东南大学高数上期末往年试题

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = x^3D. f(x) = -x2. 设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(x)的对称轴为：A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 33. 已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的夹角余弦值为：A. 1/2B. 1/3C. 1/5D. 1/74. 下列极限中，正确的是：A. lim(x→0) (x^2 + 1) / x = 1B. lim(x→0) (sinx) / x = 1C. lim(x→0) (1 - cosx) / x = 0D. lim(x→0) (e^x - 1) / x = 15. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，矩阵B = [[5, 6], [7, 8]]，则矩阵A与矩阵B的乘积为：A. [[19, 22], [27, 30]]B. [[15, 18], [21, 24]]C. [[23, 26], [31, 34]]D. [[25, 28], [33, 36]]二、填空题（每题5分，共25分）6. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(x) = _______。

7. 设向量a = (2, 3, 4)，向量b = (1, -2, 3)，则向量a与向量b的叉积为_______。

8. 设函数f(x) = e^x，则f'(x) = _______。

9. 设矩阵A = [[2, 1], [3, 4]], 则矩阵A的行列式为 _______。

10. 设数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n =_______。

三、解答题（每题15分，共45分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）)一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．22lim sin1x xx x →∞=+ 2 ； 2．当0x →时,()x α=与2()x kx β=是等价无穷小,则k =34; 3．设()1sin xy x =+，则d x yπ== d x π- ；）4．函数()e xf x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为()223ee 2e(1)(1)(1)2x x x ο+-+-+- ； 5．已知函数32e sin ,0()2(1)9arctan ,0xa x x f xb x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩可导，则a =1 ，b = -1 。

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设函数11()1ex xf x -=-，则 [ C ]（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点（B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点（C ）0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点、（D ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点7．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t ty t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的切线与x 轴交点的横坐标是 [ C ] （A ）1ln 238+ （B ）1ln 238-+ （C ）8ln 23-+ （D ）8ln 23+ 8．以下四个命题中，正确的是 [ C ]（A ）若()f x '在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界@（B ）若()f x 在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （C ）若()f x '在(0,1)内有界，则()f x 在(0,1)内有界 （D ）若()f x 在(0,1)内有界，则()f x '在(0,1)内有界9．当a 取下列哪个数值时，函数32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点[ B ]（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8、三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．011lim 1e x x x x -→+⎛⎫-⎪-⎝⎭()222000111e e 1lim lim lim 1e 1e x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→++-++-+⎛⎫-== ⎪--⎝⎭ 20e 11lim xx x x -→-+=+22201()21lim x x x xο→+=+32= 11。

10-11-2高数期末试卷(150分钟)一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．2lim ()()a xbx x x a x b e +→∞⎛⎫= ⎪--⎝⎭；2．曲线sin()ln()(0,1)xy y x x +-=在点的切线方程是1y x =+；3．曲线3221x y x =+的斜渐近线方程是2y x=；4．若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则3b =；5．函数()ln(12)0(0)n y x x n y =-==在处的阶导数2(1)!n n --；6．设可导函数220()sin x yxt y y x e dt x t dt +-==⎰⎰是由方程所确定，则1 x dydx =-=； 7．2π=⎰4 π-；8．1x -=⎰23-； 9．微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的特解是1y x=。

二.按要求计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 10．求极限20(sin sin(sin ))sin lim1cos x x x x x →-- 13= 11. 求反常积分211 (1)dx x x +∞+⎰1ln 22= 12．求定积分1sin ln exdx ⎰()1sin1cos122e =-+ 13．求不定积分1sin 2cos dx x x ⎰ ()1sec ln csc cot 2x x x C =+-+三（14）．（本题满分7分）设sin , 02(),0,()0, 2x x f x x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=≥=⎨⎪>⎪⎩，分别求022x x ππ≤≤> 与 时积分()()xf tg x t dt -⎰的表达式。

()()()() ()()()()sin , 021, 2x xx x xf tg x t dt f x u g u dux u g u du x g u du ug u du x x x x x ππ-=-=-=-⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰关键步骤：四（15）．（本题满分8分） 求由sin , (0)2y x x y x x π==≤≤所围图形的面积及此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

