2020年高考模拟安徽六安一中高考数学模拟测试试卷(文科)(解析版)

2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（文科）（一）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合1{|0}3x A x x +=-…，集合{|04}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(0,3)B ．(0，3]C ．(,4)-∞D ．(-∞，4]2．（5分）已知z 的共轭复数是z ，且||12(z z i i =+-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）当01x <<时，则下列大小关系正确的是( ) A ．333log x x x <<B ．333log x x x <<C ．33log 3x x x <<D ．33log 3x x x <<4．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是( )A ．310π B ．20π C ．320π D ．10π5．（5分）已知函数1()1f x x lnx =--，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知函数()sin()sin()(0)62f x x x ππωωω=+++>，且()03f π=，当ω取最小值时，以下命题中假命题是( )A ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称 B ．6x π=-是函数()f x 的一个零点C ．函数()f x的图象可由()2g x x =的图象向左平移3π个单位得到D ．函数()f x 在[0,]12π上是增函数7．（5分）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为( ) AB ．23CD ．18．（5分）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知,13A a π==，求b c +的取值范围( )A． B．2] C ．(1,2) D ．(1，2]9．（5分）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，f （4）1=，则不等式()x f x e <的解集为( ) A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(e ，)+∞10．（5分）如果点(,)P x y 满足22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩…„„，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，则||PQ 的取值范围是( )A．11] B．11] C．1，5]D．1，5]11．（5分）已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若4MN BC ==，PA =PA 与MN 所成角的大小是( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．（5分）已知0a >，曲线2()34f x x ax =-与2()2g x a lnx b =-有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b 的最小值为( ) A ．0B ．21e-C ．22e-D ．24e-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上.13．（5分）已知向量(6,)a k =r，向量(3,1)b =-r ，a b -r r 与b r 共线，则k =．14．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5和2，则输出的n = ．15．（5分）已知三棱锥P ABC -内接于球O ，2PA PB PC ===，当三棱锥P ABC -的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为 ．16．（5分）已知函数()sin f x ax x =+，若()()()g x f x f x =+'在区间[2π-，]2π上单调递增，则a 的最小值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上自区域内.17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11(2n n S a n -=-…且*)n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设*11()(1)(1)n n n n a b n N a a ++=∈++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析． （1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀 数学不特别优秀合计参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++参考数据：20()P K k …0.50 0.40 ⋯ 0.010 0.005 0.001 0k0.4550.708⋯6.6357.87910.82819．（12分）如图，正三角形ABC 的边长为2，D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，将CDE ∆沿DE 折起，使点C 在平面ADEB 上的射影恰好为AE ，BD 的交点O ，F 为CB 的三等分点且靠近点C ，//OG AD ，连接AC ． （1）求证：平面//FOG 平面ACD ； （2）求三棱锥B EFG -的体积．。

2020年安徽省六安一中高考数学适应性试卷（文科）（7月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x>−1}，集合B={x|log2x<2}，则A∩B=()A. {x|−1<x<4}B. {x|0<x<4}C. {0,1，2，3}D. {1,2，3}2.设复数z=1+bi(b∈R)，且z2=−3+4i，则z的虚部为()A. −2B. −4C. 2D. 43.已知函数f(x)=e x−(x+1)2(e为自然对数的底数)，则f(x)的大致图象是()A. B.C. D.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 15.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为()A. 2√3πB. 2√33πC. 4√33πD. 8√33π6. 已知函数f(x)={e x −e −x (x >0)−x 2(x ≤0)，若a =50.01，b =32log 32，c =log 20.9，则有( )A. f(b)>f(a)>f(c)B. f(a)>f(b)>f(c)C. f(a)>f(c)>f(b)D. f(c)>f(a)>f(b)7. 下列命题错误的是( )A. 命题“若xy =0，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”B. 对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0；则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0C. 命题“若m >0，则方程x 2+x −m =0有实根”的逆否命题为“若方程x 2+x −m =0无实根，则m ≤0”D. “x =1”是“x 2−3x +2=0”的充分不必要条件8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11+2a 6a 8+a 3a 13=25，则a 72的最大值是( )A. 25B. 254C. 5D. 259. 把函数y =sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y =f(x)的图象，对于函数y =f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y =2sin(2x +π3)；②该函数图象关于点(π3,0)对称；③该函数在[0,π6]上是增函数；④函数y =f(x)+a 在[0,π2]上的最小值为√3，则a =2√3.其中，正确判断的序号是( )A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④10. 已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m 取最大值时|PA|的值为( )A. 1B. √5C. √6D. 2√211. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，若对一切实数x ，|x a ⃗ +2b ⃗ |≥|a ⃗ +b ⃗ |恒成立，则|b ⃗ |的取值范围是( )A. [12,∞)B. (12,∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)12. 已知函数f(x)=12ax 2+cosx −1(a ∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. (−∞,0]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[1,+∞)二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 曲线y =2x 2−lnx 在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为______．14.当实数x，y满足不等式组{x≥03x+y≤4x+3y≥4时，恒有a≥yx+1，则实数a的取值范围是______．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点为F1、F2，点F2关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知在数列{a n}中，a6=11且na n−(n−1)a n+1=1，设b n=1a n a n+1，n∈N∗，则a n=(1)，数列{b n}前n项和T n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，acosB=(2c−b)cosA．(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的最大值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE=1，设AC∩BD=O．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若∠BAD=60°，PA⊥PE，求三棱锥P−AOE的体积．19. 已知Q 为圆E ：x 2+(y +1)2=16上一动点，F(0,1)，QF 的垂直平分线交QE 于点P ，设点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线l 为曲线C 上一点A(x 0,−1)处的切线，l 与直线y =4交于B 点，问：以线段AB 为直径的圆是否过定点F ？请给予说明．20. 某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m 衡量，并依据质量指标值m 划分等级如表：该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如图的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m 的平均数x −(同一区间数据用该区间数据的中点值代表)；(2)用分层抽样的方法从样本质量指标值m 在区间[150,200)和[200,250]内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[200,250]的概率； (3)该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有A，B两种设备可供选择．A设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台A设备和800台B设备；方案二：购买200台A设备和450台B设备．假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数(同一组数据用该区间数据的中点值代表)的前提下，试依据使用A，B两种设备后的日增加的利润(日增加的利润=日增加的收入−日维护费用)的均值为该公司决策选择哪种方案更好？21.设函数f(x)=e x−x2−x．4(1)证明：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(2)当x<0时f(x)<a恒成立，求整数a的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，直线l 经过点M(−1,−3√3)且倾斜角为α． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B ，满足A 为MB 的中点，求tanα．23. 已知f(x)=2|x −m|+m(m ∈R)．(1)若不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，求m 的值；(2)在(1)的条件下，若a ，b ，c ∈R +，且a +4b +c =m ，求证：ac +4bc +4ab ≥36abc ．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x∈Z|x>−1}，集合B={x|log2x<2}={x|0<x<4}，∴A∩B={1,2，3}，故选：D．求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：z2=−3+4i，∴(1+bi)2=−3+4i，1−b2+2bi=−3+4i，∴1−b2=−3，2b=4，解得b=2．则z=1−2i的虚部为−2．故选：A．利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：f′(x)=e x−2(x+1)=0，相当于函数y=e x和函数y=2(x+1)交点的横坐标，画出函数图象如图由图可知−1<x1<0，x2>1，且x>x2时，f′(x)>0，递增，故选：C．求出导函数，利用导函数判断函数的单调性．根据数形结合，画出函数的图象，得出交点的横坐标的范围，根据范围判断函数的单调性得出选项．考查了导函数的应用和利用数形结合的方法判断极值点位置．4.【答案】C【解析】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】D【解析】解：作出该几何体的轴截面图如图，BC=2，BD=1，设内接圆柱的高为h，由π×12×ℎ=√3π，得ℎ=√3．∵△CAB∽△CED，∴EDAB =CDCB，即√3AB=12，得AB=2√3，∴该圆锥的体积为13×π×22×2√3=8√33π．故选：D．由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.【答案】B【解析】解：f(x)在(0,+∞)上是增函数，且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，b=log3812，50.01>50=1，c=log20.9<log21=0，∴0<b<1，a>1，c<0，∴f(a)>f(b)>0>f(c)，∴f(a)>f(b)>f(c)．故选：B．根据f(x)的解析式即可判断f(x)在(0,+∞)上是增函数，并且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，并且可判断a>1>b>0>c，从而可得出f(a)，f(b)和f(c)的大小关系．本题考查了指数函数的单调性，增函数的定义，对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据命题的否定值否定命题的结论，故A不正确，B选项是一个特称命题的否定，变化正确，C选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题题设和结论都否定再交换位置，正确D选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出X=1，故D正确，故选：A．根据命题的否定值否定命题的结论，特称命题的否定要求的变化B选项都有，写一个命题的逆否命题，需要原来的命题题设和结论都否定再交换位置，得到C正确，根据一元二次方程的解，得到D正确．本题考查命题的否定，考查特称命题的否定，考查一个命题的逆否命题，考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，是一个综合题目．8.【答案】B【解析】解：由等比数列的性质可得：a1a11=a62，a3a13=a82，∵a1a11+2a6a8+a3a13=25，a n>0．∴a62+2a6a8+a82=25=(a6+a8)2≥(2√a6a8)2，∴a6a8≤254，又a6a8=a72，∴a72的最大值是254．故选：B．利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出结论．本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移π6个单位，得到y=sin2(x+π6)，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)=2sin(2x+π3).①该函数的解析式为y=2sin(2x+π3)，正确；②当x=π3时，f(π3)=2sinπ=0，该函数图象关于点(π3,0)对称，正确；③当x∈[0,π6]时，2x+π3∈[π3,2π3]，该函数在[0,π6]上不单调，故③错误；④当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值为−√3+a，由−√3+a=√3，得a=2√3，故④正确．∴正确判断的序号是①②④．故选：D．由函数的图象平移与伸缩变换求得f(x)的解析式判断①；求出f(π3)=0判断②；由x的范围求得2x+π3的范围判断③；求出函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值，结合已知求得a判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y=−1，且由题意可得A(0,−1)．过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=1m，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx−1，代入x2=4y，可得x2=4(kx−1)，即x2−4kx+4=0，∴Δ=16k2−16=0，∴k=±1，∴P(2,1)，∴|PA|=√4+4=2√2．故选：D．11.【答案】C【解析】解：∵|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |，化为x2a⃗2+4b⃗ 2+4x a⃗⋅b⃗ ≥a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ ，即x2+2x|b⃗ |+(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≥0，∵对一切实数x，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |恒成立，∴△=4|b⃗ |2−4(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≤0，化为(2|b⃗ |+1)(|b⃗ |−1)≥0，解得|b⃗ |≥1．故选：C．由|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |，化为x2a⃗2+4b⃗ 2+4x a⃗⋅b⃗ ≥a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ ，即x2+ 2x|b⃗ |+(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≥0，由于对一切实数x，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |恒成立，可得△≤0，解出即可．本题考查了数量积运算及其性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当a=0时，f(x)=cosx−1，显然此时函数f(x)的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程cosx=−12ax2+1有唯一解，即函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，当a<0时，如图，ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项D；函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12当a>0时，如图，ax2+1的开口越小，由图可知，由二次函数的性质可知，函数ℎ(x)的开口向下，且a越大，函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项A；此时函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12故选：B．当a=0，由余弦函数的周期性可知，此时函数f(x)的零点不唯一，当a≠0时，问题等价于函数g(x)=cosx ax2+1的图象有唯一交点，分a>0及a<0三种情况讨论，结合图象即可得出结论．与函数ℎ(x)=−12本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.