= b-1arb= b-1eb=e,所以 t|r 同理r|t 2） ab=b-1 (bab )
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例4 元素乘积的阶（2）（注）
例: G为群，a,b∈G是有限阶元，则：
(1)|b-1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba| 证： (1)|设|a| = r, |b-1ab|=t ，则
(3) 假设r>n, 令G´={e,a,a2, …, ar-1}, 则G´中元素两两不 同，否则与|a|=r矛盾. 从而|G´|>n，与G´⊆G矛盾.
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例1 元素的阶1
例： G为群，a∈G， |a|=r, 证明|at| = r/(t,r) 证： 令|at| = s, 设(t, r) = d , t =dp, r = dq , r/(t,r) = r/d = q 只要证s = q
证：必要性显然，证充分性
1.封闭性 条件一
2.可结合性 显然 3.有单位元 因为H非空，必存在aH,由条件2,必有
a-1H，再根据条件1有aa-1 H ，即eH
4.H 中每一元都有逆元 条件二
∴H 为 G的子群.
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子群的判定定理1（注）
定理10.4：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而 且必要条件是：
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例10.4(1-2)
(1) <Z,+>整数加群 (2) <Zn,+n>模n整数加群
思考: <Zn,n> 是不是群?
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例10.5
Klein 四元群G={e,a,b,c}
*eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
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群的相关术语（定义10.2）
1) (b-1ab)r= (b-1ab) (b-1ab) …… (b-1ab)
= b-1arb= b-1eb=e
所以 t|r 同理 e=(b-1ab)t= b-1atb 所以 r|t 2） ab=b-1 (bab ) )= b-1(ba)b
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b-1b=at
此时， 方法同 理1）
直括a接号t=去就e
⇒n|mr⇒n|r, 同理m|r,
⇒mn|r
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例3 元素乘积的阶（注）
例: G为群，a,b∈G且可交换, |a|=m, |b|=n，若(m,n)=1, 则|ab| = mn.
证：设|ab| = r 1) (ab)mn= (a)mn (b)mn= ( (a)m)n((b)n)m=ee
∴H为G的子群.
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有限子群的判定定理
定理10.6：G为群，H是G的非空子集，如果H是有 穷集，则H是G的子群当且仅当 a, b∈H,有ab∈H
证：必然性是显然的.为证明充分性，只需证明
a∈H 有 a-1∈H.任取 a∈H,若a=e,则a-1=e-1=e ∈H.
若a ≠ e,令S={a,a2, …},则 S H.由于H是有穷集,必有
第十章 群与环-
子群的定义和性质
群(Group)
定义10.1（3）：设<G,∘>是一个代数系统，其中G 是非空集合，∘是G上一个二元运算，如果 (1).运算∘是封闭的 (2).运算∘是可结合的 (3).存在单位元e (4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1
则称<G,∘>是一个群
平凡群 只含单位元的群 {e} 有限群与无限群 群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G| 交换群或阿贝尔（Abel）群
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群的阶和元素的阶
群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G|
元素a 的n 次幂 e n 0
an
a n 1a
n0
(a1)n n 0
元素a 的阶 |a|：使得ak=e 成立的最小正整数k
有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群 的阶的因子！！！）；
元素都是有限阶的群不一定是有限群
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群中元素的性质
|a|=r表示： 元素a的阶是
r
定理10.3 G为群，a∈G, 且|a|=r, 则
(1) ak =e ⇔ r | k 注：元素的阶表示能够使得am e的最小整数m
=e⇒r|mn 2) e = ((ab)r)m =(ab)mr=(am)r(bmr)=bmr
⇒n|mr⇒n|r,=e 同理m|r,
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例4 元素乘积的阶（2）
例: G为群，a,b∈G是有限阶元，则： (1)|b-1ab| = |a| (2) |ab| = |ba|
证： (1)|设|a| = r, |b-1ab|=t ，则 1) (b-1ab)r= (b-1ab) (b-1ab) …… (b-1ab)
<Z12,+12>
2生成的子群<2> = { 0,2,4,6,8,10 } 3生成的子群<3> = { 0,3,6,9 }
Klein 四元群
<e>={e},<a>={a,e}, <b>={b,e},<c>={c,e}
生成的子群举例3
<Z12,+12>
B={2,3}生成的子群<B> = Z12
证：1.G中单位元e也为H中的单位元
aHG, 则aa-1 =eH，且ae=ea=a，∴e也为H中么元
2.H 中每一元都有逆元 aH，∵eH，由题设得，ea-1H，即a-1H
3.H 对乘法封闭 a,bH，由上可知b-1H,∴有a(b-1) -1=abH
4.可结合性显然，
由于G是有限群，而G的阶大于2的元总是成对出现，所以G里这种元 的个数一定是偶数。
2020/3: G为群，a,b∈G且可交换,
|a|=m, |b|=n，若(m,n)=1, 则|ab| = mn.
