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第38卷第10期西南师范大学学报(自然科学版)2013年10月V o l.38N o.10J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)O c t.2013文章编号:10005471(2013)10000504πᶄ元素的共轭类长个数为2的有限群的结构①冯海辉上海海事大学数学系,上海201306摘要:设π为一些素数的集合,G是一个有限π可分群.刻画了群G中πᶄ元素的共轭类长的个数为2的有限群的结构.关键词:π可分群;共轭类;πᶄ元素中图分类号:O152.1文献标志码:A在有限群论中,利用元素的共轭类个数及其长等算术条件来研究有限群的结构一直是人们研究的一个重要内容,国内外许多群论学者在这方面作了大量工作(如文献[1-5]).文献[1]的一个重要结果是:如果1和m(>1)是群G仅有的两个共轭类长,则存在一个素数p,使得G=PˑA,其中P为G的S y l o w p 子群,A为交换群.文献[2]推广了文献[1]的结论.本文主要研究当群G的πᶄ元素的共轭类长个数为2时有限π可分群的结构.文中提到的群均指有限群.本文的主要结果为:定理1设G为π可分群.若{1,m}是由G的πᶄ元素的共轭类长构成的集合,则(i)若πɘπ(m)=π(m),则G的H a l lπᶄ子群为交换群,特别地,lπᶄ(G)=1;(i i)若m不是π数,则有m=pα11 pαi i qβ,其中p jɪπ,αjȡ0,j=1, ,i,qɪπᶄ,G=H QˑA,H ɪH a l lπ(G),QɪS y l q(G),AɤZ(G).设π为一个素数集合,记Gπᶄ为由群G中πᶄ元素构成的集合,H a l lπ(G)为群G的H a l lπ子群的集合,π(m)表示由整数m的素因子构成的集合,췍G为G对某个正规子群的商群.文中提到的术语和记号均为标准的,可参考文献[4].引理1设G为π可分群,xɪGπᶄ且C G(x)ʂG.假设(i)若C G(a)ɤC G(x),aɪGπᶄ,则C G(a)=C G(x);(i i)若C G(x)ɤC G(b),bɪGπᶄ,则C G(x)=C G(b)或者bɪZ(G).则有C G(x)=HˑL,HɪH a l lπ(G),LɤZ(C G(x)),或者C G(x)=H QˑA,HɪH a l lπ(G),QɪS y l q(G), AɤZ(G),qɪπᶄ.证令x=x1 x r,其中x i为q i元,q iʂq j,iʂj.因为x为非中心元,所以存在整数i,使得x i为非中心元,于是有C G(x)ɤC G(x i).由假设条件可得C G(x)=C G(x i).因此,不失一般性,假设x是一个q 元.如果π(C G(x))=πɣ{q},则结论成立.下面假设存在素数rɪπ(C G(x))-(πɣ{q}),R是C G(x)的一个S y l o w r子群.对任意aɪR,由于[a,x]=1且(o(a),o(x))=1,再根据假设条件,我们有C G(a x) =C G(a)ɘC G(x),从而有C G(x)=C G(a x)ɤC G(a),于是得RɤZ(C G(x)),故有C G(x)=H QˑA,其中①收稿日期:20111228基金项目:国家自然科学基金项目资助(11101268);上海海事大学校基金(20120062).作者简介:冯海辉(1981),男,山西祁县人,博士,讲师,主要从事有限群论的研究.AɤZ(C G(x)).如果AɤZ(G),则引理1成立.下面可以假设bɪA为非中心元.注意到[b,x]=1且(o(b),o(x))=1,由假设条件我们可得C G(b x)=C G(x)=C G(b).取元素cɪQ,则有C G(b c)=C G(b)ɘC G(c)ɤC G(b)=C G(x).再由假设条件可得C G(b c)=C G(x),且有C G(x)ɤC G(c).从而可得QɤZ(C G(x)).令L=QˑA,则有C G(x)=HˑL,其中LɤZ(C G(x)),从而引理1得证.引理2设G为π可分群,则群G的πᶄ元的共轭类长为π数的充分必要条件为G有一个交换的H a l l πᶄ子群.特别地,lπᶄ(G)=1.证由文献[5]中引理7可得.定理1的证明证由引理2,结论(i)显然成立.下面假设m不是π数,且素数q满足q|m但q∉π.我们将分步骤证明.步骤1对任意非中心元xɪGπᶄ,我们可以假设C G(x)=HˑL,其中H为C G(x)的一个H a l lπ子群,且LɤZ(C G(x)).由引理1,假设结论(i i)对某个非中心元xɪGπᶄ成立.若存在一个非中心r元z,满足zɪGπᶄ,rʂq,则A<<A,z>ɤC G(z).因为zɪGπᶄ,所以由|C G(x)|=|C G(z)|可得|C G(x)|{π,p}ᶄ=|C G(z)|{π,p}ᶄ,矛盾.因此Gπᶄ的每个r元均为中心元.进一步,我们有G=H QˑA,其中H为G的一个H a l lπ子群, Q为G的一个S y l o w q子群.故在下面的证明中,我们可以假设,对Gπᶄ中的任意非中心元x,有C G(x)= HˑL,其中HɪH a l lπ(C G(x)),LɤZ(C G(x)).步骤2设x与y为Gπᶄ中的两个非中心元.若C G(x)ʂC G(y),则有(C G(x)ɘC G(y))πᶄ=Z(G)πᶄ.显然我们有Z(G)πᶄɤ(C G(x)ɘC G(y))πᶄ.如果存在一个非中心元zɪ(C G(x)ɘC G(y))πᶄ,由步骤1可得zɪZ(C G(x)),且有zɪZ(C G(y)).于是我们有C G(x)ɤC G(z)和C G(y)ɤC G(z).再由假设条件和引理1可得C G(x)=C G(z)=C G(y),矛盾.在下面的证明中,我们将根据Gπᶄ中非中心元的中心化子是否共轭分两种情形讨论.情形1首先我们假设对任意两个非中心元x,yɪGπᶄ,C G(x)和C G(y)在G中共轭.步骤3假设Oπ(G)=G.如果Oπ(G)<G,则令xɪOπ(G)为πᶄ元,且有x∉Z(Oπ(G)),则此时有x∉Z(G).由步骤1,我们有C G(x)=HˑL,其中H是C G(x)的H a l lπ子群,且LɤZ(C G(x)).因为LɤOπ(G),所以Oπ(G)ɘC G(x)=L(HɘOπ(G))从而有|G| |Oπ(G)|㊃|Oπ(G)||Oπ(G)ɘC G(x)|=|G||C G(x)|㊃|H||HɘOπ(G)|进一步可得|Oπ(G)||Oπ(G)ɘC G(x)|=m |H Oπ(G)||G|=ml其中l或者是一个π数,或者等于1.