【答案】3x−y−1=0【解析】解：由y′=4x −1x =3得：x =1,或x =−14(舍)． 所以切点坐标为(1,2).故切线方程为y −2=3(x −1)． 即3x −y −1=0． 故答案为：3x −y −1=0．先利用已知的切线斜率，列方程求出切点的横坐标，然后代入原函数求出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程．本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14.【答案】[4,+∞)【解析】解：不等式组对应的可行域为图中的阴影区域．由题a ≥yx+1，yx+1=y−0x−(−1)表示平面区域内的点(x,y)与点B(−1,0)连线的斜率． 当(x,y)取点A(0,4)时，yx+1的最大值为40+1=4，所以a ≥4．故答案为：[4,+∞)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F(−c,0)，渐近线方程为y =±ba x ，设F 关于y =b a x 的对称点为(m,−ba m)， 由题意可得bm a−c−m=−ab ，(∗)且12(0−ba m)=12⋅ba (m −c)， 可得m =12c ，代入(∗)可得b 2=3a 2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e=ca=2．故答案为：2．设双曲线的左焦点为F(−c,0)，求出渐近线方程，设F关于y=ba x的对称点为(m,−bam)，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程可得2m=c，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．16.【答案】2n−1，n∈N∗n2n+1【解析】解：由na n−(n−1)a n+1=1，可得a1=1，由a6=11，可得a5=9，a4=7，a3=5，a2=3，猜想a n=2n−1，n∈N∗，由na n−(n−1)a n+1=n(2n−1)−(n−1)(2n+1)=1恒成立，则a n=2n−1，n∈N∗成立，则b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，T n=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．故答案为：2n−1，n∈N∗，n2n+1．由数列的递推式可得数列的前5项，猜想a n=2n−1，n∈N∗，代入检验可得所求通项公式；再由数列的裂项相消求和，可得所求和．本题考查数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由已知，得acosB+bcosA=2ccosA．由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin(A+B)=2sinCcosA，因为sin(A+B)=sinC，所以sinC=2sinCcosA．因为sinC≠0，所以cosA=1．2因为0<A<π，所以A=π；3(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得bc+4=b2+c2，即(b+c)2=3bc+4．)2，因为bc≤(b+c2(b+c)2+4．所以(b+c)2≤34即b+c≤4(当且仅当b=c=2时等号成立)．所以a+b+c≤6．所以△ABC周长的最大值为6．【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．.由范围(1)由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式得sinC=2sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA=120<A<π，可求A的值．(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c≤4，即可得解．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．(2)解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD=AB=4，∵O是BD的中点，∴BO=2，在Rt△ABO中，AO=√AB2−BO2=2√3，在Rt△PAO中，PA2=AO2+PO2=12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2=OE2+PO2=3+PO2，在△ABE 中，由余弦定理得AE 2=AB 2+BE 2−2AB ⋅BEcos120°=21， ∵PA ⊥PE ，∴PA 2+PE 2=AE 2，∴12+PO 2+3+PO 2=21，∴PO =√3，∵S △AOE =S △ABC −S △ABE −S △COE=12×4×4×sin120°−12×4×1×sin120°−12×3×√3=3√32， ∴三棱锥P −AOE 的体积V P−AOE =13S △AOE ⋅PO =13×3√32×√3=32．【解析】(1)推导出BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，从而BD ⊥平面PAC ，BD ⊥PO ，推导出PO ⊥AC ，由此能证明PO ⊥平面ABCD ．(2)取BC 的中点F ，连结DF ，则DF ⊥BC ，由余弦定理得PO =√3，S △AOE =S △ABC −S △ABE −S △COE ，三棱锥P −AOE 的体积V P−AOE =13S △AOE ⋅PO ，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知得圆E 的圆心为(0,−1)，半径为4，|PQ|=|PF|，∴|PE|+|PF|=|PE|+|PQ|=|QE|=4>|EF|=2， ∴点P 在以E ，F 为焦点的椭圆上， 2a =4，c =1，∴a =2，b =√3， ∴曲线C 的方程为y 24+x 23=1．(2)曲线C 的方程为y 24+x 23=1令y =−1，解得x =±32，所以A(±32,−1)，不妨取A(−32,−1)， 设l ：y +1=k(x +32)，代入y 24+x 23=1，整理可得(3k 2+4)x 2+(9k 2−6k)x +274k 2−9k −9=0，△=0⇒k =−2，∴直线l 的方程为2x +y +4=0，∴B(−4,4)， 则FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−2)⋅(−4,3)=0，∴以线段AB 为直径的圆过定点F ．【解析】(1)由已知得|PQ|=|PF|，|PE|+|PF|=|PE|+|PQ|=|QE|=4>|EF|=2，可判断点P 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，即可得轨迹方程；(2)求出A 点坐标A(±32,−1)，不妨取A(−32,−1)，设l ：y +1=k(x +32)，代入y 24+x 23=1，△=0⇒k =−2，可得l 方程，进而求点点B 坐标，计算FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得结论．本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的运用，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意得x −=175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+1375×0.2+425×0.1=312.5；(2)因为区间[150,200)和[200,250]上的频率之比为1：3， 所以应从区间[150,200)上抽取1件，记为A 1， 从区间[200,250]上抽取3件，记为B 1，B 2，B 3，则从中任取两件的情况有(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)共6种， 其中两件都取自区间[200,250]上：的情况有(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)共3种； 所以其概率为P =36=12．(3)每天生产件数的频数分布表为：若采用方案一，使用100台A 设备和800台B 设备每天可进一步加工的件数为 30×100+4×800=6200(件)， 可得实际加工件数的频数分布表为：所以方案一中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为 25×(6000×20+6200×80)100−500×100−80×800=40000(元)；若采用方案二，使用200台A 设备和450台B 设备每天可进一步加工的件数为 30×200+4×450=7800(件)， 可得实际加工件数的频数分布表为；所以方案二中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为 25×(6000×20+7000×30+7800×50)100−500×200−80×450=44000(元)．综上所述，公司应该选择方案二．【解析】(1)由频率分布直方图求平均数即可； (2)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； (3)分别计算方案一、方案二所获得利润值，比较即可．本题考查了频率分布直方图与概率的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)因为f′(x)=e x −x 2−1，记ℎ(x)=f′(x)，所以ℎ′(x)=e x −12，(1分)当x ∈(0,+∞)时，ℎ′(x)>0恒成立，所以，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增， 所以ℎ(x)>ℎ(0)=0.所以当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0恒成立， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．(3分)(2)由(1)知，ℎ′(x)=e x −12，令ℎ′(x)=0解得x =−ln2， 当x ∈(−∞,−ln2)时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)单调递减； 当x ∈(−ln2,0)时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)单调递增．(5分)又ℎ(−1)<0，ℎ(−2)>0，所以在(−2,−1)上存在唯一x 0，满足ℎ(x 0)=0，即f′(x 0)=0. (6分) 当x ∈(−∞,x 0)时，f′(x)>0，即f(x)单调递增；当x ∈(x 0,0)时，f′(x)<0，即f(x)单调递减， 所以当x <0时，f(x)max =f(x 0)=e x 0−x 024−x 0.(8分)由f′(x 0)=0可得e x 0=x 02+1，所以f(x)max =−x 024−x 02+1，由x 0∈(−2,−1)，可得f(x)max ∈(1,54).(10分)因为f(x)<a 恒成立且a ∈Z ，所以整数a 的最小值为2.(12分)【解析】(1)先对函数求导，结合导数可求函数的单调性即可，(2)转化为求解函数f(x)的最大值，结合导数与单调性的关系及函数的性质，零点判定定理可求． 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，以及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．22.【答案】解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2=4x ， ∵x =ρcosθ，ρ2=x 2+y 2，可得ρ2=4ρcosθ，化简为ρ=4cosθ， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．直线l 的参数方程：{x =−1+tcosαy =−3√3+tsinα(t 为参数，0≤α≤π)； (Ⅱ)设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ． 将直线l 的参数方程代入C 并整理，得t 2−6t(√3sinα+cosα)+32=0， ∴t A +t B =6(√3sinα+cosα)，t A ⋅t B =32． 又A 为MB 的中点，∴t B =2t A ，因此t A =2(√3sinα+cosα)=4sin(α+π6)，t B =8sin(α+π6)， ∴t A ⋅t B =32sin 2(α+π6)=32， 即sin 2(α+π6)=1． ∵0≤α≤π，∴π6≤α+π6<7π6．从而α+π6=π2， 即α=π3,tan π3=√3．【解析】(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C 的普通方程x 2+y 2=4x ，结合x =ρcosθ，ρ2=x 2+y 2，可得曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ.由直线l 过定点及倾斜角为α，直接写出直线l 的参数方程；(Ⅱ)设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B .将直线l 的参数方程代入C 并整理，得到关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线的参数方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：(1)∵不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，∴{2|12−m|+m =22|32−m|+m =2，∴m =1．(2)由(1)知，a +4b +c =m =1，∴ac +4bc +4ab 4abc =(1a +14b +1c)⋅(a +4b +c)≥(√a√a +√4b √4b √c √c)2=9． ∴ac +4bc +4ab ≥36abc ，当且仅当a =4b =c ，即a =c =13，b =112时等号成立， ∴ac +4bc +4ab ≥36abc ．【解析】(1)直接根据不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，得到关于m的方程，再解出m即可；(2)由(1)知，a+4b+c=m=1，然后根据ac+4bc+4ab4abc =(1a+14b+1c)⋅(a+4b+c)，利用基本不等式求出其最小值，即可证明ac+4bc+4ab≥36abc成立．本题考查了不等式的解集与方程的关系，利用基本不等式求最值和利用综合法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合，B＝{x∈N|x2﹣12x+11＜0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3，4，5}C．{5，6，7，8，9，10}D．{6，7，8，9，10}2．已知实数a，b满足（a+bi）（2+i）＝3﹣5i（其中i为虚数单位），则复数z＝b﹣ai的共轭复数为（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣i3．已知命题，2x0﹣3sin x0＜0，则命题p的真假以及命题p的否定分别为（）A．真，￢p：，2x﹣3sin x＞0B．真，￢p：，2x﹣3sin x≥0C．假，￢p：，2x0﹣3sin x0＞0D．假，￢p：，2x0﹣3sin x0≥04．已知向量＝（﹣2，m），＝（1，n），若（﹣）∥，且||＝，则实数m的值为（）A．2B．4C．﹣2或2D．﹣4或45．运行如下程序框图，若输出的k的值为6，则判断框中可以填（）A．S＜30B．S＜62C．S≤62D．S＜1286．cos240°sin30°﹣sin（﹣60°）sin120°+＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣7．已知函数f（x）＝ln+x3+3x2+3x，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称B．函数f（x）的图象关于y＝﹣1对称C．函数f（x）的图象关于（﹣1，0）中心对称D．函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣1）中心对称8．将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向右平移个单位后．得到的函数图象关于x＝对称，则当ω取到最小值时．函数f（x）的单调增区间为（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈z）B．[+kπ，+kπ]（k∈z）C．[﹣+kπ，+kπ]（k∈z）D．[+kπ，+kπ]（k∈z）9．已知实数x，y满足，若z＝mx﹣y﹣3，且z≥0恒成立，则实数m的取值不可能为（）A．7B．8C．9D．1010．已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（）A．1B．C．D．211．已知椭圆C：+＝1的离心率为，且M，N是椭圆C上相异的两点，若点P （2，0）满足PM⊥PN，则•的取值范围为（）A．[﹣25，﹣]B．[﹣5，﹣]C．[﹣25，﹣1]D．[﹣5，﹣1] 12．已知关于x的不等式1+2xlnx≤mx2在[1，+∞）上恒成立，则m的最小值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他1261年所著的一书中，辑录了如图所示的角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图：基于上述规律，可以推测，当n＝23时，从左往右第22个数为．14．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为3．现有如下条件：①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为．（注：以上三个条件得到的双曲线C的方程一致）15．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，AB＝CD，PA＝PB＝AD，PA+AD＝CD＝4，若平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为．16．如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP和△QNP，若MN⊥MP，，QN＝2QP＝2，则四边形MNQP面积的最大值为．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，且a2+2是a1，a3的等差中项．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若T n是数列{}的前n项和，若T n＜M恒成立，求实数M的取值范围．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．19．已知四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，且AD∥BC，BC ＝2AD＝，F为AC，BD的交点，点E在平面ABCD内的投影为点F．（1）AF⊥ED；（2）若AF＝EF，求三棱锥D﹣ABE的体积．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若|AF1|＝2，点关于直线y＝x的对称点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程与离心率；（2）过点（0，2）做直线l与椭圆M相交于两个不同的点M，N；若恒成立，求实数λ的取值范围．21．已知函数．（1）当p＞0时，求函数f（x）的极值点；（2）若p＞1时，证明：．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+＝0（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程（2）将曲线C向左平移2个单位，再将曲线C上的所有点横坐标缩短为原来的，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|．（1）当m＝2时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，B＝{x∈N|x2﹣12x+11＜0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3，4，5}C．{5，6，7，8，9，10}D．{6，7，8，9，10}【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：依题意，集合A＝{x|}＝{x|}＝{x|x＞}，B＝{x∈N|x2﹣12x+11＜0}＝{x∈N|1＜x＜11}＝{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴A∩B＝{5，6，7，8，9，10}．故选：C．2．已知实数a，b满足（a+bi）（2+i）＝3﹣5i（其中i为虚数单位），则复数z＝b﹣ai的共轭复数为（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：实数a，b满足（a+bi）（2+i）＝3﹣5i（其中i为虚数单位），∴（a+bi）（2+i）（2﹣i）＝（3﹣5i）（2﹣i），∴a+bi＝﹣i，∴a＝，b＝﹣，则复数z＝b﹣ai＝﹣﹣i的共轭复数为＝﹣+i．故选：A．3．已知命题，2x0﹣3sin x0＜0，则命题p的真假以及命题p的否定分别为（）A．真，￢p：，2x﹣3sin x＞0B．真，￢p：，2x﹣3sin x≥0C．假，￢p：，2x0﹣3sin x0＞0D．假，￢p：，2x0﹣3sin x0≥0【分析】取时，2x0﹣3sin x0＝，即可判断命题p为真，根据特称命题的否定为全称命题得￢p．解：不妨取，此时2x0﹣3sin x0＝，故命题p为真；特称命题的否定为全称命题，故￢p：，2x﹣3sin x≥0，故选：B．4．