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合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
小学数学思想方法的梳理（四）四、推理思想1.推理思想的概念。
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。
推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。
推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。
演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。
演绎推理的特征是：当前题为真时，结论必然为真。
演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。
合情推理是从有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类化等推测某些结果。
合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。
当前提为真是，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。
（1）演绎推理。
三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。
三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。
例如：一切奇数都不能被2整除，（23+1）是奇数，所以（23+1）不能被2整除。
选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。
这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其他选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。
例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。
这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以它是个钝角三角形。
假言推理，假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。
例如：如果一个数的末尾是0，那么这个数能被5整除：这个数的末尾是0，所以这个数能被5整除。
这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地阿芳，但它不是三段论。
关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。
下面简单举例说明几种常用的关系推理：（1）对称性关系推理，如1米=100厘米，所以100厘米=1米；（2）反对称性关系推理，a大于b,所以b 不大于a；（3）传递性关系推理，a>b,b>c,所以a>c。
湘教版选修2《合情推理与演绎推理的关系》教案及教学反思前言本篇文档将介绍一份《合情推理与演绎推理的关系》教学案例，以及对该教案的教学反思和总结。
教案的内容以湘教版选修2为基础，以此教案，旨在帮助学生更好地理解合情推理与演绎推理的关系。
教学目标1.了解合情推理与演绎推理的基本概念；2.能够比较合情推理与演绎推理的区别和联系；3.能够运用合情推理和演绎推理解决实际问题；4.能够分析已有的推理结论是否正确或值得信赖。
教学过程第一步：引入通过提问“你听说过合情推理和演绎推理么？”来引入该教学内容，让学生了解本课所要学的知识点和学习的目的。
第二步：讲解首先是合情推理。
通过讲解实例，解释什么是合情推理以及其与直接经验、归纳推理和演绎推理的区别。
学生讨论并举例子分析生活中的实例。
其次是演绎推理。
以数学、物理等方面的实例，来阐述演绎推理的定义、特点和辨析，同时介绍演绎推理证明的方式和方法，引导学生在理论层面上理解演绎推理的本质。
接下来将合情推理与演绎推理进行对比和联系。
通过练习例题，让学生体会并感受合情推理和演绎推理的不同。
最后，教师通过总结的方式，概括出合情推理和演绎推理的联系、区别和各自的优缺点。
让学生在总结中加深对这两种推理模式的理解。
第三步：操作实践在本节课结束前，教师出若干个实际问题，并在黑板上列举出多种解决方法。
让学生运用所学的理论，对问题进行分析和综合评判，并在小组讨论的基础上总结出最合理和最科学的解决方案。
第四步：教学总结和反思教学过程结束后，老师和学生会对本节课的教学进行总结和反思。
通过平和的讨论方式，了解学生对该教学过程的看法和意见，听取学生对教学内容的感受，并对课堂效率、教师表现等进行评估，以此来更好地改进自己的教学方法。
教学反思本课是一堂综合性的课程。
在教学过程中，老师注重引导学生自主思考，激发学生的创造性思维，让学生更好地领会合情推理和演绎推理的区别和联系。
同时，老师还通过实例和习题展示来帮助学生理解这些理论知识的具体应用。
