小学数学中的合情推理

合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点一 归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…， 可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二 类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9，T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三 演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．考点四逻辑推理问题[典例](2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B 镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.图(1)图(2)图(3)[课时跟踪检测]1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选C根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2＜2 019＜64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n 行最左侧的数为n ；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n 个等式左侧的数的个数为2n －1，而第n 个等式右侧为(2n －1)2，所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.答案：3πr 410．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ>0，{a n }的通项公式是________________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )． 易知FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0， 又e ＞1，所以e ＝5＋12. 答案：5＋1212．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h＝V O BCDV A BCD .同理有OF DF ＝V O -ABC V D -ABC ，OG BG ＝V O-ACD V B -ACD ，OH CH ＝V O-ABDV C -ABD .∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O -BCD ＋V O -ABC ＋V O -ACD ＋V O -ABDV A -BCD ＝V A -BCD V A -BCD＝1.。

合情推理在小学数学教材中的呈现合情推理是指根据已知条件和逻辑关系推出结论的一种推理方式。

在小学数学教材中，合情推理作为解决实际问题的一种方法，被广泛运用。

本文将探讨合情推理在小学数学教材中的呈现。

一、合情推理的基本概念合情推理是指根据已知条件进行推理，从而得出结论。

在小学数学中，常见的合情推理题型有“拼图找规律”、“趣味问答”、“数学比谁快”等。

例如，在“拼图找规律”中，学生需要观察若干幅图形，找出规律，然后把缺少的一部分图形填入相应的位置。

这个过程就是基于观察已知条件，推出缺失的条件的合情推理过程。

二、合情推理的应用场景合情推理适用于处理实际问题。

在小学数学教材中，合情推理被广泛运用到了各个方面。

对于应用数学题目，例如“小明家禽园里养了若干只鸡、鸭、鹅，共有27只头，44只脚，问这个家禽园里各有多少只鸡、鸭、鹅？”就需要使用合情推理，根据已知条件——头的数量和脚的数量，推导出答案。

对于数形结合的问题，例如“下图是由许多个相似的三角形组成的，已知其中一个等腰直角三角形的斜边长为2cm，问整个大三角形的周长是多少？”学生需要根据已知条件，在图形中找到相似的三角形，从而求出答案。

三、合情推理的教学内容和方法小学数学教材中，对于合情推理的教学内容和方法主要包括以下几点：1、引发兴趣小学生有好奇心，这就要求教师在教学中要注意激发他们的兴趣。

例如，在“拼图找规律”题目中，教师可以让学生自己动手去制作拼图，这样能够增强他们观察、思考、判断和推理的能力。

2、注意情景化教学情景化教学是指让学生从实际情境出发进行学习，以提高他们的学习兴趣和实际操作能力。

在教学过程中，教师可以利用丰富多彩的示例以及动手实践的活动形式，让学生通过具体情景的管理去理解和掌握合情推理的方法和技巧。

3、区分逻辑推理和合情推理在小学数学教育中，合情推理和逻辑推理的概念是十分重要的，因此，教师应该教会学生区分二者的本质区别。

通过让学生在实际的解题中体验，搭建从观察、感性认识到演绎推理的教学模式，帮助学生深入理解合情推理的含义。

2．推理是数学的基本思维方式，在小学阶段主要学习合情推理，即归纳推理（主要是不完全归纳推理）和类比推理。

请举例说一说不完全归纳推理在课堂教学中的应用。

“不完全归纳法”在实际教学中运用很广范，那么如何提高学生的推理能力，又如何更有效地运用不完全归纳法进行设计教学呢？下面以苏教版五年级上册“小数乘法”这一教学内容为例进行说明。

