江西师大附中新高一入学考试数学模拟试卷

2024届江西师范大学附中数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为( )A ．43B ．23C ．43D ．4332．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12πC ．82πD ．10π3．要得到函数的图象，只要将函数的图象( )A ．向左平行移动个单位B ．向右平行移动个单位C ．向右平行移动个单位D ．向左平行移动个单位4．已知函数()tan f x x =，则下列结论不正确的是（ ） A ．2π是()f x 的一个周期 B ．33()()44f f ππ-= C ．()f x 的值域为RD ．()f x 的图象关于点(,0)2π对称5．已知0a >，若关于x 的不等式22(1)()x ax ->的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是（） A ．43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-，7．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，,P Q 分别在线段,AB BO 上运动，则MPQ ∆的周长的最小值为( ) A ．4B ．5C ．25D ．349．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 是等比数列； ②{}1n n a a +是等比数列； ③{}1n n a a ++是等比数列； ④{}lg n a 是等差数列． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．函数12xy x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江西师大附中高三年级开学考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内） 1．若i b i i a -=-)2(，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=（ ） A ．0B ．2C ．25 D ．52．设集合{}|41|9,A x x x R =-≥∈, |0,3x B x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭,则=B A I （ ） A ．]2,3(-- B ．5(3,2][0,]2--U C ．5(,3][,)2-∞-+∞U D ．5(,3)[,)2-∞-+∞U 3．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．22．43π D ．2π 4．设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(22,22)+B ．(4,0)-C ．(22,22)---+D ．(0,4)6．曲线ln y x x =+在点(1,1)M 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．457．执行如上图所示的程序框图，若输出的结果是9， 则判断框内m 的取值范围是（ ） A ．(42,56] B ．(56,72] C ．(72,90] D ．(42,90) 8．要得到函数cos y x =的图像，只需将函数sin(2)4y x π=+的图像上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度9．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++(,)x y R ∈，(1)2f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．910．点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且1290F PF ∠≤o ，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．02e <≤B.12e ≤<C.01e <<D. 2e =二、填空题 （本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将正确答案填写在答卷上） 11．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3b B π==，且sin cos c A C =，则ABC ∆的面积为 ．12．已知函数2log ,0,()2,0x x x f x x >⎧=⎨<⎩，则1()(2)4f f +-= .13．若抛物线28y x =的焦点与双曲线221x y m-=的右焦点重合，则双曲线的离心率为 .14．实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y x -+的取值范围是 .15．关于平面向量,,a b c r r r ，有下列三个命题：①若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r ； ②若(1,),(2,6)a k b ==-r r，a r ∥b r ，则3k =-；③非零向量a r 和b r 满足||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角为60o．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前4项和为10，且237,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .17．（本小题满分12分）函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.（1）求)(x f 的最小正周期及解析式；（2）设x x f x g 2cos )()(-=，求函数)(x g 在区间]2,0[π上的最小值.18．（本小题满分12分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时． （1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲停车付费恰为6元的概率；（2）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．ECPAF19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==.四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==.E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点. （1）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；（2）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长； 若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x 3，且点3在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，PH x ⊥轴，H为垂足，点Q 满足PQ HP =u u u r u u u r，直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ,4BM BN =u u u u r u u u r．求证：OQN ∠为锐角．21．（本小题满分14分）已知函数311()ln (,0).33f x x a x a R a =--∈≠ （1）当3a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.江西师大附中高三年级开学考试数学（文）答题卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．题号1 2 3 4 5 6 7 8 91答案二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11． 12． 13． 14． 15．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）17．