高考数学试题汇编第二节合情推理与演绎推理理（含解析）合情推理考向聚焦由已知条件归纳出一个结论或运用类比的形式给出某个问题的结论,是高考对合情推理的常规考法,从题型上看,以选择题、填空题为主,所占分值4~5分,属中低档题备考指津合情推理(归纳推理和类比推理)是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想.归纳推理时要做到归纳到位、准确;类比推理时,要从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑1.(2012年江西卷,理6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b 2=3,a 3+b3=4,a 4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )(A)28 (B)76 (C)123 (D)199解析:本题考查递推数列知识以及归纳推理的思想方法.记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123,即a10+b10=123.故选C.答案:C.涉及递推数列的某一项或通项的问题(尤其是小题)常常可借助归纳推理加以解决.2.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )(A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125解析:∵55=3125,56=15625,57=78125,58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现,∴52011=54×501+7末四位数字为8125.答案:D.3.(2012年陕西卷,理11,5分)观察下列不等式1+<,1++<,1+++<,……照此规律,第五个不等式为.解析:不完全归纳:第一个:1+<,第二个:1++<,第三个:1+++<,…归纳猜想:第n个:1+++…+<,故n=5时,1+++…+<.答案:1+++++<4.(2012年湖北卷,理13,5分)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则(1)4位回文数有个;(2)2n+1(n∈N+)位回文数有个.解析:已知1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有1001,1111,…,1991,2002,…,9999,共90个,以此类推,猜想2n+1位回文数与2(n+1)位回文数个数相等,均为9×10n个.答案:(1)90 (2)9×10n5.(2011年陕西卷,理13)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律,第n个等式为.解析:照等式规律,第n行的首位数字为n且有2n-1个相邻正整数相加∴n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2答案:n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)26.(2011年山东卷,理15)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))= .解析:观察分母的x的系数数列:1,3,7,15,…,a n,…而分母的常数项数列:2,4,8,16,…,b n,…∴b n=2n,a n=2n-1,∴当n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=答案:7.(2010年陕西卷,理12)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为.解析:观察已知等式13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,归纳可得,13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212,故应填13+23+33+43+53+63=212.答案:13+23+33+43+53+63=2128.(2010年浙江卷,理14)设n≥2,n∈N,(2x+)n-(3x+)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,将|a k|(0≤k ≤n)的最小值记为T n,则T2=0,T3=-,T4=0,T5=-,…,T n,…其中T n= .解析:由归纳推理得T n=.答案:此类题目要对所给的已知等式进行观察,分析其结构特征,再进行比较和联想,发现规律,归纳得出结论.演绎推理考向聚焦演绎推理也是高考重点考查的内容,渗透于各种题型的各个问题中,主要以综合题的形式考查演绎推理的基本步骤与严谨性,有时也会出现高难度题,12~14分备考指津在数学研究中,合情推理获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,它只能帮助我们猜想和发现结论,由已知条件归纳或类比出的结论,需要再运用演绎推理进行证明.也就是说,合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.在前提和推理形式都正确的情况下,利用演绎推理证明所得结论是正确的9.(2011年浙江卷,理20)如图,在三棱锥P ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A MC B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.(1)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC.又PO⊥平面ABC,所以PO⊥BC.因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA.(2)解:存在.如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连接CM,PD.由(1)知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.又AP⊂平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=(AO+OD)2+(BC)2=41,得AB=.在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+DB2=36,得PB=6.在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.又cos∠BPA==,从而PM=PB·cos∠BPA=2,所以AM=PA-PM=3.综上所述,存在点M符合题意,AM=3.演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理,在应用三段论来求解问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只有前提和推理形式是正确的,结论才是正确的.。
