带电粒子在有界磁场中的运动轨迹

带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析一、单直线边界磁场1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或2+=ϕθ）.2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则m υr=Bqa O r-d二、双直线边界磁场规律要点：最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。

已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。

（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。

带电粒子在有界磁场中的轨迹变化与速度关系探讨在物理学中，带电粒子在磁场中的运动一直是一个重要的研究领域。

磁场可以对带电粒子施加力，从而改变其运动轨迹。

本文将探讨带电粒子在有界磁场中的轨迹变化与速度之间的关系。

1. 磁场对带电粒子的作用当带电粒子运动时，磁场会对其施加一个力，即洛伦兹力，其大小和方向由洛伦兹力定律所决定。

洛伦兹力的大小与带电粒子的电荷量、速度以及磁场的强度和方向有关。

根据洛伦兹力的方向性质，我们知道带电粒子在有界磁场中的轨迹将发生变化。

2. 圆周运动轨迹当带电粒子的速度垂直于磁场时，洛伦兹力垂直于速度和磁场方向，并产生向心力的作用。

这将导致带电粒子绕磁场线圆周运动。

圆周运动的半径由带电粒子的质量、电荷量、速度以及磁场的强度决定。

根据牛顿第二定律，洛伦兹力与向心力相等，从而可以求得带电粒子的轨道半径。

3. 螺旋运动轨迹当带电粒子的速度与磁场不垂直时，洛伦兹力将不再垂直于速度方向，而是同时包含向心力和垂直于速度方向的速度分量改变力。

这将导致带电粒子绕磁场线进行螺旋运动。

螺旋运动的半径受到速度和磁场方向夹角的影响，速度分量改变力的大小与速度大小以及磁场的强度和方向有关。

4. 速度对轨迹的影响根据前述讨论，可以看出速度是影响带电粒子在有界磁场中轨迹变化的重要因素之一。

速度的大小和方向不仅影响圆周运动的半径，还影响螺旋运动的半径和螺旋的紧致程度。

较大的速度可能导致更大的圆周轨道或螺旋轨迹，速度方向的改变也将导致轨迹的变化。

因此，带电粒子的速度与轨迹变化之间存在着密切的关系。

综上所述，带电粒子在有界磁场中的轨迹变化与速度之间存在着紧密的联系。

磁场通过施加洛伦兹力改变带电粒子的运动方向，从而导致轨迹的变化。

圆周运动和螺旋运动是带电粒子在有界磁场中最常见的轨迹，其半径和紧致程度取决于带电粒子的速度大小和方向。

因此，在研究带电粒子在磁场中的运动时，我们必须考虑速度对轨迹变化的影响。

需要总结的是，在实际应用中，对带电粒子在有界磁场中轨迹变化与速度关系的深入研究，不仅有助于理解物理规律，也为电磁学和粒子物理学等领域的研究提供了基础。

确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。

但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。

只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。

下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。

一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。

利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。

只是偏转方向相反。

先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。

所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。

例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。

一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。

当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。

由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

带电粒子在有界磁场中运动规律整合带电粒子在有界磁场中的运动问题，是高中物理学习的重点，对考生的空间想象能力、物理过程的分析能力以及物理规律的综合应用能力都有很高的要求。

粒子的运动轨迹往往是一个残缺圆，因此会出现一系列最值。

由于此类问题综合性强，思维含量高，具有很强的选拔功能，因此成为历年高考的热点。

1．速度之“最”带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动，其轨迹是圆的一段弧，当速度大小变化时，匀速圆周运动的半径随之变化，轨迹也将发生变化，当带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切或运动轨迹恰好过边界端点时的速度，就是满足条件的最大或最小速度．例题1：如图1宽为d的有界磁场的边界为PQ、MN，一个质量为m，带电荷量为-q的微粒沿图示方向垂直射入磁场，磁感应强度为B，要使该粒子不能从边界MN射出，此粒子入射速度的最大值是多大？2．运动时间之“最”由和得带电粒子在磁场中运动时间，时间与速度无关，圆心角越大，则粒子运动时间越长，因此圆心角之“最”决定运动时间之“最”。

例题2：如图3所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s1、s2分别为M、N板上的小孔，s1、s2、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s2O=R。

以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B．方向垂直纸面向外的匀强磁场。

D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板。

质量为m、带电量为+q的粒子，经s1进入M、N间的电场后，通过s2进入磁场。

粒子在s1处的速度和粒子所受的重力均不计。

当M、N间的电压不同时，粒子从s1到打在D上经历的时间t会不同，求t的最小值。

例题3：如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。

位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0~3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。

有界磁场下带电粒子的轨迹方程推导在物理学中，电磁场是一种用来描述电荷或电流产生的物理现象的数学模型。

有界磁场是一种限制在一定区域内的磁场，它对带电粒子的运动轨迹产生影响。

本文将推导有界磁场中带电粒子的轨迹方程。

1. 假设我们有一个有界磁场，磁感应强度为B，该磁场位于xy平面上，且只在某一区域内存在。

2. 假设一个带电粒子带电量为q，质量为m。

该粒子在有界磁场中运动，我们关注其运动轨迹。

3. 由洛伦兹力定律可知，在磁场中，带电粒子受到的洛伦兹力为F=qvB，其中v为粒子的速度。

4. 由牛顿第二定律F=ma可知，粒子在磁场中的加速度a为a=qvB/m。

5. 假设粒子在x和y方向上的速度分别为vx和vy，则有vx' = a*t = B*q*vy/m 和 vy' = -a*t = -B*q*vx/m，其中t为时间。

6. 将以上两个微分方程相加得到vx'' = -B^2*q*vx/m 和 vy'' = -B^2*q*vy/m。

7. 进一步，我们可以得到粒子在x和y方向上的加速度分别为vx'' = -omega^2x 和 vy'' = -omega^2y，其中omega = B*q/m。

8. 这是一个简单谐振动的微分方程，解的一般形式为x =A*cos(omega*t + phi) 和 y = B*sin(omega*t + psi)，其中A、B、phi和psi为常数。

9. 所以带电粒子在有界磁场中的轨迹方程为：x = A*cos(omega*t + phi)y = B*sin(omega*t + psi)通过以上推导，我们得到了带电粒子在有界磁场中的轨迹方程，即x = A*cos(omega*t + phi)和y = B*sin(omega*t + psi)。

在这个方程中，A、B、phi和psi是确定粒子在磁场中具体轨迹的常数。