2019-2020学年度第一学期高一数学10月份联考试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.下列五个写法：①{}{}01,2,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅I .其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，以及集合与集合的运算来判断出以上五个写法的正误.【详解】对于①，∈表示元素与集合之间的关系，故①错；对于②，∅是任何集合的子集，故②对； 对于③，{}{}0,1,21,2,0=，{}{}0,1,21,2,0⊆成立，故③对；对于④，0∉∅，故④错； 对于⑤，表示的集合与集合的交集运算，故⑤错.故选：C.【点睛】本题考查集合部分的一些特定的符号，以及集合与集合的关系、元素与集合的关系，考查对集合相关概念的理解，属于基础题.2.若1∈{x ，x 2}，则x =（ ）A. 1B. 1-C. 0或1D. 0或1或1-【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1，进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x 2=1，解可得x =-1或x =1（舍），当x =-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x =-1， 故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设集合A 和集合B 都是自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中元素n 映射到集合B 中的元素2n n +，则在映射f 下，像20的原像是（ ） A. 2 B. 4或5-C. 4D. 5-【答案】C 【解析】 【分析】设象20在映射f 下的原象为x ，根据题意得出220x x +=，解出自然数x 的值即可.【详解】设象20在映射f 下的原象为x ，由题意可得220x x x N⎧+=⎨∈⎩，解得4x =，故选：C.【点睛】本题考查映射的概念，理解象与原象的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.已知实数集R ，集合{}04M x x =≤≤，集合N x y ⎧⎫==⎨⎩，则()R M N =I ð（ ） A. {}01x x ≤< B. {}01x x ≤≤C. {}14x x <≤D. {}14x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】解出集合N ，然后利用补集的定义和交集的定义计算出集合()R M N I ð.【详解】{}{}101N x y x x x x ⎧===->=>⎨⎩，{}1R N x x ∴=≤ð， 的因此，(){}01R M N x x ⋂=≤≤ð，故选：B.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，考查计算能力，属于基础题. 5.若a =b =+a b 的值为（ ）A. 1B. 5C. 1-D. 25π-【答案】A 【解析】 【分析】利用根式的性质求出a 、b ，即可得出+a b 的值. 【详解】由根式的性质得3a π==-，22b ππ==-=-，因此，()()321a b ππ+=-+-=，故选：A.【点睛】本题考查根式的性质，,3,2a n n a n n ≥⎧⎪=⎨≥⎪⎩且为奇数且为偶数进行计算，考查计算能力，属于基础题.6.已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域是（ ）A. ()(],22,3-∞--UB. [)(]8,22,1---U C. (]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U D. 9,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解出该不等式组可得出函数()y g x =的定义域.【详解】由于函数()y f x =的定义域为[]8,1-，由题意得821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得902x -≤≤且2x ≠-，因此，函数()()212f xg x x +=+的定义域是(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U ， 故选：C.【点睛】本题考查抽象函数的定义域，对于抽象函数的定义域，一般要利用中间变量取值范围一致来列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知函数()22f x x x =-在区间[]1,t -上的最大值为3，则实数t 的取值范围是（ ）A. (]1,3B. []1,3C. []1,3-D. (]1,3-【答案】D 【解析】 【分析】分11t -<≤和1t >，分析函数()y f x =在区间[]1,t -上的单调性，得出函数()y f x =的最大值，并结合()3f t ≤得出实数t 的取值范围.【详解】二次函数()22f x x x=-图象开口向上，对称轴为直线1x =.①当11t -<≤时，函数()22f x x x =-在区间[]1,t -上单调递增，则()()max 13f x f =-=； ②当1t >时，函数()22f x x x =-在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,t 上单调递增，此时，函数()y f x =在1x =-或x t =处取得最大值，由于()()max 31f x f ==-， 所以，()223f t t t =-≤，即2230t t --≤，解得13t -≤≤，此时13t <≤.综上所述，实数t 的取值范围是[]1,3-，故选：D.【点睛】本题考查二次函数的最值问题，属于定轴动区间型，解题时要分析二次函数在区间上的单调性，借助单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.的8.