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15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。
压杆稳定习题及答案【篇一：材料力学习题册答案-第9章压杆稳定】xt>一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力p=pq时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ a ）。
a、弯曲变形消失，恢复直线形状；b、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； c、微弯状态不变； d、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力p=pq时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力p，则压杆的微弯变形（ c ）a、完全消失b、有所缓和c、保持不变d、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ d）来判断的。
a、长度b、横截面尺寸c、临界应力d、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ a）对临界应力的影响。
a、长度，约束条件，截面尺寸和形状；b、材料，长度和约束条件；c、材料，约束条件，截面尺寸和形状；d、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。
其柔度为 ( c )a.60；b.66.7；c.80；d.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ d ）所示截面形状，其稳定性最好。
≤?≥?- 1 -10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ c）a、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；b、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； c、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； d、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ a ）a. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；b. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；c. 临界应力和临界压力一定相等；d. 临界应力和临界压力不一定相等；a、杆的材质b、杆的长度c、杆承受压力的大小d、杆的横截面形状和尺寸二、计算题1、有一长l=300 mm，截面宽b=6 mm、高h=10 mm的压杆。
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.13第九章压杆稳定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。
A、弯曲变形消失，恢复直线形状；B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；C、微弯状态不变；D、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ）A、完全消失B、有所缓和C、保持不变D、继续增大3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。
A、长度B、横截面尺寸C、临界应力D、柔度4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。
A、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B、材料，长度和约束条件；C、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状；5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。
其柔度为 ( C )A.60；B.66.7；C.80；D.507、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。
8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）A 、λ≤、λ≤C 、λ≥π D、λ≥10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的；D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ）A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C. 临界应力和临界压力一定相等；D. 临界应力和临界压力不一定相等；12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。
A 、细长杆的σe 值与杆的材料无关；B 、中长杆的σe 值与杆的柔度无关；C 、中长杆的σe 值与杆的材料无关；D 、粗短杆的σe 值与杆的柔度无关； 13、细长杆承受轴向压力P 的作用，其临界压力与（ C ）无关。
A 、杆的材质B 、杆的长度C 、杆承受压力的大小D 、杆的横截面形状和尺寸二、计算题1、 有一长l =300 mm ，截面宽b =6 mm 、高h =10 mm 的压杆。
两端铰接，压杆材料为Q235钢，E =200 GPa ，试计算压杆的临界应力和临界力。
解：（1）求惯性半径i对于矩形截面，如果失稳必在刚度较小的平面内产生，故应求最小惯性半径mm 732.1126121123minmin ===⨯==b bhhb AI i（2）求柔度λλ=μl /i ，μ=1，故 λ=1×300/1.732=519>λp =100 （3）用欧拉公式计算临界应力()MPa 8.652.1731020ππ24222cr =⨯==λσE（4）计算临界力F cr =σcr ×A =65.8×6×10=3948 N=3.95 kN2、一根两端铰支钢杆，所受最大压力KN P 8.47=。
其直径mm d 45=，长度mm l 703=。
钢材的E =210GPa ，p σ=280MPa ，2.432=λ。
计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式cr σ=461-2.568λ(MPa)。
试 （1）判断此压杆的类型；（2）求此杆的临界压力；解：（1） 1=μ 8621==P E σπλ 5.624===d lil μμλ由于12λλλ<<，是中柔度杆。
（2）cr σ =461-2.568λMPaKN A P cr cr 478==σ3、活塞杆（可看成是一端固定、一端自由），用硅钢制成，其直径d=40mm ，外伸部分的最大长度l =1m ，弹性模量E=210Gpa ，1001=λ。