已知向量＝（﹣2，m），＝（1，n），若（﹣）∥，且||＝，则实数m的值为（）A．2B．4C．﹣2或2D．﹣4或4【分析】先求出＝（﹣3，m﹣n），再由向量平行和向量的模列出方程组，由此能求出实数m．解：∵向量＝（﹣2，m），＝（1，n），（﹣）∥，且||＝，∴＝（﹣3，m﹣n），，解得m＝±2．故选：C．5．运行如下程序框图，若输出的k的值为6，则判断框中可以填（）A．S＜30B．S＜62C．S≤62D．S＜128【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：运行该程序，第一次，S＝2，k＝2；第二次，S＝6，k＝3；第三次，S＝14，k＝4；第四次，S＝30，k＝5；第五次；S＝62，k＝6；第六次，S＝126，k＝7；观察可知，判断框中可以填“S＜62？”．故选：B．6．cos240°sin30°﹣sin（﹣60°）sin120°+＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【分析】利用诱导公式，两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．解：cos240°sin30°﹣sin（﹣60°）sin120°+＝（﹣）×﹣（﹣）×+tan（75°﹣45°）＝（﹣）×﹣（﹣）×+＝+．故选：A．7．已知函数f（x）＝ln+x3+3x2+3x，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称B．函数f（x）的图象关于y＝﹣1对称C．函数f（x）的图象关于（﹣1，0）中心对称D．函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣1）中心对称【分析】首先考查函数向右平移1个单位长度，然后向上平移1个单位长度后图象的特征，然后结合题意考查所给函数的特征即可求得最终结果．解：将函数图象向右平移1个单位长度，然后向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为：f（x﹣1）+1＝ln+（x﹣1）3+3（x﹣1）2+3（x﹣1）+1＝ln+x3，则函数g（x）＝f（x﹣1）+1的定义域为（﹣2，2），且g（﹣x）＝﹣g（x），即函数g（x）是奇函数，关于坐标原点中心对称，则函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣1）中心对称．故选：D．8．将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向右平移个单位后．得到的函数图象关于x＝对称，则当ω取到最小值时．函数f（x）的单调增区间为（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈z）B．[+kπ，+kπ]（k∈z）C．[﹣+kπ，+kπ]（k∈z）D．[+kπ，+kπ]（k∈z）【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得ω的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，从而求得f（x）的单调增区间．解：将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向右平移个单位后，可得y＝sin（ωx﹣﹣）的图象，再根据得到的函数图象关于x＝对称，可得ω•﹣﹣＝kπ+，k∈Z，即ω＝4k+，则当k＝0时，ω取到最小值为，此时，函数f（x）＝sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得π﹣≤x≤+，故函数f（x）的增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈z，故选：C．9．已知实数x，y满足，若z＝mx﹣y﹣3，且z≥0恒成立，则实数m的取值不可能为（）A．7B．8C．9D．10【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的范围，转化求解m的范围，判断选项即可．解：实数x，y满足的可行域如图：由，解得B（5，2），由，解得A（1，）．z＝mx﹣y﹣3，且z≥0恒成立，可知目标函数z＝mx﹣y﹣3，经过A时取得最小值，m ﹣≥0，可得m≥．则实数m的取值不可能为：7．故选：A．10．已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（）A．1B．C．D．2【分析】根据三视图，将该几何体的立体图还原回来，即可根据棱长的大小，比较得出最小值．解：根据题给的三视图，将其嵌入到某长方体中，还原路径如下图所示，红线为俯视图四个顶点有可能出现的棱，蓝线为主视图三个顶点有可能出现的棱，绿线为侧视图四个顶点有可能出现的棱，可得四个点A、B、C、D，而四个点恰好不多不少为空间几何体的顶点个数，所以此时立体体还原完毕，由图可知，该三棱锥最短的棱长为BC，且BC＝1．故选：A．11．已知椭圆C：+＝1的离心率为，且M，N是椭圆C上相异的两点，若点P （2，0）满足PM⊥PN，则•的取值范围为（）A．[﹣25，﹣]B．[﹣5，﹣]C．[﹣25，﹣1]D．[﹣5，﹣1]【分析】椭圆C：+＝1的离心率为，可得＝，解得b2．可得椭圆的标准方程．设M（x，y），x∈[﹣3，3]．可得•＝＝＝﹣，再利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．解：椭圆C：+＝1的离心率为，∴＝，解得b2＝1．∴椭圆的标准方程为：＝1．设M（x，y），x∈[﹣3，3]．则•＝＝＝﹣＝﹣[（x﹣2）2+y2]＝﹣＝﹣＝f（x），x＝时，f（x）取得最大值﹣；x＝﹣3时，f（x）取得最小值﹣25．∴•∈．故选：A．12．已知关于x的不等式1+2xlnx≤mx2在[1，+∞）上恒成立，则m的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】依题意，，令，则m≥[g （x）]max，利用导数求出函数g（x）在[1，+∞）的最大值即可．解：依题意，，令，故，令h（x）＝x﹣xlnx﹣1，则h'（x）＝﹣lnx，故当x∈[1，+∞）时，h'（x）＝﹣lnx≤0，h（x）在[1，+∞）上单调递减，∴h（x）≤h（1）＝0，∴g'（x）≤0，故在[1，+∞）上单调递减，故m≥[g（x）]max＝g（1）＝1，故m的最小值为1，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他1261年所著的一书中，辑录了如图所示的角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图：基于上述规律，可以推测，当n＝23时，从左往右第22个数为253．【分析】根据每行数字的个数可得从左往右第22个数为该行的倒数第3个数字，且与该行的第3个数字相等，把每行的第三个数字（从第3行，n＝2开始），所组成的数列为1，3，6，10，15，…，即可找到规律，求出即可．解：由图表可得，第n行有n+1个数字，当n＝23时，即第23行有24个数字，则从左往右第22个数为该行的倒数第3个数字，且与该行的第3个数字相等，把每行的第三个数字（从第3行，n＝2开始），所组成的数列为1，3，6，10，15，…，即为，，，，…，，则当n＝23时，从左往右第22个数为＝253，故答案为：25314．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为3．现有如下条件：①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为．（注：以上三个条件得到的双曲线C的方程一致）【分析】依题意可求出b＝3，选条件①，双曲线C的离心率为，故，又b＝3，且a2+b2＝c2，即可求出a，b，c的值，从而求出双曲线方程．解：依题意，双曲线的渐近线方程为，即bx±ay＝0，故，即b＝3，选条件①，解析如下：∵双曲线C的离心率为，故，又b＝3，且a2+b2＝c2，故a＝4，c＝5，故双曲线C的方程为，故答案为：．15．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，AB＝CD，PA＝PB＝AD，PA+AD＝CD＝4，若平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为52π．【分析】作出图形，确定球心的位置，利用勾股定理建立方程，即可得出结论．解：由题意，PA＝AD＝2，PF＝FG＝3，球心O在平面ABCD中的射影为CD的中点，如图所示，设OG＝d，则，∴d＝1，，∴四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4π•13＝52π，故答案为52π．16．如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP和△QNP，若MN⊥MP，，QN＝2QP＝2，则四边形MNQP面积的最大值为．【分析】结合已知可求∠MPN，结合余弦定理可求NP，然后结合三角形的面积可表示四边形MNPQ的面积，结合辅助角公式及正弦函数性质即可求解．解：因为，故，故，故△MPN是等腰直角三角形；在△QNP中，QN＝2，QP＝1，由余弦定理，NP2＝5﹣4cos Q，＝，S△NPQ＝＝sin Q，所以S MNQP＝＝；易知当Q＝时，四边形MNPQ的面积有最大值，最大值为．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，且a2+2是a1，a3的等差中项．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若T n是数列{}的前n项和，若T n＜M恒成立，求实数M的取值范围．【分析】（1）数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，可得a n＝a1﹣（n ﹣1），可得＝3n﹣1．即可证明数列{a n}是以3为公比的等比数列．由a2+2是a1，a3的等差中项，可得2（a2+2）＝a1+a3，解得a1．（2）由（1）可得：＝．可得T n，进而得出M的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}是公差为﹣1的等差数列，∴a n＝a1﹣（n﹣1），∴＝3n﹣1．∴n≥2时，＝＝3，数列{a n}是以3为公比的等比数列．∴a2＝3a1，a3＝9a1．∵a2+2是a1，a3的等差中项，∴2（a2+2）＝a1+a3，∴2（3a1+2）＝a1+9a1，解得a1＝1．∴数列{a n}是以3为公比，1为首项的等比数列．∴a n＝3n﹣1．（2）解：＝．∴T n＝＝．∵T n＜M恒成立，∴．∴实数M的取值范围是．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．【分析】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，由此能求出甲参赛的概率．（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，利用列举法能求出甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．解：（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，故甲参加围棋比赛的概率为．（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，则所有的可能为：（1，2，1，2），（1，2，1，3），（1，2，1，4），（1，2，2，3），（1，2，2，4），（1，2，3，4），（1，3，1，2），（1，3，1，3），（1，3，1，4），（1，3，2，3），（1，3，2，4），（1，3，3，4），其中满足条件的有（1，2，3，4），（1，3，2，4）两种，故所求概率p＝．19．已知四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，且AD∥BC，BC ＝2AD＝，F为AC，BD的交点，点E在平面ABCD内的投影为点F．（1）AF⊥ED；（2）若AF＝EF，求三棱锥D﹣ABE的体积．【分析】（1）依题意，△AFD∽△CBF，则，结合已知求得AD＝，AC＝，求解三角形证明AC⊥BD；再由已知得AC⊥EF；利用线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE，进一步得到AF⊥ED；（2）直接利用等积法求三棱锥D﹣ABE的体积．【解答】（1）证明：依题意，△AFD∽△CBF，则，又∵AB＝1，BC＝，∴AD＝，AC＝，在Rt△BDA中，，∴AF＝，在△ABF中，∵，∴∠AFB＝90°，即AC⊥BD；∵EF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EF；又∵BD∩EF＝F，BD⊂平面BDE，EF⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE，∵ED⊂平面BDE，故AC⊥ED，即AF⊥ED；（2）解：依题意，．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若|AF1|＝2，点关于直线y＝x的对称点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程与离心率；（2）过点（0，2）做直线l与椭圆M相交于两个不同的点M，N；若恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）依题意求出a＝2，再结合点在椭圆上，即可求出b的值，从而得到椭圆C的方程以及离心率；（2）队直线l的斜率分情况讨论，当直线l的斜率不存在时，M（0，1），N（0，﹣1），所以，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+2，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到＝，所以，从而求得实数λ的取值范围．解：（1）依题意，点关于直线y＝x的对称点为，因为|AF1|＝2，故，故椭圆，将代入椭圆中，解得b＝1，所以椭圆C的方程为故离心率；（2）当直线l的斜率不存在时，M（0，1），N（0，﹣1），所以．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＞0，可得4k2＞3，且，所以＝，所以，故，综上实数λ的取值范围为．21．已知函数．（1）当p＞0时，求函数f（x）的极值点；（2）若p＞1时，证明：．【分析】（1）利用导函数即可求出函数f（x）的极值点；（2））p＞1，令，利用导数可得g（x）在x ＝1时取得极大值，并且也是最大值，即，又2p，设，利用导数得到h（p）的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，从而证得．【解答】解（1）依题意，，故，可知，当时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0，故函数f（x）的极小值点为，无极大值点；（2）∵p＞1，令，故，可得函数g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴g（x）在x＝1时取得极大值，并且也是最大值，即，又2p﹣1＞0，∴，设，则，所以h（p）的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，∵，∴，∴h（p）＜3，又e p ﹣3＞0，∴，即．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+＝0（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程（2）将曲线C向左平移2个单位，再将曲线C上的所有点横坐标缩短为原来的，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．【分析】（1）消去参数θ，把曲线C的参数方程化为普通方程；利用极坐标公式，把直线l的极坐标方程化为普通方程；（2）根据坐标平移与伸缩变换，得到曲线C1的标准方程；设出曲线C1上点的参数方程，求出点到直线l的距离，计算最小值即可．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得C的普通方程为+＝1，即（x﹣2）2+y2＝4；直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+＝0，即ρcosθ•﹣ρsinθ•+＝0，化为普通方程是x﹣y+2＝0；（2）将曲线C向左平移2个单位，得x2+y2＝4再将曲线C上的所有点横坐标缩短为原来的，得到曲线C1，∴C1的标准方程为：+y2＝1；设曲线C1上的点的坐标为P（2cosα，sinα），其中α∈[0，2π），∴P到直线l的距离为d＝＝，当cos（α+β）＝﹣1时，d取得最小值为＝．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|．（1）当m＝2时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）当m＝2时，原不等式可化为x﹣2＞2（x﹣3），从而可解得答案；（2）通过对x范围的讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，求得需要的最小值，解相应的不等式即可求得实数m的取值范围．解：（1）由，知x＞3；故m＝2时，，故当m＝2时，不等式的解集为（3，4）；（2）依题意，当m≥﹣2，f（x）+|x+1|＝，故，解得m≥2；当m≤﹣2时，f（x）+|x+1|＝，故，解得m≤﹣6；综上所述，实数m的值为（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．。

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（八）（文）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{|2,}A x x n n ==∈Z ,{1,0,2,3,6,8}B =-，则()A B =R I ð（ ） A ．{1,2,6}B ．{0,1,2}C ．{1,3}-D ．{1,6}-2．已知i 是虚数单位，则233i ()i 1i--=+ （ ） A ．32i -- B ．33i --C ．24i -+D ．22i --3．已知2sin 3α=，则3tan()sin()2ππαα++= （ ）A ．23-B ．23C ．D 4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为12，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆的方程为 （ ）A ．22142x y +=B ．22184x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为 （ ） A ．2831B ．1921C ．2231D ．17216．运行如图所示的程序,输出的结果为 （ ）A ．8B ．6C ．5D ．47．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A ．6πB ．8πC ．66π+D ．8+4π8．已知直线l 1:1y x =+与l 2:y x m =+之间的距离为2，则直线l 2被圆22:(1)8C x y ++=截得的弦长为 （ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．已知实数,x y 满足不等式组10201x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则目标函数3z x y =-的最大值为（ ） A ．1B ．5C ．53D ．7310．在边长为1的正ABC △中，点D 在边BC 上，点E 是AC 中点，若3=16AD BE ⋅u u u r u u u r -，则BDBC= （ ） A ．14B ．12C ．34D ．7811．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()f m x f m x x +=-∈R ，且1x ≥时，2()2x n f x -+=，图象如图所示，则满足()2n mf x -≥的实数x 的取值范围 是 （ ）A ．[1,3]-B ．13[,]22C ．[0,2]D ．15[,]22-12．已知函数2()3sin cos 4cos f x x x x ωωω=-(0)ω>的最小正周期为π，且1()2f θ=，则()2f πθ+= （ ）A ．52-B ．92-C ．112-D ．132-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是11C D 的中点，则1A M 与AB 所成角的正切值为 .14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ，则ma= . 15．已知函数ln (0)()ln()(0)xx f x x x >⎧=⎨--<⎩，若()(2)f a f b =(0,0)a b ><，且224a b +的最小值为m ，则22log ()mab +-= .16．已知ABC △的三个内角所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a B +=,sin 3sin B A =，则ac= . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知等比数列{}n a 满足：112a =，且895618a a a a +=+.（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和； （2）若n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .18．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB =，且AB PC ⊥. （1）求证：CA CB =；（2）若2,PA PB AB PC ===P ABC -的体积.19．