已知函数()f x 为偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，若()32f -=-，则不等式()2f x ≥-解集为（ ） A. []3,0- B. []3,3-C. [3,)-+∞D. (][),33,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，由偶函数的性质得出()()f x f x =，将不等式()2f x ≥-化为()()3f x f ≥-，变形为()()3f x f ≥，再利用函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性求解.【详解】由于函数()y f x =是偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，则该函数在区间[)0,+∞上单调递减，且有()()f x fx =，()32f -=-Q ，由()2f x ≥-，得()()3f x f ≥-，则有()()3f x f ≥，3x ∴≤，解得33x -≤≤，因此，不等式()2f x ≥-的解集为[]3,3-，故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在函数为偶函数的前提下，充分利用性质()()f x f x =，借助函数在[)0,+∞上的单调性求解，可简化计算，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.9.设函数()21,1{2,1xx x f x ax x +≤=+>，若()()14f f a =，则实数a 等于（ ） A.12B.43C. 2D. 4【答案】C 【解析】试题分析：因为()21,1{2,1x x x f x ax x +≤=+>，所以()()()()12,12424,2f f f f a a a ===+==，故选C.的考点：分段函数的解析式.10.已知17a a+=，则1122a a -+= A. 3 B. 9 C. –3 D.【答案】A 【解析】 【分析】令11220a a t -+=>，求出212729t a a =++=+=，从而可得结果.【详解】令11220a a t -+=> 那么212729t a a=++=+= 所以3t =即1122a a -+=3，故选A.【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题.11.已知=1fx =+，则函数()y f x =的值域为（ ）A. [)0,+∞B. [)4,+∞C. 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】设0t =≥，利用换元法求出函数()y f x =的解析式，然后利用二次函数的性质求出该函数的值域.详解】设0t =≥，则23x t =+，由=1fx =+可得()24f t t t =++，所以，函数()y f x =的解析式为()24f x x x =++，其中0x ≥.()211524f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭Q ，则该函数在[)0,+∞上单调递增，则()()min 04f x f ==.因此，函数()y f x =的值域为[)4,+∞，故选：B.【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式，同时也考查了二次函数的值域问题，在求解二次函数的值域问题时，要充分结合二次函数的单调性，结合定义进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0k =、1、2、3、4，给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；②[][][][][]01234Z =；④若整数a 、b 属于同一“类”，则“[]0a b -∈”，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断.【详解】对于①，201354023=⨯+Q ，[]20133∴∈，结论①正确； 对于②，253-=-+，[]23∴-∈，结论②错误；对于③，对于任意一个整数，它除以5的余数可能是0、1、2、3、4，[][][][][]01234Z ∴=U U U U ，结论③正确；对于④，整数a 、b 属于同一“类”，设a 、[]b k ∈，0k =、1、2、3、4，则存在m 、n Z ∈，使得5a m k =+，5b n k =+，()()()[]5550a b m k n k m n ∴-=+-+=-∈，结论④正确.故选：C.【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.计算：()12223092739.6482-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 【答案】32【解析】 【分析】利用指数的运算律可得出代数式的值.【详解】()121222322323092733339.61482223311222--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⨯=+-⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣+⎦=-=⎣⎦，故答案为：32. 【点睛】本题考查指数的运算律，在计算时要注意两个问题：（1）带分数化为假分数；（2）小数化为分数.并利用指数的运算律进行求解，考查计算能力，属于基础题.14.将集合(){},2316,,x y x y x y N +=∈用列举法表示为___________________.【答案】(){2,4,()5,2,()8,0} 【解析】 【分析】将方程2316x y +=变形可得出y 为偶数且5y ≤，由此可得出所求集合.【详解】2316x y +=Q ，()316228y x x ∴=-=-，且x 、y N ∈，y ∴为偶数且5y ≤. 当4y =时，2x =；当2y =时，5x =；当0y =时，8x =. 故答案为：()()(){}2,4,5,2,8,0.【点睛】本题考查集合的表示，关键就是集合中的方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.若函数()2f x mx x m =--在区间(),1-∞上是单调减函数，则实数m 的取值范围是____________.