角平分线平行线

当角平分线遇到平行线……教学过程：在几何学习中，我们经常会遇到含有角平分线和平行线的问题，那么当角平分线遇到平行线会产生怎样的火花呢？接下来让我们一起来探索吧！试一试：1.如图，已知BD平分∠ABC ，且DE//BC ，则BE=DE吗？说明理由。

如果我们把其中一个条件和结论调换一下，还能成立吗？变式一：如图，已知DE//BC，且BE=DE，则BD平分∠ABC吗？说明理由。

变式二：如图，已知BD平分∠ABC ，且BE=DE，则DE//BC吗？说明理由。

总结：我们得到了这样一个基本图形：它的特征是：过角的平分线上一点作一条边的平行线与角的另一条边及角平分线围成的三角形是等腰三角形。

我们简单地表示为：当角平分线遇到平行线时，一这会产生等腰三角形。

角平分线+平行线等腰三角形角平分线+等腰三角形平行线平行线+等腰三角形角平分线热身训练看下列四个图，相等的角和平行线都已用记号标出，你能迅速地找出每个图中的等腰三角形吗？（1）（2）（3）（4）例1：如图，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。

问：（1）图中有几个等腰三角形？（2）若过D作EF∥ BC，则图中有几个等腰三角形？（3）线段EF与线段BE，CF有何数量关系？你能说明理由吗？(4) 若AB=4, 求△AEF的周长.变式1：如图，△ ABC中，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB，过点D作EF∥ BC分别交AB,AC于点E,F.当AB=12,AC=8,你能求△AEF的周长吗？变式2：如图，△ABC中，∠ABC的平分线和一个外角的平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E,交AC于点F. 写出EF与BE，CF的数量关系，并说明理由.变式3：如图，△ABC的两个外角∠CBE与∠BCF的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F ，则EF与BE，CF三者有何数量关系？我们在折叠问题里也会遇到这类基本图形。

如图:把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折,点C落在点C’处，BC’交AD于点O，若BC=9,CD=3,求OD的长。

三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。

结论：△BDE是等腰三角形。

条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。

2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。

1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．【答案】25度/25°【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN∥OA，∴∠AOB=∠MNB=50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∠AOB=25°．故答案为：25°．∴∠AOM=∠MOB=12【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．【答案】13【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD-AD=3+3-5=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．【答案】4cm；4cm．【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE=AF，则有EH=EA=AF；又可证△AGF≌△BHE，则AG=EB=12-4=8，则BG=8-4=4，GE=4．【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。

角平分线+平行应用模型的构造一、近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，从而推证两边相等。

或者由其中两个条件推证另一个条件已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．1、如图,AC和BD相交于O，且AB∥DC，OA=OB,求证：OC=OD.OD CBA2．如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC求证：AD+CE=DE3．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于ECE=20cm，求CD的长。

4．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，5．则图中等腰三角形的个数（）（A）1个（B）3个（C）4个（D）5个AEB CD第16题EFCBAD5如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ）Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3 D ．26、如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，∠ABD =30o，AB=AD ，DC ⊥BC 于点C ，若BD =2，求CD 的长。

二 由平行线想到全等三角形和等腰三角形。

例. 如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。

并证明这个命题（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF已知：EG ∥AF,_______,_________. 求证：___________. 证明:GFEDCBA1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 上，E 点在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE ，交BC 于F.求证：DF=EF.C第6题FECDBA三、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。

平面几何平行线与角平分线在平面几何中，平行线和角平分线是非常常见的概念和性质。

平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线，而角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线或线段。