根据前述假设,Gπᶄ中的所有非中心元的中心化子是共轭的,则这些中心化子的H a l lπ子群也对应共轭.因此l是一个不依赖于x的固定的π数.由此表明1,m{}l是Oπ(G)中唯一的共轭类.我们注意到m l不是π数,因此对Oπ(G)使用归纳法可得Oπ(G)=H QˑA0,其中H是Oπ(G)的H a l lπ子群,Q是G的S y l o w q子群,且有q∉π,A0ɤZ(Oπ(G)).如果非中心元x,yɪGπᶄ的中心化子均相等,则有[x,y]=1.这就表明对任意非中心元xɪGπᶄ, |GʒC G(x)|是一个π数,矛盾.因此我们可以假设两个非中心元x,yɪGπᶄ,满足C G(x)ʂC G(y).注意到x,yɪOπ(G),并且结合步骤2,我们有A0⊆(C G(x)ɘC G(y))πᶄ=Z(G)πᶄ.由此可得G=H QˑA0,其中H为G的H a l lπ子群,Q为G的S y l o w q子群,且A0ɤZ(G).步骤4对任意非中心元xɪGπᶄ,我们有C G(x)<N G(C G(x)).假设存在一个非中心元xɪGπᶄ,使得C G(x)=N G(C G(x)).由步骤1可得C G(x)=HˑL,其中H是6西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷C G (x )的H a l l π子群,且有L ɤZ (C G (x )).我们断言,对任意满足q |m 但q ∉π的素数q ,我们有q ||L/Z (G )πᶄ|.否则,由于G πᶄ中的非中心元的中心化子有相同的阶,故任意q 元为中心元.从而得q |/m ,矛盾.因此断言成立.又因为m 不是π数,从而存在C G (x )的S y l o w r 子群L i ɤL ,使得L i 是G 的非中心子群,且为G 的S yl o w r 子群P i 的真子群,其中r ∉π.注意到L i <N P i(L i )ɤN G (L i ),我们令y ɪN G (L i )-L i .如果L y ʂL ,由步骤2,我们有L y ɘL =Z (G )πᶄ.但是由L y i =L i 可得L i ɤL y ɘL =Z (G )πᶄ,矛盾,从而有L y=L .进一步可得H ɤC G (L )=C G (L y )ɤC G (x y )=H y ˑL y .因此H =H y 且y ɪN G (C G (x ))=C G (x ),矛盾.步骤5 情形1下定理1的结论.由步骤3,我们只需考虑O πᶄ(G )<G 的情形.令x ɪG πᶄ,g ɪG ,g =g 1g2,其中g 1和g 2分别为g 的π部分和πᶄ部分.如果g 2ɪZ (G ),那么g ɪO πᶄ(G )Z (G )πᶄ;如果g 2∉Z (G ),由假设,对某个h ɪG 有C G (g2)=C G (x )h ,则g ɪC G (x )h .从而可得G =ɣh ɪGC G (x )h ɣO πᶄ(G )Z (G )πᶄ进一步,我们有|G |ɤ|G ʒN G (C G (x ))|㊃(|C G (x )|-1)+|O πᶄ(G )Z (G )πᶄ|从而有1ɤ|C G (x )|-1|N G (C G (x ))|+|O πᶄ(G )Z (G )πᶄ||G |令|N G (C G (x ))|=n .如果O πᶄ(G )Z (G )πᶄ<G ,由步骤4,我们可得n |C G (x )|ȡ2.这就表明1ɤ12-1n +12矛盾.情形2 下面我们假设存在G πᶄ的两个元素x ,y ,使得C G (x )与C G (y )在G 中不共轭.记췍G =G /Z (G )πᶄ.步骤6 假设췍x ,췍y ʂ1是췍G 中的两个元素,且满足췍x ㊃췍y =췍y ㊃췍x 和C G (x )ʂC G (y ).则可知o (췍x )=o (췍y)是素数.易见x 和y 是两个πᶄ元素,因此由假设条件可知x y =y x 也是πᶄ元素,从而可知x y 为πᶄ元素.不失一般性,我们可以假设o (췍x )<o (췍y ),则有(췍x ㊃췍y )o (췍x )=췍y o (췍x )ʂ1,进一步可得1ʂ(췍x ㊃췍y )o (췍x )=x yo (췍x )ɪC G (x )ɘC G (y ).由步骤2可得C G (x )=C G (x y ),由此可知x ɪC G (y ).再次利用步骤2,我们有C G (x )=C G (y ),矛盾.故o (췍x )=o (췍y).现在假设对o (췍x )的某个素因子s 有(췍x )s ʂ1,则可得C G (x )ɤC G (x s )<G ,因此o (췍x )=o (췍y )=o (췍x s ),矛盾.步骤7 令g ɪG πᶄ是非中心元,则存在非中心元x ɪG πᶄ,使得췍g 췍G ɘC G (x )=Ø,其中췍g 췍G 是췍G 中包含췍g的共轭类.否则,对G πᶄ中的任意一个非中心元x ,存在一个元素췍n ɪ췍G ,记췍g 췍n 为췍g ,使得췍g 췍n ɪC G (x ).于是有g n =췍g 췍n ɪC G (x ),且进一步可得g n ɪC G (x ).由步骤1可知g n ɪZ (C G (x )),从而C G (x )ɤC G (g n).由引理1有C G (x )=C G (g n),这就表明G πᶄ中两个非中心元的任意两个中心化子在G 中是共轭的,矛盾.步骤8 商群췍G中任意非中心元的阶为素数.假设πᶄ元췍g ɪ췍G 的阶o (췍g)是췍G 合数.易知g 是πᶄ元素.由步骤7可知,存在非中心元x ɪG πᶄ,使得췍g 췍G ɘC G (x )=Ø.记C G (x )πᶄ为C πᶄ,则C πᶄ可作用在췍g 췍G 上.事实上,如果对某个췍h ɪ췍G ,满足췍t ɪC πᶄ和[췍t ,췍g췍h ]=1,结合C G (t )ʂC G (g h )可得o (췍t )=o (췍g 췍h )是素数,从而o (췍g)也是素数,矛盾.因此C πᶄ在췍g 췍G 上的轨道有相同的长度,且均为|C πᶄ|,由此可得|C πᶄ|整除|췍g췍G |.另一方面,再次利用步骤6可断言C G (g )πᶄ作用在췍g 췍G -췍g 췍G ɘC G (g )上无不动点.