东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
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03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷
2003级高等数学（A ）（上）期末试卷
一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程
⎰
+-=y
x t x dt e
1
2
确定，则
==0
x dx
dy
（ ）
.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A
2．曲线41
ln 2+-+
=x x
x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A
3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）
4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）
.
2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( *
***x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===
二、填空题（每小题3分，共18分）
1．_____________________)(lim 2
1
=-→x x
x x e
2．若)(cos 21arctan
x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx
dy
3．设,0,
00
,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=α
x x x
x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ⎰
+-=
2
32
4
)(，
则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x
xe
y -=的拐点是__________
6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）
1．计算积分
dx x x
⎰
+2
3
2)1(arctan 2．计算积分dx x
x
x ⎰5
cos sin
3. 计算积分dx e x x ⎰
-2
32
4. 计算积分⎰
π
+0
cos 2x
dx
5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求x
x dt
du u f t x
t
x sin ))((lim 3
⎰
⎰→
6.求微分方程0)2(22
2=+-dx y x xydy 的通解
四.（8分）求微分方程x
xe y y y 223-=+'-''满足条件0,000
='===x x y y 的特解
五.（8分）设平面图形D 由x y x 22
2
≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:⎩⎨⎧-=+=t
t y t
t x 252
2与x 轴所围成，试求其质量m
七.（7分）设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数，且0)0(=f ，证明：至少存在一
点],[a a -∈ξ，使得)(3
)(3
ξ''=⎰
-f a dx x f a
a
2004级高等数学（A ）（上）期末试卷
一. 填空题（每小题4分，共20分）
1．函数()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.
2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()2
1x x xF x f +=,则()=x f .
3.
(
)()
=-+⎰--x x x x x d e e 111
2005 .
4. 设()t u u x f x
t
d d 10sin 1
4⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23
>+=
⎰
x t
t x f x x
,则当=x 时,取得最大值.
二. 单项选择题(每小题4分,共16分)
1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]
(A)()()
x x βα2 (B)()()x x x 1sin 2
2βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+
2. 曲线()()
211
arctan
e
21
2
+-++=x x x x y x 的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
3. 微分方程x x y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*
y [ ]
(A) ()x
x b ax 22
e
+ (B) x
ax 2e (C) ()x
b ax 2e
+ (D) ()x
x b ax 2e
+
4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有
()()⎰⎰≤b
a
d c
x x f x x f d d .
(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有
()()⎰⎰
+=T
T
a a
x x f x x f 0
d d .
(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)