本文将探讨平面几何中平行线和角平分线的性质及应用，帮助读者更好地理解和运用这些概念。

一、平行线的性质与应用1. 平行线的定义与判定平面几何中，平行线的定义是指在同一个平面上的两条直线，永不相交。

判断两条直线是否平行有多种方法，其中常用的有以下两种：（1）平行线判定法一：同位角相等法。

当两条直线分别与第三条直线相交时，同位角（即对顶角）相等，则可以判定这两条直线是平行的。

（2）平行线判定法二：内错角相等法。

当两条直线分别与一条横穿它们的第三条直线相交时，内错角（即内角和相等）相等，则可以判定这两条直线是平行的。

2. 平行线的性质（1）平行线之间的距离始终相等。

对于平行线上的任意两点A和B，与这两点对应的垂直平分线始终相等。

（2）平行线之间的夹角始终相等。

对于平行线上的任意两个交线形成的相邻内错角、相邻同位角都相等。

（3）等于同一直线与另一条平行线相交所得内错角的外角，也叫同旁外角，等于一个直角（即90°）。

3. 平行线的应用平行线的概念与性质在日常生活和实际应用中得到广泛运用。

以下列举几个应用示例：（1）建筑工程设计中，平行线可以帮助建筑师确定水平线，确保建筑物的水平度。

（2）地图绘制中，经纬线相互平行，能够清晰表示地球表面的地理位置。

（3）公路和铁路的设计和施工中，平行线的概念被用来保证道路或铁轨的平直和行车的顺畅。

二、角平分线的性质与应用1. 角平分线的定义与判定平面几何中，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线或线段。

判断角平分线的方法有以下两种：（1）角平分线判定法一：作角平分线的垂直平分线。

如果一条直线垂直平分一个角，则这条直线是该角的角平分线。

（2）角平分线判定法二：同位角相等法。

当两条角平分线的同位角相等时，可以判定这两条直线是角的平分线。

角平分线中常用的作辅助线的方法角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法：（1）角平分线+平行线→必有等腰三角形①OP是平分线，②AB//ON，则③△OAB是等腰三角形；可知二⇒一。

（2）角平分线+两边垂线→线等全等必出现角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；（3）角平分线+垂线延长→等腰三角形必呈现（4）角平分线+截取相等线段→必有对称全等图1 图2 图3 图4方法1：角平分线+平行线1.△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且 MN∥BC交AB、 A C分别于点M、N；求证：△AMN的周长是AB+AC；方法2：作一边的垂线段2.如图,已知△ABC的周长是20cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=1.8cm,求△ABC的面积。

方法3：作两边的垂线段3.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,求证:PC=PD。

方法4：延长作对称图形法4.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO交AO于点D,AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证:BD=2AE方法5：截取作对称图形法5.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的角平分线,求证:BE+CF>EF。

综合演练题1.已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．八年级《数素》之练习（13） 1、如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，求PQ 的最小值．2、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC3、如图，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ．求证：BE=CF ．A CB D。

角平分线与平行线编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（角平分线与平行线）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题一 角平分线与平行线一、教学目标:1、知识与技能：使学生掌握角平分线与平行线结合应用时，等量间的迁移关系。

2、过程与方法:培养学生观察图形，研究问题的能力,掌握等量代换的技巧。

3、情感态度与价值观：渗透分类讨论的思想,指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学,而且会学数学。

二、教学重点、难点：1、教学重点：综合掌握角平分线和平行线间的关系.2、教学难点:等量关系的确定。

三、教学方法：引导发现、练习提高 四、教学手段:多媒体电脑、黑板 五、具体内容： （一）复习引入例1 如图1, 已知△ABC 中,∠BAC 的外角∠EAC 的平分线交BC 延长线于D ．求证：。

设计思想:融合平行、相似、角平分线.分析:从问题来看，本题需要证明的是一个比例式,显然要与三角形“相似"挂钩,构造相似的方法可以过点C 作AD 的平行线,这样既可以有相似,又可以使“平行”、“角平分线”结合起来，构成等量关系.DC BDAC AB证明思路:过点C 作CF ∥AD 交AB 于F , 可证明AF =AC 。

由△BFC ∽△BAD得。

经等量代换得. 即。

点拨：这道题辅助线的添加是个关键，需要联系着相似和平分线两个角度来构造等腰三角形.例2 （09抚顺）已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点C 作一条直线与两条直线分别相交于点．（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系,请直接写出结论，不用证明； (2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，(1）中的结论是否成立?如果成立,请证明：如果不成立，请说明理由； (3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD 、BE 、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．设计思想：这道题会用到“平行线间同旁内角角平分线形成夹角为90°”,这是关于角平分线非常普遍的应用环境之一。

角平分线定义与判定一、角平分线的定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段，在几何学中，角平分线是一种重要的概念。

