函数[上学期]江苏教育版

教育专线初中数学苏教版二次函数的教学实践胡友明（江苏省南京市鼓楼实验中学，江苏南京210000）【摘要】函数作为中学数学教学中重要的组成部分，不仅是考试的重点，在日常生活中也有较为广泛的应用。

函数能够较好的训练学生的逻辑思维能力，促使学生们更好的完成中学数学的学习。

本文将从苏教版初中数学中二次函数的教学案例出发，进行一系列探讨与分析，从而寻找出最适宜中学生学习函数的方法，丰富教学形式，调动学生学习数学的热情，更好的提高同学们学习数学的效率。

【关键词】初中数学；苏教版；二次函数函数是数学中用来表现事物之间动态关系的一门学问，能够有效培养中学生的逻辑思维能力。

如今，随着教育体制的不断改革深化，教学不再仅仅是为了应付考试作出的准备，而是与学生未来的发展都息息相关，课堂的作用也在潜移默化中发生了质的改变，强调要起到对学生的自主意识有一个唤醒和调动的作用，还要注重对学生综合素质的全面培养，这也意味着教师的教学方式也应当作出相应的调整从而更加适应新时期的要求。

苏教版的初中数学教材，从内部编排结构而言着重于数学教学模式的更改，是一种对于创新性数学教育的构建。

尤其是二次函数的相关学习方面，不仅能帮助学生较好的理解且掌握课本中的基础知识，还能加强学生自主探究问题、解决问题的能力，在研究、讨论过程中提高对数学的理解能力。

一、苏教版初中数学二次函数教学实践（一）提高二次函数学习兴趣数学对于大多普通学生来说并不显得通俗易懂，甚至对于初学者来说存在着一定的理解难度，学生在学习过程中容易因为畏难心理而半途而废。

因此，要想切实掌握二次函数的相关知识，首先要培养对于二次函数的学习兴趣。

比如，二次函数的图形具有特殊性，教师可以引导学生将二次函数图形与日常生活中的图形联系起来，方便理解。

又比如二次函数与一次函数虽然是隶属同宗，但是在变化情况上有很多不一致的地方。

我们了解到二次函数表达式为y=ax²+bx+c，a作为二次项系数，在不等于0的情况下，二次函数才成立，如果a=0，则为一次函数，二次函数并非一个崭新且难度较大的函数，事实上它和很多学过的知识都是息息相关的，教师在初次教授过程中，要注意耐心引导，首先激发学生学习二次函数的兴趣，然后再关注学习效率的提升，教学模式也应当随着时代的发展不断变化，根据学生的学习情况进行恰当的调整，让学生感受到学习二次函数的乐趣，调动学生主动学习二次函数的积极性。

江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （ ）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}， 则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，， 故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥， 由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬， 所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =， 即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤， 解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−， 即至少需要自然降解31年， 故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（ ） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（ ）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++， 则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+， 当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立， 所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤， 即m 的最大值为3， 故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（ ）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称； 则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（ ） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =， 对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4， 则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对； 对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=， 所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对； 对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ， 可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（ ）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ， 作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈； 当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈； 当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点， 即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<， 且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==， 即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−， 设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈， 则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增， 则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<， 所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=， 即()321x f x +>，D 选项正确； 故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−， 又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<， 易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >， 则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<， 则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<， 当0x <时，[]0x <， 则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−， 此时[]x 不存在， 综上所述1011,33x∈， 故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长； （2）求角C 的正弦值． 【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ； （2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠， 又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠， 即2π3AOB ∠=， 又5OA = 则5202OB =， 即8OB =，216BC OB ==； 【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠， 即212564258492AC =+−×××=， 则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列； （2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）， 上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−， 因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列， 所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=， 所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−， 因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =， 所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >， 当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<， 当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>； 当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值； （2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】 因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈． （1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值 （3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解， （3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−， 当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增， 【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减， 故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=， 故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=， 由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==， 故()121120x x x x − ⇒−−=， 当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =， 记()h x =()e 2x h x x ==′， 当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增， 当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减， 故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=， 且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+， 故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=． （1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明． 【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析 【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆， 有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ， 则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个， 由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个， 故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、 、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集， 其中元素t 在1A 、2A 、 、12n A −中都有， 假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、 、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、 、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次， 则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】 不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ， 其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ， 则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ， 也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠， 由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−， 即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页 同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <， 两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。

高中数学“幂函数”教学设计作者：***来源：《江苏教育·中学教学版》2024年第05期【关键词】高中数学；方法引领；教学设计；幂函数【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）19-0043-04【作者简介】杨玲玲，江苏省句容市第三中学（江苏句容，212400）教师，一级教师。

一、教学内容分析本节课的内容选自苏教版普通高中数学教材必修一第6章第1节，是第5章《函数》内容的延续和深化，也是函数思想方法应用的具体化。

学生在初中时已经接触过y = x，y = x2，y = x-1等函数，对这些函数有一定的认知基础和研究经验。

教学时，教师可以引导学生梳理已有经验，帮助学生学会从数和形两个角度来研究幂函数的性质。

这样的研究方式对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，能够帮助学生建立研究函数模型的方法范式，从而实现数学知识和方法的自然延拓。

二、教学目标设置1.了解幂函数的概念，会画出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等幂函数的图象；2.了解几个常见的幂函数的性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小；3.经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数模型的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想，培养直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。

三、学情分析1.学生已有的认知基础本节课的授课对象是江苏省四星级普通高中高一学生，在知识结构上，他们在初中时已经研究了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，在高中又学习了函数的概念及简单性质，已经积累了研究函数的初步知识基础。

在经验方法上，他们经历了对y = x，y = x2，y = x-1等函数的初步学习，已经拥有了研究函数的基本经验，并具备一定的观察、分析、抽象、概括能力。

2.达成目标所需的认知基础在探究幂函数性质的过程中，需要学生对数形结合思想有较深刻的认识和理解，有较强的直观想象、逻辑推理能力和良好的独立思考、合作交流等学习习惯。