【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对m 分0m =，0m >，0m <三种情况讨论，利用一次函数中一次项系数的正负，二次函数图象的开口方向与对称轴讨论函数()y f x =在区间(),1-∞上的单调性，可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）当0m =时，()f x x =-，该函数在区间(),1-∞上是单调减函数，合乎题意； （2）当0m ≠时，二次函数()2f x mx x m =--的对称轴为直线12x m=. 当0m >时，二次函数()2f x mx x m =--的图象开口向上，要使得函数()y f x =在区间(),1-∞上为减函数，则112m ≥，解得102m <≤； 当0m <时，二次函数()2f x mx x m =--的图象开口向下，对称轴为直线102x m=<，则函数()y f x =在区间1,2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在区间1,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不合乎题意； 综上所述，实数m 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查变系数的二次函数的单调性问题，一般要对首项系数进行分类讨论，结合二次函数图象的开口方向和对称轴来讨论函数的单调性，考查分类讨论思想，属于中等题.16.函数()()()23,21,2x ax a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]1,4- 【解析】 【分析】由题意得出函数23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且有23y x ax a =-+在2x =处的取值大于等于函数1y x =+在2x =处的取值，由此列出不等式组解出实数a 的取值范围. 【详解】由于二次函数23y x ax a=-+图象开口向上，对称轴为直线2a x =. 由题意可知，函数23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，则22a≤，得4a ≤. 且有222321a a -+≥+，解得1a ≥-，所以，14a -≤≤， 因此，实数a 的取值范围是[]1,4-，故答案为：[]1,4-.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他12分，共70分）17.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}37A x x x U =≤≤∈且，{}3,B x x n n Z x U ==∈∈且.（1）写出集合B 的所有子集；（2）求AB ，U A B U ð.【答案】（1）∅，{}3，{}6，{}9，{}3,6，{}3,9，{}6,9，{}3,6,9；（2）{}3,6A B =I ，{}1,2,3,4,5,6,7,8U A B =U ð. 【解析】 【分析】（1）根据题意写出集合B ，然后根据子集的定义写出集合B 的子集； （2）求出集合A ，利用交集的定义求出集合A B ，利用补集和并集的定义求出集合U A B U ð.【详解】（1）{}3,B x x n n Z x U ==∈∈且，∴{}3,6,9B =，因此，B 的子集有：∅，{}3，{}6，{}9，{}3,6，{}3,9，{}6,9，{}3,6,9；（2）由（1）知{}3,6,9B =，则{}1,2,4,5,7,8U B =ð， {}{}373,4,5,6,7A x x x U =≤≤∈=且，因此，{}3,6A B =I ，{}1,2,3,4,5,6,7,8U A B =U ð. 的【点睛】本题考查有限集合的子集，以及补集、交集和并集的运算，考查计算能力，属于基础题.18.设集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-. （1）若4m =，求A B ；（2）若B A B =I ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）(],3-∞.【解析】【分析】（1）将4m =代入集合B ，利用并集的定义可求出集合A B ；（2）由B A B =I 得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，列出有关m 的不等式组解出即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意：集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.当4m =时，{}57B x x =≤≤，{}27A B x x ∴⋃=-≤≤；（2）B A B =Q I ，B A ∴⊆.当B =∅时，满足题意，此时121m m +>-，解得：2m <；当B ≠∅时，21215m m -≤+≤-≤，解得：23m ≤≤；综上所得：当B A ⊆时，实数m 的取值范围为(],3-∞．【点睛】本题考查集合的并集运算，同时也考查了利用集合间的包含关系求参数，在含参数的集合的问题中，要注意对集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合题意求解，考查计算能力，属于中等题. 19.已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【解析】【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.20.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上是单调的，试确定a 的取值范围．【答案】（1）()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<；（2）(]1,3. 【解析】试题分析：（1）设0x <0x ->()()()2222f x x x x x -=--+-=--，又()()f x f x -=-0x <时，()22f x x x =+()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<；（2）根据（1）作出函数()f x 的图象， 根据()f x 的单调性，并结合函数()f x 的图象21{21a a ->--≤13a <≤.