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抽象代数高等数学教材抽象代数，作为数学的一个重要分支，研究的是代数结构的抽象概念及其性质。
它是现代数学的基石之一，也是高等数学中的一门重要课程。
本教材旨在全面而系统地介绍抽象代数的基本概念、理论和方法，帮助读者建立起对抽象代数的深入理解和应用能力。
第一章：群论1.1 群的定义与性质1.2 群的子群与商群1.3 幺半群与半群1.4 群同态与同构1.5 群的作用与置换群第二章：环论2.1 环的定义与性质2.2 整环与域2.3 环的同态与同构2.4 素理想与极大理想2.5 多项式环与唯一因子分解整环第三章：域论3.1 域的定义与性质3.2 代数扩域与超越扩域3.3 有限域与伽罗华理论3.4 不可约多项式与域的扩张第四章：线性代数4.1 线性空间的定义与性质4.2 线性变换与矩阵4.3 特征值与特征向量4.4 正交矩阵与对角化4.5 线性空间的直和与内积空间第五章：模论5.1 模的定义与性质5.2 子模与商模5.3 生成元与基本定理5.4 非交换环上的模5.5 自由模与有限生成模第六章：域扩张与代数闭包6.1 域扩张的概念与性质6.2 代数元与超越元6.3 代数闭包与代数簇6.4 代数闭域与代数不变量6.5 有理函数与分式域的构造第七章：范畴论与同调代数7.1 范畴的基本概念与性质7.2 范畴的构造与自然变换7.3 函子与函子范畴7.4 外代数与同调代数基础7.5 奇异同调与同调算子第八章：群表示论8.1 群表示的基本概念与性质8.2 单群与群同态8.3 群表示与欣格尔引理8.4 卷积公式与算术引理8.5 特殊群的表示与表示的构造结语：本教材通过系统而严谨的讲解，涵盖了抽象代数的核心内容，旨在培养读者对抽象代数的兴趣和学习动力，提升读者对数学的抽象思维能力和证明能力。
在学习的过程中，读者还可结合习题和实例进行巩固和应用，从而更好地掌握抽象代数的理论与方法。
希望本教材能成为读者学习抽象代数的重要参考资料，为他们在数学领域的探索和研究奠定坚实基础。
数论群论有限域
数论、群论和有限域是数学中的重要分支，它们在现代密码学、编码理论等领域中有广泛应用。
数论研究整数及其性质，群论研究代数结构中的群及其性质，有限域则是有限元素的代数结构。
在本书中，我们将介绍数论、群论和有限域的基本概念和定理，并探讨它们之间的联系和应用。
本书包括以下内容：
第一章：数论基础
介绍整数、因数、素数、欧几里得算法、欧拉定理等基本概念和定理，以及它们在密码学、编码理论中的应用。
第二章：群论初步
介绍群的定义、基本性质、同态映射、置换群等概念和定理，以及它们在密码学中的应用。
第三章：有限域
介绍有限域的定义、性质、构造方法，以及它们在编码理论中的应用。
第四章：数论与群论
探讨数论和群论之间的联系，介绍同余关系、同余类、剩余系、群同态等概念和定理。
第五章：有限域与群论
探讨有限域和群论之间的联系，介绍有限域上的加法群和乘法群，以及它们的性质和应用。
本书适合于对数论、群论、有限域感兴趣的读者，以及从事密码
学、编码理论、信息安全等方向的学生、研究人员和工程师阅读。
近世代数题解第一章基本概念§1. 11.4.5.近世代数题解§1. 22.3.近世代数题解§1. 31. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．2. 解这实际上就是Mxxn个元素可重复的全排列数nn．3. 解例如AB＝E与AB＝AB—A—B．4.5.近世代数题解§1. 41.2.3.解 1）略 2）例如规定4．5．略近世代数题解§1. 51. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．2.略3.4.5.§1. 61.2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；3)是等价关系；4)是等价关系．3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．4.则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5.6.证 1）略2）7.8. 9.10.11.12.第二章群§2. 1 群的定义和初步性质一、主要内容1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．2．群的初步性质1)群中左单位元也是右单位元且惟一；2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：3)半群G是群方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,b∈G)．4)有限半群作成群两个消去律成立．二、释疑解难有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种：1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”；2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”；3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”．“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；②从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性．以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算．因此，群的‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算．