证：设|ab| = r
1) (ab)mn=e ⇒r|mn
2) e = ((ab)r)m =(ab)mr=(am)r(bmr)=bmr
(at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e s|q (at)s= e ⇒ ats=e ⇒ r | ts ⇒ q | ps q | s （p, q互素） 故: q=s
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例2 元素的阶（2）
例: G为有限群，则G中阶大于2的元素 有偶数个。
证： a2 = e a2 = a-1a a = a-1，所以 阶大于2的元素必有a a-1.又由于|a|=|a-1| 所以G中阶大于2的元素一定成对出现。
(2) |a|=|a-1| (3) 若|G| = n, 则r≤n. 证(1) 充分性. ak = arl =(ar)l=el = e 必要性. k=rl+i, l∈Z, i∈{0,1,…,r-1}
⇒ e = ak = arl+i = ai ⇒ i=0 ⇒ r | k (2) (a-1)r= (ar)-1=e-1=e ⇒ |a-1| 存在, 令|a-1|=t, 则t | r. 同理r | t.
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子群证明举例2
设H,KG, 则HKGHKKH 证 :只证必要性,反证法 假若h(hH,hK), k(kK,kH)， 则hkH，否则k=h-1(hk)H,矛盾. 同理hkK, 从而hkHK。 但是h,kHK, 与HKG矛盾。
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Klein 四元群G={e,a,b,c}
<a,b>= G
子群格
设G是一个群，S={H |HG}是G的 所有子群的集合，在S上定义关系
R如下：
A R B当且仅当A是 B的子群
则<S, R >构成偏序集，称为群G的 子群格。
子群格举例
写出下列群的所有子群
e’ =e H
这样，因为H是一个群，方程ya=e在H中有解a’，但a’也是这个方程在 G里的解，而这个方程在G里只有一个解，就是a-¹所以
a’= a-¹=e
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子群的判定定理2
定理10.5：设G为群，HG非空，若对H中的
任意元素a,b都有ab-1∈H，则H为G的子群.
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生成的子群
a生成的子群<a> = { ak | k∈Z } , a∈G
注:e=a0,a的逆元为a-1
B生成的子群<B> = ∩{ H | H≤G, B⊆H },
B⊆G
B
{a1k1
ak2 2
.
..ankn
|nZ
且i 1,2,...,n, ai B, ki Z}
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否则
a2≠ a a-1 =e
与n>2的假设矛盾。这样我们就有一对不同的阶大于2的元a和a-1。
设G还有元b，b ≠a，b≠a-1，并且b的阶大于2。那么b-1的阶也大于2， 并且b-1≠b。我们也有b-1≠a。
否则
e= b-1b= a a-1= b-1 a-1
消去b-1得b=a-1，与假设矛盾。同样可证b-1≠a-1。这样，除a和a-1 外，又有一对不同的阶大于2的元b和b-1。
a a-¹=e
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子群的判定定理1（注）
定理10.4：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而 且必要条件是：
1) a,b H ab H 2) a H a1 H
反过来看，假如H是一个子群，1）显然成立，我们证明，这时2)也一 定成立。H既是一个群，H一定有一个单位元e’。我们在H里任意取一 个元a，就得到e’a=a，但e’和a就属于G，所以e’是方程ya=a在G里的一 个接。但这个方程在G里只有一个解，就是G的单位元e。所以