事实上,如果存在元7第10期 冯海辉:πᶄ元素的共轭类长个数为2的有限群的结构8西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷素췍g췍nɪ췍g췍G-췍g췍GɘC G(g),使得对每一个췍aɪC G(g)πᶄ,满足[췍a,췍g췍n]=1,注意到C G(a)ʂC G(g n),我们可得o(췍a)=o(췍g췍n)是素数,从而可知o(췍g)也是素数,矛盾.因此有|C G(g)πᶄ|整除|췍g췍G|-|췍g췍GɘC G(g)|.又因为|C G(g)πᶄ|=|Cπᶄ|,所以有|C G(g)πᶄ|整除|췍g췍GɘC G(g)|.而0<|췍g췍GɘC G(g)|<|C G(g)πᶄ|矛盾.步骤9情形2下定理1的结论.由步骤1,C G(x)πᶄ具有交换性,且对Gπᶄ中任意非中心元x,|C G(x)πᶄ|是固定的整数.由步骤8我们可知,对某个素数q∉π,C G(x)πᶄ是素数幂,且췍G=G/Z(G)πᶄ是{π,q}群,从而G=H QˑA,其中H是G的H a l lπ子群,Q是G的S y l o w q子群,且AɤZ(G).综上所述,定理1得证.推论1在定理1的假设条件下,如果αi=0,则G=HˑQˑA,其中HɪH a l lπ(G),QɪS y l q(G), AɤZ(G),qɪπᶄ.参考文献:[1]I TÔN.O nF i n i t eG r o u p sw i t hG i v e nC o n j u g a t eT y p e I[J].N a g o y aM a t hJ,1953(6):17-28.[2] B E L T R A N A,F E L I P EJ M.F i n i t eG r o u p sw i t hT w o p-R e g u l a rC o n j u g a c y C l a s sL e n g t h s[J].B u l lA u s tM a t hS o c,2003,67:163-169.[3]赵先鹤,左红亮,陈贵云.正规子群中某些p-A正则元的G-共轭类长[J].西南大学学报:自然科学版,2011,33(4):104-108.[4] K U R Z W E I L H,S T E L L MA C H E RB.T h eT h e o r y o fF i n i t eG r o u p s[M].N e w Y o r k:S p r i n g e r,2003.[5] B E L T R A N A,F E L I P EJM.P r i m eP o w e r s a sC o n j u g a c y C l a s sL e n g t h s o fπ-E l e m e n t s[J].B u l lA u s tM a t hS o c,2004,69:317-325.O nS t r u c t u r e o f F i n i t eG r o u p sw i t hT w oC o n j u g a c y C l a s sL e n g t h s o fπᶄ-E l e m e n t sF E NGH a i-h u iS c h o o l o fM a t h e m a t i c s,S h a n g h a iM a r i t i m eU n i v e r s i t y,S h a n g h a i201306,C h i n aA b s t r a c t:L e tπb e a s e t o f p r i m e n u m b e r s,a n d G a f i n i t eπ-s e p a r a b l e g r o u p.T h e s t r u c t u r e o f G w i t h t w o e x a c t c o n j u g a c y c l a s s l e n g t h s o fπᶄ-e l e m e n t s i n G i s s t u d i e d.K e y w o r d s:π-s e p a r a b l e g r o u p;c o n j u g a c y c l a s s;πᶄ-e l e m e n t责任编辑廖坤。
第11卷第4期2009年8月安顺学院学报JOURNAL OF ANSH UN UNIVERS ITYVol 11 No 4A ug 2009收稿日期:2008-12-18基金项目:贵州省教育厅自然科学基金资助(立项号:黔教高发(2008)364号)。
作者简介:1 黄宝勤(1981~),男,硕士,安顺学院数计系讲师。
研究方向:基础代数。
2 令狐荣涛(1960~),男,安顺学院数计系教授。
研究方向:基础代数、数学教育。
Sylow 定理的注记及其应用黄宝勤1令狐荣涛2(1、2 安顺学院数计系,贵州 安顺561000)摘 要:Sylow 定理作为研究群论特别是有限群的重要工具,对Sy low 定理的深刻理解对从事有限群论的研究有着重要的意义。
文章主要通过不同教材中关于Sylo w 定理的不同描述的比较来加深对Sylo w 定理的理解,并举例说明Sylow 定理的应用。
关键词:Sylow 定理;Sylow p-子群;有限群;共轭中图分类号:O152 文献标识N r 码:A 文章编号:1673-9507(2009)04-0089-031引言由Lagr ange 定理知道,一个有限群G 的任意一个子群H 的阶|H |,一定是群G 的阶|G |的因数。
而且如果G 是循环群,则对群G 的阶|G |的每一个因子m,有且仅有一个m 阶子群。
但是对一般有限群G 来说,对|G |的任一个因数m,G 未必有m 阶子群。
比如4次交错群A 4的阶是12,它有2阶,3阶与4阶子群,但没有6阶子群。
又比如n 次交错群A n (n 5)是单群,A n 的阶为n!/2,A n 不含任何阶为n !/4的子群,否则A n 将有一个指数为2的子群,从而N p 含有一个正规子群。
这与A n 是单群矛盾。
如果对一般有限群G 的阶|G |的因子m 作一些适当的限制,就可以证明有限群G 的m 阶子群的存在性。
这方面最重要的结果是挪威科学家L Sy low 于1872年发现的所谓Sy low 定理,Sy low 定理不仅指出了一类子群的存在性,还讨论了这类子群的一些性质。