于是xx，可以施行乘法与除法运算的半群就是群．为了开阔视野，再给出以下群的另一定义．定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对Gxx任意元素a，在Gxx 都存在元素，对Gxx任意元素b都有(ab)=(ba)=b．这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习．2．在群的“方程定义法”中，要求方程a x=b与y a=b都有解缺一不可．即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解．4．关于结合律若代数运算不是普通的运算(例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦．因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法．但无论哪种方法，一般都不是太简单．5．关于消去律．根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立．而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可．6．在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为e1．但G并不是群．7．群与对称的关系．1)世界万物，形态各异．但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性．而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的．由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性．2)几何对称．设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群．这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的．凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群．反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形．不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换．显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多．也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关．因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称．所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论．显然，每个n元多项式都有一个确定的n次置换群：例如n元多项式例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群．很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强．反之亦然．因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式．三、习题2．1解答1.略2.3.4. 5.6.§2. 2 群中元素的阶一、主要内容1．群中元素的阶的定义及例子．xx、无扭群与混合群的定义及例子．特别，有限群必为xx，但反之不成立．2．在群中若＝n，则4．若G是交换群，又Gxx元素有最大阶m，则Gxx每个元素的阶都是m的因子．二、释疑解难在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点．对此应十分注意．但是，在一定条件下可以由阶与决定阶，这就是教材xx定理4：4．一个群中是否有最大阶元?有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元．无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数xx)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素的阶均有限(即无限xx)，则可能无最大阶元，如教材中的例4：下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元的例子．5．利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一．例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即xx、无扭群与混合群．而在xx中又可分出p—群p是素数)，从而有2—群、3—群、5—群等等．再由教材§3. 9知，每个有限交换群(一种特殊的xx)都可惟一地分解为素幂阶循环p—群的直积，从而也可见研究p—群的重要意义．三、习题2．2解答1.2.3.4.5.推回去即得．6.§2. 3xx一、主要内容1．xx的定义和例子．特别是，特殊线性群(行列式等于l的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的xx．4．群的中心元和中心的定义．二、释疑解难１．关于真xx的定义．教材把非平凡的xx叫做真xx．也有的书把非G的于群叫做群G的真xx．不同的定义在讨论xx时各有利弊．好在差异不大，看参考书时应予留意．2．如果H与G是两个群，且HG，那么能不能说H就是G的xx?答：不能．