带电粒子在有界磁场中运动解题方法总结

课题：带电粒子在复合场中的运动知识点总结：一、带电粒子在有界磁场中的运动1．解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法可总结为：（1）画轨迹（草图）；（2）定圆心；（3）几何方法求半径．2．几个有用的结论：（1）粒子进入单边磁场时，进、出磁场具有对称性，如图2（a）、（b）、（c）所示．（2）在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图（d）所示．（3）当速率一定时，粒子运动的弧长越长，圆心角越大，运动时间越长．二、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极植，但关键是从轨迹入手找准临界状态．（1）当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，由于半径不确定，可从轨迹圆的缩放中发现临界点．（2）当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，轨迹圆大小不变，只是位置绕入射点发生了旋转，可从定圆的动态旋转中发现临界点．三、带电粒子在叠加场中的运动1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类（1）磁场力、重力并存①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．（2）电场力、磁场力并存（不计重力的微观粒子）①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．（3）电场力、磁场力、重力并存①若三力平衡，一定做匀速直线运动．②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题．四、带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，除受场力外，还受弹力、摩擦力作用，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果．五、带电粒子在组合场中的运动带电粒子在组合场中的运动，实际上是几个典型运动过程的组合，因此解决这类问题要分段处理，找出各分段之间的衔接点和相关物理量，问题即可迎刃而解．常见类型如下：1．从电场进入磁场（1）粒子先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．（2）粒子先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．2．从磁场进入电场（1）粒子进入电场时的速度与电场方向相同或相反，做匀变速直线运动（不计重力）．（2）粒子进入电场时的速度方向与电场方向垂直，做类平抛运动典例强化例1、在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图3所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿－x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿＋y 方向飞出．（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其荷质比q m ；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B ′，该粒子仍从A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B ′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？例2、真空区域有宽度为L 、磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向如图4所示，MN 、PQ 是磁场的边界．质量为m 、电荷量为＋q 的粒子沿着与MN 夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，粒子刚好没能从PQ 边界射出磁场（不计粒子重力的影响），求粒子射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间．例3、如图所示的直角坐标系xOy 中，x <0，y >0的区域内有沿x 轴正方向的匀强电场，x ≥0的区域内有垂直于xOy 坐标平面向外的匀强磁场，x 轴上P 点坐标为（－L,0），y 轴上M 点的坐标为（0，233L ）．有一个带正电的粒子从P 点以初速度v 沿y 轴正方向射入匀强电场区域，经过M 点进入匀强磁场区域，然后经x 轴上的C 点（图中未画出）运动到坐标原点O ．不计重力．求：（1）粒子在M 点的速度v ′；（2）C 点与O 点的距离x ；（3）匀强电场的电场强度E 与匀强磁场的磁感应强度B 的比值．例4、如图5所示，在NOQ 范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在MOQ 范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M 、O 、N 在一条直线上，∠MOQ ＝60°，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B 。

难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点突破策略（一）明确带电粒子在磁场中的受力特点1. 产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用．②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行． 2. 洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB ；当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f= qυB ·sin θ3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断 4. 洛伦兹力不做功．（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．①向心力由洛伦兹力提供：R v mqvB 2=②轨道半径公式：qBmvR =③周期：qB m 2v R 2T π=π=，可见T 只与q m有关，与v 、R 无关。

（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。

1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。

确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系（T 2t T 360t πα=α=或）作为辅助。

圆心的确定，通常有以下两种方法。

① 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-1中P 为入射点，M 为出射点）。

带电粒子在有界磁场中的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有自身的一些特点。

一、解题方法解决磁场的问题关键是三找，即“找圆心”、“找半径”、“找时间”，在临界问题中又需要遵循思路：画图→动态分析→找临界轨迹。

（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。

）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）第一类问题：例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。