“小数乘法”，这部分的教学内容的教学重点是让学生理解“积的小数位数是各因数的小数位数之和”。

但在教学中直接教给学生算理，这样的教学方式学生学起来比校枯燥，学生理解也比较困难，教学效果不理想。

因此我尝试以下方法：一、调动学生观察，建立新旧知识的联系，并引出问题。

表中每一组算式的第一个式子都是整数乘法的算式，第二、三个式子都是小数乘整数的算式，其余即是小数乘小数的算式。

这一设计实际上是对新旧知识的过度。

通过对整数乘法与小数乘法算式的对比，使学生在头脑中初步建立起小数乘法与整数乘法之间的联系，为后续的学习打下了学习基础。

在对比观察中，学生可能会发现每组中各算式都很相似，并能说出表中每个算式的异同点。

教师即不失时机地点出像“2.8×0.3=”这样在算式中含有小数的乘法算式就是今天我们要学习的“小数乘法”。

引导学生观察，使学生自主发现新知，了解到将要学习什么内容，明白学习目的。

二、引导学生猜测，激发学生的学习兴趣。

先将每组算式的第一个算式计算出来，（如下表）然后提问：每组的前三个算式我们都会算。

那么下面的算式应该怎样计算？它们的乘积会是多少？你想它对于上面这些问题学生自然还不会回答，但他们却能提出各种猜想。

如：有些学生会猜测“小数乘法可能跟整数乘法的计算方法差不多”；有些学生即猜测“小数乘法算式中的乘积大小可能跟因数中的小数位数有关”；甚至有些学生能大胆猜测“乘积的小数位数是各因数的小数位数之和”等等。