函数中的同构问题考情分析近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.解题秘籍(一)同构函数揭秘同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如e x+x 与x +ln x 属于“跨阶函数”，而e x +ln x 属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：f x =xe x ,f x =x ln x ,f x =x +e x ,f x =x +ln x ，f x =e x -x +a ,f x =ln x -x +a 等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；x =e ln x,x =ln e x,xe x=ex +ln x,e xx=e x -ln x 等.1(2024届江苏省苏州市高三下学期三模)已知函数f x =ln x +ax +1,a ∈R ．(1)讨论f x 的单调性；(2)当a ≤2时，证明：f xx≤e 2x ．【解析】(1)函数f x =ln x +ax +1,a ∈R 的定义域为0,+∞ ，且f x =1x+a ．当a ≥0时，∀x ∈0,+∞ ,f x =1x+a >0恒成立，所以f x 在区间0,+∞ 上单调递增；当a <0时，令f x =1x +a =1+ax x =0，解得x =-1a ，当x ∈0,-1a时，fx >0,f x 在区间0,-1a 上单调递增，当x ∈-1a ,+∞ 时，f x <0,f x 在区间-1a ,+∞ 上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f x 在区间0,+∞ 上单调递增；当a <0时，f x 在区间0,-1a上单调递增，在区间-1a ,+∞ 上单调递减．(2)当a ≤2时，因为x >0，所以要证f x x ≤e 2x ，只要证明ln x +2x +1x≤e 2x 即可，即要证ln x +2x +1≤xe 2x ，等价于e 2x +ln x ≥ln x +2x +1(*)．令g x =e x -x -1，则g x =e x -1，在区间-∞,0 上，g x <0,g x 单调递减；在区间0,+∞ 上，g x >0,g x 单调递增，所以g x ≥g 0 =e 0-0-1=0，所以e x ≥x +1(当且仅当x =0时等号成立)，所以(*)成立，当且仅当2x +ln x =0时，等号成立．又h x =2x +ln x 在0,+∞ 上单调递增，h 1e =2e-1<0,h 1 =2>0，所以存在x 0∈1e ,1，使得2x 0+ln x 0=0成立．综上所述，原不等式成立．2(2024届重庆市南开中学高三上学期第质量检测)已知函数f x =x 2+ln x +ax 在x =1处的切线l和直线x +y =0垂直.(1)求实数a 的值；(2)若对任意的x 1,x 2∈0,2 ，x 1≠x 2，都有f (x 1)-f (x 2)-x 21+x 22e x1-ex 2>m 成立(其中e 为自然对数的底数)，求实数m 的取值范围.【解析】(1)由函数f x =x 2+ln x +ax ，可得f (x )=2x +1x+a ，可得f 1 =a +3因为函数在x =1处的切线l 和直线x +y =0垂直，所以f 1 =1，即a +3=1，解得a =-2.(2)解：不妨设0<x 1<x 2≤2，则e x 1-e x 2<0，因为对任意的x 1,x 2∈0,2 ，x 1≠x 2，都有f (x 1)-f (x 2)-x 21+x 22e x1-ex 2>m 成立，可得f (x 1)-f (x 2)-x 21+x 22<m e x 1-e x 2 ，即f (x 1)-x 21-me x 1<f (x 2)-x 22-me x 2，设g x =f x -x 2-me x ，则g (x 1)<g (x 2)，故g x 在0,2 单调递增，从而有g (x )=1x -2-me x ≥0，即m ≤e -x 1x -2 在0,2 上恒成立，设h (x )=e -x 1x-2，则m ≤h x min ，因为h(x )=-e -x1x -2 +e -x ⋅-1x 2=e -x ⋅2x 2-x -1x 2(0<x ≤2)，令h x >0，即2x 2-x -1=2x +1 x -1 >0，解得1<x ≤2，令h x <0，即2x 2-x -1=2x +1 x -1 <0，解得0<x <1，所以h x 在0,1 单调递减，在1,2 单调递增，又因为h (1)=-1e ，故h x 在0,2 上最小值h (x )min =-1e ，所以m ≤-1e，实数m 的取值范围是-∞,-1e.(二)xe x 型同构3(2024届广西贵港市高考模拟预测)已知函数f (x )=ae ax -ln x +ln a +1x．(1)当a=1时，请判断f(x)的极值点的个数并说明理由；(2)若f(x)≥2a2-a恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a=1时，f(x)=e x-1+ln xx，x∈(0,+∞)，所以f (x)=e x+ln xx2=x2e x+ln xx2，令h(x)=x2e x+ln x，则h (x)=(x2+2x)e x+1x，当x∈(0,+∞)时，h (x)>0，∴h(x)在(0,+∞)上单调递增，又∵h12=e4-ln2<0，h(1)=e，∴h(x)存在唯一零点x0，且x0∈12,1，当x∈(0,x0)时，f (x)<0，f(x)在0,x0上单调递减，当x∈(x0,+∞)时，f (x)>0，f(x)在x0,+∞单调递增．∴f(x)有一个极小值点x0，无极大值点．(2)∵f(x)=ae ax-ln x+ln a+1x≥2a2-a恒成立，∴axe ax-[ln(ax)+1]≥2a2x-ax恒成立，∴axe ax-[ln(ax)+1]+ax≥2a2x恒成立．令t=ax，则t∈(0,+∞)，∴2a≤e t-ln t+1t+1恒成立．设g(x)=e x-ln x+1x，由(1)可知g(x)的最小值为g(x0)．又h(x0)=x20e x0+ln x0=0，∴x0e x0=-ln x0x0=-1x0ln x0=-e-ln x0ln x0．(﹡)设m(x)=xe x，当x>0时，m (x)=(x+1)e x>0，∴m(x)在(0,+∞)上单调递增，∵x 0∈12,1，∴x0>0，-ln x0>0，由(﹡)知m(x0)=m(-ln x0)，∴x0=-ln x0，即e x0=1x0．∴g(x0)=e x0-1+ln x0x0=1x0-1-x0x0=1，∴2a≤1+1=2，∴a≤1，又a>0，∴a的取值范围为0,1．(三)x+aln x型同构4(2023届福建省宁德市高三高考前最后一卷)已知函数f x =ln xx+m m∈R．(1)讨论函数f x 的零点的个数﹔(2)当m=0时，若对任意x>0，恒有a e ax+12≥f x x2+1，求实数a的取值范围．【解析】(1)令f x =ln xx+m=0,则ln xx=-m，记g x =ln xx，则gx =1-ln xx2，当x>e时，g x <0，此时g x 在e,+∞单调递减，当0<x<e时，g x >0，此时g x 在0,e单调递增，故当x =e 时，g x 取极大值也是最大值g e =1e，又g 1 =0，而当1<x 时，g x >0，故当0<x <1时，g x <0，当1<x 时，g x >0，作出g x 的图象如下：因此当-m >1e 时，即m <-1e ，g x =-m 无交点，此时f x 无零点，当-m =1e 或-m ≤0时，即m =-1e或m ≥0，g x =-m 有一个交点，此时f x 有一个零点，当0<-m <1e 时，即-1e<m <0，g x =-m 有两个交点，此时f x 有2个零点，综上可知：当m <-1e时，f x 无零点，当m =-1e 或m ≥0f x 有一个零点，当-1e <m <0，f x 有2个零点，(2)当m =0时，若对任意x >0，恒有a e ax +12≥f x x 2+1 等价于：对任意x >0，恒有ax e ax +1 ≥ln x 2x 2+1 ，令F x =x +1 ln x ，则不等式等价于F e ax ≥F x 2 ，由于F x =ln x +x +1x ，令m x =ln x +x +1x ,m x =1x -1x 2=x -1x 2，当0<x <1,m x <0,m x 单调递减，当x >1,m x >0,m x 单调递增，所以F x =m x ≥m 1 =2>0，故F x 在0,+∞ 单调递增，由F e ax ≥F x 2 得e ax ≥x 2对任意x >0恒成立，两边取对数得ax ≥2ln x ⇒a 2≥ln xx对任意x >0恒成立，故a 2≥g x max ，所以a 2≥1e ⇒a ≥2e ，故a 的范围为a ≥2e 。

