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教育专线初中数学苏教版二次函数的教学实践胡友明（江苏省南京市鼓楼实验中学，江苏南京210000）【摘要】函数作为中学数学教学中重要的组成部分，不仅是考试的重点，在日常生活中也有较为广泛的应用。
函数能够较好的训练学生的逻辑思维能力，促使学生们更好的完成中学数学的学习。
本文将从苏教版初中数学中二次函数的教学案例出发，进行一系列探讨与分析，从而寻找出最适宜中学生学习函数的方法，丰富教学形式，调动学生学习数学的热情，更好的提高同学们学习数学的效率。
【关键词】初中数学；苏教版；二次函数函数是数学中用来表现事物之间动态关系的一门学问，能够有效培养中学生的逻辑思维能力。
如今，随着教育体制的不断改革深化，教学不再仅仅是为了应付考试作出的准备，而是与学生未来的发展都息息相关，课堂的作用也在潜移默化中发生了质的改变，强调要起到对学生的自主意识有一个唤醒和调动的作用，还要注重对学生综合素质的全面培养，这也意味着教师的教学方式也应当作出相应的调整从而更加适应新时期的要求。
苏教版的初中数学教材，从内部编排结构而言着重于数学教学模式的更改，是一种对于创新性数学教育的构建。
尤其是二次函数的相关学习方面，不仅能帮助学生较好的理解且掌握课本中的基础知识，还能加强学生自主探究问题、解决问题的能力，在研究、讨论过程中提高对数学的理解能力。
一、苏教版初中数学二次函数教学实践（一）提高二次函数学习兴趣数学对于大多普通学生来说并不显得通俗易懂，甚至对于初学者来说存在着一定的理解难度，学生在学习过程中容易因为畏难心理而半途而废。
因此，要想切实掌握二次函数的相关知识，首先要培养对于二次函数的学习兴趣。
比如，二次函数的图形具有特殊性，教师可以引导学生将二次函数图形与日常生活中的图形联系起来，方便理解。
又比如二次函数与一次函数虽然是隶属同宗，但是在变化情况上有很多不一致的地方。
我们了解到二次函数表达式为y=ax²+bx+c，a作为二次项系数，在不等于0的情况下，二次函数才成立，如果a=0，则为一次函数，二次函数并非一个崭新且难度较大的函数，事实上它和很多学过的知识都是息息相关的，教师在初次教授过程中，要注意耐心引导，首先激发学生学习二次函数的兴趣，然后再关注学习效率的提升，教学模式也应当随着时代的发展不断变化，根据学生的学习情况进行恰当的调整，让学生感受到学习二次函数的乐趣，调动学生主动学习二次函数的积极性。
江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （ ）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}， 则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，， 故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥， 由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬， 所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =， 即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤， 解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−， 即至少需要自然降解31年， 故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（ ） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（ ）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++， 则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+， 当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立， 所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤， 即m 的最大值为3， 故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（ ）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称； 则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（ ） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =， 对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4， 则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对； 对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=， 所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对； 对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ， 可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（ ）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ， 作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈； 当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈； 当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点， 即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<， 且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==， 即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−， 设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈， 则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增， 则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<， 所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=， 即()321x f x +>，D 选项正确； 故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−， 又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<， 易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >， 则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<， 则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<， 当0x <时，[]0x <， 则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−， 此时[]x 不存在， 综上所述1011,33x∈， 故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长； （2）求角C 的正弦值． 