东南大学考试卷（A卷）课程名称高等数学B期末考试学期09-10-3 得分适用专业选修高数B的各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e4xzx x y yzπ-++=在点(0,1,2)处的法线方程是；2.设u=，则梯度；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B，则A在B方向的投影；4.设闭曲线:1C x y+=，取逆时针方向，则曲线积分2d dCy x x y-⎰的值是；5.设函数(,)F x y具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分()2221e cos d dxx yy xy x y+≤+⎰⎰的值是；7. 设S为球面：2222x y z R++=，则曲面积分()222dSx y z S++⎰⎰的值是；8.设C是折线11(02)y x x=--≤≤，则曲线积分dCy s⎰的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数2nna∞=∑收敛，且级数2lnnna n∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x yϕ=-，其中f具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂.解11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解12．（本小题满分8分）计算二次积分1121321d e d xxyx y y -⎰⎰. 解，13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标. 解三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解四（15）。

（本题满分7分）计算d Sx S z⎰⎰，其中S 是柱面222(0)x y ay a +=>被锥面z 和平面2z a =所截下的部分.解五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x CI y x xy y y =+-⎰，其中C 为曲线x =y 增大的方向.解 六（17）（本题满分7分）计算()()222d d d d ()d d SI y xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，其中S为2z =0z =所截部分，取上侧.解七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyx x-<，01x<<，0y<<+∞.证08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3. 已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A 4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰的值是2-； 5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =； 6. 二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7. 设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sxy z S ++⎰⎰的值是44R π； 8. 设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂， 21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂ 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dxxy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解 0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z==垂直的直线方程. 解 设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --= （1），又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++= （2）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==-- 四（15）。

东 南 大 学 考 试 卷（B 卷）课程名称 高等数学B 期末 考试学期06-07-3得分适用专业高数B考试形式闭卷 考试时间长度 150分钟一。

填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．已知三角形ABC ∆的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ∆的面积为 ；3． 曲线22221025x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为 ；4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k 的方向导数等于 ；5.交换积分次序⎰⎰-221x -1-11- ),(dx x dy y x f = ；6．设222},,,{z y x r z y x r ++== ，则3rr div= ；7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分dy xy ydx x c 22+⎰= ；8.设2()e x f x =，则)0()2(n f= ；9．设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为 。

14．求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分()22d Dxy y σ+-⎰⎰，其中D 为由1,2y x y x ==及2y =围成的区域.12．计算三重积分zv Ω，其中Ω是yoz 平面上的直线121,3z y y =-=以及1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分d Lz s ⎰，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =+ z = 所围立体表面的外侧的流量.六．（17）(本题满分9分) 计算曲线积分(()ln d x y xy x y ++⎰，其中Γ是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准（A ）一。

06-07-3高数B 期末试卷一。

填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．已知三角形ABC ∆的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ∆的面积为 ；3． 曲线22221025x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为 ； 4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k 的方向导数等于 ；5.交换积分次序⎰⎰-221x -1-11- ),(dx x dy y x f = ；6．设222},,,{z y x r z y x r ++== ，则3rr div= ；7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分dy xy ydx x c 22+⎰= ；8.设2()e x f x =，则)0()2(n f= ；9．设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为 。

二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分()22d Dx y y σ+-⎰⎰，其中D 为由1,2y x y x ==及2y =围成的区域.12．计算三重积分zv Ω，其中Ω是yoz 平面上的直线121,3z y y =-=以及1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分d Lz s ⎰，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤14．求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =z = 所围立体表面的外侧的流量.六．（17）(本题满分9分)计算曲线积分(()ln d x y xy x y ++⎰，其中Γ是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准（A ）一。

东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。

x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。

共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 高等数学考试学期 04-05-2得分适用专业 经管考试形式半开卷考试时间长度 120分钟一. 选择题 (4分×5=20分) 1. 的是则设函数)(0,sin 12)(1x f x xxex f x=++=( ) A. 连续点; B. 可去间断点; C. 第一类但非可去间断点; D. 第二类间断点. 2. 下列表达时则当都是无穷小时设当,),0)(()(),(,00x x x x x x x →≠→ββα 式中不一定为无穷小的是 ( )A.)()(2x x βα;B.xx x 1sin )()(22βα+; C. ))()(1ln(x x βα+; D.)()(x x βα+.3. ⎰=-⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=3 12)2(, 0,0,1)(dx x f x e x x x f x 则设 ( ) A. 31-e ; B. 31+e ; C. 31; D. e 2. 4. ⎰='dx x f x x f x )(,)(2sin 则的一个原函数是已知 ( ) A. C x x x +-2cos 2sin 2; B. C x x x ++2cos 2sin 2; C. C x x x +-2sin 2cos 2; D. C x x x +-2cos 2sin . 5. 有极大值点函数 )1( 2dt e t y x t ⎰-=( )A. 1=x ;B. 1-=x ;C. 1±=x ;D. 0=x .二. 填空题 (4分×5=20分)1. 21lim 21xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭.共 5 页 第 2 页2. 2()ln() f x ex x=函数在区间 ,单调增加其图形在区间 内向下凸. 3. 22cos 4sin x tt y tπ⎧=⎪=⎨=⎪⎩曲线在所对应的点处的切线方程为 。