因为xx必须是对原群的代数运算作成的群．例如，设G是有理数xx，而H是正有理数乘群，二者都是群，且HG但是不能说H是G的xx．答：不能这样认为．举例如下．例2设G是四元数群．则显然是G的两个xx且易知反之亦然．三、习题2．3解答1．证赂．2．证必要性显然，下证充分性．设子集H对群G的乘法封闭，则对Hxx任意元素a和任意正整数m都有am∈H．由于Hxx 每个元素的阶都有限，设＝n ，则3．对非交换群一放不成立．例如，有理数域Qxx 全体2阶可逆方阵作成的乘群中，xx，的阶有限，都是2，但易知其乘积⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ab的阶却无限．即其全体有限阶元素对乘法不封闭，故不能作成xx ．4．证 由高等代数知，与所有n 阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证．5．证 因为(m ，n)＝1，故存在整数s ，t 使 ms 十n t ＝1． 由此可得6．7．§2. 4循环群一、主要内容1．生成系和循环群的定义．2．循环群中元素的表示方法和xx的状况．3．循环群在同构意义下只有两类：整数xx和n次单位根乘群，其中n＝1，2，3，…．4．循环群的xx的状况．无限循环群有无限多个xx．n阶循环群有T(n)(n的正出数个数)个xx，且对n 的每个正因数k，有且仅有一个k阶xx．二、释疑解难1．我们说循环群是一类完全弄清楚了的群，主要是指以下三个方面：1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定．其xx的状况也完全清楚(无限循环群有两个xx，n阶循环群有个xx而且ak是xx(kn)＝1)；2)循环群的xx的状况完全清楚；3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都与整数xx同构；另一类是n(n＝1，2，…)阶循环群，都与n次单位根乘群同构．2．循环群不仅是一类完全弄清楚了的群，而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类．例如由下一章§9可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积．更一般地，任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积．由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类．它在各种应用中有着非常重要的作用．例如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具．三、习题§2. 4解答1.2.3.4. 5.6. 7.§2. 5 变换群一、主要内容1．变换群、双射变换群(特别是集合M上的对称群和n次对称群)和非双射变换群的定义及例子．2．变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系．1)集合M上的变换群G是双射变换群G含有M的单或满)射变换；2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构．3．有限集及无限集上非双射变换群的例子(例2和例3)．二、释疑解难1．一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群，即本教材所说的“双射变换群”．而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群．通过教材§5定理2和推论1可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成的群，即通常近世代数书中所说的“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群)．在学习本书时应留意这种差异．2．本节教材定理2(若集合M上的变换群G含有M的单射或满射变换．则G必为M上的一个双射变换群，即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合M上由变换作成的群G含有M的恒等变换，则G中的变换必全为双射变换)大为推广．因为后者要求G包含恒等变换(一个特殊的双射变换)，而前者仅要求G 包含一个单(或满)射变换即可．因此，后音只是前者(本节教材定理2)的一个推论，一种很特殊的情况．两相比较，差异较大．这种差异也说明，M上的任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换，而且xxM的任何单射或满射变换也不能包含．另外，在这里顺便指出，集合M上的任何双射变换群G的单位元必是M的恒等变换．3．集合M上的全体变换作成的集合T(M)，对于变换的乘法作成一个有单位元的半群．在半群的讨论中，这是一类重要的半群．并且本节习题中第4题还指出，当＞1时T(M)只能作成半群，而不能作成群．三、习题§2. 5解答1. 解作成有单位元半群，是单位元．但不作成群，因为无逆元．2.3. 解 G作成群：因为xx4.5.§2. 6 置换群一、主要内容1．任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对换之积，且对换个数的奇阴偶性不变．从而有奇、偶置换的概念，且全体n次置换xx、偶置换个数相等，各为个(n＞1)．2．k—循环的奇偶性、阶和逆元的确定方法，以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元的确定方法．1)k—循环与A有相反奇偶性．2)k—循环的阶为k．又(i1，i2…ik)－1＝(ik，…，i2，i1 )．3)若分解为不相连循环之积．