张轩中(56516127) 12:16:26各位同学,中午好张轩中(56516127) 12:16:47现在,我来给大家介绍一本书张轩中(56516127) 12:17:17张轩中(56516127) 12:17:33书的封面如上图所示张轩中(56516127) 12:18:10这个书的作者是 ALAIN connes张轩中(56516127) 12:18:46我曾经讲过 connes 证明 morley三角形张轩中(56516127) 12:19:14大家应该对此人有印象吧张轩中(56516127) 12:19:52先读一段英文张轩中(56516127) 12:20:38张轩中(56516127) 12:21:16第一句话,谁来翻译一下张轩中(56516127) 12:21:49未来的物理学你来翻译一下行不寒如易水(516398790) 12:22:09请求能看见图片的发下…未来的物理学(1158143957) 12:22:11 看不清张轩中(56516127) 12:22:52我给你弄张清楚的稍等张轩中(56516127) 12:24:34张轩中(56516127) 12:24:40这下可以了吗未来的物理学(1158143957) 12:25:36只是第一句吗？张轩中(56516127) 12:26:08是啊未来的物理学(1158143957) 12:27:59事实上光谱和关于它的大量实验结果实验结果显示最新的理论结果是与实验的结果相反的张轩中(56516127) 12:28:05未来的物理学(1158143957) 12:28:22翻了张轩中(56516127) 12:28:28对,翻译很不错张轩中(56516127) 12:29:00它这里说的光谱就是原子发的光线张轩中(56516127) 12:29:08频率是离散的张轩中(56516127) 12:29:51所以 ,它说的矛盾,就是和麦克氏卫电磁学的矛盾张轩中(56516127) 12:30:33接下来那句话 ,说的是 ,原子发出的光谱线的频率,不构成一个群张轩中(56516127) 12:30:56这"群"字,是数学家的语言杨锦波(1365478322) 12:31:20从QM成长的前夕说起啊张轩中(56516127) 12:31:29群论有3原则张轩中(56516127) 12:31:58所以,请波波解释一下第2段杨锦波(1365478322) 12:32:11单位元、逆元、结合律张轩中(56516127) 12:32:38对,那图片中的第2段是说什么杨锦波(1365478322) 12:34:03翻译做不到，意思应该能说出来书里想说的跟经典理论的相悖之处如下张轩中(56516127) 12:34:58这一段里,有一个群张轩中(56516127) 12:35:19张轩中(56516127) 12:35:50是可交换的张轩中(56516127) 12:36:46但是,这个群不符合量子力学张轩中(56516127) 12:36:55我们要用一个群胚张轩中(56516127) 12:37:53因为量子力学中的结合律里兹组合原则张轩中(56516127) 12:38:49谁能说一下什么是里兹组合原则?寒如易水(516398790) 12:41:11频率＝光谱项的差？张轩中(56516127) 12:41:17张轩中(56516127) 12:41:22对张轩中(56516127) 12:42:02张轩中(56516127) 12:43:01群胚是群的变形,好象要低级一些张轩中(56516127) 12:44:00connes的思想是来自量子力学的杨锦波(1365478322) 12:44:24 uncommunicatable？张轩中(56516127) 12:44:34他说 ,普朗克从热力学发家张轩中(56516127) 12:45:05把弹簧振子的能量离散化了张轩中(56516127) 12:45:29波尔把角动量离散化了张轩中(56516127) 12:46:19(原因是为了凑圆周运动的氢原子内电子的能谱) 张轩中(56516127) 12:46:53海森堡则与众不同张轩中(56516127) 12:47:22他发现,物理量用非交换的矩阵描述张轩中(56516127) 12:48:29他相当于做了一件事情张轩中(56516127) 12:49:24张轩中(56516127) 12:49:40就是我图片里的这个事情杨锦波(1365478322) 12:51:38可交换的gama群换成成不可交换的群胚delta张轩中(56516127) 12:52:00把相空间变了非对易空间张轩中(56516127) 12:52:05对张轩中(56516127) 12:52:30更精确地说张轩中(56516127) 12:53:11把相空间上的函数之间的代数变成了矩阵的代数张轩中(56516127) 12:53:53接下来他接着谈量子统计张轩中(56516127) 12:54:27在算子代数的层面上,看看数学和物理交融张轩中(56516127) 12:55:49有N个气体分子张轩中(56516127) 12:56:13N大约是 1摩尔个张轩中(56516127) 12:56:32请问,这个系统的相空间是几维的?未来的物理学(1158143957) 12:56:563n？勇往直前(1025530216) 12:57:016n杨锦波(1365478322) 12:57:05气体分子只有三个自由度吗？张轩中(56516127) 12:57:12对 6N未来的物理学(1158143957) 12:57:29为啥是6n日期:2011-6-8张轩中(56516127) 12:57:50好了,统计力学说,一个统计态,不是这个相空间内的一个点勇往直前(1025530216) 12:57:49位置坐标和动量杨锦波(1365478322) 12:57:58一个点，空间三维，动量三维未来的物理学(1158143957) 12:58:05欧张轩中(56516127) 12:58:19而是一个measure天鹅(340217138) 12:58:24有哪位朋友读过Greiner的Quantum Chromodynamics dynamic 这本书？未来的物理学(1158143957) 12:58:37也就是三个速度维呗measure的意思是测度寒如易水(516398790) 12:58:55大家先不要打断报告，好吧…勇往直前(1025530216) 12:58:56不是一个态就是相空间一个点吗？？张轩中(56516127) 12:59:22不是一个点张轩中(56516127) 12:59:27统计是模糊的张轩中(56516127) 12:59:39你无法知道所有信息张轩中(56516127) 12:59:48所以此点很模糊勇往直前(1025530216) 12:59:45 哦。