专题4.2 一次函数的图象与性质1、了解函数图象的概念，并会用待定系数法求解析式；2、了解画一次函数（正比例函数）图象的一般步骤，能熟练画出他们的图象；3、探索一次函数（正比例函数）图象的性质；4、能灵活运用一次函数（正比例函数）的图象与性质解答有关问题；5、熟练掌握一次函数的平移与对称。

知识点01 一次函数的图象与性质知识点一次（正比例）函数的图象与性质1）一次函数图象是一条直线；2）已知两点可以作图，也可求出解析式；3）交y 轴于点（0，b ），交x 轴于点（b k -，0）；4）过象限、增减性　0b >（过一、二象限）0b <（过三、四象限）0b =（过原点）0k >（过一、三象限）y随x 的增大而增大经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k <（过二、四象限）y 随x 的增大而减小经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x 、y 的值组成的（x 、y ），x 的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。

【知识拓展1】正比例函数的性质例1．（2022·湖北十堰·八年级期中）关于函数2y x =-的性质，下列说法不正确的是（ ）A ．图象经过原点B ．y 随x 的增大而增大C ．经过(1，-2)D ．图象经过二、四象限【即学即练】1．（2022·全国·八年级）已知正比例函数2x y =，下列结论正确的是（ ）A ．图象是一条射线 B ．图象必经过点（﹣1，2） C ．图象经过第一、三象限 D ．y 随x 的增大而减小【知识拓展2】一次函数的性质例2．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）关于直线23y x =-+，下列说法不正确的是（ ）A ．直线不经过第三象限 B ．直线经过点()1,1 C ．直线与x 轴交于点()3,0 D ．y 随x 的增大而减小【即学即练】2.（2022·湖南常德·八年级期末）关于一次函数21y x =-+的图象和性质，下列结论不正确的是（ ）A ．图象与直线2y x =-平行B ．图象与y 轴的交点坐标是(01)，C ．图象经过第一、二、四象限D ．y 随自变量x 的增大而增大【知识拓展3】一次函数（正比例函数）的图象例3．（2022·浙江杭州市·八年级期中）一次函数与正比例函数（m ，n 为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【即学即练3】3．（2022·山东·八年级期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ）A ． B ． C ． D ．【知识拓展4】一次函数的参数问题例4．（2022•鄢陵县期末）已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y ＝（2﹣m ）x +3图象上两点，且y mx n =+y mnx =0mn ¹y kx =2y x k =-+（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，则m 的取值范围为 ．【即学即练4】4．（2022·云南红河哈尼族彝族自治州·八年级期末）已知是整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则_______．【知识拓展5】待定系数法求一次函数的解析式例5．（2022·湖南岳阳·八年级期末）已知y 是x 的一次函数，且当x ＝4时，y ＝9；当x ＝6时，y ＝﹣1．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x ＝1时，求y 的值．【即学即练5】5．（2022·广西桂林·八年级期末）已知正比例函数的图象经过点()2,5A -，求这个函数的表达式．知识点02 一次函数的平移与对称【知识点】“上加下减”——针对y 的平移；“左加右减”——针对x 的平移，是对x 整体的变化。