则其分解xx循环个数为奇时为奇置换，否则为偶置换．的阶为各因子的阶的最小公倍．其逆元可由k—循环的逆元来确定．3．由置换，求置换－１的方法．n次对称群sn的中心．4．传递群的定义、例子和简单性质．二、释疑解难1．研究置换群的重要意义和作用．除了教材中已经指出的(置换群是最早研究的一类群，而且每个有限的抽象群都同一个置换群同构)以外，研究置换群的重要意义和作用至少还有以下几方面：1) 置换群是一种具体的群，从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置换的阶和逆置换，都很具体和简单．同时它也是元素不是数的一种非交换群．在群的讨论中举例时也经常用到这种群．2) 在置换群的研究中，有一些特殊的研究对象是别的群所没有的．如置换中的不动点理论以及传递性和本原性理论等等．3) 置换群中有一些特殊的xx也是一般抽象群所没有的．例如，交代群、传递群、稳定xx和本原群等等．就教材所讲过的交代群和传递群的重要性便可以知道，介绍置换群是多么的重要．2．用循环与对换之积来表出置换的优越性．首先，书写大为简化，便于运算。
高中生物选择性必修二第二章群落及其演替一、群落的结构1.群落是指在相同时间聚集在一定地域中各种生物种群的集合。
2.群落的物种组成群落的物种组成是一个群落区别于另一个群落的重要特征，也是决定群落性质最重要的因素。
物种数目的多少称为丰富度。
群落中有些物种不仅数目很多，而且对其他物种的影响也很大，往往占据优势，这样的物种称为优势种。
群落中的物种组成不是固定不变的，随着时间和环境的变化，原来不占优势的物种可能逐渐变得有优势，原来有优势的物种可能逐渐失去优势。
3.群落的种间关系4.群落的空间结构（1）垂直结构大多数群落都在垂直方向上有明显的分层现象。
植物的垂直分层主要与对光的利用率有关，这种分层现象提高了群落对光的利用率。
陆生群落中，决定植物地上分层的环境因素还有温度等，地下分层的环境因素有水分、无机盐等。
动物的垂直分层主要与栖息空间和食物条件有关。
（2）水平结构生物的垂直分层是由于地形变化、土壤湿度、盐碱度、光照强度的不同以及生物自身生长特点的差异、人与动物的相互影响等引起的，在水平上往往呈现镶嵌分布。
5.群落的季节性：由于阳光、温度、水分等随季节而变化，群落的外貌和结构也会随之发生有规律的变化。
6.生态位：一个物种在群落中的地位和作用，包括所处的空间位置，占用资源的情况，以及与其他物种的关系等，称为这个物种的生态位。
研究动物的生态位，通常要研究它的栖息地、食物、天敌以及与其他物种的关系等；研究植物的生态位，通常要研究它在研究区域内出现的频率、种群密度、植株高度等特征，以及它与其他物种的关系等。
群落中每种生物都占据着相对稳定的生态位，这有利于不同生物充分利用环境资源，是群落中物种之间及生物与环境间协调进化的结果。
7.土壤中小动物类群丰富度的研究【实验原理】(1)取样方法：许多土壤动物身体微小且有较强的活动能力，而且身体微小，因此常用取样器取样的方法进行采集、调查。
(2)仅仅统计群落中的物种数，不足以全面了解群落的结构，因此还需统计群落中物种的相对数量。
信息安全数学基础教案（禹勇）教师教案（2009 —2010 学年第一学期）课程名称: 信息安全数学基础授课学时: 40学时授课班级: 信息安全专业，〜60班任课教师: 禹勇教师职称: 讲师教师所在学院：计算机科学与工程学院电子科技大学信息安全数学基础教案（禹勇）第一章整除与同余授课时数：6一、教学内容及要求1. 整除的概念及欧几里得除法，理解2. 整数的表示，理解3. 最大公因数及广义欧几里得除法，掌握4. 整除的进一步性质及最小公倍式，掌握5. 素数和算术基本定理，掌握6. 同余的概念，掌握二、教学重点与难点本章的内容较多，难点较少，教学重点在于以下方面:信息安全数学基础教案(禹勇)1. 欧几里得除法和广义欧几里得除法。
2. 最大公因数和最小公倍数。
3. 整数的标准分解式。
4. 同余的概念三、内容的深化和拓宽在内容的深化和拓宽方面，介绍如何运用欧几里得除法求整数的二进制、十进制和十六进制，使学生对欧几里得除法有更深的理解。
四、教学方式(手段)及教学过程中应注意的问题1. 在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT 演示的方式。
2. 讲述证明整除方面的定理的常用方法。
3. 通过举例阐述重要定理的内容和含义。
五、作业1. 证明：若2|n, 5|n, 7|n那么70|n。
2. 证明：如果a是整数，则a3-a被3整除。
3. 证明：每个奇整数的平方具有形式8k+1。
4. 证明：任意三个连续整数的乘积都被6 整除。
5. 证明：对于任给的正整数k,必有k个连续正整数都是合数。
6. 证明：191，547都是素数，737，747都是合数。
7. 利用爱拉托斯筛法求出500 以内的全部素数。
8. 求如下整数对的最大公因数：(1) (55, 85) (2) (202, 282)9. 求如下整数对的最大公因数：信息安全数学基础教案(禹勇)(1) (2t+1, 2t-1) (2) (2n, 2(n+1))10.运用广义欧几里得除法求整数s, t，使得sa+tb=(a,b)(1) 1613, 3589 (2)2947, 377211. 证明:若(a,4)=2, (b,4)=2，则(a+b,4)=41 2 .求出下列各对数的最小公倍数。
第二章 群及其性质群论属于代数学的范畴，它所研究的是群这样一个代数系统。
所谓代数系统，就是一个具有满足一定法则的代数运算的集合。
一个群只有一种代数运算，我们把这种代数运算称为群的乘法，简称群乘。
群的定义：假设G 是由一些不同元素组成的集合，即G {} ,21,g g =。
在G 中各元素间定义了一种群乘规则 ( 连续操作，乘法、加法运算)， 如果G 对这种群乘规则满足以下条件：（1）满足封闭性。
G 中任意两个元素的乘积仍然属于G ，即 若G g g j i ∈∀,，则G g g g k j i ∈=。
