归纳推理之数学猜想优秀课件

以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待 定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确,即:
由(ⅰ)(ⅱ)可知，n∈N*时，不等式
成立.
【规律方法】运用数学归纳法证明问题时应注意的四个问题
(1)由假设n=k成立证n=k+1时,要推导详实,并且一定要运用
n=k成立的结论.
(2)要注意n=k到n=k+1时增加的项数.
(3)n=n0时成立.要弄清楚命题的含义.
(4)对于不等式在证明由n=k变化到n=k+1时,除了应用综合法
所以当n=k+1时命题成立,由①,②可知对任何n∈N且n≥3,命题 恒成立.
【易错警示】关于几何问题的变化情况
本例(2)中由n=k变换到n=k+1时,对角线条数不会求,或根
本看不清其变化情况导致错解.
【规律方法】证明整除性与几何问题的关键
(1)证明整除问题的关键——“凑项” 证明整除问题的关键是“凑项” ,即采用增项、减项、拆项和因式 分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设 使问题获证. (2)证明几何问题的关键——“找项” 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”, 即几何元素从 k个 变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助 于几何图形来分析;事实上,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然 后作差, 即可求出增加量 , 这也是用数学归纳法证明几何问题的一 大技巧.

（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 思考：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？
经分析：可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：
第k块骨牌倒下
第k+1块骨牌倒下.
这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能相继倒下.
事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所
4.4 数学归纳法
问题的提出
在数列的学习过程中，我们知道若等差数列{an}的首项为a1，公差
为d，通过定义an－an-1=d(n≥2)，逐一列举a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d，…… 归纳得到其通项公式为an=a1+(n－1)d(n∈N*).
但当时并没有给出严格的数学证明. 那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个 正整数n都是成立的呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法.
第二步假设n=k(k∈N*)时等式成立，则当n=k＋1时应得到( B )
A. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=k2
B. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋1)2
C. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋2)2 D. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋3)2
(3)利用假设是核心：在第二步证明n=k＋1成立时，一定要利用归纳假设， 即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k＋1时命题成 立”，在书写P(k＋1)时，一定要把包含P(k)的式子写出来，尤其是P(k) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数 学归纳法.
…….
所以，对于任意正整数n，猜想都成立，
即数列{an}的通项公式是an=1 (n∈N*).

互动游戏1：小毛的爸爸有4个儿子，大儿子 叫大毛，二儿子叫二毛，三儿子叫三毛，那 小儿子叫什么名字呢？
游戏2：猜猜猜：教师拿一不透明袋子，里面 装东西若干,教师每次从中不放回取出一件由 学生来猜. 教师第一次拿出一支白粉笔， 第二次拿出一支白粉笔， 第三次拿出一支白粉笔， 则下一次拿出的是什么？（A猜白粉笔） 结果：第四次是红粉笔. 教师提示，不是白粉笔，有没有可能都是粉笔呢？ 第五次拿出红粉笔，（ A猜是粉笔） 第六次拿出一块黑板擦，，，，（学生凌乱了）
感悟数学发展史中数学 家不畏艰辛的探究精神 和勇于突破的创新精神， 了解数学文化，培养学 习数学的兴趣.加强推理 方法的引导，使学生会 用数学眼光观察世界， 会用数学思维思考世界 ，会用数学语言表达世 界
二、教学目标
教学重点：
通过实例掌握推 理过程，能利用归 纳进行简单的推 理． 研究问题的方 法渗透.
猜想：凸n边形内角和为_______
思维导图
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结 论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、 由个别到一般
的推理
观察、分析
哥德巴赫猜想:
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5,
一教材分析
（二）学情分析
知识层面： “熟悉的陌生人” 能力层面：学生只是挖出了我们“埋好的金子”. 情感层面：归纳推理的猜想都经历了不平凡的过程
二、教学目标
知识与技能
过程与方法
情感态度价值观
了解推理过程，进而能 利用归纳进行简单的推 理.掌握归纳推理的一 般性步骤
培养学生分析问题的 能力和抽象概括能力， 体会从特殊到一般的认 识规律感知归纳推理的 价值和意义.

