材料力学——9压杆稳定

Pcr
=π
2
l
EI
2
Pcr ≈(π0.27El)I2
Pcr ≈(π0.25El)I2
Pcr ≈π(22lE)2I
Pcr
=π
2
l
EI
2
长度系数μ =1 ≈0.7 =0.5 =2
=1
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
P
P
EIy′′=−M (x)=−Py+M
=λP
满足 λ>λP 的杆称为大柔度杆（或长细杆），其临界力用欧拉公式求。
λ<λP 的杆为中小柔度杆，其临界力不能用欧拉公式求。
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
①σP<σ<σS 时：
σ cr =a−bλ
∴λ≥σ
s −a b
=λs
σ cr =a−bλ≤σ s
λs<λ<λP 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。
第九章 压杆稳定
§9–1 压杆稳定性的概念 §9–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §9–3 超过比例极限时压杆临界应力 §9-4 压杆的稳定校核及其合理截面
§9–1 压杆稳定性的概念 构件的承载能力： ①强度
②刚度 ③稳定性
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
③微分方程的解：
y= Asin x+Bcosx
④确定积分常数： y(0)=y(L)=0
A×0+B=0
即:
AsinkL+BcoskL=0
0
1
∴
=0
sinkL coskL
∴ sinkL=0
∴k=nπ = P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
求临界压力和安全系数。
z
解：一个角钢：
y
A1=8.367cm2, I y1=23.63cm4
两根角钢图示组合之后 I y <I z
Imin =I y =2I y1=2×23.63=47.26cm4
i= Imin = 47.26 =1.68cm A 2×8.367
支承情况
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
l l 0.7l l 0.5支 一端固定 两端固定 另端铰支
Pcr
Pcr
Pcr
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
Pcr
Pcr
B
B
B
D
C
C
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
∴
Pcr
=π
2
EI L2
min
Pcr
=π
2 EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr =π(2µELI)m2in
压杆临界力欧拉公式的一般形式
µ—长度系数（或约束系数）。
表9–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
kL=2π
所以，临界力为：
Pcr
=
4π 2EI
L2
=
π 2EI
(L/2)2
µ = 0.5
例2 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
µ=1.0，
I
y
=b3h 12
,
b
Pcry
π
=
2 EI L22
y
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
µ=0.7，
I
z
=bh3 12
,
Pcrz
=
σ
s
1
−
α
λ λc
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢：α =0.43，λc =
π 2E 0.56σ S
λ<λc 时，由此式求临界应力。
②σs<σ 时：
σ cr = σ s
例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56×56×8 等边角钢组成，两端铰
支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式
L L
z
y
图(b)
图(a)
(45×45× 6) 等边角钢
图(b)
Imin =I z =3.89×10−8 m4
Pcr
=π 2 Imin E (µ2l)2
=π
2×(02×.308.59×)2200=76.8kN
§9–3 超过比例极限时压杆临界应力
一、 基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
§9–2 细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。
P P
y
x M
P x
P ①弯矩： M (x,y)=Py
②挠曲线近似微分方程： y′′=− M =− P y EI EI y′′+ P y=y′′+k 2 y=0 EI 其中:k 2 = P EI
②σS<σ 时： σ cr =σ s
σ cr
λ<λS 的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
σS
σ cr =a−bλ
③临界应力总图
σP
σ = π 2E
cr
λ2
λs =σs −a
b
λP = π 2E
σP
λ=µL
i
2.抛物线型经验公式
①σP<σ<σs 时：
σ cr =a1−b1λ2
我国建筑业常用：
σ cr
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力
临界状态
稳 定过 平 衡
对应的 压力
临界压力:
不
稳 度定
平
衡 Pcr
σ
cr
=
Pcr A
2.细长压杆的临界应力：
σ
cr
=
Pcr A
=
(
µπL2 E) 2IA=
(
π 2E µL/i)
2
=πλ22E
即：σ cr
=
π 2E λ2
i= I ——惯性半径。 A
3.柔度： λ=µL ——杆的柔度（或长细比）
i
4.大柔度杆的分界： σ cr =πλ22E ≤σ P
λ≥
π 2E σP
= π 2EI
(0.7L1
z
)2
③压杆的临界力 Pcr =min(Pcry , Pcrz )
例3 求下列细长压杆的临界力。
解：图(a)
P
P
I
min
=50×103 12
×10−12
=4.17×10−9
m
4
10 30
Pcr =π(2µI1mli)n2E
=π
2×4.17×200 (0.7×0.5)2
=67.14kN
M0
令:k 2 = P
EI
x
Px
EIy′′+k 2 y=k 2 M
M0
P
y=ccoskx+dsinkx
L
M0 P
M0 P
边界条件为:
x=0, y= y′=0;x=L, y= y′=0
c=−M ,d=0,kL=2nπ 并 kL=nπ
P
∴ kL=2nπ
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：