4.11()xx x e dx --+=⎰.三. 求下列积分 (6分×3=18分) 1. ⎰+dx x x )1ln( ; 2.⎰-dx x sin 11;3.dx x x ⎰-122 .四. 1. (6分).,1)(1122=-=-=⎰x yt dxdy dt e x x y y 求所确定由方程设函数2. (7分)使得试补充定义设函数),0(],21,0(,1sin 1)(f x x x x f ∈-=ππ]21,0[)(在x f 上连续.五. 1.(7分).arctan )1ln()1(,0:x x x x >++>时当证明2.(8分)最为何值时问内的驻点为在设)(, ).(),( )(,1a t a a t at a t f a t+∞-∞-=> 小? 并求最小值. 六.(8分),0423412所围成的平面图形与直线为曲线设=--=y x x y D 求: (1)D 的面积S ; (2)D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V .七.(6分),0)1()0(,)1 ,0(,]1 ,0[)(==f f x f 且内可导在上连续在设函数证明至少存在 一点),1 ,0(∈ξ使得0)(2)(=+'ξξf f .共 5 页 第 3 页04-05-2高等数学(管理)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一．选择题(4分×5=20分)： 1．B ； 2. A; 3. B ；4. C ; 5. D . 三. 填空题 (4分×5=20分)1. 1e - ; 2. (0,1),) +∞; 3. 10y x +-= ； 4。

共 4 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷） 课程名称 高等数学A 期末 考试学期 09-10-3 得分 适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 将2222200d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标 系下的三次积分 ； 2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ； 3. 设1,0()2,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则(3)S π= ，(2)S π-= ； 4. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==； 5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则1d (i)(4)C z zz =+-⎰ ； 6. 留数ln(12)Res ,01cos z z +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ； 7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；8.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ ；9. 设()(,)d d x y t F t f x y x y +≤=⎰⎰，其中2,0(,)0,x y x x f xy ⎧≥≥=⎨⎩且其它，则(2)F = . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 4 页 第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e z y x z x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂.11．计算22222000d e d d d y y x y x y x y x ----+⎰⎰⎰.12．判断级数111(1)!179n n n n n-∞-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性.13. 求幂级数ln 12nn n x n ∞=∑的收敛域. （注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对收敛还是条件收敛.）共 4 页 第 3 页 三（14）．（本题满分7分）设1,022()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩在[0,]π上展开成正弦级数，并写出它的和函数.四（15）。