学生的猜想并不是无中生有，他们是根据自己的观察和理解才提出来的。

在提出猜想的同时学生的智力也得到了不同程度的发展。

数学学习与研究2015.20《数学课程标准(2011年版)》提出了十个核心词,其中再次提到“推理能力”,“推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”.推理一般包括合情推理与演绎推理,合情推理通常用于发现、探索结论的过程中,演绎推理通常用于结论的证明上.小学阶段的数学课堂教学中,我们也经常借助推理的思想方法辅助数学教学,为教学的完成、为孩子的思维发展起到事半功倍的效果.其中合情推理更适合于启动、推动孩子思维前进,也更适合老师引导孩子去发现、去推理,合情推理包括两种形式:归纳推理和类比推理,具体细分其步骤有观察、猜测、实验、验证、归纳、总结、类比、想象等方式方法,下面我就结合一些《平行四边形的面积》教学设计实例谈一谈合情推理的思考与体会.一、推“问”———在观察中猜测“清”理要想帮助孩子们学会推理,首先要通过推“问”为思路导引,当然这个“问”不能天马行空地乱问,我们要精心创设能引发孩子们深入思考的情境,引导他们观察,激发他们去探究、去思考、去发现.这样的推“问”更加有理有据,孩子们也可以借“问”去推理.比如《平行四边形的面积》一课的导入,有些老师借助一个长方形框架,拉成一个平行四边形框架,先让孩子们看一看,说一说平行四边形的相关知识,再去猜想平行四边形面积等于什么?并解释为什么这样猜?这种直观,其实也是为孩子们的猜想找到基点,为后面的探究埋下伏笔.也有老师借助七巧板导入,在课前,让孩子们玩七巧板拼各种喜欢的图形,而在课堂伊始,在黑板上拼出一个三角形和一个长方形,让孩子挪动尽量少的块数将它们变成其他的图形,再说一说感受.有的孩子就将其变成了一个平行四边形,这样一个看似“玩”的过程,实际上却渗透了转化、变与不变、等积变形等思想.和前一种导入的目的是一致的,借助推“问”开启孩子们的思维推理之路,无形中也在为后面重难点的突破“清”路.二、推“进”———在实验中验证“解”理孩子们有了猜想后,必然要去验证,这无疑使推理又向前推进了一大步,是推理的重要环节,而实验的方法、过程交给孩子们自主去构建、实施、完成,又有利于孩子们推理能力的培养与提高.《平行四边形的面积》一课的动手验证过程,有老师为孩子们准备了方格纸、剪刀、七巧板等工具,让他们自主地去畅想.即使有孩子想不到剪拼的方法,也可以利用以往数方格的经验进行验证;对于七巧板,极少数孩子会使用,需要先拼一个平行四边形,比较麻烦;而之前拉框架或七巧板的活动,孩子们也能较容易地找到剪拼的割补法,多数孩子是沿着高剪下一个直角三角形,从而将平行四边形转化成长方形;也有个别孩子也是沿着高剪,剪下一个直角梯形,同样也通过剪、移、拼,转化成了一个长方形.其实,有了这两种沿高剪下,拼成一个长方形的过程,就可以在思维推“进”过程中画上一个句号了.殊不知,除了找到高之外,还可以找到两个直角三角形或直角梯形,旋转后同样也可以转化成一个长方形.如此逐步的推“进”过程,孩子们的思维也逐步更加清晰,思路、方法也更为孩子们理解与接收,因此思维推“进”的过程就是“解”理.三、推“敲”———在归纳中总结“论”理孩子们经历了推“问”与推“进”过程后,思维也更加地清晰,更容易形成对知识的理解,尤其是经历了探究的过程,他们也更加地懂得知识形成的来龙去脉,此时再让他们解释、归纳、总结,问题对他们也就迎刃而解了,对知识的总结也就信手拈来.但在此过程中,我们一定要好好地让他们“论论”理,对结论进行反复推“敲”,唯有这样,他们才会掌握真实而丰富的知识.《平行四边形的面积》猜想、验证完毕后,需要孩子根据实验推理出平行四边形面积的计算方法,这一过程需要陈述与推敲,而不是结论的揭示.有的老师是这样安排的:请用一句关联词“因为……所以……”说说长方形与平行四边形的面积之间的关系,再说一说要求平行四边形的面积,必须知道什么条件.这样的归纳总结建立在几种验证方法之上,具有普遍性,而这种推“敲”、斟酌结论的过程就是“论”理.教师要想让学生生成对知识的深刻认识,只有将学生引入问题的纵深,让学生从知识的表象反复揣摩,提炼出内在的原理与规律,唯有这样,学生才会真正形成对知识的升华与能力的提升.四、推“广”———在类比中想象“思”理结论得出后,还要进一步推“广”,由此及彼地在类比中想象“思”考其中的道理.我认为推“广”的形式可以有应用、迁移,比如《平行四边形的面积》的推“广”,我们可以让孩子猜一猜:有一个平行四边形,它的面积是12平方厘米,它的底和高可能各是几厘米?还可以让孩子们想办法判断与比较———在两条平行线之间,同底等高的三个不同的平行四边形面积的大小,这些应用,其实就是让孩子们在类比中“思”理,从而巩固刚探索到的“理”.推“广”还可以为下节课三角形、梯形面积的探索埋下伏笔,将本节课的探索方法、推理思想迁移过来.综上所述,合情推理是一种重要的数学思想,通过推理,学生可以把要学习的知识自主地去发现、去思考,而老师的任务就是引导和帮助学生,为他们搭建推理的平台.在这个平台上,老师要引导学生四推———推“问”,让他们在观察中猜测“清”理;推“进”,让他们在实验中验证“解”理;推“敲”,让他们在归纳中总结“论”理;推“广”让他们在类比中想象“思”理,从而自主完成推理过程,提升推理能力.小学数学教学中合情推理的思考———以《平行四边形的面积》为例◎任珊(江苏省无锡宜兴市广汇实验小学214203)120. All Rights Reserved.。

合情推理与演绎推理一、推理：1、推理的定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理2、推理的结构：推理的前提：所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；推理的结论：根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么。

3、推理的一般形式：推理可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接。

常用的连接有：“因为…所以…”、“如果…那么…”、“根据…可知…”等等形式。

下面是三个推理案例：① 前提：当0=n 时，11112=+-n n ② 前提：矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和当1=n 时，11112=+-n n 结论：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和当2=n 时，13112=+-n n ③ 前提：所有的树都是植物，梧桐是树当3=n 时，17112=+-n n 结论：梧桐是植物当4=n 时，23112=+-n n当5=n 时，31112=+-n n31,23,17,13,11,11都是质数结论：对于所有的自然数11,2+-n n n 的值都是质数4、推理的分类：推理一般可分为“合情推理”和“演绎推理”两种类型。