（2）结合律成立。
G g g g k j i ∈∀,,，都有=k j i g g g )()(k j i g g g 。
（3）存在单位元E G ∈。
对Gg i ∈∀，都有ii i g E g Eg ==，所以E 又称为恒等操作。
（4）存在逆元。
对每个Gg i ∈, 存在一个唯一的逆元素Gg i ∈-1, 使i i g g 1-Eg g i i ==-1成立。
这时称集合G 对于所定义的群乘来说构成一个群。
这四个条件常被称为群公理。
单位元素的逆元是自身（E-1=E ）。
证明：因为1111)(g g =--，121)(-g g E g g ==--1112。
所以 E )()(21121g g g g -=211112g g g g --=。
群元的个数，称为群的阶（一般用符号g 来表示）。
若群G 的元素个数有限，则群G 称为有限群；若群G 的元素个数无限，则群G 称为无限群。
群的元素不但可以是数，而且可以是平移、转动、反射、置换、反演等物理操作。
最简单的操作是恒等操作，这种操作是指对事物什么也没有做。
我们需要恒等操作是为了满足群的数学条件。
群乘运算与元素有关。
如果群元是数，群乘就是通常的乘法或加法；如果群元是物理操作，群乘就是操作，先操作右边元素，再进行左边操作（与算符相似）。
群的乘法一般不具有可交换性，即对G g g ∈∀21,，一般说来21g g 12g g ≠。
如果对G g g ∈∀21,，有21g g 12g g =，则称G 是可交换群或阿贝耳（Abel ）群。
循环群必定是Abel 群。
将有限群中所有元素的乘积列为一个表, 称为乘法表。
在乘法表中，行操作是第一操作，列操作是第二操作。
例1）由 {1,－1}组成的集合, 在数的乘法下, 构成一个二阶有限群, 单位元素为1.单位元的逆元总是单位元，－1的逆元是其本身。
例2）由 {－1,0,1}组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 则构成一个三阶有限群, 单位元素为0。
1的逆元是－1，－1的逆元是1。
例3）空间反演群：三维实空间中的恒等变换 E (r r E=)和反演变换 I(r r I-=)。
如果定义群的乘法为从右向左依次施行变换, 则E 和I 构成一个二阶有限群, 称为空间反演群。
例4）n 阶循环群n C ：由一个元素 a 的幂构成的有限群. 由一个群元连乘，可得循环群的全部群元。
设E a n =, 则构成一个群, 称为n 阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群.例5）平面正三角形旋转对称群3D ： 保持平面正三角形空间位置不变的所有转动变换： E : 不转 R 1 : 绕 z 轴转2π/3 R 2 : 绕 z 轴转4π/3 R 3 : 绕 1 轴转π R 4 : 绕 2 轴转π R 5 : 绕 3 轴转π定义群的乘法为从右向左依次施行变换, 构成一个群.例6）h D 3群是正三角形的对称群，旋转对称操作再加平面反射操作h σ。
由于该新元素的增加，产生一些其它的新元素（由群的定义）。
例如1R h σ，2R h σ……5R h σ，从几何上可以看出，3R h σ正好是关于过3R 轴的垂直面的反射，3R hσ、5R hσ类似。
十二个元素的集合},,,,,,,,,,,{5432154321σσσσσσh R R R R R E ，构成一个群h D 3群。
例7）正方形的真覆盖旋转群4D4D ()},,,,23,,2,{7654321R R R R R R R E ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ。
},,,,{12-=n n a a a E C 123ABO图1图2.2例8）定轴旋转群2ℜ：绕某个轴的所有旋转构成一个连续群。
如线性分子CO ，绕其连心线转过任意角度，空间位置保持不变。
其对称操作可记作：()ϕz R 其中ϕ是旋转角 }20{πϕ<≤。
定轴旋转群2ℜ=()}20,{πϕϕ<≤z R 。
2ℜ又称二维转动群。
该群依赖于实参数ϕ，所以是连续群。
又因为ϕ可取无穷多个，所以该群又是无限群。
其群乘结构为 ()()12ϕϕR R ()12ϕϕ+=R ，即群元相乘对应参数相加。
例9）定点旋转群3ℜ：绕过一个固定点的任意轴的所有旋转也构成一个连续群。
任意球对称的系统，将它绕通过对称中心的任意轴()βα,k转过任意角度γ，空间位置保持不变。
对于这样的旋转，要用三个参数来标志。
脚方便的参数就是确定旋转轴的两个极角及该轴的旋转角。
定点旋转群3ℜ的群元可记作()()πγπβπαγβα≤≤≤≤≤≤0,20,0,,k R3ℜ=()}0,20,0,,,{πγπβπαγβα≤≤≤≤≤≤R ，这是用欧拉角()γβα,,表示的。
参数的选择不是唯一的，也可用()r ,,ϕθ表示。
例10）置换群n S ：n 个全同粒子所有置换操作的集合构成一个群。
描述由n 个全同粒子组成体系的对称性时，首先把n 个全同粒子编上号码（1，2，3，……n ）。
然后通过置换（包括对换和轮换）重新排列全同粒子。
全同粒子的置换操作可记作图2.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m m p 3211321 （2.1）上式表示把编上号码的n 个全同粒子重新排列成（m 1，m 2，m 3，……m n ）的顺序。
置换群n S },,{!21n p p p =。
该群共有!n 个群元，这是因为第一个粒子有n 种排列方法可选取，第二个粒子有)1(-n 种排列方法可选取，以此类推第i 个粒子有)]1([--i n 种排列方法可选取，则第n 个粒子只有一种排列方法。
所以n 个全同粒子有!n 个群元，所以该群的阶!n g =。
对于置换操作的表示，第一行的数未必要排成自然顺序，虽然通常都排成自然顺序。