一、单选题1．已知，则（ ）{}R,{13},2U A x x B x x ==-<<=≤∣∣()U A B ⋃=ðA ． B ． (](),12,-∞-+∞ ()[),12,-∞-⋃+∞C ． D ．[)3,+∞()3,+∞【答案】C【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】∵ {}R,{13},2U A xx B x x ==-<<=≤∣∣∴，则， ),3(A B ⋃=-∞,()[)3U A B ⋃=+∞ð故选：C.2．已知，则（ ） 22log 3,log 5a b ==18log 15=A ．B ．21a ba +-12a ba++C ． D ．1a b -+-1a b +-【答案】B【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可． 【详解】，2221822log 15log 3log 5log 15log 1812log 312a ba++===++故选：B ．3．设为实数，且，则“”是“的（ ） a b c d ,,,c d <a b <”a c b d -<-A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由不能推出，如，，，， a b <a c b d -<-2a =3b =0c =1d =满足，但是，故充分性不成立；a b <a c b d -=-当时，又，可得，即，故必要性成立； a c b d -<-c d <a c c b d d -+<-+a b <所以“”是“的必要不充分条件. a b <”a c b d -<-故选：B.4．函数的零点所在的大致区间为（ ）()3ln f x x x=-A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,e ()e,3【答案】D【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案. ()f x ()0,∞+()()e 0,30f f 【详解】易判断在递增，. ()f x ()0,∞+()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.()3ln f x x x=-()e,3故选:D.5．已知，则的值是（ ）π1sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭25πsin()2cos (6π3x x -+-A ．B ．C ．D 59-1959【答案】C 【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果. π6t x =+【详解】令，则，， π6t x =+π6=-x t 1sin 3t =则. 2225π125sin()2cos ()sin(π)2cos ()sin 2sin 63399ππ2x x t t t t -+-=-+-=+=+=故选：C.6．将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π3后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性()g x ()g x 质是（ ） A ．图象关于直线对称3x π=B ．图象关于点成中心对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．的一个单调递增区间为()g x 5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．曲线与直线 ()g x y =π6【答案】D【分析】先利用题意得到，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到()f x π3，ππ5ππ2sin 42sin 42sin 43333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x x 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x对于A ，因为ππsin 2sin π01,33⎛⎫⨯+==≠± ⎪⎝⎭所以直线不是的对称轴，故错误；3x π=()g x A对于B ， ππ2πsin 2sin0,633⎛⎫⨯+==≠ ⎪⎝⎭所以图象不关于点成中心对称，故错误；π,06⎛⎫⎪⎝⎭B 对于C ，当，则， 5ππ,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x π13π5π2,366⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x 因为正弦函数在不单调，故不是的一个单调递增区间，故错sin y x =13π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x C 误；对于D ，当则或， ()g x =sin 23⎛⎫+=⎪⎝⎭x πππ22π33+=+x k 2π2π,Z 3+∈k k 则或，则相邻交点距离最小值为，故D 正确πx k =Z π6,+∈k k ππ6故选：D. 7．函数的图象大致为（ ） ()22cos 1x xf x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性及在上的函数值正负逐个选项判断即可．()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为，定义域为R ， ()22cos 1x xf x x =+所以， ()222()cos()2cos ()()11x x x xf x f x x x ---==-=--++所以为奇函数，又因为时，所以由图象知D 选项正确，()f x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x >故选D ．8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用x ∈R 表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数[]x x []y x =][3.64,3.63⎡⎤-=-=⎣⎦，则函数的值域是（ ） ()1e 21e xxf x =-+()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦A ． B ．C ．D ．{}1,0-{}0{}0,1{}1,0,1-【答案】A【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数()1121e x f x =-++0x >0x =0x <的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为，定义域为， ()1e 11e 11111121e 21e 21e 21e x x x x xx f x +-⎛⎫=-=-=--=-+⎪++++⎝⎭R 因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减， 1e x y =+11e xy =+所以在定义域上单调递减，()1121e xf x =-++R 时，， 0x <()()()111e 0,1,,1,0,,01e 22xx f x f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈∈∈= ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭()00f ⎡⎤=⎣⎦时，； 0x >()()()111e 1,,0,,,0,11e 22xx f x f x ∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈+∈∈-=- ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭则时，0x >()()101,f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=-+=-⎣⎦⎣⎦时，，0x <()()()011f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎣⎦⎣⎦时，.0x =()()000f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+=⎣⎦⎣⎦故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研()f x 究的值域，突破难点. ()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．若为正整数，则 ,a b n >n n a b >B ．若，则0,0b a m >>>a m ab m b+>+C ．22222a ba b++≥D ．若，则0απ<<0sin 1α<<【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案． 【详解】对于A ，若，则，故A 错误； 1,1,2a b n ==-=n n a b =对于B ，时，，故B 正确； 0,0b a m >>>a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+对于C ，由，则，当且仅当时取等号，故C 正确；20,20a b >>22222a b a b ++≥=⨯a b =对于D ，当时，，故D 错误； π2α=πsin 12=故选：BC ．10．设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）m x ()2310mx m x +-+=A ．