东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）课 程 名 称 高等数学 A 期末 考试学期 06 - 0 7 - 3 得分 适 用 专 业 选学 A 的各专业 考试形 式 闭卷 考试时间长度 150 分钟(10330)1．已知曲面z xy 上一点M0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的法线垂直于平面x 3y z 9 0 ，则x 0， y 0，z 0；22 交换积分次序 1d xf ( x , y ) d y ；3 设r x , y , z , r ，则 d i v ； r 2 2C5.设幂级数 a n x n 的收敛半径为3 ，则幂级数 na n (x 1) n 1 的收敛区间为 ；n 0 n 16 设 f ( x ) e x，则 f ( 2 n )( 0 ) ；7. 设 f ( x ) ，其以2 为周期的F o u rie r 级数的和函数记为S ( x ) ， 则1 x , 0 xS ( 3 ) ；8.设正向圆周C : z 1 ，则 d z ；C9．函数 f ( z ) z c o s 的孤立奇点z 0 的类型是 （如为极点， 应指明是几级极z 点）， R e s f ( z ) , 0 ； 10 使二重积分 4 4 x2y2d 的值达到最大的平面闭区域D 为 .D( 2 8 16)n4 22 2 2x y z 0 , x 0c o s z 1 1 xzr3132n 1判断级数 n n 的敛散性.4 设正向闭曲线C ： x y 1 ，则曲线积分 x y d x xy d y ；．求幂级数 x n 1的收敛域与和函数.n 1将函数 f ( x ) x x 在( 1, 1] 上展开为以 2 为周期的F o u rie r 级数. 14 将函数 f ( z ) z 4 z 3在圆环域 1 3 内展开为L a u r e n t 级数.15(9)验证表达式 (c o s x 2 xy 1) d x ( x2y23) d y 为某一函数的全微分， 并求其原函数.16( 9 )利用留数计算反常积分0 4d x .17(10)已知流体的流速函数 v ( x , y , z ) y 3 z 3 , z 3 x 3 , 2 z 3 ，求该2 2 2 218( 8 ) 设函数 f C ( [ 0 , 1] ) ，且 0 f ( x ) 1 ，利用二重积分证明不等11f ( x ) 0f ( x ) d x1 f ( x ) 1 0f ( x ) d xz 式： d x 12 n n n 111 x12流体流过由上半球面z 1与锥面 z 所围立体表面的外侧的流量.06 - 07 - 3 AA(10330)1 、x 03 ， y 01 ， z 031 1 x 02 、 1 d xf ( x , y ) d y 1d y1f ( x , y ) d x 0d y1 y1 yf ( x , y ) d xr 2 2 ( 2 n )( 2 n ) !r n !7、S ( 3 ) 8、 d z 2 i 9、R e s f ( z ) , 0 10、 ( x , y ) x y 12 C z2 4 ( 2 8 16 )n na 3 n，b 4 2 4 n b n n 1 n 1 4 2n12 、记 a n， n 1lim n 1 2 ，R ，收敛区间为 , ，在收敛区间的 na n 2 2 2两端点处， 级数都发散， 故收敛域为 , 2 2(2)2 n n 1 1 2x 21 n1 n 1 n 12 n 1 n 1 1 2x 2P ( t )tn1 ，P (2 x ) ln (1 2 x ) 2 x ，S ( x )( 2 9 18 )ln (1 2 x ) (3 )1 2 x 213 、 a 0 2 0x d x 1 , a n 2 0x c o s n x d x 2 ( ( 1) n 1) ，(1+3)n 1b n2 0x s i n n x d x , n 1, 2 , (3 )2 2 c o s ( 2 n 1) x s in n x (2 )14 、2 z 63 1 1z 3C1 c o s z 12 121 4 12 ( 1)n 1f ( x ) , 1 x 1 2 n 1 ( 2 n 1) n 1 n 1 , x 1a 1 1 11 121 1 1 z n12 ( 1)n 11 t3 3 1 11 x 1( n )2 nn1 y222n 1nz24 z 3 2 z 3 z 1 2 z 1 6 zn 0 n 0 S ( x )x n 1 x ( 2 x ) n ( 2 x ) n 1P ( 2 x ) (3 )11、记 a n n n n n，则 li m n1 ，而 b n 收敛， 故 n n 收敛.(8 )3 、d i v 3 04 、 x y d x xy d y 05 、( 2 , 4 )6 、 f ( 0 )1 y92 22x ，所验证的表达式确是某一函数的全微分.x y(3采用凑微分法2 2 2 2= d ( s in x x x 2 y y 3 3 y ) d u ,故原函数为u s i n x x x 2 y y 3 3 y C .3 39110 1 x4d x211, e 4 R e s1 z4, e 4 (2+2)11i2 2 ( i 1) 2 2 (1 i ) 2 2 410V d S( y3 z3 ) d y d z( z3 x3 ) d z d x 2 z3 d x d y(2)S S6 z2 d v 6d4 c o s 2 s in d4 d 9 (3+3+2)8所证不等式等价于不等式：d x(1 f( x ) ) d xf( x ) d x，(2)而0 1 f( x ) 0 0 1 f( x ) 0d y (1 f( x ) ) d x d1(f(x)f(y))(1f(x)f(y))4f(x)f(y)2D(1 f( x) ) (1 f( y ) )12122dd(f(x)f(y))d f(x)d x其中D [ 0 , 1] [ 0 , 1] (4)1 f( x )1 f( x ) 1 1 f( x ) 11f(y)11f(x)f(x)f(y)f(y)f(x)f(y)D(1 f( x) ) (1 f( y ) ) 2D( f( x) f( y ) ) (1 f( x) ) (1 f( y ) ) 1 1(f(x)f(y))(1f(x)f(y))(f(x)f(y))D(1 f( x) ) (1 f( y ) )111 f( x ) 1 1i1i32 2 c o sd(2)0 1 f( y ) 0 2D1 f( x) 1 f( y )d x (1 f( x ) ) d x d x (1 f( y ) ) d yi i (2+2)+(1)(c o s x 2 xy 1) d x( x y3) d y (c o s x 1) d x( y3) d y 2 xy d x x d y( x y 3 ) (c o s x 2 xy1)。