分析 因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明 = 1时命题成立.第
二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果 = 时, ①式正确的，那么 = + 1时①式也是正确的.
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证明：（1）当 = 时，左边= 1 ，右边= 1 +0 × = 1 ,①式成立.
=
+2
2(+1)
=
+1
1− 9 (1-16)…(1-2)= 2 .
(+1)+1
.
2(+1)
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.
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课堂小结
1.知识清单：
数学归纳法的步骤.
2. 易错提示：
利用数学归纳法时，一定验证第一项成立.在用第项推证第 + 1项时，一定要用上第项成立的
2 −1
猜想an= −1 .下面证明猜想正确:
2
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
2 −1
(2)假设当n=k时猜想成立,则有ak= 2−1 ,
1
1
当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=2[2(k+1)-Sk]=k+1-2
所以,当n=k+1时,等式也成立.
那么当n=k+1时,
1
1
1
1
1
1-2 + 3 − 4+…+2−1 − 2 +

倒下。
也成立。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨 知对任意的正整数n， 牌，都能全部倒下。 猜想都成立。
什么是数学归纳法？
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的
方法来证明它的正确性： 1.先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立。
证明（：1）当n=1时左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 那么 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
ak
1 k
,那么当n=k+1时猜
1
事实上,
ak 1
ak 1 ak
k 1
1
1 k 1
k
即n=k+1时猜想也成立.
你能得到哪些启示？
多米诺骨牌游戏原理 通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下1）当n=1时，猜想成立
（2）若第k块倒下时，2）假设当n=k时猜想
则相邻的第k+1块也 成立，当n=k+1时猜想
=2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何 n∈N*都成立。
【课堂练习】
1、用数学归纳法证明：1 a a2 an1 1 an2
C 1 a
(a 1)，在验证n＝1时，左端计算所得项为_____ .
A、1
B、1 a

【解析】①当 n＝1 时，左边＝1，右边＝1×22 2＝1，等式成立．
②假设当 n＝kk∈N*，k≥1
时等式成立，即 13＋23＋33＋…＋k3＝[ k(k 1)]2 . 2
那么当 n＝k＋1 时，13＋23＋33＋…＋k3＋(k＋1)3＝[ k(k 1)]2 ＋(k＋1)3 2
＝(k＋1)2·k42＋k＋1
＝11× 11k+1+122k－1 ＋133×122k－1. 由归纳假设可知 11× 11k+1+122k－1 ＋133×122k－1 能被 133 整除，即11k＋2 ＋
122k＋1 能被 133 整除．所以 n＝k＋1 时结论也成立， 综上，由①②得，11n＋1 ＋122n－1能被 133 整除．
C．3k1＋1
D．3k1＋3
【解析】选 B.当 n＝k(k∈N*)时，所假设的不等式为 1 k＋1
＋1 k＋2
＋…＋31k
5 ≥6
，
当 n＝k＋1 时，要证明的不等式为 1 k＋2
＋1 k＋3
＋……＋31k
＋1 3k＋1
＋1 3k＋2
＋
1 3k＋3
5 ≥6
，
故需添加的项为 1 3k＋1
＋1 3k＋2
(n∈N*) .
【解析】①当 n＝1 时，11n＋1 ＋122n－1＝112＋12＝133 能被 133 整除，所以 n＝1 时结 论成立，
②假设当 n＝k(k∈N*) 时，11k＋1 ＋122k－1 能被 133 整除，
那么当 n＝k＋1 时，
11k＋2 ＋122k＋1 ＝11k＋1 ×11＋122k－1 ×122 ＝11k＋1 ×11＋122k－1 ×11－122k－1 ×11＋122k－1 ×122

1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +

目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
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考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
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【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
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4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2

不完全归纳法
可能 错误， 如何 避免
穷 举 法 作业：
数 学 归 纳 法
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
P67 习题2.1 1，2
谢谢! 请多多指导!!
~ 完~
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

( k 1)( k 2)( 2k 3) 6
这就是说，当n=k+1时等式也成立 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
n N 课堂练习：用数学归纳法证明:当 2 1 3 5 .......... (2n 1) n
证明：①当n=1时，左边＝1, 右边=1
12，
k2
。
2）假设n=k时命题成立，即
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
n N 例1 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6
2 2 2 2
3）当n=k+1时，命题的形式是
1 2 3 k
n5 Fn 4, 294,967, 297 6,700,417 641
归纳法
：由一系列有限的特殊事例得出一般结
论的推理方法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
对于数列an ,已知a1 1，an1 猜想其通项公式
一，数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。
作业: P 96
A组1，2
课堂练习2： P95 练习1、2；
由(1)(2)可知命题对从 n 0 开始的所有正整数n 都成立。
这种证明方法叫做 数学归纳法
n N 例1 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6 思
2 2 2 2
考 1）第一步应做什么？此时n0= 1 ，左= ？ 当n=k时，等式左边共有 k 项， 第k项是