当时，方程的两个实数根之和为0 3m =B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是 01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 0m <【答案】BCD【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m 满足的不等式，解出m 的范围，判断正误. 【详解】对于A 选项，时无实根，A 错误；3m =2310x +=对于B 选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得0m =0m ≠2(3)40m m --<19m <<，一个必要条件是，B 正确；1m >对于C 选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得； 0m ≠0∆>30mm ->10m>01m <<对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D 正确； 0m ≠10m<0m <故选：BCD.11．设，已知 ） 0,0a b >>22,a b M N ab +=A ．有最小值 B ．没有最大值M MC ．D ．N N 【答案】ABD【分析】由均值不等式分别求出的最值，即可得出答案. ,M N 【详解】时正确， ,0a b >()[)10,,2,AB b b a t M t a a b t∞∞=∈+=+=+∈+，时错误，D 正确； 0,0a b >>2a b +C ≥12．设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（ ） ωa ()()4sin f x x a ωϕ=++A ．若函数的最大值为2，则()f x 2a =-B ．若对于任意的，都有成立，则 x ∈R ()()πf x f x +=2ω=C ．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是 π3ϕ=()f x ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当，函数在区间上至少有两个零点，则的取值a =-ϕ∈R ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω范围是 [)4,+∞【答案】ACD【分析】对A ：根据正弦函数的有界性分析判断；对B ：利用函数的周期的定义分析判断；对C ：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D ：以为整体，结合正弦函数的性质x ωϕ+x ωϕ+分析判断.【详解】A 选项，由题意，则，A 正确； 42a +=2a =-B 选项，若，则的周期为， ()()πf x f x +=()f x π设的最小正周期为，则， ()f x T ()*2π=πkT kk ωN =Î解得，B 错误；()*2ωk k N =ÎC 选项，当时， π3ϕ=∵，则，ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππππ,36323x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦若在区间上单调递增，则，()f x ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0πππ632πππ232ωωω⎧⎪>⎪⎪-+≥-⎨⎪⎪+≤⎪⎩解得，C 正确；10,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦选项，由题意可得，对，在上至少两个零点，D ()sin x ωϕ+=ϕ∀∈R π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,2x ωϕϕωϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦若对，在上至少两个零点，则，解得，D 正确；ϕ∀∈R π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π2ωϕϕ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭4ω≥【点睛】方法点睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解． ①令ωx ＋φ＝k π＋(k ∈Z )，可求得对称轴方程． π2②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.三、填空题13．命题“”的否定是__________. 21,20x x ∃≥-<【答案】21,20x x ∀≥-≥【分析】根据特称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意，则其否定为. 21,20x x ∀≥-≥故答案为：. 21,20x x ∀≥-≥14．已知，则__________.2212sin cos 2sin cos θθθθ+=-tan θ=【答案】3【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.221sin cos θθ=+2cos θ【详解】由题意，222222sin 2sin cos cos tan 2tan 12sin cos tan 1θθθθθθθθθ++++==--即，则. tan 12tan 1θθ+=-tan 3θ=故答案为：3.15．设函数，则满足的的取值范围是__________.21,0()3,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩3()()32f x f x +->x 【答案】()1,+∞【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得.x 【详解】当时，，则在0x ≤()33212141122f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭当时，，在单调递增，时302x <≤()3332132222x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 1x =，则的解集为；132123+⨯-=()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭31,2⎛⎤⎥⎝⎦当时，，则在时恒成立；32x >()33022*******x x f x f x -⎛⎫+-=+>+> ⎪⎝⎭()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭32x >综上，的解集为.()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()1,+∞故答案为：．()1,+∞16．已知函数是定义在上不恒为零的偶函数，且对于任意实数都有()f x R x ()1()(1)x f x xf x -=-成立，则__________.7(())2f f =【答案】0【分析】根据解析式求出，进而得到若，则，从而求出.102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()10f x -=()0f x =7(())02f f =【详解】由，令可得，今可得，()1()(1)x f x xf x -=-0x =()00f =12x =11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由是偶函数可得，则， ()f x 1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，若，则，0,1x ≠()10f x -=()0f x =则，135702222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则.7(((0)02f f f ==故答案为：0.四、解答题17．设，已知集合. m ∈R (){}2321,2201x A xB x x m x m x +⎧⎫=<=+--<⎨⎬-⎩⎭∣∣(1)当时，求；1m =A B ⋃(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.x B ∈x A ∈m 【答案】(1)3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(2) [)3,+∞【分析】（1）求出集合，由并集的定义即可得出答案.,A B（2）由“”是“”的必要条件可得，则，解不等式即可得出答案. x B ∈x A ∈A B ⊆322m -≤-【详解】（1）由可得，即，则， 3211x x +<-2301x x +<-()()1230x x -+<3,12A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，.()(){210},1B x x m x m =+-<=∣13,1,,122B A B ⎛⎫⎛⎫=-⋃=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由“”是“”的必要条件可得， x B ∈x A ∈A B ⊆则，则，实数的取值范围是. 322m -≤-3m ≥m [)3,+∞18．设，计算下列各式的值： tan 2α=(1)；2sin cos 3sin cos αααα+-(2).22sin sin cos ααα-【答案】(1)1 (2)5【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；cos α（2）将分子看成，所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；2()222sin cos αα+2cos α【详解】（1）原式；2tan 122113tan 1321αα+⨯+===-⨯-（2）原式. ()22222222sin cos 2tan 22225sin sin cos tan tan 22αααααααα++⨯+====---19．