【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ； （2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠， 又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠， 即2π3AOB ∠=， 又5OA = 则5202OB =， 即8OB =，216BC OB ==； 【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠， 即212564258492AC =+−×××=， 则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列； （2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）， 上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−， 因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列， 所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=， 所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−， 因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =， 所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >， 当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<， 当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>； 当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值； （2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】 因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈． （1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值 （3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解， （3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−， 当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增， 【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减， 故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=， 故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=， 由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==， 故()121120x x x x − ⇒−−=， 当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =， 记()h x =()e 2x h x x ==′， 当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增， 当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减， 故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=， 且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+， 故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=． （1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明． 【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析 【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆， 有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ， 则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个， 由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个， 故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、 、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集， 其中元素t 在1A 、2A 、 、12n A −中都有， 假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、 、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、 、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次， 则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】 不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ， 其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ， 则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ， 也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠， 由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−， 即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页 同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <， 两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。
高中数学“幂函数”教学设计作者：***来源：《江苏教育·中学教学版》2024年第05期【关键词】高中数学；方法引领；教学设计；幂函数【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）19-0043-04【作者简介】杨玲玲，江苏省句容市第三中学（江苏句容，212400）教师，一级教师。
一、教学内容分析本节课的内容选自苏教版普通高中数学教材必修一第6章第1节，是第5章《函数》内容的延续和深化，也是函数思想方法应用的具体化。
学生在初中时已经接触过y = x，y = x2，y = x-1等函数，对这些函数有一定的认知基础和研究经验。
教学时，教师可以引导学生梳理已有经验，帮助学生学会从数和形两个角度来研究幂函数的性质。
这样的研究方式对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，能够帮助学生建立研究函数模型的方法范式，从而实现数学知识和方法的自然延拓。
二、教学目标设置1.了解幂函数的概念，会画出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等幂函数的图象；2.了解几个常见的幂函数的性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小；3.经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数模型的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想，培养直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。
三、学情分析1.学生已有的认知基础本节课的授课对象是江苏省四星级普通高中高一学生，在知识结构上，他们在初中时已经研究了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，在高中又学习了函数的概念及简单性质，已经积累了研究函数的初步知识基础。
在经验方法上，他们经历了对y = x，y = x2，y = x-1等函数的初步学习，已经拥有了研究函数的基本经验，并具备一定的观察、分析、抽象、概括能力。
2.达成目标所需的认知基础在探究幂函数性质的过程中，需要学生对数形结合思想有较深刻的认识和理解，有较强的直观想象、逻辑推理能力和良好的独立思考、合作交流等学习习惯。
