材料力学 第九章 压杆稳定分析

我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳 ：
1.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
2.压杆失稳的原因
①压杆存在初曲率 ②载荷存在偏心 ③材料存在微观缺陷
3.压杆的临界压力
临界状态
稳
定 平
s P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
3、小柔度杆─λ＜λS，即：σ≥S 时：
cr s
cr
S 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
S
cr ab
三、临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
其他：对中柔度杆的.抛物线型经验公式
①P<<s 时：
cr a1b12
第九章 压杆稳定
§9–1 压杆稳定性的概念 §9–2 两端铰支细长压杆临界亚力的欧拉公式 §9–3 其他约束条件下细长杆的临界压力 §9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式 §9–5 压杆稳定性校核 §9–6 提高压杆稳定性的措施
§9–1 压杆稳定的概念
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
过
衡
对应的 压力
临界压力:
不 稳 度定 平 衡 Pcr
§9–2 两端铰支细长杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力: 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
杆长为L。 从挠曲线入手，求临界力。
P y
P
y
x M P
x
P ①弯矩： M (x, y) Pw
②挠曲线近似微分方程：
w M P w EI EI
EIw k 2w k 2 M P
w Ccoskx Dsinkx M0 P
x
边界条件为:
MPw0
w( 0 ) 0
C M0 P
w' ( 0 ) 0 D 0
y
M0 y P
M0 P
w M0 coskx M0
P
P
w M0 coskx M0
P
P
w( L ) 0 kL 2n w' ( L ) 0 kL n
=0.7，
Iz
bh3 12
,
Pcrz
π2EIz (0.7L1 )2
③压杆的临界力 Pcr min(Pcry , Pcrz )
[例] 求下列细长压杆的临界力。
解：图(a) P
10 30
I min
50 103 12
1012
4.17 109 m4
P
Pcr
π 2 Imin E (μ1l)2
π 2 4.17 200 (0.7 0.5)2
cr
Pcr A
其中A为毛面积，即局部开孔开 槽不影响整体的稳定性
2.细长压杆的临界应力： cr
Pcr A
(
2 EI L )2 A
(
2E L / i
)2
2E 2
i I — 惯性半径。 A
圆: i d 圆环 : i D2 d 2
4
4
即： cr
2E 2
矩形:i h
23
3.柔度： L ——杆的柔度（或长细比）
w P w w k 2w 0 EI
其中:k 2 P EI
③微分方程的解： w Asinkx Bcoskx ④确定积分常数： w(0) 0 B 0 w Asinkx
w( l ) 0 A 0 sinkL 0
kL n
k n P
L
EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕 惯性矩最小的轴弯曲，即I=Imin：（I为轴惯矩）
67.14k N
L L
z
y
图(b)
Imin I z 3.89 108 m4
图(a)
(4545 6) 等边角钢
图(b)
Pcr
π 2 Imin E (μ2l)2
π 2 0.389 200 76.8kN (2 0.5)2
§9–4 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、 基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
所以，临界力为：
kL 2π
Pcr4 2EIL22EI(L/2)2
= 0.5
[例] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
b
解：① xz平面内失稳：y 轴是中性轴，两端铰支：
=1.0， ②xy平面内失稳，
zI轴y 是h1中b23性,轴，Pc左ry端固2LE定22I，y 右端铰支：
2
Pcr
π 2 EI (0.7l)2
Pcr
π 2 EI (0.5l)2
Pcr (22lE) 2I
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
Pcr
2
l
EI
2
=1
[例]其他约束形式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
EIw M(x) Pw M0
P
P
P
M0
x
P
L
M0
令:k 2 P EI
λ≥100 属大柔度杆；宜用欧拉公式；
100＞λ≥ 60，则属中柔度杆，宜用经验公式
B. 若已知条件中提供材料的σp 和σs，则意味着需要按
Pcr
2
EI L2
m
in
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
§9–3 其他约束下细长杆的临界压力 其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
压杆临界力欧拉公式的一般形式
Pcr
2 EImin (L)2
—长度系数（或约束系数）。