设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且()f x ()g x ()1,1-()f x ()g x .()()2lg(1)f x g x x -=-(1)求函数和的解析式；()f x ()g x (2)判断在上的单调性，并给出证明.()f x ()0,1【答案】(1)， ()lg(1)lg(1)f x x x =-++()()()lg 1lg 1g x x x =+--(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性构造关于和得方程组，进而求出它们的解析式； ()f x ()g x （2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）由，可得，()()2lg(1)f x g x x -=-()()2lg(1)f x g x x ---=+由为偶函数，为奇函数，可得， ()f x ()g x ()()2lg(1)f x g x x +=+则，；()lg(1)lg(1)f x x x =-++()()()lg 1lg 1g x x x =+--（2）由（1）得()2lg(1)f x x =-在单调递减，证明如下： ()f x ()0,1取任意，1212,(0,1),x x x x Î< ()()22211212221lg(1)lg(1)lg 1x f x f x x x x --=---=-由，可得，则， 1201x x <<<2212110x x ->->2122111x x ->-则， ()()2112221lg 01x f x f x x --=>-则，则在单调递减.()()12fx f x >()f x ()0,120．如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点修建一条长为的栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且D m l ABOAB A .点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金OAB θ∠=H AB OH AB ⊥OH OH 鱼，下方养殖锦鲤.OH(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求的长度；l (2)若游客可以在河岸与栈道上投喂金鱼，在栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路OA AH HB ，求的取值范围. 1θ【答案】(1)(2). ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）过作垂直于，求得，从而得出养殖观赏D ,DM DN ,OAOB AM BN θ=鱼的面积，利用基本不等式可求得最小时的值，进而113tan 2tan OAB S OA OB θθ=⋅=+A OAB S A θ求得的长度；l （2）由，可得，则，由题意π2AOB OHA ∠=∠=BOH θ∠=,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===，则，化切为弦可得即可求得1BH OA AH -+tan 111sin tan θθθ≥+1cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结果.【详解】（1）过作垂直于，垂足分别为，D,DM DN ,OA OB ,M N则DM ON DN OM ====，tan tan DM AMBN DN θθθ====养殖观赏鱼的面积， )1113tan 22tan OAB S OA OB θθθ=⋅==+A 由可得，则，当且仅当时取等号， π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0θ>13tan tanθθ+≥tanθ=π6θ=则最小时，，此时l 的长度为； OAB S A π6θ=sin cos DM DN l θθ=+==（2）由，可得，π2AOB OHA ∠=∠=BOH θ∠=则，,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===由题意，则， 1BH OA AH ≥+tan 111sin tan θθθ≥-+而， ()()22sin tan sin 1cos 1cos 1111cos cos 1cos cos 1cos cos sin tan sin θθθθθθθθθθθθθθ-====-++++则可得，则. 1cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0θ>cos θ≤ππ,42θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭21．设为实数，已知函数，. a ()122x x f x =-()()ln ln 2g x x x a =⋅-+(1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当()f x ()g x [)1,+∞()f x 1M ()g x 2M 时，求的取值范围；21M M ≤a (2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，x ()0g x >x ()()0f g x a +=求出此方程的解；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出和的最小值，()f x ()g x 12,M M 然后解不等式即可；（2）利用二次函数的性质，求得的最小值为，由题意可得，当时,()g x 1a -1a >()0g x >()21g x >，，可得，即可得出结论. ()112g x <()()0f g x a +>【详解】（1）当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故1x ≥2x y =12x y =-()122x x f x =-当时，取最小值，则； 1x =()f x 32132M =当时，，，1x ≥ln 0x ≥()()2ln 11g x x a =-+-则当，即时，取最小值，即，ln 10x -=e x =()g x 1a -21M a =-由题意得，则，即的取值范围是； 312a -≤52a ≤a 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）当时，，，0x >ln R x ∈()()2ln 11g x x a =-+-则当，即时，取最小值为，ln 10x -=e x =()g x 1a -则恒成立时，有，即，()0g x >10a ->1a >当时，，， ()0g x >()21g x >()112g x <则，则，()()()()1202g x g x f g x =->()()0f g x a +>故关于的方程不存在实数解.x ()()0f g x a +=22．设，函数. a ∈R ()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭(1)讨论函数的零点个数；()f x (2)若函数有两个零点，求证：. ()f x 12,x x 123π2x x +<【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；()f x （2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明. 123π2x x +<【详解】（1）， ()2cos cos 1f x x x a =--++令，即，()0f x =2cos cos 1x x a +=+时，即， π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭21t t a +=+或即时，无解； 10a +≥114a +<-[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭21t t a +=+即时，仅有一解，此时仅有一解； 114a +=-54a =-21t t a +=+12t =-x 2π3即时，有两解， 1104a -<+<514a -<<-21t t a +=+12t =-有两个零点； 1cos 2x =-()f x 综上，时，无零点， [)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭()f x 时，有一个零点， 54a =-()f x 时，有两个零点； 5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()f x （2）有两个零点时，令，则为两解，()f x 1122cos ,cos t x t x ==12,t t 21t t a +=+则，则，121t t +=-12cos cos 1x x +=-则，221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=由可得， 12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12cos 0,cos 0x x <<则，则，122cos cos 0x x >2212cos cos 1x x +<则， 2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭由可得， 2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，由在递减， 123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭cos y x =π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，则. 123π2x x <-123π2x x +<【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