群的共轭类数
在群论中，群的共轭类数是指群中元素的共轭类的个数。
共轭类是指群中具有相同共轭关系的元素所构成的等价类。
具体而言，对于群G和其元素a，群G中与a共轭的元素定义为：对于任意b∈G，存在g∈G，使得b = gag⁻¹。
群的共轭类数通常用符号类似于[ a ] 或C(a) 表示。
其中a 表示群G中的一个元素，[ a ] 是由与a 共轭的所有元素构成的等价类。
如果群G中有k个互不相同的共轭类，那么群G的共轭类数为k。
共轭类的个数与群的结构密切相关。
对于有限群而言，群的共轭类数等于群的正规子群（即正规化子群）的数目。
一个正规子群的定义是：如果一个群G的子群H满足对于任意g∈G，都有gHg⁻¹ = H，那么称H为G的一个正规子群。
需要注意的是，不同的群可能具有不同的共轭类数。
在研究群的结构和性质时，了解群的共轭类数可以为理解群的不变性和群操作提供重要线索。
有限群共轭类的计算有限群表⽰论的⼀些基本定理：1、有限群的不同的（⾮等价的）不可约表⽰的个数是有限的，并且等于这个群的共轭元素类的个数。
1a、只有有限多不可约表⽰，它的数⽬正好等于有限群G的共轭类的数⽬。
1b、G的不可约表⽰的个数（确切到同构）等于G的共轭类的个数。
G的两个元素t和t'说是共轭的，如果存在s∈G使得t'=sts^(-1)；这是⼀个等价关系，这个关系将G划分成类（也叫做共轭类）。
——群G的共轭类个数k是G的不变量，G是Abel群当且仅当k=|G|——群G的共轭类个数与群G的同阶元个数分布是G的两个不变量，同阶元之间不⼀定共轭2、不可约表⽰的阶数必然是群的因数，⽽且正则表⽰等于所有不可约表⽰的和，其中每⼀个不可约表⽰重复出现的次数恰好等于其阶数。
3、有限群的阶数n与不可约表⽰阶数n_1,n_2,…n_k之间的下⾯有趣的关系式：n=∑[i=1->k](n_i)^2。
n_1=1。
3a、有限群不等价不可约表⽰维数平⽅和等于群的阶数∑[j](m_j)^2=g4、每个有限群G都有⼀个正则表⽰，维数是有限群G的阶|G|。
5、线性⽆关定理：G在K⾥的不同特征标σ_1,…, σ_n总是线性⽆关的。
6、下列性质是等价的：a、G是⼀个Abel群。
b、G的⼀切不可约表⽰都是⼀级的。
6a、有限可换群每⼀个元素组成⼀个共轭元素类。
因此，k=n，n_1=n_2=…=n_k=1，即这样群的所有不可约表⽰都是⼀阶的，⽽且不可约表⽰的个数等于群的阶数。
上⾯定理所⽤到的⼀些基本定义：定义1：若⾏列式不为零的m*m矩阵集合构成的群D(G)与给定群G同构或同态，则D(G)称为群G的⼀个m维线性表⽰，简称表⽰（representation）。
定义1a：群G的⼀个n阶表⽰是G到n阶⾮退化矩阵群⾥的⼀个同态映像。
⼀个群G在⼀个域K上的向量空间V上的线性表⽰是G到V的⾃同构群GL(V)中的⼀个同态ρ:G->GL(V)。
量子力学课后习题详解 第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为00ˆˆ()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即2004ze U r rπε=-（）在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为ˆˆ()HT U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区域， 200()()4Ze U r U r r πε=-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0ˆˆˆHH H '=+得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以认为(0)ˆˆHH '<<，视为一种微扰。
对于基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ，2422(0)1222e s s m Z e Z e E a =-=-由ˆH '引起的一级修正为 ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故102≈-r a Ze 。
第46卷 第6期吉林大学学报(理学版)V o.l 46 N o .6 2008年11月J OURNA L O F JIL I N UN IVER SI TY (SC I ENCE ED I T ION )N ov 2008研究简报非正规子群共轭类类数为2的有限群的一个注记陈顺民1,2,陈贵云3(1.陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710062;2.重庆文理学院数计系,重庆402160;3.西南大学数学与统计学院,重庆400715)摘要:利用子群共轭类的性质,结合M ousav i 给出了非正规子群的共轭类类数为2的有限幂零群的分类,得到了非正规子群的共轭类类数为2的有限群的完全分类,校正了M ousav i 给出的非正规子群的共轭类类数为2的有限非幂零群的分类.关键词:非正规子群;Dedekind 群;幂零群;共轭类;类数中图分类号:O152.1 文献标识码:A 文章编号:1671 5489(2008)06 1097 04A Note on F i nite Groups Havi ng Exactly Two Conjugacy Classesof Non nor m al SubgroupsC HEN Shun m in 1,2,C H E N Gu i yun 3(1.School of M at he ma tics and Information S cience ,Shaanx iN or m al Un i ver sit y,X i an 710062,Ch i na ;2.D epart m ent of M athe m atics and Computer Science ,Chongq ing Un i vers it y of A r ts and S ciences ,Chongqing 402160,China ;3.School of M at