高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学

东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）)一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．22lim sin1x xx x →∞=+ 2 ； 2．当0x →时,()x α=与2()x kx β=是等价无穷小,则k =34; 3．设()1sin xy x =+，则d x yπ== d x π- ；）4．函数()e xf x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为()223ee 2e(1)(1)(1)2x x x ο+-+-+- ； 5．已知函数32e sin ,0()2(1)9arctan ,0xa x x f xb x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩可导，则a =1 ，b = -1 。

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设函数11()1ex xf x -=-，则 [ C ]（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点（B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点（C ）0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点、（D ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点7．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t ty t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的切线与x 轴交点的横坐标是 [ C ] （A ）1ln 238+ （B ）1ln 238-+ （C ）8ln 23-+ （D ）8ln 23+ 8．以下四个命题中，正确的是 [ C ]（A ）若()f x '在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界@（B ）若()f x 在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （C ）若()f x '在(0,1)内有界，则()f x 在(0,1)内有界 （D ）若()f x 在(0,1)内有界，则()f x '在(0,1)内有界9．当a 取下列哪个数值时，函数32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点[ B ]（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8、三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．011lim 1e x x x x -→+⎛⎫-⎪-⎝⎭()222000111e e 1lim lim lim 1e 1e x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→++-++-+⎛⎫-== ⎪--⎝⎭ 20e 11lim xx x x -→-+=+22201()21lim x x x xο→+=+32= 11。

东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）)一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．22lim sin1x xx x →∞=+ 2 ； 2．当0x →时,()x α=与2()x kx β=是等价无穷小,则k =34; 3．设()1sin xy x =+，则d x yπ== d x π- ；）4．函数()e xf x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为()223ee 2e(1)(1)(1)2x x x ο+-+-+- ； 5．已知函数32e sin ,0()2(1)9arctan ,0xa x x f xb x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩可导，则a =1 ，b = -1 。

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设函数11()1ex xf x -=-，则 [ C ]（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点（B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点（C ）0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点、（D ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点7．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t ty t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的切线与x 轴交点的横坐标是 [ C ] （A ）1ln 238+ （B ）1ln 238-+ （C ）8ln 23-+ （D ）8ln 23+ 8．以下四个命题中，正确的是 [ C ]（A ）若()f x '在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界@（B ）若()f x 在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （C ）若()f x '在(0,1)内有界，则()f x 在(0,1)内有界 （D ）若()f x 在(0,1)内有界，则()f x '在(0,1)内有界9．当a 取下列哪个数值时，函数32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点[ B ]（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8、三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．011lim 1e x x x x -→+⎛⎫-⎪-⎝⎭()222000111e e 1lim lim lim 1e 1e x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→++-++-+⎛⎫-== ⎪--⎝⎭ 20e 11lim xx x x -→-+=+22201()21lim x x x xο→+=+32= 11。

东南大学考试卷（A卷）课程名称高等数学B期末考试学期09-10-3 得分适用专业选修高数B的各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e4xzx x y yzπ-++=在点(0,1,2)处的法线方程是；2.设u=，则梯度；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B，则A在B方向的投影；4.设闭曲线:1C x y+=，取逆时针方向，则曲线积分2d dCy x x y-⎰的值是；5.设函数(,)F x y具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分()2221e cos d dxx yy xy x y+≤+⎰⎰的值是；7. 设S为球面：2222x y z R++=，则曲面积分()222dSx y z S++⎰⎰的值是；8.设C是折线11(02)y x x=--≤≤，则曲线积分dCy s⎰的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数2nna∞=∑收敛，且级数2lnnna n∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x yϕ=-，其中f具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂.解11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解12．（本小题满分8分）计算二次积分1121321d e d xxyx y y -⎰⎰. 解，13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标. 解三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解四（15）。

（本题满分7分）计算d Sx S z⎰⎰，其中S 是柱面222(0)x y ay a +=>被锥面z 和平面2z a =所截下的部分.解五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x CI y x xy y y =+-⎰，其中C 为曲线x =y 增大的方向.解 六（17）（本题满分7分）计算()()222d d d d ()d d SI y xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，其中S为2z =0z =所截部分，取上侧.解七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyx x-<，01x<<，0y<<+∞.证08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3. 已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A 4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰的值是2-； 5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =； 6. 二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7. 设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sxy z S ++⎰⎰的值是44R π； 8. 设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂， 21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂ 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dxxy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解 0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z==垂直的直线方程. 解 设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --= （1），又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++= （2）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==-- 四（15）。