一、单选题1．函数的定义域为（ ） ()ln 1y x =+A ． B ． ()1,+∞()1,-+∞C ． D ．[)1,-+∞(),1-∞-【答案】B【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x 的不等式，即可解得函数的定义域. ()ln 1y x =+【详解】令，解得， 10x +>1x >-故函数的定义域为. ()ln 1y x =+()1,-+∞故选：B.2．“”是“”的（ ） 1x >21x >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不1x >21x >21x >1x >1x >21x >必要条件． 故选：A ．3．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x0.500.99 2.01 3.98y 0.99-0.010.982.00则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（ ）A ． B ． C ．2y x =21y x =-22y x =-D ．2log y x =【答案】D【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论． 【详解】解：根据，，代入计算，可以排除； 0.50x =0.99y =-A 根据，，代入计算，可以排除、； 2.01x =0.98y =B C 将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意 2log y x =故选：．D【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十1R 2R α二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.1R 2R α1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩6α=故选：C5．已知函数，则的值为（ ）()12cos ,0,0x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪≥⎩π3f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ABC ．4D ．14【答案】B【分析】根据分段函数运算求解.【详解】由题意可得：，故πππ1cos cos 3332f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12π11322f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B.6．函数的图像大致为（ ）()2sin f x x x =A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论．()2sin f x x x =()0,πx ∈【详解】由函数定义域为,,故()2sin f x x x =R ()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-()2sin f x x x=为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C 和D ；又函数在时,函数，可以排除B ，所以只有A 符合．()2sin f x x x =()0,πx ∈()2sin 0f x x x =>故选:A ．7．在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，e 2.71828...=3e 20≈，则（ ）7e 1100≈ln 55≈A ．B ．C ．4D ．673113【答案】C【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】由题意可得：.7431100e ln 55ln ln ln e 420e =≈==故选：C.8．函数的零点为，函数的零点为，若()2log 4f x x x =+-1x ()()()log 151a g x x x a =+-->2x ，则实数的取值范围是（ ） 211x x ->aA ．B ．C ．D ．(()1,2)+∞()2,+∞【答案】D【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围. 211x x ->a 【详解】已知,, ()2log 4f x x x =+-()()()log 151a g x x x a =+-->函数的零点为，()2log 4f x x x =+-1x函数的零点为， ()()()log 151a g x x x a =+-->2x 则()12122log 4log 150a x x x x +-=+--=()12122log 41log 14a x x x x +-=-+--()12122log 1log 1a x x x x +=-+-121x x <-又因为,这两函数均单调递增， 2log y x x =+()()log 111a y x x a =+-->当时，,解得. 121x x <-()212log >log 1a x x -2a >故选:D.二、多选题9．已知角的终边经过点，则（ ） θ()()2,0P a a a >A ．B ．sin θ=cos θ=C ．D ．1tan 2θ=tan 2θ=【答案】AC【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角的终边经过点， θ()()2,0P a a a >所以，故A 正确；sin θ=B 错误；cos θ==，故C 正确，D 错误. 1tan 22a a θ==故选：AC.10．若，则（ ） 01m a b <<<<A ． B ． a b m m <m m a b <C ．D ．log log m m a b >b aa mb m>++【答案】BCD【分析】对于A ：构造函数，利用单调性判断；对于B ：构造函数，利用单调()x f x m =()mg x x =性判断；对于C ：构造函数，利用单调性判断；对于D ：利用作差法比较大小.()log m h x x =【详解】对于A ：因为，所以单调递减.01m <<()xf x m =因为，所以.故A 错误；a b <a b m m >对于B ：因为，所以单调递增.01m <<()mg x x =因为，所以.故B 正确；a b <m m a b <对于C ：因为，所以单调递减. 01m <<()log m h x x =因为，所以.故C 正确；a b <log log m m a b >对于D ：因为，所以.故D 正()()()()()()220b a b a m b a b bm a am a m b m a m b m a m b m -+-+---==>++++++b aa mb m>++确. 故选：BCD11．已知函数，则（ ） ()1tan tan f x x x=+A ．的最小正周期为B ．的图象关于轴对称()f x π()f x y C ．的最小值为2 D ．在上为增函数()f x ()f x ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可()2sin 2f x x=判断A 正确；举反例即可排除B ；取特殊值计算即可判断C 错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D 正确.【详解】对于A ，因为， ()221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2x x x x f x x x x x x x x+=+=+==设的正周期为，则，即， ()f x T ()()f x T f x +=()22sin 2sin 2T x x =+所以，()sin 22sin 2T x x +=由诱导公式可得，即， 22π,Z T k k =∈π,Z T k k =∈又，故，即，则，故， 0T >π0k >0k >1k ≥ππT k =≥所以的最小值为，即的最小正周期为，故A 正确；T π()f x π对于B ，因为， ππ1ππ1tan 2,tan 2ππ4444tan tan 44f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又与不关于轴对称， π,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,24⎛⎫⎪⎝⎭y 所以的图象关于轴对称，故B 错误；()f x y 对于C ，因为，所以2不是的最小值，故C 错误；π24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，故在上单调递减，且，ππ42x <<π2π2x <<sin 2y x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭sin 20x >又在上单调递减， 2y x=()0,∞+所以在单调递增，故D 正确. ()2sin 2f x x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭故选：AD.12．已知函数，对于任意，，则（ ） ()y f x =,R x y ∈()()()f x f x y f y =-A ． B ．()01f =()()22f x f x =C ． D ．()0f x >()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥【答案】ACD【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可. 【详解】令，故A 正确； ()()()()001f x x y f f f x =⇒=⇒=由已知，① ()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x y f x y f x f y f y =-⇒=-⇒+=令满足题干要求，则，故B 错()()(),0,11,x f x a a =∈+∞ ()()2222,,x xf x a f x a ==()()22f x f x ≠误；由①可知，令，则，2x x y ==()2222x x x f x f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又因为，则，所以，故C 正确； ()()()f x f x y f y =-02x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()202x f x f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为，所以，()0f x>()()f x f y +≥=又由①，令，则， 2x y x y +==()2222x y x y x y f x y f f f ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，故D 正确.()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥故选：ACD.三、填空题13．函数的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可） 2cos y x =【答案】（答案不唯一）π,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对称中心的横坐标满足，取得到2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =π,02⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：π,02⎛⎫⎪⎝⎭14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为x 0ax b +>()3,-+∞x 20ax bx +<_________. 【答案】()3,0-【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. ,a b a 【详解】由的解集为， 0ax b +>()3,-+∞可得，且方程的解为， 0a >0ax b +=3-所以，则， 3ba-=-3b a =所以，()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒-<<即关于的不等式的解集为. x 20ax bx +<()3,0-故答案为：.()3,0-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若R ()f x ()()4f x f x +=[)0,4x ∈()2xf x m =+，则___________.()()202331f f =m =【答案】1【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.【详解】由可得的函数周期为4，则， ()()4f x f x +=()f x ()()()20235054338f f f m =⨯+==+由，则，解得.()()202331f f =()832m m +=+1m =故答案为：1.四、双空题16．对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则M ()0,Φ1,x Mx x M ∉⎧=⎨∈⎩A B A B ⊆___________；若，，且存在，()()1A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦1sin 2A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭(),2B a a =x R ∈，则实数的取值范围是_______________.