合情推理与归纳推理的关系合情推理和归纳推理，这俩词听上去可能有点高深，其实说白了就是咱们日常生活中常用的推理方式。
合情推理，顾名思义，就是要结合情理来分析问题。
想想看，咱们遇到麻烦事儿的时候，常常会根据以往的经验来判断，哦，可能是这样的，这种情况一般会这样发展。
这就是合情推理，特别像咱们平常聊天时，感觉到某个人情绪低落，没必要非得问个究竟，心里就知道大概发生了什么。
这种直觉就源自生活中的观察，真的是“见人说人话，见鬼说鬼话”的道理。
再说归纳推理，这个词听起来就像是个文艺范儿的家伙，给人一种复杂的感觉。
其实归纳推理就是把多个个例归结为一个一般性的结论。
比如，假设你在公园里见到五只小狗，每只都热情得不得了，你心里就琢磨着“哦，这个品种的小狗都特别友好！”这就是归纳推理，简单明了。
你从具体的实例出发，慢慢推到一个普遍的结论，像是从点到面，像极了咱们小时候看书，图文并茂的那种，明白了一个就能推导出更多的道理。
合情推理和归纳推理是如影随形的。
就像两位好朋友，一起玩耍，一个负责找乐子，一个负责分析情况。
合情推理在乎的是情感、语境，归纳推理则偏重于逻辑、事实。
咱们生活中每当遇到新情况，都少不了这两种推理的结合。
比如，你去朋友家做客，看到他们家有只猫特别粘人。
你心里不禁琢磨，难道这只猫对我有特别的好感？这就是合情推理。
不过，回头一想，可能是因为他们家平时就养猫，猫对来的人都这样热情，这就是归纳推理了。
而且啊，生活中这两者的关系往往不是那么清晰。
很多时候，你可能是先用合情推理判断，然后再用归纳推理来确认。
比如，看到一位同事在午餐时总是点沙拉，你心想“她一定很注重健康。
”这就合情推理。
但随着时间推移，发现她每天都是这样，你才开始觉得“哦，看来她的饮食习惯就是这样。
”这时你用到了归纳推理，合情和归纳在这里就像是热锅上的蚂蚁，互相作用，密不可分。
咱们说到这里，可能有人会问，这合情推理和归纳推理能在生活中带来什么好处呢？答案当然是非常实用啊！比如在职场上，合情推理可以帮助你了解同事的情绪，促进沟通。
归纳与技巧：合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：基础题必做1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8 5． 观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.[自主解答]依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(x＞0)．[答案]x(2n－1)x＋2n(x＞0)解题方法归纳1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1． 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.类 比 推 理典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解题方法归纳1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1演 绎 推 理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3． 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4． 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6． 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7． 设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋228 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29． 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.1． 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03． 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1． 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.2． 已知如下等式：3－4＝17(32－42)， 32－3×4＋42＝17(33＋43)， 33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)， 34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)， 则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)． 解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]。