（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征； （2）若把乙公司设置的每次点击价格为x ，每小时点击次数为y ，则点(,)x y 近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y 关于x 的回归直线$$y bxa =+$.（附：回归方程系数公式：1221ni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑$,$ay bx =-$）.20．（12分）如图，直线10l y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,P Q ，点B 与点A 关于x 轴对称，连接,QB BP 并延长分别与x 轴交于点,M N . （1）若||PQ =，求抛物线C 的方程；（2）若||3MN =，求BMN △外接圆的方程.21．（12分）已知函数2()ln ()f x x ax a =+∈R .（1）若()y f x =在2x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值；（2）若函数()()1g x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(53cos2)8ρθ-=，直线l的参数方程为22x my⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t为参数）.（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C有两个公共点，求实数m的取值范围.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()|1|2f x x x =-+.（1）关于x 的不等式()2f x <的解集为M ，且(,12)m m M -⊆，求实数m 的取值范围； （2）求()()2|2|g x f x x x =-+-的最小值，及对应的x 的取值范围.--☆ 参 考 答 案 ☆--1．[答案]C[解析]由条件可知A 为偶数集，故(){1,3}A B =-R I ð. 2．[答案]B[解析]23223i (1i)(3i)()i []i (12i)i 33i 1i 2----=+=-+=--+. 3．[答案]A[解析]32tan()sin()tan (cos )sin 23ππααααα++=-=-=-. 4．[答案]D[解析]设椭圆的焦距为2c ，由条件可得12c a =，故2a c =，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得2()4a c -=，即2a c -=，所以，4,2a c ==，故22212b a c =-=，故该椭圆的方程为2211612x y +=. 5．[答案]A[解析]从1,4,1,5,9,2,6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14,11,15,19,12,16,41,45,49,42,46,59,52,56,92,96,26,51,91,21,61,54,94,24,64,95,25,65,29,69, 62，共31种不同情况，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种不同情况，故所求概率为3281=3131-. 6．[答案]D[解析]所给程序的运行过程如下：b =1,a =3;b =2,a =7;b =3,a =15;b =4,a =31，不满足30a ＜，输出b 的值为4.7．[答案]C[解析]由三视图可知，该几何体是一个圆柱的34，故表面积为 23(2123)213664πππ⨯+⨯+⨯⨯=+.8．[答案]A[解析]由条件可知，直线1l 过圆心:(1,0)C -，则圆心C 到直线l 2的距离等于直线1l 与l 2之间的距离2，故直线l 2被圆C截得的弦长为4.9．[答案]B[解析]不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：且点12(,),(1,2),(1,2)33A B C --，易得目标函数3z x y =-在点C 处取得最大值5.10．[答案]C[解析]设,AB AC ==u u u r u u u ra b ,BD BC λ=u u u r u u u r ，则()(1)AD AB BD λλλ=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r a b a a b ,12BE AE AB =-=-u u u r u u u r u u u r b a ,则22111=[(1)]()=(13)(1)222AD BE λλλλλ⋅-+⋅--⋅+-+u u u r u u u r a b b a a b a b1133=(13)(1)=(1)=42416λλλλ-+-+--，故3=4λ，即3=4BD BC .11．[答案]B[解析]由条件可知，()f x 的图象关于直线1x =对称，结合()()()f m x f m x x +=-∈R 可得1m =，而(1)1f =，即221n -+=，解之得2n =，由()2n m f x -≥可得1()2f x ≥，当1x ≥时，由22122x -+≥，解之得32x ≤，所以，312x ≤≤，再结合对称性可得x 的取值范围是13[,]22.12．[答案]B[解析]235()3sin cos 4cos =sin 22cos22sin(2)222f x x x x x x x ωωωωωωϕ=---=--，其中43sin ,cos 55ϕϕ==，由1()2f θ=可得sin(2)1ωθϕ-=，即()f x 关于x θ=对称，而2x πθ=+与x θ=的距离为12个周期，故sin[2()]12πωθϕ+-=-，所以，59()2222f πθ+=--=-.13．[答案]2[解析]11MA B ∠即为1A M 与AB 所成角，取11AB 中点N ，连接MN ，则11MN A B ⊥，则111tan 2MNMA B A N∠==. 14．[答案]6[解析]设双曲线的焦距为2c ，则2ca=，即2c a =，则b 把2x c a ==代入双曲线可得2b y a =±，故22b m a =，所以，2226m b a a==.15．[答案]3[解析]由()(2)f a f b =(0,0)a b ><可得ln ln(2)a b =--，即21ab -=,∴12ab =-，则2242|2|4||2a b a b ab +⋅==≥，当且仅当122ab a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩时，224a b +取得最小值2，故22212log ()2log 32m ab +=+=. 16．[答案[解析]由cos cos 2cos b C c B a B +=及正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，即sin()2sin cos B C A B +=， 而sin sin()0A B C =+>,∴1cos 2B =. 由sin 3sin B A =可得3b a =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-， 即2229a a c ac =+-，解之得a c (舍去负值). 17．[解析]（1）设{}n a 的公比为q ，由895618a a a a +=+可得318q =，∴12q =,∴12n n a =.∴11(1)12211212n n n S -==--.（5分） （2）由（1）可得2n n n b =.则231232222n n nT =++++L ① 所以，2341112322222n n nT +=++++L ②由①－②可得23111111222222n n n nT +=++++-L 1111(1)222112212n n n n n ++-+=-=--， 所以，222n nn T +=-.（12分） 18．[解析]（1）取AB 的中点O ，连接,PO PC .Q PA PB =,∴PO AB ⊥，Q ,,,AB PC PC PO P PC PO ⊥=⊂I 平面POC ，∴AB ⊥平面POC ，又Q OC ⊂平面POC ,∴AB OC ⊥， 而O 是AB 的中点,∴CA CB =.（6分）（2）Q 平面PAB ⊥平面ABC ,PO ⊂平面PAB ，平面PAB I 平面ABC AB =，∴PO ⊥平面ABC，由条件可得POOC .则11222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯△ ∴三棱锥P ABC -的体积为：1133ABC V S PO =⋅=⋅△（12分）19．[解析]（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7， 乙公司每小时点击次数为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 甲公司每小时点击次数的平均数为：9578768677710x +++++++++==甲，乙公司每小时点击次数的平均数为：24687789910710x +++++++++==乙甲公司每小时点击次数的方差为：2222221[2(2)212(1)40] 1.210S =+-+⨯+⨯-+⨯=甲; 乙公司每小时点击次数的方差为：222222221[(5)(3)(1)2122320] 5.410S =-+-+-+⨯+⨯++⨯=乙， 由计算已知，甲、乙公司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（6分）（2）根据折线图可得数据如下：则3, 5.4x y ==，则5152215ˆ1.4, 1.2ii i ii x y xyb a xnx ==-===-∑∑$, ∴所求回归直线方程为：$1.4 1.2y x =+.（12分）20．[解析]（1）由2102y xpy++==⎪⎩可得220x p ++=， 设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则2)80p ∆->，即1p >.1212,2x x x x p +=-=，故12|||PQ x x -.由2p =（舍去负值），∴抛物线C 的方程为24x y =.（5分） （2）设直线,BN BM 的斜率分别为12,k k ，21221111212111111122==222x y x p x x x x x p k x x px px p-----===. 22222221221222221122==222x y x p x x x x x p kx x px px p-----===， ∴120k k += 直线BN 的方程为：11y k x =+，直线BM 的方程为：21y k x =+，则1211(,0),(,0)N M k k --，则12211211||||||||kk MN k k k k -=-=， 由120k k +=可得12k k =-,∴121|2|||k k ∴1||k =∴2||k =120k k <，故tan tan BNM BMN ∠=∠= 即△BMN 是等腰三角形，且1OB =，则△BMN 的外接圆的圆心一定在y 轴上，设为(0,)t ，由圆心到点,M B的距离相等可得222(1)t t -=+，解之得16t =-， 外接圆方程为22149(+)636x y +=.（12分）21．[解析]（1）Q 2()ln f x x ax =+,∴1'()2f x ax x =+(0)x >， 由条件可得1'(1)402f a =+=，解之得18a =-， ∴21()ln 8f x x x =-,11(2)(2)'()44x x f x x x x --+=-=(0)x >，令'()0f x =可得2x =或2x =-（舍去）.当02x <<时，'()0f x >；当2x >时，'()0f x <.即()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，故()f x 有极大值1(2)ln 22f =-，无极小值；（5分）（2）2()ln 1g x x ax x =+--，则2121'()21ax x g x ax x x -+=+-=(0)x >.设2()21h x ax x =-+.①当0a =时，1'()x g x x -=-，当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <，即()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，不满足条件； ②当0a <时，2()21h x ax x =-+是开口向下的抛物线，方程2210ax x -+=有两个实根，设较大实根为0x .当0x x >时，有()0h x <，即'()<0g x ,∴()g x 在0(,)x +∞上单调递减，故不符合条件；（8分）③当>0a 时，由'()0g x ≥可得2()210h x ax x =-+≥在(0,)+∞上恒成立. 故只需(0)010400h a a ⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪∆>⎪>⎪⎩≥≤或0∆≤，即101041800a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩≥≤或1800a a -⎧⎨>⎩≤，解之得18a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是1[,+)8∞.（12分）22．[解析]（1）方程2(53cos2)8ρθ-=可化为22[53(2cos 1)]8ρθ--=， 即22243cos 4ρρθ-=，把222cos x y x ρρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入可得2224()34x y x +-=， 整理可得2214x y +=.（5分）（2）把x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2214x y +=可得225280t m -+-=，由条件可得22()20(28)0m ∆=--->，解之得m ，即实数m 的取值范围是(.（10分）23．[解析]（1）当1x ≤时，不等式()2f x <可变为(1)22x x --+<，解之得1x <,∴1x <; 当1x >时，不等式()2f x <可变为(1)22x x -+<，解之得1x <,∴x 不存在. 综上可知，不等式()2f x <的解集为(,1)M =-∞.由(,12)m m M -⊆可得12121m m m <-⎧⎨-⎩≤，解之得103m <≤， 即实数m 的取值范围是1[0,)3.（5分） （2）()()2|2|=|1||2|(1)(2)1g x f x x x x x x x =-+--+----=≥，当且仅当(1)(2)0x x --≤，即12x ≤≤时， ()g x 取得最小值1，此时，实数x 的取值范围是[1,2].（10分）。

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（五）数学（文）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}0,1A x x B x x =>=>，则U A C B ⋂=（ ） A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x <≤C ．{}0x x <D ．{}1x x >【答案】B【解析】求出U C B 后可求U A C B ⋂. 【详解】{}|1U C B x x =≤，故{}|01U A C B x x ⋂=<≤.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题. 2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】先由i1iz z =-，解得z ，再求z ，然后用几何意义判断. 【详解】 因为i1iz z =-， 所以ii(1+i)1i1i (1i)(1+i)22z ===-+--， 所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限.. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数1()nf x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】根据函数1()n f x mx +=是幂函数，得到1m =，再由1()nf x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，得到2n =，然后用函数的单调性判断. 【详解】因为函数1()nf x mx +=是幂函数，所以1m = ，所以1()nf x x +=，又因为1()nf x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以2n =，即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<， 又()f x 为增函数， 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<uuu r uuu r，则双曲线的离心率的范围为（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】根据120CA CA ⋅<uuu r uuu r，所以12ACA ∠为钝角，有a b >求解. 【详解】根据题意，120CA CA ⋅<uuu r uuu r ， 所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a>∴<∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．2016年五一期间，各大网站纷纷推出各种“优惠劵”.在此期间，小明同学对本小区某居民楼的20名住户在假期期间抢得“优惠劵”的数量进行调查得到如下表格则该小区50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为（ ） A ．30 B ．1500C ．26D ．1300【答案】D【解析】根据表中数据,求出每组所对的频率,利用平均数公式估计每一人抢得“优惠劵”的平均数,然后再乘以50即可. 【详解】由数据可知四个组的频率分别为0.1,0.35,0.4,0.15， 所以每一人抢得“优惠劵”的平均数为0.1100.35200.4300.154026⨯+⨯+⨯+⨯=所以该班50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为50261300⨯=(个). 故选:D 【点睛】本题考查利用样本估计总体的平均数;属于基础题.6．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，函数()f x a b =⋅r r 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π=（ ）A ．2B ．74 C ．54D ．1【答案】D【解析】由213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，利用数量积运算得到()f x 15sin(2)264x πω=++，再根据函数()f x a b =⋅r r在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，求得周期，确定函数再求值. 【详解】因为213(,cos ),(2cos ,sin )(0)22a xb x x ωωωω==+>r r ，所以213()(2cos )cos sin 2ωωω=⋅=++r rf x x x x a b 2131cos sin 22x x ωω=++， 1cos231sin 24x x ωω+=++5113(cos2sin 2)422x x ωω=++15sin(2)264x πω=++，因为函数()f x a b =⋅r r 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，所以T π=，22ππω∴=，1ω∴=， 即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量，数量积运算及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】根据循环结构，从1i =开始，一一验证，直至5>=S n 时，对应的值.输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<，2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<，3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<，4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<L ，10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=，11=i ，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<，12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=.所以输出的12.i = 故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.8．设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．6B ．16C ．24D ．48【答案】B【解析】根据AP BD ⊥，有AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r ，根据向量加、减法运算，将(3)()++-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rOB OC OD OA OP OA 转化求解.【详解】 因为AP BD ⊥，所以AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=u u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r u u u ru u u u r u u u ru u u r . 