我们平常所说的“平分一角”指的就是通过作画将一个角分成两个相等的角。

角平分线可以帮助我们计算角的度数，解决很多与角相关的几何问题。

二、角平分线的判定方法在几何学中，判定一个线段是否是角的平分线有多种方法，下面介绍几种常用的判定方法：1. 角平分线的定义判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线，那么OC将AOB分成两个相等的角。

•反之，如果线段OC将角AOB分成两个相等的角，那么OC就是AOB的平分线。

2. 作图法一•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。

•作图方法一是借助圆的性质：以点O为圆心，以OA或OB为半径，画一个圆。

•画出这个圆后，如果OC与圆相交于点D，并且OD = DC，那么OC是AOB的平分线。

3. 作图法二•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。

•作图方法二是借助三角形的性质：以点O为顶点，以OA和OB为边，画出一个三角形。

•若三角形OAC和三角形OBC的边长相等，那么OC是AOB的平分线。

4. 角平分线的性质判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线。

•角平分线的性质之一是：AO/OC = BO/OC = AO/BO。

•如果满足这一性质，即AO/OC = BO/OC = AO/BO，那么OC就是AOB的平分线。

三、角平分线的应用1. 解决角度平分问题角平分线最常见的应用是解决与角度平分相关的问题。

通过画出角的平分线，可以帮助我们计算出角的度数，解决各种几何问题。

2. 构建等边三角形角平分线还可以用于构建等边三角形。

假设我们已知一个角的平分线，可以通过该平分线上一点与角的两边相交，构建出一个等边三角形。

3. 求解角的均分问题角平分线还可以用于求解角的均分问题。

假设我们已知一个角的度数，要求将其均分为n个小角。

由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。

下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。

如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。

分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全 等自已证明。

此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。

自已试一试。

例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。

构造的方法还是截取线段相等。

其它问题自已证明。

中考常考几何模型专题16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。

结论：PB=PA。

2、截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。

结论：△OPB≌△OPA。

3、角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。

结论：△AOB 是等腰三角形。

4、角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。

结论：△POQ 是等腰三角形。

模型精练：1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为．5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E （1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．（2）若∠C≠30°，求证：BE=12（AC﹣AB）．7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．10．（2019•宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．（1）求证：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．15．（2019•东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC ＝10”其余条件不变，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．中考常考几何模型专题16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。

高中数学中的平行线与角平分线性质在高中数学中，平行线与角平分线是两个重要的概念。

它们在几何学中具有许多有趣的性质和应用。

本文将探讨平行线与角平分线的性质，以及它们在解决几何问题中的应用。

一、平行线的性质平行线是指在同一平面内永远不相交的直线。

平行线具有以下几个重要的性质：1. 平行线的对应角相等：如果两条平行线被一条横截线所切，那么对应的内角和对应的外角相等。

2. 平行线的同位角相等：如果两条平行线被一条横截线所切，那么同位角相等。

3. 平行线的内错角互补：如果两条平行线被一条横截线所切，那么内错角互补，即相加等于180度。

这些性质是解决平行线相关问题时非常有用的工具。

通过应用这些性质，我们可以证明两条线平行，或者求解未知角度的值。

二、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。

角平分线具有以下几个重要的性质：1. 角平分线与角的两边相等：角平分线将一个角分成两个相等的角，因此它与角的两边相等。

2. 角平分线的交点在角的内部：角平分线的交点必定在角的内部，而不在角的边上或外部。

3. 角平分线的交点到角的两边的距离相等：角平分线的交点到角的两边的距离相等，这个性质被称为角平分线的垂直性。

这些性质使得角平分线成为解决角相关问题的重要工具。

通过利用角平分线的性质，我们可以证明两个角相等，或者求解未知角度的值。

三、平行线与角平分线的应用平行线与角平分线的性质在几何问题的解决中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的证明：通过利用平行线的性质，我们可以证明两条线平行。

例如，当两条线的对应角相等或同位角相等时，我们可以得出这两条线是平行的结论。

2. 角的平分线的应用：角平分线的性质可以帮助我们解决一些与角有关的问题。

例如，当我们需要求解一个角的大小时，可以利用角平分线将角分成两个相等的角，从而简化计算。

3. 平行线与角平分线的复合应用：在实际问题中，我们常常需要综合运用平行线与角平分线的性质。