第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后篇巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(n∈N*)B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*)C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(n∈N*)D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2(n∈N*),各等式的左边是2n-1(n∈N*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.2.已知不等式1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+122+132+142+152+162<()A.95B.115C.116D.136,第n(n∈N*)个不等式的左边=1+122+132+…+1(n+1)2,右边=2(n+1)-1n+1,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162<116.3.如图是元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所形成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是(),该五角星对角上的两盏灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,则下一个呈现出来的图形是A中的图形.故选A.4.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2n n2+n n(n∈N*),则可归纳猜想{a n}的通项公式为()A .a n =2nB .a n =2n +1 C .a n =1nD .a n =1n +1a 1=1,a 2=2n 12+n 1=23,a 3=2n 22+n 2=432+23=24,a 4=2n 32+n 3=2×122+12=25,……由此可猜想a n =2n +1(n ∈N *).5.设f (x )=1+n1-n ,记f 1(x )=f (x ),若f n+1(x )=f (f n (x )),则f 2 016(2 016)等于( ) A .2 016 B .-12016 C .-10091008D .10081009f 1(x )=1+n1-n ,f 2(x )=-1n ,f 3(x )=n -1n +1,f 4(x )=x ,f 5(x )=1+n1-n ,f 6(x )=-1n,f 7(x )=n -1n +1,f 8(x )=x ,……可得f n (x )是以4为周期的函数,因此f 2016(x )=f 504×4(x )=f 4(x )=x ,故f 2016(2016)=2016.6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,……如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( ) A .6(66-1)6-1只 B .66只 C .63只D .62只,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只),第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只),……故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B .7.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律,依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为( )A.81B.121C.364D.1 093,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形中小三角形个数的3倍加1,设第n 个黑色三角形内去掉小三角形的个数为a n ,则n=1时,a 1=1;n=2时,a 2=3×1+1=4;n=3时,a 3=3×4+1=13;n=4时,a 4=3×13+1=40;n=5时,a 5=3×40+1=121;n=6时,a 6=3×121+1=364.故选C .8.给出若干个数:√2+23,√3+38,√4+415,√5+524,……由此可猜测第n (n ∈N *)个数为 .,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n 个数为√n +1+n +1(n +1)2-1.n +1+n +1(n +1)2-19.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°; ②sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; ③sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°; ④sin 2(-18)°+cos 248°-sin(-18)°cos 48°; ⑤sin 2(-25)°+cos 255°-sin(-25)°cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.选择②式计算如下:sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=34.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证法一:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α(cos30°·cos α+sin30°sin α) =sin 2α+34cos 2α+√32sin αcos α+14sin 2α-√32sin αcos α-12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α=34.