一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。

已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。

例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。

分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。

【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

带电粒子在磁场中偏转的求解策略带电粒子在磁场中偏转问题是历年高考的重点问题，同时也是热点问题。

总结考试中的诸多失误，集中在对这类问题的解法缺乏规律性的认识。

为此本文就求解这类题型的某些规律归纳如下。

一、基本思想因为洛伦兹力F始终与速度v垂直，即F只改变速度方向而不改变速度的大小，所以运动电荷垂直磁感线进入匀强磁场且仅受洛伦兹力时，一定做匀速圆周运动，由洛伦磁力提供向心力，即F qvB mv R==2/。

带电粒子在磁场中运动问题大致可分两种情况：1. 做完整的圆周运动（在无界磁场或有界磁场中）；2. 做一段圆弧运动（一般在有界磁场中）。

无论何种情况，其关键均在圆心、半径的确定上。

二、思路和方法1. 找圆心方法1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。

方法2：若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心。

方法3：若已知粒子轨迹上的两点和能求得的半径R，则可作出此两点连线的中垂线，从连线的端点到中垂线上的距离为R的点即为圆心。

方法4：若已知粒子入射方向和出射方向，及轨迹半径R，但不知粒子的运动轨迹，则可作出此两速度方向夹角的平分线，在角平分线上与两速度方向直线的距离为R的点即为圆心。

方法5：若已知粒子圆周运动轨迹上的两条弦，则两条弦的中垂线的交点即为圆心。

2. 求半径圆心确定下来后，半径也随之确定。

一般可运用平面几何知识来求半径的长度。

3. 画轨迹在圆心和半径确定后可根据左手定则和题意画出粒子在磁场中的轨迹图。

4. 应用对称规律从一边界射入的粒子，若从同一边界射出时，则速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，若粒子沿径向射入，则必沿径向射出。

三、实例分析例1. 如图1所示，两电子沿MN 方向射入两平行直线间的匀强磁场，并分别以v v 12、的速度射出磁场。

带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析一、单直线边界磁场1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或2+=ϕθ）.2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则m υr=Bqa O r-d二、双直线边界磁场规律要点：最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。

已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。

（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。

专题：带电粒子在有界磁场中的运动三维目标：一、知识与技能（1）掌握求解带电粒子在有界磁场中的圆运动的基本方法：找圆心、求半径、求周期、确定圆心角，熟练运用草图描绘带电粒子运动的轨迹，应用几何知识求解问题；（2）培养学生的分析、解决问题的能力，应用数学知识求解物理问题的能力。

二、过程与方法讲解与学生练习相结合三、情感、态度与价值观进行思维方法教育训练，培养辩证唯物主义观点．【重难点】一．处理有界磁场问题的一般方法：①解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时，可以将有界磁场视为无界磁场让粒子能够做完整的圆周运动。

②根据边界条件确定粒子运动的路径，进而确定粒子圆周运动的圆心。

③作好辅助线，充分利用圆的有关特性和公式定理、 圆的对称性等几何知识表达出粒子运动的半径与偏转角度。

④根据牛顿第二定律，列出动力学方程从而解出有关的物理量。

二．确定圆心常用的方法：①圆心必在洛仑兹力所在的直线上，两个位置洛仑兹力方向的交点即为圆心位置。

②速度方向的垂线一定经过圆心，则任意两条速度垂线的交点既为圆心。

③弦的垂直平分线与速度垂线的交点。

三．粒子在磁场中运动时间的确定：①利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于2π计算出圆心角α的大小，由公式2t T απ=可求出粒子在磁场中的运动时间． ②利用弧长与线速度的关系确定时间。

【典型例题】一、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例题1：如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面里，磁场的磁感应强度为B ；一带正电的粒子以速度V0从O 点射入磁场中，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L 。

求①该粒子的电荷量和质量比②粒子在磁场中的运动时间。

二、带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例题2：在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示． 一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿－x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿+y 方向飞出．（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为 B ，该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角，求磁感应强度 B 多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t是多少？三、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例3. 如图所示，一带正电的质子从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d ，板长为d ，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B 的大小（质子的带电量为e ，质量为m ）。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。

类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。

【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。

轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。

【解答】 AB类型 已知参量 类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向 图乙图甲 ①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤⑥⑦⑩粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ， 得 r 1＝5L4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心，以mvr qB=为半径的圆。