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的加法，减法运算及向量的投影，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.9．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ）A ．[2,13]B ．[4,13]C．D．【解析】根据约束条件，作出可行域，目标函数表示表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离的平方，然后用数形结合求解. 【详解】由约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离， 由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC =过(1,1)D -作DH AB ⊥于H ，则min 22t DH == 所以[2,13]z ∈. 故选：A 【点睛】本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10．设函数()()()22log 30310xt x x f x t x ⎧+-<⎪=⎨-≥⎪⎩，且1()62f =，则不等式2(2)()f a f a ->的解集为（ ） A ．(2,1)- B ．(2,2)-C ．(1,2)-D ．(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】根据分段函数()f x 解析式知,()1213162f t ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,求出t 得到分段函数()f x 的解析式,根据解析式判断函数()f x 的单调性,利用单调性得到关于a 的不等式,解不等式即可. 【详解】121()31)62f t =⨯-=Q （，即121)2t -=（，解得5t =.故()()22log 80340xx x f x x ⎧-<⎪=⎨⨯≥⎪⎩，由此可以判断函数()f x 为R 上的增函数，因为2(2)()f a f a ->,所以22,21a a a ->∴-<<，所以所求不等式的解集为(2,1)-. 故选:A 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性解不等式;属于中档题、常考题型.11．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为（ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π【答案】B【解析】根据图形，3旋转得到的几何体是两个同底的圆台，再根据圆台的体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求. 【详解】3 旋转得到的几何体是两个同底的圆台，，高为32 ，所以旋转得到的几何体的体积为2213212[324πππ⨯⨯+=，内部的六边形边长为1旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥，121，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为22112132πππ⨯⨯+⨯=， 所以几何体的体积为174π. 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 12．已知函数()y f x x =∈R ()满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，又31,121()ln ,1x x g x e x x x⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()()F x g x f x =-在区间[2017,2017]-上零点的个数为（ ） A ．2015 B ．2016 C ．2017 D ．2018【答案】C【解析】由题意知,当1x >时，函数ln ()e xg x x=，求出函数()g x 的导数,利用导数()'g x 判断函数()g x 的单调性,求出函数()g x 的最大值,因为函数()f x 是以2为周期的周期函数,画出函数()g x 和()f x 的图象,把函数零点个数转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】()()2f x f x +=Q ，所以()f x 的一个周期为2，因为当1x >时，ln ()e x g x x =，则2(1ln )'()e x g x x -=， 当1x e <<时,()'0g x >,函数()g x 在区间()1,e 上单调递增, 所以()()()011g g x g e =<<=；当x e >时,()'0g x <,函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减,所以()()1g x g e <=；所以当1x >时,函数()g x 有最大值为1, 函数()f x 与()g x 的图象如下：所以函数()()()F x g x f x =-在区间[1,1]-内有一个零点， 在[1,2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个零点， 所以函数()F x 在区间[2017,2017]-共有2017个零点. 故选:C 【点睛】本题考查函数的零点个数问题;熟练掌握周期函数的定义和分段函数图象的作法,利用数形结合思想把函数零点问题转化为两个函数的交点问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.二、填空题13．已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP =________. 【答案】6【解析】根据Q ,F P 间的对称关系，结合点P 在y 轴上，求得点Q 的横坐标，再利用抛物线的定义求解. 【详解】设(),Q m n ,()2,0F 因为Q 为FP 的中点，且点P 在y 轴上， 所以Q 的横坐标为1m =， 由抛物线的定义得，22(12)6==+=FP QF .故答案为：6 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++，其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b a S a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=L __________.【答案】1(1)(21)6n n n ++ 【解析】根据题意，在22()32n b aS a b ab -=+++中，令1,a b n ==，即可得到结论. 【详解】根据题意，令1,a b n ==，22221(1)1(1)1232(21)6n n S n n n n n n -=++++==++++L .故答案为：1(1)(21)6n n n ++ 【点睛】本题主要考查了类比推理，还考查了抽象概括问题的能力，属于基础题.15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为__.3【解析】根据三视图，得到这个几何体为一个放倒的四棱锥，画出直观图，根据三视图，正视图为底面，高为俯视图的高，由体积求得高，得到俯视图的边长即可. 【详解】由三视图可知，几何体为一个四棱锥， 直观图如下，设四棱锥的高为h ， 几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯ 即点E 到平面ABCD 3 又因为俯视图三角形底边长为2， 所以俯视图的面积为=⨯⨯=12332s 3【点睛】本题主要考查了三视图与直观图，还考查了数形结合的思想和空间想象的能力，属于中档题.16．已知数列{}n a 满足12n n n a a S +=，且11a =，记数列的前n 项和为n S ，若不等式22212nnS a ma n +≥对任意n *∈N 都成立，则实数m 的最大值为____________.【答案】2【解析】类比已知n S 求n a 的方法:由12n n n a a S +=,得到1212n n n a a S +++=,两式相减得到数列{}n a 的递推公式,利用递推公式求数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式,利用函数恒成立问题中的分离参数法进行求解即可. 【详解】因为12n n n a a S +=,所以1212n n n a a S +++=, 两式相减可得,121122n n n n n n a a a a S S ++++-=-,因为11n n n S S a ++-=,所以有()1212n n n n a a a a +++-=, 因为10n a +≠,所以22n n a a +-=,当n 为奇数时,因为11a =,所以有35213,5,,21k a a a k -==⋅⋅⋅=-, 当n 为偶数时, 因为11a =,1212a a S =,所以2422,4,,2k a a a k ==⋅⋅⋅=, 综上可知,数列{}n a 是以1为首项,以1为公差的等差数列, 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =,前n 项和()12n n n S +=, 因为不等式22212nnS a ma n+≥对任意n *∈N 都成立，所以()222214n n n m n++≥对任意n *∈N 都成立, 即()2214n nm ++≥对任意n *∈N 都成立,令2222(1)51511()4424455n n t n n n +=+=++=++， 因为当*n N∈时，22(1)4n t n +=+单调递增，所以2t ≥，即实数m 的最大值为2, 故答案为:2 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式及不等式的恒成立问题;由n S 和n a 的关系式正确的求出数列{}n a 的通项公式是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.三、解答题17．在ABC ∆中，,E F 分别是,AC AB 的中点，cos cos 2cos a B b A c A +=，且4,6AB AC ==. （1）求ABC ∆的面积； （2）求BECF的值. 【答案】（1） （2【解析】()1利用正弦定理把边化成角,再由两角和的正弦公式求出A ∠,代入三角形的面积公式求解即可;()2在ABE △和ACF ∆中,分别利用余弦定理求出22,BE CF ,由()1知cos A ,即可求出BECF的值. 【详解】()1cos cos 2cos ,sin cos sin cos 2sin cos a B b A c A A B B A C A +=∴+=Q ，1sin()2sin cos ,cos 2B AC A A ∴+=∴=； 又(0,)A π∈，所以3A π=，所以ABC ∆的面积为164sin6323S π=⨯⨯=.()2根据题意，画出图形，如图所示：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，则3,2AE AF ==， 所以在ABE △中，由余弦定理得，2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，同理,在ACF ∆中,由余弦定理可得,2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，所以2524cos 151591114024cos 4024cos 28BEA CF A A -----【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用;属于中档题、常考题型.18．京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：京剧票友 一般爱好者 合计 50岁以上151025试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）在犯错误的概率不超2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（2）见解析，133【解析】（1）根据列联表，利用公式求得卡方值，对应卡值下结论.（2）根据题意，分四种情况，一是猜2次，2人全是“梅派”传人”，二猜3次是第3次是“梅派”传人，三是猜4次，第4次是“梅派”传人，四是猜5次，分两类，一类是第5次是“梅派”传人，第二类是第5次不是“梅派”传人，分别用古典概型求得概率，列出分布列，求期望. 【详解】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系. （2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.22261(2) 15A P X A ===，112242362(3) 15C C A P X A ===， 123243461(4) 5===C C A P X A ， 13411452441245563(5) 5+===C C A C C C A P X A ， ∴随机变量X 的分布列为：X2 3 4 5P115 215 15 35∴随机变量X 的期望为：12131323451515553=⨯+⨯+⨯+⨯=EX. 【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.19．在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =u u u u r u u u u r.（1）证明：//CF 平面BDM ； （2）求三棱锥D AEF -外接球的体积. 【答案】（1）见解析； （23737. 【解析】()1连接DB 与EC 交于点N ,由线面平行的判定定理知,证明//MN CF 即可；()2在AEF ∆中,利用余弦定理求出EF ,利用勾股定理和线面垂直的判定与性质证得,,EA ED EF 两两互相垂直, 以,,EA ED EF 为棱，构造长方体,则长方体外接球与三棱锥D AEF -的外接球相同,求出对应长方体的外接球的体积即可.【详解】()1证明:如图:连接DB 与EC 交于点N ，因为:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =Q2,:2:1EM MF EM MF =∴=u u u u r u u u u r，∴//MN CF ，又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .()2由EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，得四边形AFBE 为平行四边形，因为23AEB π∠=,所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以在AEF ∆中,由余弦定理可得,222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥， 又因为,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=I ， 所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =I ，EF ∴⊥平面ADE .以,,EA ED EF 为棱，构造长方体,则长方体外接球与三棱锥D AEF -的外接球相同， 22222231(33)37EA ED EF ++++， 所以球的体积为343V R π=⋅⋅=34373737(3π. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定与性质及三棱锥外接球体积的求解;证得,,EA ED EF 两两互相垂直, 以,,EA ED EF 为棱，构造长方体,把求三棱锥D AEF -的外接球体积转化为求所对的长方体外接球体积是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AM 与过点B 且与x 轴垂直的直线交于点D ，过点,B D 作22,BP PF DQ PF ⊥⊥，垂足分别为,P Q 两点，求证：BP DQ BD +=.【答案】（1）22143x y +=； （2）见解析.【解析】()1利用直线,MA MB 的斜率之积为34-,得到,a b 的关系式,再利用椭圆定义可得,2122122MF MF MF MF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭,即可求出,a b ,得到椭圆C 的标准方程；()2求得,A B 及焦点坐标,设直线():2(0)AM y k x k =+≠,则(2,4)D k ，BD 的中点E 为(2,2)k ,设()00,M x y ,联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,求出0x 用k 表示,分12k =±和12k ≠±两种情况,分别证明BP DQ BD +=即可. 【详解】()1根据题意21222||4,22MF MF MF MF a a ⎛⎫+⋅==∴= ⎪⎝⎭…，设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x ax a x a a -⋅===-+---， 所以2234b a -=-,故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.()2证明:设直线():2(0)AM y k x k =+≠，则：(2,4)D k ,BD 的中点为E 为(2,2)k ，联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：2222(34)1616120k x k x k +++-= 设()00,M x y ，由韦达定理得：2021612234k x k --=+，解得：2026834k x k -=+，故有：()00212234ky k x k=+=+， 又()21,0F ， 当12k =±时，31,2M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时2MF x ⊥轴，所以四边形BPQD 为矩形，所以2,2BP DQ BD +==， 所以||||||BP DQ BD +=.当12k ≠±时，因为20204114PF y k k x k ==--,()21,0F所以直线224:(1)14kPF y x k =--，即：224401414k k x y k k --=--， 所以点E 到直线2PF的距离2||d k ==， 而4BD k =，即知：1||2d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线2PF 相切， 因为四边形BPQD 为直角梯形，BD 的中点为E ， 所以24BP DQ d k BD +===. 综上可知,BP DQ BD +=. 【点睛】本题考查椭圆标准方程和直线与椭圆的位置关系;重点考查学生的运算能力和转化与化归能力;分12k =±和12k ≠±两种情况，分别证明BP DQ BD +=是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题. 21．已知函数()2ln 1f x x ax =-+.（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线30x y --=垂直，求a 的值； （2）当0a <且()0,1x ∈时，函数()f x 的图象总在直线()12y a x a =-+的下方，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =； （2）1[,0)2-. 【解析】()1求出函数()f x 的导数()'f x ,由切线方程可得()'112f a =-1=-,解方程即可;()2由题意知,()2ln 112x axa x a -+<-+对任意()0,1x ∈恒成立等价于不等式()2ln 1120x ax a a x -++-+->对任意()0,1x ∈恒成立,令函数()()2ln 112g x x ax a a x =-++-+-，证明()0g x >在()0,1恒成立即可;对函数()g x 进行求导()'g x ,利用导数()'g x 判断函数()g x 的单调性,求最值即可求出实数a 的取值范围. 【详解】()1依题意，1()2f x ax x'=-，故()'112f a =-，则121a -=-，解得1a =；()2依题意，当()0,1x ∈时，()2ln 112x axa x a -+<-+恒成立,即()2ln 1120x ax a a x -++-+->对任意()0,1x ∈恒成立，令()()2ln 112g x x ax a a x =-++-+-，证明()0g x >在()0,1恒成立即可,因为()212(12)1'2(1)1ax a x g x a x x x+--=-+-+=，令()22(12)1m x ax a x =+--，当0a <时，()m x 图象开口向下，又因为()m x 在(0,)+∞上有两个零点1和12a-， ①当12a =-时，即112a -=，此时()0m x <在()0,1上恒成立，∴函数()g x 在()0,1上单调递减，因为()10g =，所以函数()0g x >在()0,1恒成立,符合题意; ②当102a -<<时,即112a ->，此时当01x <<时, ()0m x <， ∴函数()g x 在()0,1上单调递减，因为()10g =，所以函数()0g x >在()0,1恒成立,符合题意;③当12a <-时，即1012a <-<，此时当112x a -<<时,()0m x >， 当102x a<<-时, ()0m x <，∴函数()g x 在1(,1)2a -上单调递增；在1(0,)2a-上单调递减；所以1()(1)02g g a-<=，不符合题意; 综上可知，实数a 的取值范围为1[,0)2-. 【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数求切线的斜率、判断函数的单调性求最值解决恒成立问题;考查分类讨论和转化与化归的数学思想;构造函数证明不等式是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.22．