()()2A B x x Φ+Φ=a 【答案】 0513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】第一空分，和且三种情况来研究，第二空根据已知分析出a 的大致x A ∈x B ∉x A ∉x B ∈范围，最后列出不等式求解即可.【详解】即则一定有，所以分三段研究：A B ⊆x A ∈x B ∈时，，，即； x A ∈()1A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦时，，，即； x B ∉()0A x Φ=()0B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦且时，，，即.x A ∉x B ∈()0A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦综上所述，；()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦由已知()()()()21A B A B x x x x Φ+Φ=⇒Φ=Φ=且， 522,66A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(),20B a a a =⇒>要满足题意则，此时区间长度时一定满足，故下研究时，（其中A B ⋂≠∅43a π≥403a π<<，即为集合的补集中一段的区间长） 452366ππππ=+-A 此时，因此满足题意的反面情况有或，8023a a π<<<026a a π<<≤513266a a ππ<≤≤解得或，因此满足题意的范围为. 012a π<≤513612a ππ≤≤a 513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、解答题17．求下列各式的值：(1)； 6213222⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(2).ln3213log 8log 9e -+【答案】(1)128 (2)8【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数和指数的运算性质求解.【详解】（1）.612216723322222128⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭（2）. ln3213log 8log 9e 3238-+=++=18．若.()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα⋅(2)若，求的值. ()0,πα∈tan α【答案】(1) 12sin cos 25αα=-(2)43-【分析】（1）化简得到，平方得到，得到答案. 1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=（2）根据得到，解得，得到答案.12sin cos 025αα=-<7sin cos 5αα-=4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】（1），则，()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5sin 4cos cos 1ααα+=-+，，，则；1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα=-（2），所以，即，， 12sin cos 025αα=-<2απ<<πsin 0α>cos 0α<. 7sin cos 5αα-===，解得， 7sin cos 51sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin tan s 43co ααα==-19．已知集合，. 14x A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭()(){}230B x x m x m =---<(1)若，求；3m =-A B ⋃(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若A B B = A B ⋂=∅_________，求实数的取值范围.m 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(),0A B ⋃=-∞(2)选①；若选②. (]{},73-∞-⋃[)2,-+∞【分析】(1)代入的值，求出集合B ，用并集的运算性质计算即可.m (2)若选①，即，则对的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到的取值A B B = B A ⊆m m 范围.若选②，对的值进行分类讨论，依次根据，求实数的取值范围. m A B ⋂=∅m 【详解】（1），即， ()36060m x x x =-⇒+<⇒-<<()6,0B =-而，即，所以； 441004444x x x x x x x -->⇒>⇒<⇒<-+++(),4A =-∞-(),0A B ⋃=-∞（2）若选①即A B B = B A ⊆时，，即，要满足题意则，与前提矛盾，舍； 3m >23m m >+()3,2B m m =+24m ≤-时，，即，符合题意；3m =23m m =+B =∅时，，即，要满足题意则，即.3m <23m m <+()2,3B m m =+34m +≤-7m ≤-综上所述，实数的取值范围是. m (]{},73-∞-⋃若选②，若，A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则，则满足，解得3m >23m m >+()3,2B m m =+A B ⋂=∅34m +≥-，则；7m ≥-3m >若时，，即，满足；3m =23m m =+B =∅A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则解得，即；3m <23m m <+()2,3B m m =+24,m ≥-2m ≥-23m -≤<综上，实数的取值范围是.m [)2,-+∞20．函数（，）在一个周期内的图象如图所示.()()sin f x A x =+ωϕ0,0A ω>>0πϕ<<(1)求的解析式； ()f x (2)将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：()f x 2π3()g x ()()()h x f x g x =-为偶函数.()h x 【答案】(1)()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，2,πA T ==2ω=π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z 结合题意得到，即可求得函数的解析式；23ϕπ=（2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可.()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）由最值得， 2A =由相邻两条对称轴距离得，则，即，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=此时，()()2sin 2f x x ϕ=+代入点得：，π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则，即， ()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ()2π2π3k k ϕ=+∈Z 又因为，所以， 0πϕ<<230,k πϕ==故.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意得， ()2π2π2π2sin 22sin 2333g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则， ()2π2π2sin 22sin 233h x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， ()()2π2π2π2π2sin 22sin 22sin 22sin 23333h x x x x x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以为偶函数.()h x 21．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单x C 位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与x ()()2005C x x x =>+安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. y (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； y x (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ x y 【答案】(1)[]11,20(2)设备占地面积为时，的值最小. 215m y【分析】（1）由题意解不等式，即可求得； 800.27.25x x ++≤（2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得. ()800.205y x x x =+>+要满足题意,则， 7.2y ≤即，解得：. 800.27.25x x ++≤1120x ≤≤即设备占地面积的取值范围为.x []11,20（2）， 805800.21117555x y x x x +=+=+--=++≥=当且仅当时等号成立. 5801555x x x +=⇒=+所以设备占地面积为时，的值最小. 215m y 22．已知函数，. ()()1222x x f x -=+()()1222x x g x -=-(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； ()f x [)0,∞(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实()()()2449F x fx mf x =-+m []20,log x m ∈()0F x ≥数的取值范围； m (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 0a ≥()()g x f x ()()1af x a +-【答案】(1)证明见解析 (2)(]1,3(3) ()()()()1g x af x a f x <+-【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围； m （3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小. 【详解】（1）解：， 120x x ∀>≥()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+ 2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为，所以，，所以， 120x x >≥12220x x ->1221x x +>()()120f x f x ->即在上是增函数.()f x [)0,∞+（2）解：由已知 ()2222244922x x x xF x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设，由（1）得在上单调递增，即，222xxt -+=()f x []20,log m 11,2m m t ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以， ()229044904494F x t mt mt t m t t⇔-+⇔+⇔+≥≥≤≤①时，，即，当且仅当时取等， m 1322m m +≥934t t+=≥32t =此时要满足恒成立，即；94m t t +≤min 934m t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≤3m ≤②，此时在上单调递减， 1m <<1322m m +<94y t t =+11,2m m ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即， min119,1222m m m m t ym m ++==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭此时要满足恒成立，即，化简得， 94m t t+≤min 1991422m m m t t m m +⎛⎫+=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭≤42910m m --≤此时因为，此时恒成立211m m <<⇒<<42910m m --≤综上所述，实数的取值范围是.m (]1,3（3）解：()()()()112222111222x xx x xxg x af x a a a f x -+---=-⋅-++ 2112222222111222222x xxxxx xxxx a a a ⎛⎫++ ⎪=--⋅=--⎪⎪++⎝⎭因为（当且仅当时取等），所以，即， 1222xx +≥0x =12212x x +≥122102x x+-≤由已知，所以， 0a ≥122102xx a ⎛⎫+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭≤又因为，所以，即，20x >220122xxx>+220122xxx-<+因此，所以. ()()()()122221101222xx x x x g x af x a a f x ⎛⎫+ ⎪---=--< ⎪⎪+⎝⎭()()()()1g x af x a f x <+-。