只要上下行的对应关系不变，就代表同一个操作，即同一个群元。
例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133221⎪⎪⎭⎫⎝⎛=322113 置换操作只与每列的对应关系有关，与第一行的顺序无关。
置换1p 的逆元可直接写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n m m m m pn 32132111。
作为例子给出三个全同粒子的置换群3S },,,,,{54321p p p p p E =，群元包括单位元（E ）、三个对换操作（1p ，2p ，3p ）和两个轮换操作（4p ，5p ）。
E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332211，1p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=133221，2p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312313p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=331221，4p ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=233211，5p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=132231。
两个置换的积定义为相继变换所得到的置换。
应先进行右边操作，然后再对新结果进行左边操作。
例如有3p 4p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=331221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛233211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛233211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133221=1p 。
上式中首先把左边操作的上行按右边操作的下行排列（左边操作重新排列时，上下行的对应关系不能变），然后右边操作的上行和重新排列后的左边操作的下行构成最后结果。
置换群的乘法可以写成一般公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n q m q m q m q m 332211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m n m m m 321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n q n q q q 321321上式是按两个置换乘积的定义作出的。
利用这个方法，很容易算得乘法表，如表2.4。
固有转动：三维空间的纯粹转动称为固有转动。
由固有转动变换的集合构成的群称为固有点群。
非固有转动：转动后，再做空间反演就称为非固有转动。
由非固有转动变换的集合构成的群称为非固有点群（简称点群）。
上述两类转动都保持坐标原点不变。
反射：一般用h σ表示，是平面反射操作。
()()z y x z y x h ,,,,=σ，是对xy 平面的反射。
z 表示z 坐标取负。
反演：一般用I 表示，是对于原点的反射操作。
()()z y x z y x I ,,,,=。
习题1．根据群的定义判断下列集合是否构成群并阐述理由。
1）在乘法下，一切奇数{1，3，5，……}的集合。
2）在加法下，一切偶数{2，4，6，……}的集合。
3）在加法下，一切实数的集合。
表2.4 3S 的乘法表4）在乘法下，一切正实数（x ＞0）的集合。
5）在加法下，一切整数的集合。
6）在加法下，一切正整数的集合。
2．集合},,1,1{i i --在普通乘法下，是否构成群？若构成群写出乘法表。
3．写出循环群3C },,{21R R E =、平面正三角形的旋转对称群3D 、正方形的真覆盖旋转群4D 的群乘表。
4D =},,,,,,,{7654321R R R R R R R E2.3群的重排定理（群的一个简单性质）如果a g 是群G 的任一个固定元，b g 取遍G 的所有元，那么，乘积=c g a g bg 也取遍G 的所有元，且每一个乘积只出现一次。
证明：先证G 中的任意元素c g 可以写成=c g a g b g 的形式。
因为由群的定义1-a g G ∈，取b g =1-ag c g ，则自然有=c g a g b g 。
再证a g b g 当b 不同时，给出G 中不同的元素。
用反证法，设b b '≠，而a gb g =a g b g '，两边左乘1-a g 得b g =b g '，这是不可能的。
因为群中不存在重复的元素，这就完成了证明。
重排定理是关于群的乘法的重要定理。
它指出每一个群元，在乘法表的每一行或每一列必须出现，且仅出现一次。
乘法表的每一行或每一列都是群元素的重新排列，不可能有两行或两列元素是相同排列的。
重排定理的例子见表2.1，2.2，2.3，2.4。
2.4同构及同态 由于群的定义非常抽象，有时会出现，两个群的元素虽然是按完全不同的方式定义的，但在代数上可把它们看作是同一个群。
同构：若群表2.2 3C 的乘法表G {} ,,21g g =和群H {} ,,21h h =的群元及群乘都一一对应，即G 的元素a g 和H 的元素a h 之间一一对应，使当a g b g c g =时，有a h b h c h =，则两群G 和H 称作是同构的。
记作：G ≈H 。
两个同构的群，在适当调整群元素的顺序后，就有相同的群乘法表。