共6页 第1页东 南 大 学 考 试 卷课程名称 高等数学A 、B （期中） 考试学期 10-11-2得分适用专业工科类考试形式 闭卷考试时间长度 120分钟一.填空题（每个空格4分，本题满分24分） 1．0limx x→-=；2．已知()3sin (12),0e ,0x x x x f x a x ⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩在0x =处连续,则a = ；3．设()arctan e xf x =,则微分d ()f x =_____________ __； 4．设2010()cos f x xx =，则(2010)(0)f =_________ ______；5．设()y y x =是由方程21eyy x =-所确定的隐函数，则(0)y '= ；6．曲线332216x y +=在点(4,4)处的切线方程为 ____. 二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．当0x →时，sin x ax -与2ln(1)x bx -是等价无穷小，则 [ ](A) 11,6a b ==-(B) 11,6a b == (C) 11,6a b =-=- (D) 11,6a b =-= 8．函数1arctan21()sin2x x f x x ππ-=的间断点 [ ] （A ）都是可去间断点 （B ）都是跳跃间断点（C ）都是无穷间断点（D ）分别是可去间断点、跳跃间断点与无穷间断点 9．设()f x 在x a =的邻域内有定义，则()f x 在x a =可导的一个充分条件是 [ ]共6页 第1页(A) 1lim ()h h f a f a h →+∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭存在 (B ) 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 (C) 0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 (D ) 0()()lim h f a f a h h→--存在三.计算题（每小题8分，本题满分32分）10．求极限 10lim 1e xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭11.求极限 22212lim 12n n n n n n n n n →∞+++⎛⎫+++⎪+++⎝⎭共6页 第1页12．设函数()y y x =由参数方程32arctan 3x t t t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定，试求d d y x 、22d d y x .13. 写出函数()ln f x x x =在1x =处的带有Lagrange 余项的3阶Taylor 公式.共6页 第1页四(14).（13分）设a 和b 都是实常数,0b <，定义()sin ,0()0,0a b x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，回答下列问题，并说明理由。

共 8 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷课程名称 高等数学B （期中） 考试学期 得分适用专业选学高数B 的各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1.设向量,5,43===c b a ，且满足0=++c b a ,则=⨯+⨯+⨯a c c b b a ； 2.点)3,2,1(到直线23341--=--=z y x 的距离为 ； 3.设),(y x z z =是由方程⎰=zxydt t f z )(确定,其中)(t f 可导,则=∂∂xz； 4.直线 132-==z y x 平行于平面04=++z y x λ，则=λ ；5. =++∞→∞→4422lim y x y x y x 二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6. 下列反常积分中收敛的是 [ ] （A ）⎰+∞+1sin 11dx x x （B ）⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2122)1(1ln 1dx x x x （C ）⎰+∞-221dx x （D ）⎰-20212dx x x 7. 设∑∞=+1)2(n nn x a 在1=x 处条件收敛，则∑∞=+++11)2(1n n nx n a 的收敛半径为 [ ]（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）不能确定8. 设)(x ϕ和)(x ψ是区间],[ππ-上的连续函数,且)()(x x ψϕ=-,则)(x ϕ的傅里叶系数n n b a ,与)(x ψ的傅里叶系数)1,2,(n , =n n βα的关系是 [ ](A ) n n n n b a βα==, (B ) n n n n b a βα-==,共 8 页 第 2 页(C ) n n n n b a βα=-=, (D ) n n n n b a βα-=-=,.9. 下列命题正确的是 [ ] （A ）若),(y x f 在点),(00y x 处存在偏导数，则),(lim y x f x ∞→一定存在.（B ）若),(y x f 在点),(00y x 处可微，则),(y x f 在该点处必连续. （C ）若),(y x f 在点),(00y x 处存在偏导数，则),(y x f 在该点处必可微. （D ）以上表述均不正确.三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)1. 求过点)4,2,0(且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程.2. 设)(),(2222y x g xy y x f z ++-=,其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数,求xy zx z ∂∂∂∂∂2与.3. 直线11111:--==-z y x l 在平面012:=-+-z y x π上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.共 8 页 第 3 页4. 求点)4,3,2(在直线322217:+=+=+z y x l 上的投影.5.设方程1ln 22=+z xy e z x 确定了函数),(y x z z =，求xz∂∂。

03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷2003级高等数学（A ）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e 12确定，则==0x dxdy（ ）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题（每小题3分，共18分）1．_____________________)(lim 21=-→x xx x e2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。

4．若dt t t x f x ⎰+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxey -=的拐点是__________6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1．计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ⎰5cos sin3. 计算积分dx e x x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim 3⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解四.（8分）求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,000='===x x y y 的特解五.（8分）设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。