)+…+nλn(α)=n.在下面的引理中，将要说明引理1的逆命题也是成立的.即在Sn中，两个n元置换在写成不相交的循环分解时，每个长度的轮换个数相同，则这两个置换共轭.定理2 在Sn中，置换α和β共轭当且仅当α与β的第l个型函数相同，其中l=1，…，n.证充分性由引理1可得.下面证明必要性.假设α=(a11a12…a1i)…(ar1ar2…ark)，β=(b11b12…b1i)…(br1br2…brk).令由于a11a12…a1ia21…a2j…ar1…ark与b11b12…b1ib21…b2j…br1…brk分别是1，…，n的排列.所以γ∈Sn.由引理1，γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))…(γ(ar1)…γ(ark))=(b11…b1i)…(br1…brk).引理2表明Sn中的共轭类由置换的型函数完全决定.例如：在S5中，置换(235)(14)与(123)(45)对应的型函数为(0，1，1，0，0)，因而共轭.在数量关系的层面上，利用排列组合的知识可以知道，型为(λ1，…，λn)的置换个数是这个公式给出了Sn中共轭类元素的个数.为了确定置换的型函数，需要整数的划分这个概念.整数n的一个划分是指序列(a1…al)满足a1≥a2≥…≥al>0和a1+a2+…+al=n.例如：假设n=5.则(1，1，1，1，1)，(2，1，1，1)，(2，2，1)，(3，1，1)，(3，2)，(4，1)，(5)是整数5的所有划分.4 总结与举例分析结合第二和第三部分，求解对称群子群的正规子群的方法归纳如下：(a) 确定整数的划分.(b) 找到每种划分对应的元素的型，从而确定对称群的共轭类.(c) 利用对称群的共轭类对对称群子群大致分类.然后，细化分类.(d) 由于单位元和一些共轭类的并集构成的群是正规子群，所以利用拉格朗日定理，大致给出可能的共轭类的并集.然后再验证是否是群.以下利用两个例子分别说明.例1 求S4的正规子群.解易知S4中有24个元素.假设N是S4的正规子群，由拉格朗日定理可知，N的阶数是24的因子.下面来确定S4的共轭类.数字4有以下5种划分：(a) a1=a2=a3=a4=1.对应置换的型函数是(4，0，0，0).对应共轭类的代表元是(1).共轭类中有1个元素.(b) a1=2，a2=1，a3=1.对应置换的型函数是(2，1，0，0).对应共轭类的代表元是(12).共轭类中有6个元素.(c) a1=2=a2.对应置换的型函数是(0，2，0，0).对应共轭类的代表元是(12)(34).共轭类中有3个元素.(d) a1=3，a2=1.对应置换的型函数是(1，0，1，0).对应共轭类的代表元是(123).共轭类中有8个元素.(e) a1=4.对应置换的型函数是(0，0，0，1).对应共轭类代表元是(1234).共轭类中有6个元素.显然，单位元群和S4是S4的平凡的正规子群.(a)，(c)和(d)的并集恰好是4次交错群A4，因而是S4的正规子群.根据拉格朗日定理，N的另一种可能性是(a)和(d)的并集，即：{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}.可以验证这是一个同构于Z2×Z2的交换群.故其为S4的一个非平凡的正规子群.值得注意的是：“α与β在Sn中共轭当且仅当α与β有相同的型”这个结论强调的是在Sn中共轭.如果我们考虑给出Sn的某个子群的共轭类，则需要具体问题具体分析.例2 给出二面体群D6的共轭类.解 D6是S6的子群，其中包含12个元素.D6= {(1)，(123456)，(135)(246)，(14)(25)(36)，(153)(264)，(165432)，(26)(35)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(13)(46)，(12)(36)(45)}.如果按照在S6中共轭.我们大致可以把这12个元素分成5个共轭类：(a) (1).(b) (123456)，(165432).(c) (135)(246)，(153)(264).(d) (14)(25)(36)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(12)(36)(45).(e) (26)(35)，(13)(46).但是，需要注意在S6中共轭不表示在D6中共轭.所以，此时仍需要逐一验证.由于(14)(25)(36)是中心中的元素.故其单独在一个共轭类中.又因为[(26)(35)]-1(123456)[(26)(35)]=(165432)，[(26)(35)]-1(12)(36)(45)[(26)(35)]=(16)(25)(34)，[(13)(46)]-1(12)(36)(45)[(13)(46)]=(23)(14)(56)，(123456)-1(26)(35)(123456)=(13)(46)，(165432)-1(26)(35)(165432)=(24)(15)，所以，D6总共有6个共轭类：{(1)} {(14)(25)(36)} {(123456)，(165432)} {(135)(246)，(153)(264)} {(12)(36)(45)，(16)(25)(34)，(23)(14)(56)} {(26)(35)，(13)(46)，(24)(15)}.如果要求D6的正规子群，则需要按照上个例子中的方法分别进行讨论.我们把剩余的工作留给读者.[参考文献]【相关文献】[1] 刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2012.[2] 聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2000.[3] 周后型.三次对称群的一个特征性质[J].大学数学，1997，13(1)：107-108.[4] 唐曾林，黄雨星.有限群的共轭类个数与群的性质[J].大学数学，2008，24(6)：56-58.。
非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群史江涛;张翠【摘要】本文完全刻画非平凡循环子群共轭类类数不大于2的有限群的结构,证明了非平凡循环子群共轭类类数不大于4的有限非可解群仅有 PSL2(r ),其中 r ＝5,7,8,9.%The structures of finite groups having at most two conjugacy classes of non-trivial cyclic sub-groups are completely characterized.It is proven that a finite non-solvable group G having at most four conjugacy classes of non-trivial cyclic subgroups must be isomorphic to PSL2(r ),where r =5,7,8,9.【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P52-56)【关键词】有限群;循环子群;非可解群【作者】史江涛;张翠【作者单位】烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台 264005;烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台 264005【正文语种】中文【中图分类】O152.1分类某些特殊子群具有较小共轭类类数的有限群是现代群论研究的一个重要课题。
比较早期和经典的结果是研究极大子群具有较小共轭类类数对有限群可解性的影响,见文献[1-2]。
之后,一些群论学者开始转向研究其他特殊子群的共轭类类数对有限群结构的影响。
非循环子群即生成元个数大于等于2的子群。
作为子群共轭类类数的进一步研究,李世荣等在文献[3]中分类了非循环真子群的共轭类类数等于1的有限群。
孟伟等在文献[4]中分类了非循环真子群的共轭类类数等于2的有限群。
设G为有限群,以v(G)表示G的非循环真子群的共轭类类数。
