材料力学9-压杆稳定性标准
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第九章 压杆稳定§9-1 压杆稳定性的概念一、引言工程中有许多细长的轴向压缩杆件,例如,气缸或油缸中的活塞杆、内燃机连件、建筑结构中的立柱、火箭的级间连接支杆等。
材料力学中统称为压杆或柱。
前面研究直杆轴向压缩时,认为杆是在直线形态下维持平衡,杆的失效是由于强度不足而引起的。
事实上,这样考虑,只对短粗的压杆才有意义,而对细长的压杆,当它们所受到的轴向外力远未达到其发生强度失效时的数值,可能会突然变弯而丧失了原有直线形态下的平衡而引起失效。
它是不同于强度失效的又一种失效形式。
受压变弯的原因:(1)压秆在制造时其轴线存在初曲率。
(2)合外力作用线与杆轴线没有重合。
(3)材料的不均匀性。
二、“中心受压理想直杆”力学模型及稳定的概念力学模型:材料绝对理想;轴线绝对直;压力绝对沿轴线作用 试验:取如图所示两端铰支均质等直细长杆,加轴向压力F ,压杆呈直线形态平衡。
现在,若此压杆受到一很小的横向干扰力。
(例如,轻轻地推一下),则压杆弯曲,如图 a 中虚线所示。
当横向干扰力解除后,会出现下述两种情况:1) 当轴向压力F 小于某一数值时,压杆又恢复到原来的直线平衡形态,如图 b 所示。
(稳定平衡) 2) 当轴向压力F 增加到这一数值时,虽然干扰力已解除,但压杆不再恢复到原来的直线平衡形态,而在微弯曲的形态下平衡,如图 c 所示。
(不稳定平衡)可见,压杆的原来直线形态平衡是否稳定,与所受轴向压力F 的大小有关;当轴向压力F 由小逐渐增加到某一个数值时,压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定。
压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定所受的轴向压力的界限值,称为压杆的临界力,用F cr 表示。
当压杆所受的轴向压力F 达到临界力F cr 时,其直线形态的平衡开始丧失,我们称压杆丧失了稳定性,简称失稳。
研究压杆稳定性的关键是寻求其临界力的值。
§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式假设两端球形铰支的等直细长压杆所受的轴向压力刚好等于其临界力,并且已经失稳而在微弯曲状态下保持平衡,如图所示。
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax (保证具有足够的强度) 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念:在外力作用下,压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡:三、临界的平衡状态:给干扰力时,在干扰力给定的位置上平衡;无干扰力时,在原有的直线状态上平衡。
(它是稳定与不稳定的转折点)。
压杆的临界压力:Fcr ( 稳定平衡的极限荷载)四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态(失稳)——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值,杆已经处于微弯状态且服从虎克定律,如图,从挠曲线入手,求临界力。
①、弯矩:w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程:w F x M w EI cr -=='')( 即,0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解:kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数:0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =(n=0、1、2、3……)EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力,故,只能取n=1 ;且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式(μ——长度系数,L ——实际长度,μL ——相当长度) 公式的应用条件:1、理想压杆;2、线弹性范围内;【例】:试由挠曲线近似微分方程,导出下述细长压杆的临界力公式。
解:变形如图,其挠曲线近似微分方程为:0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为:.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力, “ n ”应取除零以外的最小值,即取:π2=kL所以,临界力为:2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== (μ=0.5)【例】:求下列细长压杆的临界力。