二、合情推理：合情推理只有两种形式，那就是归纳推理和类比推理。

观察、比较、估算、联想是归纳和类比的方法；自觉、顿悟、灵感是产生合情推理的心理活动形式；归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是特殊到特殊的推理。

合情推理过程概括为：可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理1、归纳推理（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论性的结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

（2）特点：① 归纳推理是“由部分到整体，由个体到一般”的推理；② 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，结论是尚属未知的一般现象；③ 归纳推理具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。

归纳与技巧：合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：基础题必做1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8 5． 观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.[自主解答]依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(x＞0)．[答案]x(2n－1)x＋2n(x＞0)解题方法归纳1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1． 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.类 比 推 理典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解题方法归纳1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1演 绎 推 理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3． 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4． 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6． 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7． 设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋228 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29． 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.1． 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03． 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1． 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.2． 已知如下等式：3－4＝17(32－42)， 32－3×4＋42＝17(33＋43)， 33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)， 34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)， 则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)． 解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]。

浅析合情推理在小学数学教学中的有效运用摘要：合情推理能力是学生学习必备的一项能力，也是保证学生及时发现问题、解决问题的关键所在，对提升学生思维能力、创新水平，均有着非常积极的作用。

文章对合情推理在小学数学教学中的应用意义进行了分析，并且提出了有效应用合情推理开展教学活动的建议。

通过合情推理的作用，引导学生更加简单、直接地参与知识学习，提升学生的学习效率和质量，保证小学数学教学提质提效。

关键词：合情推理;小学数学;数学教学一、合情推理概述（一）内涵合情推理是指合乎情理的推理方式，也是数学发现方法之一，也被称为“似真推理”。

合情推理思维是从特殊到一般的一个推理过程。

按照新课标中的理解，可以将合情推理内涵理解为：从现有的事实出发，依据以往的经验以及学生自身自觉，利用归纳、类比、判断得到结果的一个过程。

合情推理也是学生推理能力的重要构成部分，在解决问题时，有着提供探索思路、发现结论的积极作用。

当前对合情推理基本含义的界定，可以从三个方面进行分析：一，逻辑学中，认为推理就是按照一个或一些判断获得结论的过程，按照前提和结论之间存在的联系，可以将推理分成演绎推理与合情推理。

这两种模式是对立的形式，合情推理主要用于发现结论，演绎推理则用于证明结论。

二，在数学方法论中，合情推理简单来说就是合理猜测，是作为创造发现的一种探索方法应用，严格数学理论主要是建立在论证推理基础上的，而数学结论和对应证明又是依靠合情推理发现的。

因此，在论证推理、合情推理之间存在着相辅相成的关系。

三，在教育心理学中，认为合情推理是按照人们知识、经验、感觉和直观等得到的一种可能性结论推理，主要与感觉、直观等非智力因素相关。

（二）类型及特点按照合情推理含义以及思维模式，将小学阶段合情推理可分成不完全归纳推理、统计推理和类比推理三种类型。

具体来说：一，不完全归纳推理，即由个别现象、事物推出现象和事物的普遍规律的一种推理形式。

二，统计推理，即对某类事物实施抽样调查的情况下，按照样本自身具备的特定属性数量以及程度，推算出事物总体属性程度和数量的一种推理方式。

合情推理在小学数学教材中的呈现一、运算中的合情推理小学数学中加减乘除四则运算是很重要的部分，很多的题目都离不开这些四则运算。

而四则运算中的合情推理则是常见的一种思维方法。

例如：1、加法结合律：a+（b+c）=（a+b）+c3、乘法交换律：a×b=b×a通过学习以上规律，学生可以更加便利地完成不同类型的加减乘除运算题目，提高自己的计算能力。