已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P的极坐标)2π. （1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值. 【答案】（1）4πρ=，2cos sin 60ρθθ--+=.（2）【解析】（1）根据cos ,sin ,x y ρθρθ== 分别求解直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程.（2）由直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程联立得2660ρρ-+=，再求弦长12AB ρρ=-P 到直线'l 的距离d ，代入面积公式求解.【详解】（1）因为直线'l 的普通方程为0x y -=， 所以直线'l 的极坐标方程4πθ=，因为曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以曲线C的极坐标方程2cos sin 60ρθθ--+=. （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=- 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PAB S =⨯=V 【点睛】本题主要考查了普通方程，极坐标方程，参数方程间的转化，以及直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值. 【答案】（1）(3,2)(3,4)--U .（2）92第 21 页 共 21 页【解析】（1）根据题意，利用绝对值的几何意义，转化函数22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，再分类讨论解不等式.（2）由()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，再根据0,0a b >>，()f x 的最小值为a b c ++，即2a b c ++=，然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值. 【详解】 （1）根据题意，22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，因为8()10f x <<所以210228x x ≥⎧⎨>+>⎩或110428x x ≤-⎧⎨>->⎩，解得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--U .（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立， 又0,0a b >>，所以a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++， 所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c abcabcabcabc++=++++=+++++++++=≥. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法，基本不等式的应用，还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（文科）（七）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知全集U＝{−2, −1, 0, 1, 2}，集合M＝{0, 1}，N＝{0, 1, 2}，则(∁U M)∩N＝（）A.{0, 2}B.{1, 2}C.{2}D.{0}2. 已知i是虚数单位，则(1+i1−i )2017+1i=()A.0B.1C.iD.2i3. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|−|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2√5，则该双曲线方程为（）A.x24−y2=1 B.x23−y22=1 C.x2−y24=1 D.x22−y23=14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.2πB.4πC.2π+4D.3π+45. 2016里约奥运会期间，小赵常看的4个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中两个频道试看，那么，小赵所看到的第一个电视台恰好没有转播奥运比赛，而第二个电视台恰好在转播奥运比赛的概率为（）A.1 2B.13C.14D.166. 已知公差为d(d≠0)的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝8d，则7S55S7=()A.57B.79C.1011D.11237. 要得到函数f(x)＝cos(2x−π3)+1的图象，只需把y＝2cos2x的图象（）A.向左平移π3个单位 B.向右平移π6个单位C.向上平移1个单位D.向上平移2个单位8. 运行如图所示的程序，输出的结果为（）A.12B.10C.9D.89. 已知某函数在[−π, π]上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A.y＝2sin xB.y＝cos x+|x|C.y＝ln|cos x|D.y＝sin x+|x|10. 若实数x，y满足不等式组{x+y≤2y−z≤2y≥1，则(x+2)2+(y−3)2的最大值和最小值之和为（）A.192B.352C.14D.1811. 如图，在四棱锥C −ABCD 中，CO ⊥平面ABOD ，AB // OD ，OB ⊥OD ，且AB ＝2OD ＝12，AD ＝6√2，异面直线CD 与AB 所成角为30∘，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的半径为（ ）A.3√2B.4√2C.√21D.√4212. 已知定义在R 上的偶函数f(x)满足：0≤x ≤1时，f(x)＝−x 3+3x ，且f(x −1)＝f(x +1)，若方程f(x)＝log a (|x|+1)+1(a >0, a ≠1)恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.(5, 6)B.(6, 8)C.(7, 8)D.(10, 12)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)={1p x =qp (p,q,qp )0x =0,1[0,1] ，若m ＝4，n ＝6则R(mn )+R(lg m)＝________．已知点A 在直线y ＝2x 上，点B 的坐标为(1, 1)，O 为坐标原点，则OA →⋅OB →=6，则|OA →|＝________．已知a ，b ，c ，∈[−4, 4]，则√|a −b|+√|b −c|+√2|c −a|的最大值为________．圆C 过点(0, 2)，且圆心C 在抛物线y 2＝x 上（不与原点重合），若圆C 与y 轴交于点A ，B ，且|AB|＝4，则圆心C 的坐标为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若−12tan A ＝sin B cos C +cos B sin C ，且△ABC 的面积为2√3．（1）求bc 的值；（2）若b ＝2c ，求a ．如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD ，且MC ＝MD ＝CD ＝4，BC ＝4√2，N 为BC 中点．（1）求证：AN ⊥MN ；（2）求三棱锥C −MAN 的体积．2016年9月15中秋节（农历八月十五）到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%．（1）试根据所给数据分析，能否有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关？ 参考公式与临界值表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中：n ＝a +b +c +d（2）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2，四边形A 1B 1A 2B 2面积和为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l:y ＝kx +m 与椭圆C 交于M ，N 两点，OM ⊥ON （其中O 为坐标原点），求直线l 被以线段F 1，F 2为直径的圆截得的弦长．已知函数f(x)=2x−m e x（其中m 为常数）．（1）若y ＝f(x)在[1, 4]上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若y ＝f(x)在[1, 2]上的最大值为2e 2，求m 的值．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]直线l 的参数方程为{x =t cos αy =t sin α （其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2−2mρcos θ−4＝0（其中m >0）（1）点M 的直角坐标为(2, 2)，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围；（2）若m ＝2，当α变化时，求直线被曲线C 截得的弦长的取值范围． [选修4-5不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −m|+|x|(m ∈R) （1）若f(1)＝1，解关于x 的不等式f(x)<2（2）若f(x)≥m 2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（文科）（七）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可．【解答】由条件可得∁U M＝{−2, −1, 2}，则(∁U M)∩N＝{2}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，i4＝1．可得i2017＝(i4)504⋅i＝i．即可得出．【解答】∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，i4＝1．∴i2017＝(i4)504⋅i＝i．∴(1+i1−i )2017+1i=i+−i−i⋅i=i−i＝0．3.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】由题意可得c=√5，即a2+b2＝5，运用双曲线的定义，可得b＝2a，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】由双曲线的焦距为2√5，即有2c＝2√5，可得c=√5，即a2+b2＝5，由|PF1|−|PF2|＝b，及双曲线定义可得|PF1|−|PF2|＝2a，即为2a＝b，即4a2＝b2，解得a＝1，b＝2，则双曲线的方程为x2−y24=1．4.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图得到几何体是圆柱的一半，根据图中数据计算表面积．【解答】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的一半，其中底面半径为1，圆柱高为2，所以其表面积为12×2π×2+π×12+2×2=3π+4；5.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】设正在转播奥运比赛的电视台为A，B，没有转播奥运比赛的电视台为c，d，则前两个节目出现的不同情况有12种不同情况，第二个电视台在转播奥运比赛的情况有(c, A)，(d, A)，(c, B)，(d, B)，共4种不同情况，由此能求出第二个电视台恰好在转播奥运比赛的概率．【解答】设正在转播奥运比赛的电视台为A，B，没有转播奥运比赛的电视台为c，d，则前两个节目出现的不同情况有：(A, B)，(B, A)，(A, c)，(c, A)，(A, d)，(d, A)，(B, c)，(c, B)，(B, d)，(d, B)，(c, d)，(d, c)共12种不同情况，第二个电视台在转播奥运比赛的情况有(c, A)，(d, A)，(c, B)，(d, B)，共4种不同情况，故所求概率为P=412=13．6.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的前n项和公式得到7S55S7=a3a4，再由等差数列通项公式，能求出结果．【解答】∵公差为d(d≠0)的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝8d，∴7S55S7=7×5(a1+a5)25×7(a1+a7)2=a3a4=8d+2d8d+3d=1011．7.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】需把y ＝2cos 2x ＝cos 2x +1的图象向右平移π6个单位，可得函数f(x)＝cos 2(x −π6)+1＝cos (2x −π3)+1的图象， 8.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】运行程序，输出的结果为满足S ＝1+3+32+...+3k−1≥2017的最小正整数k 的值， 由S =1−3k 1−3≥2017，可得k ≥8，即当S ＝1+3+32+...+37时，不满足条件S <2017，退出循环，可得：x ＝log 338＝8． 故输出结果为8． 9.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】运用排除法直接求解． 【解答】易知，选项B ，C 均为偶函数，其图象应关于y 轴对称，不符合题意，故排除BC ；又由图可知，当x ＝0时，函数值大于0，而选项D ，当x ＝0时，y ＝sin 0+|0|＝0，故排除D ． 10. 【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，根据(x +2)2+(y −3)2的几何意义求出最小值与最大值，再求和即可． 【解答】画出不等式组{x +y ≤2y −z ≤2y ≥1表示的平面区域如图所示；其中点A(−1, 1)，B(1, 1)，C(0, 2)，而(x +2)2+(y −3)2的几何意义是平面区域内的点(x, y)与点(−2, 3)的距离的平方， 最小值为点(−2, 3)到直线x −y +2＝0的距离的平方， 即d 2=(√2)2=92；最大值为点(−2, 3)到点B 的距离的平方，即d′2＝(1+2)2+(1−3)2＝13， 所以最大值与最小值之和为92+13=352．11. 【答案】 C【考点】 球内接多面体 【解析】首先根据异面直线所成的角得到∠CDO ＝30∘，求出OC ，利用补形法得到长方体的对角线长度即为外接球的直径． 【解答】由条件可知AB // OD ，所以∠CDO 为异面直线CD 与AB 所成角， 故∠CDO ＝30∘，而OD ＝6，故OC ＝OD tan 30∘＝2√3，在直角梯形ABOD 中，易得OB ＝6，以OB ，OC ，OD 为相邻的三条棱， 补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径， 由(2R)2＝(2√3)2+62+62＝84，故R =√21． 12.【答案】 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】作出f(x)与y ＝log a (|x|+1)+1的函数图象，根据函数图象的交点个数列出不等式组得出a 的范围． 【解答】∵ f(x −1)＝f(x +1)，∴ f(x)的周期为2，作出y ＝f(x)与y ＝log a (|x|+1)+1的函数图象如图所示：由图象可知f(x)与y ＝log a (|x|+1)+1都是偶函数， ∴ 两函数在(0, +∞)有6个不同交点， ∴ {log a 6+1<2log a 8+1>2a >1，解得6<a <8．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 【答案】13【考点】函数与方程的综合运用 【解析】根据所给定义代入计算即可 【解答】根据定义可得R(mn )+R(lg m)＝R(23)+R(lg 4)=13+0=13， 【答案】2√5【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】设A 点坐标(m, 2m)，利用数量积列方程解出m ，从而可得|OA →|． 【解答】设点A 的坐标为(m, 2m)，则OA →=(m, 2m)，OB →=(1, 1)， ∴ OA →⋅OB →=m +2m ＝3m ＝6，解得m ＝2，∴ OA →=(2, 4)， ∴ |OA →|=√4+16=2√5． 【答案】 8【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】利用换元思想设x =√|a −b|，y =√|b −c|，z =√|c −a|，其中a ≥b ≥c ，则x 2+y 2＝z 2，再次换元设x ＝z cos θ+z sin θ(0≤θ≤π2)，0≤z ≤2√2，利用三角函数表示即可求出最值． 【解答】设x =√|a −b|，y =√|b −c|，z =√|c −a|，不妨设a ≥b ≥c ，则x 2＝a −b ，y 2＝b −c ，z 2＝a −c ，故x 2+y 2＝z 2，所以可设x ＝z cos θ+z sin θ(0≤θ≤π2)，0≤z ≤2√2， 则x +y +√2z ＝z(sin θ+cos θ+√2)＝z[√2sin (θ+π4)+√2]≤z(√2+√2)＝2√2×2√2=8，即√|a −b|+√|b −c|+√2|c −a|的最大值为8． 【答案】 (16, 4) 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设圆心的坐标，由题意可得圆的半径，令x ＝0，可得与y 轴的交点的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由题意可得参数的值，进而求出圆心的坐标． 【解答】设圆心为C(m 2, m)，m >0，则圆的半径为r =√m 4+(m −2)2，圆C 的方程为(x −m 2)2+(y −m)2＝m 4+(m −2)2，令x ＝0，可得y 2−2my +4m −4＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2＝2m ，y 1⋅y 2＝4m −4，则|AB|＝|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√4m 2−4(4m −4)=4，且m ≠0， 故m ＝4，则圆心C 的坐标为(16, 4)．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【答案】−12tan A ＝sin B cos C +cos B sin C ＝sin (B +C)＝sin A ， 即2sin A =−sin A cos A (sin A >0)，可得cos A =−12，(0<A <π)， sin A =√1−14=√32， 由△ABC 的面积为2√3， 可得12bc sin A =√34bc ＝2√3， 解得bc ＝8；b ＝2c ，且bc ＝8， 解得b ＝4，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2−2bc cos A ＝16+4−2×4×2×(−12)＝28，解得a ＝2√7． 【考点】 正弦定理 余弦定理【解析】（1）运用两角和的正弦公式、同角的基本关系式，化简可得sin A ，再由三角形的面积公式，可得bc 的值； （2）求得b ，c 的值，由余弦定理计算即可得到所求a 的值． 【解答】−12tan A ＝sin B cos C +cos B sin C＝sin (B +C)＝sin A ， 即2sin A =−sin Acos A (sin A >0)， 可得cos A =−12，(0<A <π)，sin A =√1−14=√32， 由△ABC 的面积为2√3， 可得12bc sin A =√34bc ＝2√3， 解得bc ＝8；b＝2c，且bc＝8，解得b＝4，c＝2，则a2＝b2+c2−2bc cos A＝16+4−2×4×2×(−12)＝28，解得a＝2√7．【答案】证明：取CD的中点O，连接OA，OM，ON，∵MC＝MD，O为CD中点，∴MO⊥CD，又∵平面MCD⊥平面ABCD，MO⊂平面MCD，∴MO⊥平面ABCD，则MO＝2√3，ON＝2√3，OA＝6，MN2＝MO2+ON2＝24，AN2＝BN2+AB2＝24，AM2＝MO2+OA2＝48，∴MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN．连接AC，△NAC的面积为：S△NAC=12×AB×NC=12×4×2√2=4√2．∴三棱锥C−MAN的体积为：V C−MAN＝V M−ACN=13S△MAC×MO=13×4√2×2√3=2√63．【考点】直线与平面垂直棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】（1）取CD的中点O，连接OA，OM，ON，推导出MO⊥CD，从而MO⊥平面ABCD，由此能证明AN⊥MN．（2）连接AC，三棱锥C−MAN的体积为V C−MAN＝V M−ACN=13S△MAC×MO，由此能求出结果．【解答】证明：取CD的中点O，连接OA，OM，ON，∵MC＝MD，O为CD中点，∴MO⊥CD，又∵平面MCD⊥平面ABCD，MO⊂平面MCD，∴MO⊥平面ABCD，则MO＝2√3，ON＝2√3，OA＝6，MN2＝MO2+ON2＝24，AN2＝BN2+AB2＝24，AM2＝MO2+OA2＝48，∴MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN．连接AC，△NAC的面积为：S△NAC=12×AB×NC=12×4×2√2=4√2．∴三棱锥C−MAN的体积为：V C−MAN＝V M−ACN=13S△MAC×MO=13×4√2×2√3=2√63．