he m atics and S t atistics,Sou t hwest University,Chongq i ng 400715,China )Abstrac:t On the basis of the properti e s of conjugacy classes o f non nor m a l subgroups and the classificati o n o f fi n ite n il p o tent groups hav i n g ex actly t w o conjugacy c lasses of non nor m al subgroups g iven by M ousav,i fi n ite groups hav i n g exactly t w o con j u gacy classes of non nor m a l subgroups are co m pletely c lassified ,revisi n g the classification o f finite non n ilpo tent g r oups hav i n g exactly t w o conjugacy classes of non nor m a l subgroups g i v en by M ousav.iKey wor ds :non nor m al subgroups ;Dedek i n d g r oups ;n ilpotent groups ;con j u gacy classes ;c lass num ber收稿日期:2007 12 10.作者简介:陈顺民(1968~),男,汉族,硕士,讲师,从事有限群的研究,E ma i :l s m i n chen @126.co m.联系人:陈贵云(1963~),男,汉族,博士,教授,从事有限群的研究,E m ai:l gychen@s w u .基金项目:国家自然科学基金(批准号:10771172).本文涉及的群均为有限群;v(G )表示群G 非正规子群的共轭类类数;c(G )表示群G 的幂零类; (G )表示群G 的Fratti n i 子群;Q 4n 表示4n 阶广义四元数群;D 2n 表示2n 阶二面体群;Z n 表示n 阶循环群; (G )表示群G 的阶所含全体素因子的集合;[A ]B 表示A 与B 的半直积,其中A AB.其余的符号及概念参见文献[1].文献[1]给出了所有子群均正规群的结构.文献[2]给出了非正规子群的共轭类类数为1的有限群的完全分类.对于有限幂零群G,文献[3]证明了G 或为H a m ilton 群或者满足c 1+v ,其中c 为G 的幂零类,v 为G 的非正规子群的共轭类类数.文献[4]证明了在奇阶幂零群G 中仍有不等式c 1+v*成立,其中c 为G 的幂零类,v *为G 的非正规循环子群的共轭类类数;进一步,文献[5]讨论了非循环子群的共轭类类数至多为2的有限群;文献[6]讨论了所有非正规子群生成一个非平凡真子群的群;M ousav i [7]给出了非正规子群的共轭类类数为2的有限群的分类,但给出的分类情形有误.本文将给出非正规子群的共轭类类数为2的有限群的完全分类,具体结果如下:定理1 设G为有限群,p,q,r为不同的素数,则v(G)=2当且仅当G同构于下列群之一:(1)G([N]P)!K,其中[N]P是非交换可裂扩张,N为q阶循环群,P为p幂阶循环群,K为r 阶循环群,[N, (P)]=1;(2)G∀x,y x q2=y p n=1,y-1xy=x k,q|/k-1,k模q2的指数为p#;(3)G A4,其中A4为12阶交错群;(4)G∀x,y x q=y p n=1,x y=x k,k模q的指数为p2,n∃2#;(5)G P!Z q,其中P幂零,v(P)=1;(6)G[Z4]Z4;(7)G Q16,其中Q16为16阶广义四元数群;(8)G∀x,y y2n=x4=1,x-1yx=y1+q,q=2n-1,n∃3#;(9)G D8,其中D8为8阶二面体群.引理1[3] 设N G,且N H G,则v(G/N)=G包含N的非正规子群共轭类的类数.引理2[2] 设G为有限群,则v(G)=1当且仅当G为下列群之一:(1)G=[N]P,这里N为素数q阶循环群,P为素数p幂阶循环群,且[N, (P)]=1;(2)G M(p n)=∀a,b a p n-1=b p=1,b-1ab=a1+p n-2#,其中p是一个素数,且当p∃3时,n∃3;当p=2时,n∃4.引理3[3] v(A!B)∃v(A)v(B)+v(A)(B)+(A)v(B),等号成立当且仅当(A,B)=1,其中(G)表示G的正规子群的数目.引理4[3] 设G是含有指数为p的循环子群的非交换p 群,q=p n-2,则下列结论成立:(1)G D2n,其中c(G)=n-1,v(G)=2n-4,n∃3;(2)G S2n=∀a,b a=2n-1,b2=1,a b=a-1a q#,其中c(G)=n-1,v(G)=2n-5,n∃4;(3)G Q2n,其中c(G)=n-1,v(G)=2n-6,n∃3;(4)G M(p n),其中c(G)=2,v(G)=1.为了便于对比,下面列出M ousav i在文献[7]中的结论:定理2 设G为有限群,p,q,r为不同的素数,则v(G)=2当且仅当G同构于下列群之一:(1)G∀x,y,z x r=y p n=z q=[x,z]=[y,z]=1,x y=x k,p r-1,k p=1(m od r),k%1#;(2)G∀x,y x q2=y p n=1,y-1xy=x k,p q-1,k p=1(m od q2),k%1#;(4)G∀x,y x q=y p n=1,x y=x k,p2q-1,k p2=1(m od q),k%1,n>1#.情形(3),(5)~(9)同定理1中情形(3),(5)~(9).反例.(i)定理2中结论(1)不成立,有如下的反例:取G=∀x,y,z x3=y4=z5=[x,z]=[y,z]=1,x y=x4#.显然,G满足定理2中情形(1)的条件,但G为交换群,从而v(G)%2.(ii)定理2中结论(2)不成立,有如下的反例:取G=∀x,y x9=y2=1,x y=x10#.显然,G满足定理2中情形(2)的条件,但G为交换群,从而v(G)%2.(iii)定理2中结论(4)不成立,有如下的反例:取G=∀x,y x5=y8=1,x y=x4#.