试（1）判断此压杆的类型；（2）确定活塞杆的临界载荷。
解：看成是一端固定、一端自由。
此时2=μ，而，所以，。
故属于大柔度杆-用大柔度杆临界应力公式计算。
4、托架如图所示，在横杆端点D 处受到P=30kN 的力作用。
已知斜撑杆AB 两端柱形约束（柱形较销钉垂直于托架平面），为空心圆截面，外径D=50mm 、内径d=36mm ，材料为A3钢，E=210GPa 、p σ=200MPa 、s σ=235MPa 、a=304MPa 、b=1.12MPa 。
若稳定安全系数n w =2，试校杆AB 的稳定性。
1.5m0.5mC ABD30o解 应用平衡条件可有∑=0A M ，107N 5.05.11040230sin 5.123=⨯⨯⨯==P N BD kN 2cm 837.32=A ，4cm 144=y I ，cm 04.2=y i ，4cm 1910=x Icm 64.7=x iA3钢的4.99=P λ，1.57=S λ压杆BA 的柔度S x x i lλμλ<=⨯==7.220764.030cos 5.11Pyy i lλμλ<=⨯==9.820209.030cos 5.11因x λ、y λ均小于P λ，所以应当用经验公式计算临界载荷()[]N 109.8212.130400329.0)(6⨯⨯-⨯=-==y cr cr b a A A P λσ695=kN压杆的工作安全系数55.6107695=>==st n n作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13BA 压杆的工作安全系数小于规定的稳定安全系数，故可以安全工作。
5、 如图所示的结构中，梁AB 为No.14普通热轧工字钢，CD 为圆截面直杆，其直径为d =20mm ，二者材料均为Q235钢。
结构受力如图所示，A 、C 、D 三处均为球铰约束。
若已知p F =25kN ，1l =1.25m ，2l =0.55m ，s σ=235MPa 。
强度安全因数s n =1.45，稳定安全因数st []n =1.8。
试校核此结构是否安全。
解：在给定的结构中共有两个构件：梁AB ，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD ，承受压缩荷载，属稳定问题。
现分别校核如下。
(1) 大梁AB 的强度校核。
大梁AB 在截面C 处的弯矩最大，该处横截面为危险截面，其上的弯矩和轴力分别为3max p 1(sin 30)(25100.5) 1.25M F l ==⨯⨯⨯° 315.6310(N m)15.63(kN m)=⨯⋅=⋅3N p cos302510cos30F F ==⨯⨯°°321.6510(N)21.65(kN)=⨯=由型钢表查得14号普通热轧工字钢的 333222102cm 10210mm 21.5cm 21.510mmz W A ==⨯==⨯由此得到33max N max392415.631021.6510102101021.51010z M F W A σ--⨯⨯=+=+⨯⨯⨯⨯ 6163.210(Pa)163.2(MPa)=⨯= Q235钢的许用应力为ss235[]162(MPa)1.45n σσ===max σ略大于[]σ，但max ([])100%[]0.7%5%σσσ-⨯=<，工程上仍认为是安全的。
(2) 校核压杆CD 的稳定性。
由平衡方程求得压杆CD 的轴向压力为N p p 2sin 3025(kN)CD F F F ===° 因为是圆截面杆，故惯性半径为 5(mm)4I di A === 又因为两端为球铰约束 1.0μ=，所以p 31.00.55110101510li μλλ-⨯===>=⨯这表明，压杆CD 为细长杆，故需采用式(9-7)计算其临界应力，有 222932Pcrcr 2220610(2010)41104Ed F A σλ-πππ⨯⨯π⨯⨯==⨯=⨯352.810(N)52.8(kN)=⨯=于是，压杆的工作安全因数为cr Pcr w st w N 52.82.11[] 1.825CD F n n F σσ====>=这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。
上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。
6、一强度等级为TC13的圆松木，长6m ，中径为300mm ，其强度许用应力为10MPa 。
现将圆木用来当作起重机用的扒杆，试计算圆木所能承受的许可压力值。
解：在图示平面内，若扒杆在轴向压力的作用下失稳，则杆的轴线将弯成半个正弦波，长度系数可取为1μ=。
于是，其柔度为168010.34liμλ⨯===⨯ 根据80λ=，求得木压杆的稳定因数为22110.39880116565ϕλ===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而可得圆木所能承受的许可压力为62[][]0.398(1010)(0.3)281.34F A ϕσπ==⨯⨯⨯⨯=(kN)如果扒杆的上端在垂直于纸面的方向并无任何约束，则杆在垂直于纸面的平面内失稳时，只能视为下端固定而上端自由，即2μ=。
于是有2616010.34liμλ⨯===⨯ 求得22280028000.109160ϕλ=== 62[][]0.109(1010)(0.3)774F A ϕσπ==⨯⨯⨯⨯=(kN)显然，圆木作为扒杆使用时，所能承受的许可压力应为77 kN ，而不是281.3 kN 。
7、 如图所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l = 2m ，截面形状为矩形，b = 20 mm 、h = 45 mm ，材料的弹性模量E = 200GPa 。
试计算该压杆的临界力。
若把截面改为b = h =30 mm ，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？ 解：（一）、当b=20mm 、h=45mm 时 （1）计算压杆的柔度692.82012liμλ===＞123c λ=(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)(2)计算截面的惯性矩由前述可知，该压杆必在xy 平面内失稳，故计算惯性矩4433100.312204512mm hb I y ⨯=⨯== （3）计算临界力μ = 2，因此临界力为()()kN N l EI Fcr 70.337012210310200289222==⨯⨯⨯⨯⨯==-πμπ （二）、当截面改为b = h = 30mm 时 （1）计算压杆的柔度461.93012liμλ===＞123c λ=(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)(2)计算截面的惯性矩44431075.6123012mm bh I I z y ⨯====代入欧拉公式，可得()()N l EI F cr 8330221075.610200289222=⨯⨯⨯⨯⨯==-πμπ 从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。