【答案】由所给条件可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=140(50×20−40×30)280×60×90×50=727<2.706，所以，没有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关；根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1−500(0.0001+0.0002+0.0003+0.0004)2=0.25．则人均消费月饼的数量为：750×0.0002×500+250×0.0004×500+1750×0.25+2250×0.25+2750×0.0003×500+3250×0.0001×500＝1900（克）．喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+40140=914，根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：1900×300000×914×0.35=128250000（克）＝128.25（吨）．【考点】独立性检验【解析】（1）由已知求得K2的观测值，再与临界值表比较得结论；（2）求出第三组数据和第四组数据的频率，再由频率分布直方图求得人均消费月饼的数量，得到喜欢吃月饼的人数所占比例，进一步求得该厂生产的月饼数量．【解答】由所给条件可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=140(50×20−40×30)280×60×90×50=727<2.706，所以，没有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关；根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1−500(0.0001+0.0002+0.0003+0.0004)2=0.25．则人均消费月饼的数量为：750×0.0002×500+250×0.0004×500+1750×0.25+2250×0.25+2750×0.0003×500+3250×0.0001×500＝1900（克）．喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+40140=914，根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：1900×300000×914×0.35=128250000（克）＝128.25（吨）．【答案】∵四边形A1B1A2B2与四边形F1B1F2B2的面积为4．∴ 12×2a ×2b ＝4，∴ ab ＝2，∵ 椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√32， ∴ ca =√32，结合a 2＝b 2+c 2，得c =√32a ，b =12a ，∴ a 2＝4，则b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．由{x 24+y 2=1y =kx +m，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0， 设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则△＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0， 即m 2<4k 2+1，x 1+x 2=−km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，则y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 由OM ⊥ON ，得OM →⋅ON →=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴ (k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，即(k 2+1)⋅4m 2−44k 2+1+km ⋅(−8km4k 2+1)+m 2＝0，整理可得m 2=4k 2+45，即|m|=2√5⋅√k 2+15，① 把①代入m 2<4k 2+1，得，该不等式恒成立． 以F 1F 2为直径的圆的圆心为(0, 0)，半径为√3． 圆心O 到直线l 的距离为d =2=2√55， 则直线l 被圆O 截得的弦长为：2√3−45=2√555． 【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由四边形A 1B 1A 2B 2面积4，得ab ＝2，由椭圆的离心率为√32，得c a=√32，由此求出a ，b ，从而能求出椭圆C 的方程．（2）由{x 24+y 2=1y =kx +m，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，由此利用弦长公式、根的判别式、直线垂直、圆的性质，结合已知条件，能求出直线l 被圆O 截得的弦长． 【解答】∵ 四边形A 1B 1A 2B 2与四边形F 1B 1F 2B 2的面积为4． ∴ 12×2a ×2b ＝4，∴ ab ＝2， ∵ 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，∴ ca=√32，结合a 2＝b 2+c 2，得c =√32a ，b =12a ，∴ a 2＝4，则b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．由{x 24+y 2=1y =kx +m，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0， 设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则△＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0， 即m 2<4k 2+1，x 1+x 2=−km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，则y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 由OM ⊥ON ，得OM →⋅ON →=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴ (k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，即(k 2+1)⋅4m 2−44k 2+1+km ⋅(−8km4k 2+1)+m 2＝0，整理可得m 2=4k 2+45，即|m|=2√5⋅√k 2+15，① 把①代入m 2<4k 2+1，得，该不等式恒成立． 以F 1F 2为直径的圆的圆心为(0, 0)，半径为√3． 圆心O 到直线l 的距离为d =√1+k2=2√55， 则直线l 被圆O 截得的弦长为：2√3−45=2√555． 【答案】 由f(x)=2x−m e 可得f′(x)=2e x −e x (2x−m)e =−2x+m+2e ，由y ＝f(x)在[1, 4]上单调递增可得f′(x)≥0在[1, 4]上恒成立， 即−2x+m+2e x≥0，∴ 2x ≤m +2，由x ∈[1, 4]可得2x ∈[2, 8]，故只需8≤m +2，∴ m ≥6，即实数m 的取值范围是[6, +∞)． 由（1）可知f′(x)=−2x+m+2e x，①当m +2≥4，即m ≥2时，f′(x)>0在(1, 2)上恒成立， 故f(x)在(1, 2)上单调递增，则f(x)在[1, 2]上的最大值为f(2)=4−m e 2=2e 2，故m ＝2，满足m ≥2；②当m +2≤2，即m ≤0时，f′(x)<0在(1, 2)上恒成立， 故f(x)在(1, 2)上单调递减，则f(x)在[1, 2]上的最大值为f(1)=2−m e =2e 2，故m ＝2−2e ，不满足m ≤0，舍去；③当2<m +2<4，即0<m <2时，由f′(x)＝0可得x =m+22．x <m+22时，f′(x)>0；当x >m+22时，f′(x)<0，即f(x)在[1, 2+m 2)上单调递增, 在(m+22, 2]上单调递减，故f(x)的最大值为f(m+22)=m+2−me m+22=2e m+22，即2e m+22=2e 2，所以，m ＝2，不满足0<m <2，舍去． 综上可知，m ＝2． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可转化为f′(x)≥0在[1, 4]上恒成立，分离参数后转化为求解相应函数的最值，结合导数可求；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求 函数的单调性，结合已知最值即可求解m 【解答】 由f(x)=2x−m e x可得f′(x)=2e x −e x (2x−m)e 2x=−2x+m+2e x，由y ＝f(x)在[1, 4]上单调递增可得f′(x)≥0在[1, 4]上恒成立， 即−2x+m+2e x≥0，∴ 2x ≤m +2，由x ∈[1, 4]可得2x ∈[2, 8]，故只需8≤m +2，∴ m ≥6，即实数m 的取值范围是[6, +∞)． 由（1）可知f′(x)=−2x+m+2e x，①当m +2≥4，即m ≥2时，f′(x)>0在(1, 2)上恒成立， 故f(x)在(1, 2)上单调递增，则f(x)在[1, 2]上的最大值为f(2)=4−m e 2=2e 2，故m ＝2，满足m ≥2；②当m +2≤2，即m ≤0时，f′(x)<0在(1, 2)上恒成立， 故f(x)在(1, 2)上单调递减，则f(x)在[1, 2]上的最大值为f(1)=2−m e =2e 2，故m ＝2−2e ，不满足m ≤0，舍去；③当2<m +2<4，即0<m <2时，由f′(x)＝0可得x =m+22．x <m+22时，f′(x)>0；当x >m+22时，f′(x)<0， 即f(x)在[1, 2+m 2)上单调递增, 在(m+22, 2]上单调递减，故f(x)的最大值为f(m+22)=m+2−m em+22=2em+22，即2em+22=2e 2，所以，m ＝2，不满足0<m <2，舍去． 综上可知，m ＝2．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程] 【答案】∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ2−2mρcos θ−4＝0（其中m >0），∴ 曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为x 2+y 2−2mx −4＝0， 即(x −m)2+y 2＝m 2+4，由点M 在曲线C 的内部可得(2−m)2+22<m 2+4，解得m >1， 即实数m 的取值范围是(1, +∞)．直线l 的极坐标方程为θ＝α，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得 ρ2−4ρcos α−4＝0，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝−4． 则直线l 与曲线C 截得的弦长为|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2α+16∈[4, 4√2]， 即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是[4, 4√2]．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程，由点M 在曲线C 的内部，能求出实数m 的取值范围． （2）直线l 的极坐标方程为θ＝α，代入曲线C 的极坐标方程，得ρ2−4ρcos α−4＝0，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，利用韦定理、弦长公式能求出直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围． 【解答】∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ2−2mρcos θ−4＝0（其中m >0），∴ 曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为x 2+y 2−2mx −4＝0， 即(x −m)2+y 2＝m 2+4，由点M 在曲线C 的内部可得(2−m)2+22<m 2+4，解得m >1， 即实数m 的取值范围是(1, +∞)．直线l 的极坐标方程为θ＝α，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得 ρ2−4ρcos α−4＝0，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝−4． 则直线l 与曲线C 截得的弦长为|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2α+16∈[4, 4√2]， 即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是[4, 4√2]． [选修4-5不等式选讲]【答案】由f(1)＝1可得|1−m|+1＝1，故m ＝1． 由f(x)<2可得|x −1|+|x|<2．①当x <0时，不等式可变为(1−x)−x <2，解之得x >−12，∴ −12<x <0；②当0≤x ≤1时，不等式可变为(1−x)+x <2，即1<2，∴ 0≤x ≤1； ③当x >1时，不等式可变为(x −1)+x <2，解之得x <32，∴ 1<x <32．综上可知，原不等式的解集为(−12, 32)．由绝对值不等式的性质可得f(x)＝|x −m|+|x|≥|x −m −x|＝|m|， 当且仅当(x −m)⋅x ≤0时等号成立，故f(x)的最小值为|m|．要使f(x)≥m 2对任意实数x 恒成立，故只需|m|≥m 2，即|m|⋅(|m|−1)≤0， 故|m|≤1，即−1≤m ≤1，即实数m 的取值范围是[−1, 1]．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由题意求得m ＝1，不等式即|x −1|+|x|<2，分类讨论，去掉绝对值，求得x 的范围，综合可得结论． （2）利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值为|m|，要使f(x)≥m 2对任意实数x 恒成立，只需|m|≥m 2，由此求得m 的范围． 【解答】由f(1)＝1可得|1−m|+1＝1，故m ＝1． 由f(x)<2可得|x −1|+|x|<2．①当x <0时，不等式可变为(1−x)−x <2，解之得x >−12，∴ −12<x <0；②当0≤x ≤1时，不等式可变为(1−x)+x <2，即1<2，∴ 0≤x ≤1； ③当x >1时，不等式可变为(x −1)+x <2，解之得x <32，∴ 1<x <32． 综上可知，原不等式的解集为(−12, 32)．由绝对值不等式的性质可得f(x)＝|x −m|+|x|≥|x −m −x|＝|m|， 当且仅当(x −m)⋅x ≤0时等号成立，故f(x)的最小值为|m|．要使f(x)≥m 2对任意实数x 恒成立，故只需|m|≥m 2，即|m|⋅(|m|−1)≤0， 故|m|≤1，即−1≤m ≤1，即实数m 的取值范围是[−1, 1]．。

绝密★启用前安徽省六安市第一中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试卷(八)数学(文)试题(解析版)测试范围：学科内综合.共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|2,}A x x n n Z ==∈，{}1,0,2,3,6,8B =-，则()A B =R （ ） A. {1,2,6}B. {0,1,2}C. {1,3}-D. {1,6}- 【答案】C【解析】【分析】由条件可知A 为偶数集，求出R C A ，即可得到()R C A B . 【详解】由条件可知A 为偶数集，故(){1,3}R C A B =-.故选：C.【点睛】本题考查集合的混合运算，属于基础题.2.已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭（ ） A. 32i --B. 33i --C. 24i -+D. 22i --【答案】B【解析】【分析】 根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】22231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．3.已知2sin 3α=，则()3tan sin 2ππαα⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ）A. 23-B. 23C.D. 3【答案】A【解析】【分析】 利用诱导公式及同角的三角函数基本关系式即可化简求值． 【详解】已知2sin 3α=,则由三角函数的诱导公式可得 32tan sin tan cos sin 23.故选A.【点睛】本题考查的知识点是运用诱导公式化简求值，属于基础题．4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（ ）A. 22142x y += B. 22184x y += C. 221164x y += D.2211612x y += 【答案】D【解析】【分析】。

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（九）数学（文科）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数满足2(1i)(1i)z -=+（i 为虚数单位），则z = （ ） A ．0B ．2C ．2D ．2±2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x x =∈-<<Z ，则A B I 的真子集个数为 （ ） A ．3B ．4C ．7D ．83．已知,,0x y z >，则“22222()()()xy yz x y y z +=++”是“z yy x=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．用max{,}a b 表示,a b 中的最大值，若2()max{||,2}f x x x =-，则()f x 的最小值为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，圆A 过正六边形ABCDEF 的两个顶点,B F ，记圆A 与正六边形ABCDEF 的公共部分为Ω，则往正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点不落在Ω内的概率为 （ ）A．4327πB．4354πC．43127π-D．23127π-6．已知正项等比数列{}n a的前n项和为n S，且432110,99SaS==，若()72M a=，()e496,logN a P a==，则,,M N P的大小关系为（）A．M P N>>B．M N P>>C．N M P>>D．N P M>>7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为（）A．16πB．18πC．20πD．24π8．已知单位向量,a b的夹角为34π，若向量2,4λ==-m a n a b，且⊥m n，则=n （）A．2 B．4 C．8 D．169．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值是35，则判断框内应补充的条件为（）A．9i≤B．10i≤C．11i≤D．12i≤10．过椭圆22221(0) x yaba b+=>>一个焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于,A B两点，O是原点，若ABO△是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．32B．1714-C．2625-D．3936-11．已知函数()f x的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A．|cos3|xxB．1cos22xx+C．22225(4)(49)x xxππ--D．|sin2|xx12．设定义在R上的函数()y f x=满足对任意t∈R都有1(2)()f tf t+=，且(0,4]x∈时，()()f xf xx'>，则(2016),4(2017),2(2018)f f f的大小关系是（）A．2(2018)(2016)4(2017)f f f<<B．2(2018)(2016)4(2017)f f f>>C．4(2017)2(2018)(2016)f f f<<D．4(2017)2(2018)(2016)f f f>>第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知函数()sin(2)cos(2)44f x x xππ=-+，则函数()f x图象的对称轴为 .14．已知直线1:250l x y+-=与直线()2:50l mx ny n-+=∈Z相互垂直，点()2,5到圆()()22:1C x m y n-+-=的最短距离为3，则mn= .15．已知点(,)x y满足280260370x yx yx y+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，求11xzy+=-的取值范围为 .16．已知数列{}n a的前n项和(1)nS n n=+，数列{}n b对*n∈N，有1122n n nS b S b S b a+++=L，求122017b b b +++=L .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin (sin sin )6sin A A B B +=.（1）求a b；（2）若3cos 4C =，求sin()A B -.18．（12分）如图，正三棱柱A B C ABC '''-中，D 为AA '中点，E 为BC '上的一点，,AB a CC h '==. （1）若DE ⊥平面BCC B ''，求证：BE EC '=.（2）平面BC D '将棱柱A B C ABC '''-分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为1V ，下面一个几何体的体积为2V ，求12,V V .19．