故上式成立.证法二:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos2n2+1+cos(60°-2n )2-sin α(√32cos n +12sin n )=1+12[12cos2n +√32sin2n -cos2n ]−√34sin2α-14(1-cos2α) =1-14cos2α-14+14cos2α=1-14=34.故上式成立. 10.已知下列等式成立:122-1=13,122-1+142-1=25,122-1+142-1+162-1=37,122-1+142-1+162-1+182-1=49,……试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.:第1个等式左边有1项,右边为12×1+1;第2个等式左边有2项,右边为22×2+1;第3个等式左边有3项,右边为32×3+1;第4个等式左边有4项,右边为42×4+1,由此可以归纳得出一般性的结论为122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=n2n +1(n ∈N *).以下用数列的方法证明该等式成立:122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n +1) =1211−13+13−15+15−17+…+12n -1−12n +1=12(11-12n +1)=n2n +1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
合情推理合情推理是波利亚的"启发法"(heuristic, 即"有助于发现的")中的一个推理模式.通过对问题解决过程特别是对已有的成功实践的深入研究,波利亚发现,可以机械地用来解决一切问题的"万能方法"是不存在的;在问题解决过程中,人们总是针对具体情况,不断地向自己提出有启发性的问句,提示,以启动与推进思维的小船。
合情推理的模式(归纳和类比)还须予以解释,它是指观察,归纳,类比,实验,联想,猜测,矫正与调控等方法.目录主要特征方法模式举例意义乔治·波利亚著作简介合情推理是波利亚的"启发法"(heuristic, 即"有助于发现的")中的一个推理模式.波利亚多年深入研究数学问题解决过程(problem solving一般被误译为"解题",这里把它译为"问题解决")得出的理论成果.波利亚对启发法解释道:"现代启发法力求了解问题解决过程,特别是问题解决过程中典型有用的智力活动.……在这种研究中,我们不应忽视任何一类问题,并且应当找出处理各类问题所共有的特征来;我们的目的应当是找出一般特征而与主题无关."可见波利亚的启发法讲的是问题解决在数学方法论上的共同点.启发法源于他对问题解决的研究,问题解决就是"在没有现成的解题方法时寻找一条解题途径,就是从困难中找到出路,就是寻求一条绕过障碍的道路,由适当的方法达到所要去的而不能立即达到的目的".这说明波利亚早在50年前就已经把问题和问题解决的主要特征搞清楚了.通过对问题解决过程特别是对已有的成功实践的深入研究,波利亚发现,可以机械地用来解决一切问题的"万能方法"是不存在的;在问题解决过程中,人们总是针对具体情况,不断地向自己提出有启发性的问句,提示,以启动与推进思维的小船.因此,他试图总结出一般的方法或模式,这些方法和模式在以后的问题解决活动中可起到启发和指导的作用.波利亚曾著书给出这样一些启发性的模式或方法:分解与组合,笛卡尔模式,递归模式,叠加模式,特殊化方法,一般化方法,"从后往前推",设立次目标,合情推理的模式(归纳和类比),画图法,"看着未知数",回到定义去,考虑相关的问题,对问题进行变形,等等.特别引人注意的是,波利亚把问题和建议按照问题解决过程的4个阶段组成了他的"怎样解题表".这4个阶段依次是:弄清问题,制定计划,实施计划和回顾,这就是著名的波利亚问题解决四阶段模式.波利亚建议:"只要应用得当,如果你向自己提出表中的这些问题与建议,它们就可以帮助你解决你的问题;而如果你向你的学生提出同样的问题与建议,你就可以帮助解决他们的问题."在上述启发法框架中提到的合情推理的模式(归纳和类比)还须予以解释,它是指观察,归纳,类比,实验,联想,猜测,矫正与调控等方法.波利亚很早就注意到"数学有两个侧面,……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学;但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学."因此,他明确提出有两种推理:论证推理可用来确定数学知识,合情推理可用来为猜想提供依据,即波利亚给我们指出数学思维不是纯"形式"的,它所涉及的不仅有公理,定理,定义及严格的证明,而且还有许许多多其它方面:推广,归纳,类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等等,数学教师应使学生了解这些十分重要的"非形式"思维过程.在日常生活中,合情推理几乎无处不在,比如:"它可能是……"(猜测),"做出来看一看"(实验),"由上所述可得……"(归纳),"将人心比自心"(类比),"可以想象"(联想),"实践是检验真理的唯一标准"(检测)等.在社会生活中,医生诊断疾病,法官审判案件,军事家指挥战争,人际交往等都应用合情推理.贯彻任何科学发现的思维,也主要是合情推理:量子力学方程是猜出来的;球体公式是阿基米德"称"出来的;在对热在金属中流动的观察研究中,傅立叶发明了级数;而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果.由上可以看出,"我们所学到的关于世界的任何新的东西都包含着推理,它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理".