函数中的同构问题考情分析近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.解题秘籍(一)同构函数揭秘同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如e x+x 与x +ln x 属于“跨阶函数”，而e x +ln x 属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：f x =xe x ,f x =x ln x ,f x =x +e x ,f x =x +ln x ，f x =e x -x +a ,f x =ln x -x +a 等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；x =e ln x,x =ln e x,xe x=ex +ln x,e xx=e x -ln x 等.1(2024届江苏省苏州市高三下学期三模)已知函数f x =ln x +ax +1,a ∈R ．(1)讨论f x 的单调性；(2)当a ≤2时，证明：f xx≤e 2x ．【解析】(1)函数f x =ln x +ax +1,a ∈R 的定义域为0,+∞ ，且f x =1x+a ．当a ≥0时，∀x ∈0,+∞ ,f x =1x+a >0恒成立，所以f x 在区间0,+∞ 上单调递增；当a <0时，令f x =1x +a =1+ax x =0，解得x =-1a ，当x ∈0,-1a时，fx >0,f x 在区间0,-1a 上单调递增，当x ∈-1a ,+∞ 时，f x <0,f x 在区间-1a ,+∞ 上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f x 在区间0,+∞ 上单调递增；当a <0时，f x 在区间0,-1a上单调递增，在区间-1a ,+∞ 上单调递减．(2)当a ≤2时，因为x >0，所以要证f x x ≤e 2x ，只要证明ln x +2x +1x≤e 2x 即可，即要证ln x +2x +1≤xe 2x ，等价于e 2x +ln x ≥ln x +2x +1(*)．令g x =e x -x -1，则g x =e x -1，在区间-∞,0 上，g x <0,g x 单调递减；在区间0,+∞ 上，g x >0,g x 单调递增，所以g x ≥g 0 =e 0-0-1=0，所以e x ≥x +1(当且仅当x =0时等号成立)，所以(*)成立，当且仅当2x +ln x =0时，等号成立．又h x =2x +ln x 在0,+∞ 上单调递增，h 1e =2e-1<0,h 1 =2>0，所以存在x 0∈1e ,1，使得2x 0+ln x 0=0成立．综上所述，原不等式成立．2(2024届重庆市南开中学高三上学期第质量检测)已知函数f x =x 2+ln x +ax 在x =1处的切线l和直线x +y =0垂直.(1)求实数a 的值；(2)若对任意的x 1,x 2∈0,2 ，x 1≠x 2，都有f (x 1)-f (x 2)-x 21+x 22e x1-ex 2>m 成立(其中e 为自然对数的底数)，求实数m 的取值范围.【解析】(1)由函数f x =x 2+ln x +ax ，可得f (x )=2x +1x+a ，可得f 1 =a +3因为函数在x =1处的切线l 和直线x +y =0垂直，所以f 1 =1，即a +3=1，解得a =-2.(2)解：不妨设0<x 1<x 2≤2，则e x 1-e x 2<0，因为对任意的x 1,x 2∈0,2 ，x 1≠x 2，都有f (x 1)-f (x 2)-x 21+x 22e x1-ex 2>m 成立，可得f (x 1)-f (x 2)-x 21+x 22<m e x 1-e x 2 ，即f (x 1)-x 21-me x 1<f (x 2)-x 22-me x 2，设g x =f x -x 2-me x ，则g (x 1)<g (x 2)，故g x 在0,2 单调递增，从而有g (x )=1x -2-me x ≥0，即m ≤e -x 1x -2 在0,2 上恒成立，设h (x )=e -x 1x-2，则m ≤h x min ，因为h(x )=-e -x1x -2 +e -x ⋅-1x 2=e -x ⋅2x 2-x -1x 2(0<x ≤2)，令h x >0，即2x 2-x -1=2x +1 x -1 >0，解得1<x ≤2，令h x <0，即2x 2-x -1=2x +1 x -1 <0，解得0<x <1，所以h x 在0,1 单调递减，在1,2 单调递增，又因为h (1)=-1e ，故h x 在0,2 上最小值h (x )min =-1e ，所以m ≤-1e，实数m 的取值范围是-∞,-1e.(二)xe x 型同构3(2024届广西贵港市高考模拟预测)已知函数f (x )=ae ax -ln x +ln a +1x．(1)当a=1时，请判断f(x)的极值点的个数并说明理由；(2)若f(x)≥2a2-a恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a=1时，f(x)=e x-1+ln xx，x∈(0,+∞)，所以f (x)=e x+ln xx2=x2e x+ln xx2，令h(x)=x2e x+ln x，则h (x)=(x2+2x)e x+1x，当x∈(0,+∞)时，h (x)>0，∴h(x)在(0,+∞)上单调递增，又∵h12=e4-ln2<0，h(1)=e，∴h(x)存在唯一零点x0，且x0∈12,1，当x∈(0,x0)时，f (x)<0，f(x)在0,x0上单调递减，当x∈(x0,+∞)时，f (x)>0，f(x)在x0,+∞单调递增．∴f(x)有一个极小值点x0，无极大值点．(2)∵f(x)=ae ax-ln x+ln a+1x≥2a2-a恒成立，∴axe ax-[ln(ax)+1]≥2a2x-ax恒成立，∴axe ax-[ln(ax)+1]+ax≥2a2x恒成立．令t=ax，则t∈(0,+∞)，∴2a≤e t-ln t+1t+1恒成立．设g(x)=e x-ln x+1x，由(1)可知g(x)的最小值为g(x0)．又h(x0)=x20e x0+ln x0=0，∴x0e x0=-ln x0x0=-1x0ln x0=-e-ln x0ln x0．(﹡)设m(x)=xe x，当x>0时，m (x)=(x+1)e x>0，∴m(x)在(0,+∞)上单调递增，∵x 0∈12,1，∴x0>0，-ln x0>0，由(﹡)知m(x0)=m(-ln x0)，∴x0=-ln x0，即e x0=1x0．∴g(x0)=e x0-1+ln x0x0=1x0-1-x0x0=1，∴2a≤1+1=2，∴a≤1，又a>0，∴a的取值范围为0,1．(三)x+aln x型同构4(2023届福建省宁德市高三高考前最后一卷)已知函数f x =ln xx+m m∈R．(1)讨论函数f x 的零点的个数﹔(2)当m=0时，若对任意x>0，恒有a e ax+12≥f x x2+1，求实数a的取值范围．【解析】(1)令f x =ln xx+m=0,则ln xx=-m，记g x =ln xx，则gx =1-ln xx2，当x>e时，g x <0，此时g x 在e,+∞单调递减，当0<x<e时，g x >0，此时g x 在0,e单调递增，故当x =e 时，g x 取极大值也是最大值g e =1e，又g 1 =0，而当1<x 时，g x >0，故当0<x <1时，g x <0，当1<x 时，g x >0，作出g x 的图象如下：因此当-m >1e 时，即m <-1e ，g x =-m 无交点，此时f x 无零点，当-m =1e 或-m ≤0时，即m =-1e或m ≥0，g x =-m 有一个交点，此时f x 有一个零点，当0<-m <1e 时，即-1e<m <0，g x =-m 有两个交点，此时f x 有2个零点，综上可知：当m <-1e时，f x 无零点，当m =-1e 或m ≥0f x 有一个零点，当-1e <m <0，f x 有2个零点，(2)当m =0时，若对任意x >0，恒有a e ax +12≥f x x 2+1 等价于：对任意x >0，恒有ax e ax +1 ≥ln x 2x 2+1 ，令F x =x +1 ln x ，则不等式等价于F e ax ≥F x 2 ，由于F x =ln x +x +1x ，令m x =ln x +x +1x ,m x =1x -1x 2=x -1x 2，当0<x <1,m x <0,m x 单调递减，当x >1,m x >0,m x 单调递增，所以F x =m x ≥m 1 =2>0，故F x 在0,+∞ 单调递增，由F e ax ≥F x 2 得e ax ≥x 2对任意x >0恒成立，两边取对数得ax ≥2ln x ⇒a 2≥ln xx对任意x >0恒成立，故a 2≥g x max ，所以a 2≥1e ⇒a ≥2e ，故a 的范围为a ≥2e 。