（12分）为了调查某厂工人生产某件产品的效率，随机抽查了100名工人某天生产该产品的数量，所取样本数据分组区间为[40,45),[45,50)，[50,55),[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)由此得到右图所示频率分布直方图.（1）求a 的值并估计该厂工人一天生产此产品数量的平均值；（2）从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？20．（12分）已知()(),0P x y y ≥是曲线Ω上的动点，且点P 到()0,1的距离比它到x 轴的距离大1.直线1:10l x y -+=与直线2:320l x y -=的交点为Q . （1）求曲线Ω的轨迹方程；（2）已知,A B 是曲线Ω上不同的两点，线段AB 的垂直垂直平分线交曲线Ω于,C D 两点，若,A B 的中点为Q ，则是否存在点R ，使得,,,A B C D 四点内接于以点R 为圆心的圆上；若存在，求出点R 坐标以及圆R 的方程；若不存在，说明理由.21．（12分）已知函数2()2ln 2(1)f x a x a x x =-++(1)a ≤. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间21[,]e e上有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).（1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）点P 在曲线C 上，且到直线l，求符合条件的P 点的直角坐标.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知定义在R 上的函数2()4||2f x x a x a +=--. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.2020届模拟09文科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】注意到23(1i)(1i)2i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z +++====-+--+，则z B. 2．【答案】C 【解析】依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =--，故{}1,2,3A B =I ，故A B I 的真子集个数为7，故选C.3．【答案】C 【解析】由22222()()()xy yz x y y z +=++，得22242xy z x z y =+，即22()0xz y -=，2xz y =，从而z yy x=，以上推导过程均是可逆的，故选C.4．【答案】B 【解析】可知当1x <-时，2||2x x >-，此时()f x x =-.当11x -≤≤时，可得2||2x x -≤，此时2()2f x x =-.当1x >时，2||2x x >-，此时()f x x =.综上，2,1()2,11,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，可得当1x =-或1x =时()f x 取得最小值1，故选B.5．【答案】D 【解析】依题意，不妨设2AB =，故正六边形ABCDEF的面积2126S ⨯=Ω的面积2214233πS π=⨯⨯=，故所求概率41πP =，故选D.6．【答案】B 【解析】依题意，242101011993S q q S =⇒+=⇒=，故246111,,327243a a a ===，则97e 3e 1111,,log 03273243M N P ====<，故M N P >>，故选B. 7．【答案】C 【解析】将三视图还原，可知原几何体由半球体与圆柱体拼接而成，其中半球体的半径为2，圆柱体的底面半径为2，高为2，故所求几何体的表面积2222222220S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯=，故选C.8．【答案】B 【解析】依题意，⊥m n ，故()240λ⋅-=a a b ，故2820λ-⋅=a a b ，故40λ⎛-⋅= ⎝⎭，解得λ=-故4=+n a，故()22416=+=n a ，故4=n9．【答案】C 【解析】当2i =，可得2,2T a S a =+=+； 当3i =，可得1,3T a S =-+=； 当4i =，可得5,8T a S a =-+=-+； 当5i =，可得,8T a S ==； 当6i =，可得6,14T a S a =+=+； 当7i =，可得1,15T a S =-+=； 当8i =，可得9,24T a S a =-+=-+； 当9i =，可得,24T a S ==； 当10i =，可得10,34T a S a =+=+； 当11i =，可得1,35T a S =-+=.故判断框内应补充的条件为11?i ≤，故选C.10．【答案】D 【解析】不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点，将焦点坐标(,0)c 代入椭圆方程中，得两交点坐标分别为22(,),(,)b b c c a a-，由于ABO △是等边三角形，则可得23tan 30b ac =︒=，从而223a c ac -=，即13e e -=，解之得393e =-或393e =-+（舍去），故选D. 11．【答案】B 【解析】由图象可得当0x >，()0f x ≥，故可排除C ，因为当322x ππ<<时，22225(4)(49)0x x x ππ--<.当322x ππ<<，可得()0f x >，而当x π=时，|sin 2|0x x =，故可排除D 选项，当56x π=时，|cos3|0x x=，故可排除A 选项，故选B.12．【答案】C 【解析】由于1(2)()f t f t +=，故对任意t ∈R 有11(4)()1(2)()f t f t f t f t +===+，则()y f x =为周期函数，周期为 4.当(0,4]x ∈时，()()f x f x x '>，可得()()0xf x f x '->，构造函数()()((0,4])f x F x x x=∈，2()()()0xf x f x F x x '-'=>，故()F x 在区间(0,4]上单调递增，则(1)(2)(4)124f f f <<， 即4(1)2(2)(4)f f f <<.注意到(2017)(45041)(1)f f f =⨯+=，(2018)(45042)(2)f f f =⨯+=，(2016)(45034)(4)f f f =⨯+=，故由 4(1)2(2)(4)f f f <<可得4(2017)2(2018)(2016)f f f <<，故选C.13．【答案】()84k x k ππ=+∈Z 【解析】依题意，21cos(4)112()sin (2)sin 44222x f x x x ππ--=--=-=-， 由4,2x k k ππ=+∈Z 得84k x ππ=+，故11()sin 422f x x =-关于直线()84kx k ππ=+∈Z 对称. 14．【答案】2【解析】依题意，20m n -= ①；()()222531m n -+-=+ ②；联立两式，解得2,1m n ==，故2mn =.15．【答案】3[,5]2【解析】不等式组280260370x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥所表示的平面区域如图所示阴影部分（包括边界），其中,,A B C 为直线的交点，11(1)y z x -=--表示阴影部分区域内的点与点(1,1)P -连线的斜率，计算可得,,A B C 三点坐标分别为(2,3),(4,2),(5,4)，由图象可得1(1)y x ---的最大值为3122(1)3AP k -==--，1(1)y x ---的最小值为2114(1)5BP k -==--，故112[,]53z ∈，从而3[,5]2z ∈.16．【答案】20171009【解析】由条件(1)n S n n =+可得112a S ==，当2n ≥，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+--=，从而数列{}n a 的通项公式2()n a n n *=∈N .当2n ≥时，由1122n n n S b S b S b a +++=L 得1122111n n n S b S b S b a ---+++=L ，将此二式相减，可得1n n n n S b a a -=-，1222(1)1n n n n a a b S n n n n --===-++.当1n =时，得1111,1S b a b ==， 符合表达式221n b n n =-+，故数列{}n b 的通项公式为22()1n b n n n *=-∈+N ， 从而12201722222222017()()()212232017201820181009b b b +++=-+-++-=-=L L .17．【解析】（1）由2sin (sin sin )6sin A A B B +=得22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，即2sin sin ()60sin sin A A B B +-=，解得sin 2sin AB=或3-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a Ab B==.（6分） （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-==，将2a b =代入，得22253b c b -=， 解得2c b =，由余弦定理得222222(2)(2)52cos 2222a c b b b b B ac b b+-+-===⨯⨯， 则21414sin 1cos ,sin 2sin B B A B =-===,222222(2)(2)2cos 222b c a b b b A bc b b+-+-===-⨯， 从而145221437sin()sin cos cos sin ()A B A B A B -=-=⨯--⨯=.（12分） 18．【解析】（1）如图，取BC 中点F ，连接,AF EF .Q 棱柱A B C ABC '''-为正三棱柱，∴ABC △为正三角形，侧棱,,AA BB CC '''两两平行且都垂直于平面ABC .∴AF BC ⊥，AF BB '⊥Q ,BC BB '⊂平面BCC B ''，BC BB B '=I ，∴AF ⊥平面BCC B ''， Q DE ⊥平面BCC B ''，∴//DE AF ，,,,A F E D ∴四点在同一个平面上. Q //AA '平面BCC B ''，AA '⊂平面AFED ，平面BCC B ''I 平面AFED EF =， ∴//AA EF '，Q //AA CC ''，∴//EF CC '，E ∴为BC '中点，即BE EC '=.（6分） （2）正三棱柱A B C ABC '''-的底面积21332S a =⨯=，则体积23V h =. 下面一个几何体为四棱锥B ACC D '-，底面积13=()224ACC D h S h a ah '⨯+⨯=梯形，因为平面ABC ⊥平面ACC A ''，过点B 作ABC △边AC 上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面ACC A ''，故四棱锥B ACC D '-的高3，则22133334V ah h =⨯=，从而22212333V V V h h h =-==.（12分） 19．【解析】（1）由于小矩形的面积之和为1，则(0.0340.0650.020.01)51a a a ++++++⨯=，由此可得0.008a =.（3分） 该厂工人一天生产此产品数量的平均值(42.50.00847.50.0352.50.032=⨯+⨯+⨯+ )57.50.0662.50.0467.50.0272.50.01557.35⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（6分）（2）生产产品数量在[55,60)的工人有0.06510030⨯⨯=人，生产产品数量在[60,65)的工人有0.0085510020⨯⨯⨯=人，生产产品数量在[65,70)的工人有0.02510010⨯⨯=人，生产产品数量在[70,75]的工人有0.0151005⨯⨯=人，故用分层抽样法从生产产品数量在[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的四组工人中抽样，抽取人数分别为301363020105⨯=+++人，201343020105⨯=+++人，101323020105⨯=+++人，51313020105⨯=+++人.（12分） 20．【解析】（1）因为点P 到()0,1的距离比它到x 轴的距离大1， 则点P 到()0,1的距离与点P 到直线1y =-的距离相等；故点P 的轨迹为抛物线24x y =，即曲线Ω的轨迹方程为24x y =；（5分）（2）联立10,320,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩故()2,3Q ；设1122(,),(,)A x y B x y ，则2211224,4x y x y ==，根据点差法，两式相减，整理得12121214AB y y x x k x x -+===-， 所以直线AB 的方程是10x y -+=，直线CD 的方程是50x y +-=，联立2450x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得(2(2C D --+-+-，从而有CD =联立2410x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得(2(2A B --++，有8AB =；设CD 的中点为R ，则(2,7)R -，从而有2CD RA RB ==，故,,,A B C D 四点共圆且(2,7)R -为圆心，故圆R 的方程是22(2)(7)48x y ++-=.（12分） 21．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22(1)()()2(1)2a x x a f x a x x x--'=-++=， 令()0f x '=可得1x =或x a =.下面分三种情况.①当0a ≤时，可得0x a ->，由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，此时()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).②当01a <<时，由()0f x '>得0x a <<或1x >，由()0f x '<得1a x <<，此时()f x 的单调递增区间为(0,),(1,)a +∞，单调递减区间为(,1)a .③当1a =时，22(1)()0x f x x-'=≥，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（6分）（2）由（1）得，当0a <时，()f x 在1x =处取得最小值21a --，且()f x 在区间21[,]e e内先减后增，又224242()42(1)(24)20f e a a e e e a e e =-++=--+->，212(1)1()2a f a e e e +=--+，要使得()f x 在区间21[,]e e上有两个零点， 必须有1()0f e≥且210a --<，由此可得12122(1)e a e e --<-+≤. 当0a =时，2()2f x x x =-，显然()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当10a e <≤时，由（1）得()f x 在区间21[,]e e内先减后增， 又21221()2()0a f a e e e e=----<，2242242()(24)2(24)20f e e a e e e e e =--+->--+->， 故此时()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当11a e <<时，由（1）得()f x 在区间21[,]e e内先增，先减，后增. 又22()2ln 2(1)2ln (2)0f a a a a a a a a a a =-++=-+<,2242()(24)20f e e e e >--+-＞，故此时()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 当1a =时，由（1）得()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，()f x 在区间21[,]e e上不存在两个零点. 综上，a 的取值范围是121(,]22(1)e e e ---+.（12分） 22．【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=，则210cos ρρθ=，即2210x y x +=，得其标准方程为22(5)25x y -+=.直线l参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 则其普通方程为20x y --=.（5分）（2）由（1）得曲线C 为圆心为(5,0)，半径为5的圆，曲线C 的参数方程为55cos 5sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)， 化简的|35cos 5sin |2ϕϕ+-=，可得5cos 5sin 1ϕϕ-=-或5cos 5sin 5ϕϕ-=-. 当5cos 5sin 1ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组， 得3cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5ϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时对应的P 点坐标为(8,4),(1,3)-.当5cos 5sin 5ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组，得cos 0sin 1ϕϕ=⎧⎨=⎩或cos 1sin 0ϕϕ=-⎧⎨=⎩， 此时对应的P 点坐标为(5,5),(0,0).综上，符合条件的P 点坐标为(8,4),(1,3),(5,5),(0,0)-.（10分）23．【解析】（1）当1a =时，()1|24|f x x x =+--.当1x ≤时，原不等式可化为1425x x -+-≥，解得0x ≤， 结合1x ≤得此时0x ≤.当12x <<时，原不等式可化为1425x x -+-≥，解得2x -≤，结合12x <<得此时x 不存在.当2x ≥时，原不等式可化为1245x x -+-≥，解得103x ≥， 结合2x ≥得此时103x ≥. 综上，原不等式的解集为10{|0}3x x x ≤或≥.（5分） （2）由于2402||x a x a -+-≥对任意x ∈R 恒成立， 故当240a -≤时，不等式2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，此时22a -≤≤. 当24a >，即2a <-或2a >时，由于22a a >，记2()()(4)g x f x a =--， 下面对x 分三种情况讨论.当2x a ≤时，22()4(42)344g x a x a x a x a =-+---=-++， ()g x 在区间(,2]a -∞内单调递减.当22a x a <<时，22()4(4)442g x a x x a a x a =-+---=-+，()g x 在区间2(2,)a a 内单调递增.当2x a ≥时，2222()4(4)3244g x x a x a a x a a =-+---=--+，()g x 在区间2[,)a +∞内单调递增.综上，可得()(2)24g x g a a =-+≥，要使得2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，只需min ()0g x ≥，即240a -+≥，得2a ≤， 结合2a <-或2a >，得2a <-.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.（10分）。

绝密★启用前安徽省六安市第一中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试卷(六)数学(文)试题(解析版)测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{3x A x =>,{}2N 12110B x x x =∈-+<，则A B =（ ） A. {}2,3,4B. {}2,3,4,5C. {}5,6,7,8,9,10D. {}6,7,8,9,10【答案】C【解析】【分析】 对集合A 和B 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.【详解】集合{3x A x =>3x>9233x >， 解得92x >， 所以集合92A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭. 集合{}2N 12110B x x x =∈-+<， 212110x x -+<，()()1110x x --<，解得111x <<，所以集合{}2,3,4,5,6,7,8,9,10B =，所以A B ={}5,6,7,8,9,10.故选：C.【点睛】本题考查解指数不等式，解一元二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为（ ） A. 131i 55-+ B. 131i 55-- C. 131i 55+ D. 131i 55- 【答案】A【解析】【分析】根据()()i 2i 35i a b ++=-得到,a b 的值，从而得到复数z ，在得到复数z 的共轭复数.【详解】因为()()i 2i 35i a b ++=-，所以()()2235a b a b i i -++=-，所以2325a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得15135a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以13155z b ai i =-=-- 所以复数z 的共轭复数为131i 55-+. 故选：A.【点睛】本题考查根据复数相等求参数的值，求共轭复数，属于简单题.3.已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ）。