合情推理是各学科之间,社会生活中的文化大使,是现代化社会公民的必备文化素质.因此加强合情推理的教育将有助于发挥学科的两个功能,并学会发现和发明的方法.科学思维具有两重性:一类是进行论证推理的逻辑思维;另一类则是形象思维.形象思维最直接的层面是合情推理.逻辑思维是在"抓到真理"后进行完善和"补行证明"的思维,而合情推理则是"发现真理"的思维.因此,波利亚呼吁:"让我们教猜想吧!"我国的理科教学,历来较多强调逻辑推理,而对合情推理有所忽视.再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息,不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓.因此,"既教证明,又教猜想",给合情推理能力的教学以适当的地位,是开发学生创造性素质的需要,是全面提高学生优秀文化素质的需要,是全面开发大脑潜力的需要.我们在教学实践中认识到加强合情推理的教学,还可以使受教育者将日常事务中积累的经验,方法用于学习,提高学习的兴趣,提高解决问题的能力.而在其中,又将那自然状态下的合情推理,提高到一个更加合理更加科学的层次,以至成为"科学发现的金钥匙".为保证加强合情推理教育的观念得到落实,并为教师提供一个可操作的教学样式,我们构建了合情推理教学模式.若在教学中能正确地使用合情推理的教学模式,至少不会削弱学科教学的技术功能,而文化教育功能将得到明显的加强,学生有效地应用合情推理的技能得到提高,创造能力得到加强,教学质量也将有一定的提高,同时将有一批科研型的教师脱颖而出.乔治波利亚(1887-1985),是美籍匈牙利数学家,数学教育家.在数学教育方面他有3部世界名著:《怎样解题》,《数学与猜想》,《数学的发现———对解题的理解,研究和讲授》.这3本书在我国有5个译本,其中《怎样解题》发行量已过百万册;著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书:"每个大学生,每个学者,特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书".波利亚也谦虚地评价自己说:"在问题解决方面以及讲授各种水平的数学方面,作者可以提供一些经验".可见波利亚的数学教育思想对世界和我国数学教育的影响非常深远.他的名著有:〔美〕乔治.波利亚.怎样解题〔M〕.阎育苏译.北京:科学出版社,1982.〔美〕乔治.波利亚.数学与猜想(第一卷)〔M〕.李心灿译.北京:科学出版社,1984.〔美〕乔治.波利亚.数学与猜想(第二卷)〔M〕.李心灿译.北京:科学出版社,1984.〔美〕乔治.波利亚.数学的发现(第一卷)〔M〕.欧阳绛译.北京:科学出版社,1985.〔美〕乔治.波利亚.数学的发现(第二卷)〔M〕.刘景麟译.呼和浩特:内蒙古人民出版社, 1981.逻辑推理与合情推理数学思维涉及很多成份，但它的核心是逻辑推理。
在教学中，应该使学生能根据已有事实进行数学推测和论断和解释，养成“推理有据”的习惯，能够反思自己的思考过程；使他们能够理解他人的思考方式和推理过程，并能与他人沟通。
逻辑推理表现了一种由已知推求未知的过程，这一过程所经历的心理活动，就是思维活动。
在解决问题过程中，学生进行逻辑推理有以下二种情况。
第一种是演绎推理。
演绎推理是以一个被认同的命题为前提，推演到其它命题，得到一个论论的思维方法。
如逻辑中的三段论法，就是最典型的演绎推理。
有一种说法，说小学生开展演绎推理能力比较薄弱，这种说法并不全面。
一般说来，小学生在解决问题的过程中能进行演绎推理，但演绎推理中涉及的材料相对比较具体。
第二种是归纳推理。
归纳推理是以观察到多个事例后所获的经验为根据，由此归结出一个概括性的原则的一种思维过程。
归纳推理具有完全归纳与不完全归纳两种情况。
学生在解决问题的过程中，以不完全归纳为多。
对学生解决问题的过程的观察表明，学生在思考问题时除了演绎推理和归纳推理之外，还有第三种方法。
这就是“捷径推理”或“合情推理”。
合情推理是指在解决问题过程中，学生根据经验进行猜测和推导的一种思维过程。
表面上看，学生在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的表现形式。
表明，这种合情推理是不按常理看问题，但仔细分析却有一定道理。
这一推理方式，有时在解决问题的过程中可收事半功倍之效。
在“捷径推理”过程中，直觉和顿悟发挥了很大的作用。
直觉和顿悟是数学发现的重要因素。
首先，直觉和顿悟在发现有价值的研究对象和问题时具有重要作用。
其次，在研究的思路同时存在几种可能时，直觉和顿悟能帮助人们快速地从中作出抉择；再次，当解决问题的逻辑通道阻塞，思路发生中断时，直觉和顿悟能够帮助人们打破僵局，另辟全新思路。
因此，直觉和顿悟是数学学习的重要能力。
让“合情推理”与“逻辑推理”相得益彰□ 蒲大勇众所周知，推理是数学的基本思维方式，包括合情推理和演绎推理。
合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理。
长期以来，数学教学强调了严谨的逻辑推理而忽视了生动活泼的合情推理，新一轮课程改革提出既要发展学生合情推理能力，又要发展学生初步的演绎推理能力。
然而，实践中却出现了一种倾向——注重了合情推理却忽视了逻辑推理。
【案例】人教版九年级数学《相似三角形的判定》教学片段。
师：我们已知道，要判定两个三角形相似，必须知道这两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
那么，有没有比这更简便的判定方法呢？（师出示两个45°角的直角三角尺，其中一个为教具，另一个为学生用的小三角尺）师：请同学们认真观察这两个三角尺，看看它们有什么关系？生1：它们的形状相同，大小不一样。
生2：这两个三角尺相似。
（师提示观察它们的角）生3：两个三角尺的三个角分别相等。
生4：两个三角尺的边长不相等。
师：同学们观察得很仔细，这两个看起来相似的三角尺，它们的对应角分别相等。