试题解析：（1）设0x <，则0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+-=--又函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以0x <时，()22f x x x =+ 所以()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<（2）根据（1）作出函数()f x 的图象，如下图所示：又函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增， 结合函数()f x 的图象，知21{21a a ->--≤， 所以13a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,3考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.21.已知函数()1f x x x=+． （1）判断函数()f x 在()0,1内的单调性，并用定义证明；（2）当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，210x ax -+≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）函数()y f x =在()0,1上是单调减函数，证明见解析；（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出该函数在区间()0,1上的单调性；（2）由210x ax -+≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用参变量分离法得出1a x x ≤+，利用函数()1f x x x =+上的单调性求出该函数在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，()()()()121212121212121211111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为1201x x <<<，所以120x x -<，1201x x <<，所以1210x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =在()0,1上是单调减函数；（2）由210x ax -+≥得211x a x x x +≤=+恒成立， 由（1）知，函数()1f x x x =+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数， ∴当12x =，()1f x x x =+取得最小值()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，52a ∴≤． 因此，实数a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，以及利用参变量分离法求解函数不等式恒成立问题，解题时要充分利用函数的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22.函数()2223f x x ax =-+在区间[]1,1-上的最小值记为()g a ． （1）当2a =时，求函数()f x 在区间[]1,2-上的值域；（2）求()g a 的函数表达式；（3）求()g a 的最大值．【答案】（1）[]1,9；（2）()()()()225,23,22252,2a a a g a a a a ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩；（3）()max 3g a =. 【解析】【分析】（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，利用二次函数的性质求出函数()y f x =在区间[]1,2-上的最大值和最小值，从而可得出此时函数()y f x =在区间[]1,2-上的值域；（2）对二次函数()y f x =的对称轴与区间[]1,1-的位置关系进行分类讨论，分析函数()y f x =在区间[]1,1-上的单调性，可得出函数()y f x =在区间[]1,1-上的最小值()g a 的表达式；（3）求出分段函数()y g a =在每一段定义域上的值域，可得出该函数的最大值.【详解】（1）当2a =时，()()22243211f x x x x =-+=-+，当1x =时，函数()y f x =取最小值，即()()min 11f x f ==；当1x =-时，函数()y f x =取最大值，即()()max 19f x f ==.因此，函数()y f x =在区间[]1,2-上的值域为[]1,9；（2）①当2a <-时，函数()y f x =的对称轴12a x =<-， 此时，函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递增，则()()125g a f a =-=+；②当22a -≤≤时，函数()y f x =的对称轴[]1,12a x =∈-， 此时，函数()y f x =在区间1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 则()2322a a g a f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ③当2a >时，函数()y f x =的对称轴12a x =>， 此时，函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递减，则()()152g a f a ==-．综上所述，()()()()225,23,22252,2a a a g a a a a ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩； （3）①当2a <-时，()251g a a =+<；②当22a -≤≤时，()[]231,32a g a =-∈； ③当2a >时，()521g a a =-<．由①②③可知()max 3g a =．【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了分段函数最值的求解，在求解含参二次函数在定区间上的最值时，要注意分析二次函数图象的开口方向以及对称轴与定义域的位置关系，分析二次函数在定义域上的单调新，结合单调性得出二次函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