此时,p=2, q=5,k=4,n=3.易验证G满足定理2中情形(4)的条件,但[∀x#, (∀y#)]=1,据引理2,有v(G)=1,v(G)%2.下面证明定理1.(i)当G为幂零群时,结合定理2的证明,G只能为定理2中情形(5)~(9)中的群,即定理1中情形(5)~(9)中的群.可以验证情形(5)~(9)中的群G均满足v(G)=2,故定理1中情形(5)~(9)成立.(ii)当G为非幂零群时,令P为G中非正规的Sy lo w p 子群,从而N G(P)G.可以断言具有如下性质:G中除Sy l o w p 子群外的Sy l o w子群均在G中正规.否则,G存在Sylo w q 子群Q G,其中1098 吉林大学学报(理学版) 第46卷q %p ,由v(G )=2可知,N G (P )=P.此时,若 (G )>2,因v(G )=2,则G 存在非平凡正规Sy lo w r 子群R,其中r %p ,q ,从而PR G.对!g &G,有P g =P h ,其中h &PR,从而gh-1&N G (P )=P,g &PR,于是G =PR,这与 (G )>2矛盾.这样,(G )=2,即G =PQ.又v(G )=2,从而P,Q 均为循环群,于是P G 或Q G,矛盾.所以上述性质成立.(1)若P <N G (P ),则G 中两个非正规子群的共轭类分别为P 的共轭类和N G (P )的共轭类,于是P 循环.令P =∀b #.因P N G (P ),由Schur Zassenhaus 定理知,P 在N G (P )中有补H.任取H 中一素数r 阶循环群K,则K G.据引理1,v (G /K )=1,又据引理2可知,G /K =[∀N ]#P 是非交换可裂扩张,这里∀N 为素数q 阶循环群,#P 为素数p 幂阶循环群,且[∀N, (#P )]=1.若q =r ,令N 为G 的Sy l o w q 子群,则N G (P )=P !K,K <N,有G =[N ]P,其中N =q 2,且K =q.若p >q ,由G ∋N G (P )=q 可知,N G (P ) G,这与N G (P )G 矛盾,从而p <q .因v(G )=2,于是 (P ) G,从而[N, (P )]=1.若N 为循环群,令N =∀a #,则G =∀a,b a q 2=b p n =[a q ,b]=[a,b p ]=1,a b =a r ,2 r q 2-1#.(1)因a q =b -1a qb =a qr ,于是q 2qr -q,即q r -1,又2 r q 2-1,从而r =iq +1(i =1,2,(,q -1).又a =b -p ab p =a s ,s =r p ,于是q2r p -1,把r =iq +1代入式(1),有q 2iq p.但p <q,且i q -1,于是q 2|/iqp,矛盾,故N 只可能为q 2阶初等Abe l 群.令N =K !L,且K =∀x #,L =∀y #.因v(G )=2,于是L G,从而PL 成群.若PLG,因N G (P )=P !K,则PL 与N G (P )=P !K 在G 中不共轭,于是v(G )∃3,矛盾,故PL G.又K =q ,于是PL )K =1,从而G =([L ]P )!K.令y b =y t (2 t q -1).若(xy )b =xy t &∀xy #,则xy t =x j y j (1 j q -1),于是j =1,且y t =y,矛盾,故∀xy #G,从而v(G )∃3,矛盾.若q %r ,仍然有N G (P )=P !K.由上述G 的性质知,G 的Sy lo w q 子群N G,从而G =([N ]P )!K,其中[N ]P 是非交换可裂扩张,N 为素数q 阶循环群,且[N, (P )] K.又[N, (P )] N,从而[N, (P )]=1.据引理2,v([N ]P )=1,又据引理3可知,v(G )=2,故此时的G 满足条件,定理1中情形(1)成立.(2)若P =N G (P ),有G =PQ,其中Q &Syl q (G ),q %p.否则, (G )∃3.令R &Syl r (G ),其中p,q ,r 两两不等.由G 的性质知Q G,R G,从而PQ 与PR 均构成G 的真子群.因P =N G (P ),从而N G (PQ )=PQ <G,N G (PR )=PR <G,于是v (G )∃3,矛盾.从而得到 (G )=2,且G =PQ,其中Q &Sy l q (G ),q %p .令H 是G 的与P 不共轭的非正规子群.分三步完成这种情况的证明.(i )若 (H )={p,q },则Q G,且P 和Q 的真子群均在G 中正规.不妨假设H =K L,其中K P,L Q.若K <P,则K G,且L G,于是H =K L G,矛盾,故K =P,从而H =PL.又HG,从而L <Q.若Q ∃q 3,则PL 1成群,其中L 1为Q 的非平凡子群,且L 1%L.由P =N G (P )知PL1G,从而v (G )∃3,矛盾.所以Q =q 2,L =q .若Q 为初等Abe l 群,可令Q =Q 1!Q 2,其中Q 1=L,于是Q 1 G,Q 2 G,从而Q 1与Q 2在G 中不共轭,且PQ 1与PQ 2均成群.因P =N G (P ),有PQ1G,PQ2G.显然PQ 1与PQ 2在G 中不共轭,于是v (G )∃3,矛盾.若Q 循环,设G =∀a,b a q 2=b p n =1,b -1ab =a r #,其中2 r q 2-1,P =∀b #,Q =∀a #,则H =∀b #∀a q #={b i aqj 0 i p n -1,0 j q -1}.由于H G ∃H a =H ∃b a =ba 1-r &H ∃q 1-r ,从而HG ∃q |/r -1,故G =∀a,b a q 2=b p n =1,b -1ab =a r ,q |/r -1,r 模q 2的指数为p #,易验证此时的G 满足条件,定理1中情形(2)成立.(ii )若H 为q 群,则H <Q.可断言Q 为q 2阶初等Abe l 群,且H =q ,P 为p 阶循环群.事实上,若H >q ,可取在G 中正规的q 阶子群N <H,于是P N G,从而由Fratti n i 论断,有G =NP ∗N G (P ),但P =N G (P ),矛盾,故H =q .若Q >q 2,可在H 中取G 的正规q 2阶子群K <Q,于是PK G.由Frattini 论断,仍得到矛盾,故Q =q 2.