小学数学教材中会涉及到一些证明题，此时就需要运用合情推理的方法来完成。

例如：1、根据两个数的相反数的相反数等于它们自己的规律，可以证明任何一个数的相反数与这个数的差相等，例如：5+（-5）=0，因为-5的相反数是5，所以5+（-5）=5-5=0。

2、利用反证法证明负数都是小于0的，即：若存在一个负数>0，则其相反数必定小于0。

因此可以得出只有小于0的数才是负数。

以上两个例子都是在运用合情推理的基础上完成了证明题，这也说明合情推理在小学数学教材中是非常常见的。

1、一辆车从A地出发，行驶了一段距离，再折回原点。

如果这个过程中车的平均速度为v1，折回原点的平均速度为v2，则车的总平均速度为：（2v1v2）÷（v1+v2）此题需要运用到平均速度的概念，以及合情推理的方法。

通过平均速度的相关公式，可以得出总平均速度的计算公式。

2、有一种饮品，某超市一瓶5元，且买4瓶送1瓶，如果小明想花30元购买这种饮品，他最多可以得到多少瓶？此题需要运用到买4瓶送1瓶的规则，以及合情推理的方法。

通过计算得出30÷5=6，即小明最多可以购买6瓶。

而因为买4瓶送1瓶，因此小明最多可以得到6÷4=1瓶的赠品，所以小明最多可以得到7瓶。

总的来说，在小学数学教材中，合情推理是一种非常重要的思维方法，而且十分常见。

合情推理不仅可以帮助学生快速求解问题，还可以培养学生的逻辑思维和推理能力，提高他们的数学素养。

【数学知识点】合情推理和演绎推理的区别
合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。

从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确。

演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程。

1、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。

如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。

假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

3、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。

在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。

如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。

如定律、公式、等。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

关于小学数学合情推理的教学实践发布时间：2021-03-15T15:34:09.530Z 来源：《中小学教育》2020年10月（下）30期作者：蒋淑君[导读] 就目前而言，合情推理方法在小学教学中应用非常广泛蒋淑君四川省广安市广安区厚街小学 638000摘要：就目前而言，合情推理方法在小学教学中应用非常广泛，它是一种无需严格证明或推导的形式，有助于小学生的思维判断。

因此，对小学生合情推理能力的培养是十分必要的。

对于小学数学这一块的教育目标来说，数学教学方面重点是学生的思维逻辑和情景指导，特别需要学生重点掌握的是基础的运算能力，让学生从运算中发现、分析并解决问题。

合情推理的过程也一定要是合理的，虽然不一定可靠，但是能在多次举例论证中发掘对象事物的特征，这种思想融会在学习过程中，让学生学会灵活运用，以满足将来学生学习的需要。

关键词：小学生数学合情推理教学实践合情推理虽然存在着不够严格的逻辑推理，可是却有着广泛的存在空间，很多的数学难题都是通过合情推理而完成最后的论证，也有一部分尚未解决的数学难题也只能依靠合情推理进行猜想，作为最初的“解决方案。

对小学生来说，没有进行系统的数学规则学习，也达不到逻辑辩证的能力，只能在教师的步步引导之下，通过一些最简单的数学规律的算式进行推导，让学生在浅显的规律中学会自我总结，养成合情推理的思维方式。

一、运用新旧知识的联系，在类比中进行合情推理小学数学的知识面相对较窄，内容也比较少，这主要是为了能更好地适应小学生的学习发展需要。

因而，各个知识点之间联系比较紧密，很多的新知识其实都是旧知识的一个再包装。

所以，小学数学教师在对新知识的讲解中，不要忘记帮助学生复习与新知识相关联的旧知识，注重引导学生在学习过程中的合情推理，让学生的认知能得以融合，实现系统化，避免出现知识的孤立与知识盲区的存在。

例如，教师在教学中为学生讲解“比”这一概念时，可以让学生结合学过的除数和分数与之相比较，有利于学生快速理解“比”。