因H <Q G,所以Q 为初等Abe l 群,显然P 循环.若P >p,因v(G )=2,则1% (P ) Z (G ).据引理1知,v(G / (P ))=1,又据引理2可知,G / (P ) [L ]P 11099 第6期 陈顺民,等:非正规子群共轭类类数为2的有限群的一个注记是非交换可裂扩张,其中L 为q 阶循环群,P 1为p 阶循环群.但q 2G / (P ),矛盾,故P 为p 阶循环群.若Q 中存在G 的正规q 阶子群,令T 为其中之一,则Q =T !H,且PT G.由Fratti n i 论断及P =N G (P ),有G =TP ∗N G (P )=TP,矛盾.因此Q 中每个q 阶子群均在G 中不正规,从而H 在G 中的所有共轭子群即为Q 中的q +1个q 阶子群,于是q +1=p,故q =2,p =3,从而G =12.因G 中没有4阶元,且G 的Sylo w 3 子群在G 中不正规,于是在所有12阶群中只有交错群A 4符合要求,易验证v(A 4)=2,故定理1中情形(3)成立.(iii )若H 为p 群,则Q 的所有子群在G 中正规,且可假定H 含于P 中.因P =N G (P ),于是必有Q =q %2,且G =[Q ]P.令Q =∀c #.若H 不为P 的极大子群,因v(G )=2,从而P 的极大子群在G 中正规.若P 不循环,则可取P 的两个不同的极大子群M 1及M 2,于是M 1 G,M 2 G,从而P =M 1M 2 G,矛盾.若P 循环,则P 有惟一的极大子群在G 中正规,从而H G,矛盾.因此H 为P 的一个极大子群.这样,由v(G )=2可知,H 是P 的循环的极大子群.据引理4及P 是一个Dedek i n d 群可知,P 为交换p 群或为四元数群Q 8.因Q G,且Q =q %2,于是P /C P (Q ) Aut (Q )循环.当P =Q 8时,G =[Q ]Q 8,其中Q 8=∀a,b a 4=1,b 2=a 2,a b =a-1#.因v(G )=2,从而∀a 2#=∀b 2# G,于是[a 2,c]=[b 2,c]=1.令c a =c i ,c b =c j ,其中1 i q -1,1 j q -1,从而c =a -2ca 2=c i 2,c =b -2cb 2=c j 2.故i 2=1(m od q ),j 2=1(m od q),于是有q i +1或q i -1.因1 i q -1,所以当q i +1时,i =q -1;当q i -1时,i =1.类似地有j =q -1或j =1.由P /C P (Q ) A ut (Q ),有G 满足c a =c -1,c b =c 或c a =c ,c b =c -1.若前者成立,则Q8G,∀a #G.又(ba )c =bac 2,因c =q >2,从而∀ba #G.显然∀a #在G 中的共轭子群为∀c -t ac t #,其中0 t q -1.若c -t ac t =ac 2t &∀ba #,则ac 2t =(ba )+1,从而b =1或b 3=1,矛盾.故两个4阶子群∀a #与∀ba #在G 中不共轭,于是v (G )∃3,矛盾.若后者成立,则由a 与b 的对称性,类似可得v(G )∃3,矛盾.当P 为交换p 群时,若P 不循环,可令P =∀a,b a p n -1=b p =1,[a,b ]=1#,其中∀a #G.令c a =c r ,2 r q -1.显然,∀a #在G 中的共轭子群为∀c -t ac t #,其中0 t q -1.可断言∀b # G,从而b &Z (G ).否则,∀b #G.当n ∃3时,G 有在G 中不共轭的非正规子群P,∀a #,∀b #,矛盾;当n =2时,c -t ac t =ac t(1-r)∀b #,从而∀a #与∀b #在G 中不共轭,也有v (G )∃3,矛盾.由(ab)c =a c b =abc 1-r 及c 1-r %1可知,∀ab #G.类似可证:∀a #与∀ab #在G 中不共轭,从而v(G )∃3,矛盾.若P 循环,则P =∀a a p n =1#,其中H =∀a p #,n ∃2.因v (G )=2,于是∀a p 2# G,从而[∀a p 2#,Q ]=1.此时,G =[Q ]P 是非交换可裂扩张,其中P =∀a #为p n 阶循环群,Q 为q 阶循环群,且[∀a p 2#,Q ]=1,[Q,∀a p #]%1,p 2q -1,n ∃2.易见,此时的G 满足v (G )=2,进一步,G =∀a,c a p n =c q =1,c a =c r ,r 模q 的指数为p 2,n ∃2#,故定理1中情形(4)成立.综上所述,定理1成立.参考文献[1] R ob i nson D J S .A Course in the T heo ry o f G roups [M ].N e w Y ork :Spring V er lag ,1982.[2] R o lf B .G roups w ith Few N on no r m al Subgroups [J].Communicati ons i n A l g ebra ,1995,23(6):2091 2098.[3] John P ,A kbar R.T he N u mber of Conj ugacy C l asses ofN on no r m al Subg roups i n N il potentG roups [J].Comm un i cationsi n A l gebra ,1996,24(10):3237 3245.[4] L I Sh i rong .T he N u m be r o f Conj ugacy C lasses of N on nor m a l Cyc lic Subg roups i n N il potent G roups of O dd O rder [J].Journa l o f G roup T heory ,1998(1):165 171.[5] L I Sh i rong ,Z HAO Xu bo .F inite G roups w it h F e w N on cycli c Subgroups [J].Jou rna l o f G roup Theory ,2007,10:225 233.[6] 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