(12分)EC DPA F18．（ 12分）19．（ 12分）20．（ 13分）21．（ 14分）江西师大附中高三数学（文科）8月考试试题答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 91答案D D A A D A B C CA二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）74-14.1[,1)2- 15.②三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解：（1）设数列}{na的首项为1a，公差为d，由题意知⎩⎨⎧++=+=+).6)(()2(,106411211dadadada解得123ad=-⎧⎨=⎩，35na n∴=-.（2）35112284--===⋅Q n a n nnb∴数列{}n b是首项为41，公比为8的等比数列，1(18)814.1828nnnS--∴==-17．解：（1）由图可得263221πππ=-==TA，，.2Tπω∴==.当6π=x时，1)(=xf，可得1)62sin(=+⨯ϕπ，)62sin()(.6,2||ππϕπϕ+=∴=∴<xxfΘ.（2）xxxxxxxfxg2cos6sin2cos6cos2sin2cos)62sin(2cos)()(-+=-+=-=πππ)62sin(2cos 212sin 23π-=-=x x x . 65626,20ππππ≤-≤-∴≤≤x x Θ. 当662ππ-=-x 即0=x 时，)(x g 有最小值为21-.18．解：（1）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ，则 41)12531(1)(=+-=A P ． ∴甲临时停车付费恰为6元的概率是41． （2）设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =．则甲、乙二人的停车费用共有16种等可能的结果：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6), (30,14),(30,22),(30,30).其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)4种情形符合题意． ∴“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==．19．证明：（1）Q 平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD I 平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC .∴PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥．又Q AB AD ⊥，PA AB A =I ，∴AD ⊥平面PAB 而AD ⊂平面AFD ， ∴平面AFD ⊥平面PAB ．（2）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.证明如下:在Rt PAC ∆中，过点A 作AF PC ⊥于点F ，由已知，AB AD ⊥，BC AD P ，1AB BC ==，2AD =． 易知CD AC ⊥.由（1）知，PA ⊥平面ABCD ，.PA CD ∴⊥ 又PA AC A =Q I ，CD ∴⊥平面PAC .又AF ⊂平面PAC ，CD AF ∴⊥.又CD PC C =Q I ，AF ∴⊥平面.PCD在PAC ∆中，2,2,90PA AC PAC ==∠=o ，可求得266,3PC PF ==∴存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直，此时线段PF 26．20．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b b +=>>，由题意可得 3c e a ==又222c b a +=，∴224b a =.∵椭圆C 经过3(1,2，代入椭圆方程有 2231414b b+=，解得21b =. ∴24a =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设000(,)(22)P x y x -<<，∵(2,0)A -，∵PQ HP =，∴00(,2)Q x y ，∴直线AQ 的方程为002(2)2y y x x =++． 令2x =，得008(2,)2y M x +． ∵(2,0)B ，4BM BN =u u u u r u u u r， ∴00(2,)2y N x +． ∴00(,2)QO x y =--u u u r ，00002(1)(2,)2y x QN x x -+=-+u u u r ．∴()()2000000000002(1)4(1)2(2)222y x y x QO QN x x y x x x x -++⋅=--+-⋅=-+++u u u r u u u r∵220014x y +=，∴220044y x =- ∴02QO QN x ⋅=-u u u r u u u r ∵022x -<<， ∴020QO QN x ⋅=->u u u r u u u r．又O 、Q 、N 不在同一条直线，∴OQN ∠为锐角.21．解：（1）当3a =时，311()3ln ,(1)033f x x x f =--=， 23(),(1)2f x x f x''∴=-∴=-， ∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程220x y +-=.（2）32()(0)a x a f x x x x x -'=-=> ①当0a <时， 3'()0x a f x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为(0,).+∞②当0a >时，令()0f x '=，解得x =x =。

江西师大附中2019-2020高一年级10月月考数学试题命题人：郑辉平 审题人：朱涤非第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数()()0112x f x x x -=+--的定义域为（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．()()1,22,+∞D ．[)()1,22,+∞【答案】C2．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A.()U B A CB. ()()C B B AC.()()U A C BD. ()()U A C B【答案】C3．给出下列关系式：2Q ； ②{1,2}{(1,2)}=； ③2{1,2}∈； ④{0}∅⊆，其中正确关系式的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C4．下列集合中子集个数最多的是（ ）A ．{}2|320x N x x ∈++=B ．{|x x 是边长分别为123，，的三角形}C ．{|||1}x R x ∈=-D ．{}∅【答案】D5.下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）A ．(3)(5)(),()53x x f x g x x x +-==-+ B ．2(),()f x x g x x == C ．()25,()25f x x g x x =-=-D ．33(),()f x x g t t ==【答案】D6.已知函数2()25f x x ax =-+，且其对称轴为1x =，则以下关系正确的是( )A. (3)(2)(8)f f f -<<B. (2)(3)(8)f f f <-<C. (3)(2)(8)f f f -=<D. (2)(8)(3)f f f <<-【答案】B 【解析】根据题意，函数52)(2+-=ax x x f ，其对称轴为1=x ，其开口向上，)(x f 在),1[+∞上单调递增，则有)8()5()3()2(f f f f <=-<，故选B.7.若()()()()⎩⎨⎧≥-<-=10,610,2x x f x x x f ,则(57)f 的值为（ ） A. 1 B.3 C.5 D. 7【答案】D【解析】由题意得，729)9()45()51()57(=-==⋅⋅⋅===f f f f8.设}5,4,3,2,1{=U ，B A ,为U 的子集，若}2{=B A ，((){4}U A B =,()(){1,5}U U A B =，则下列结论正确的是（ ） A ．3,3A B ∉∉ B ．3,3A B ∉∈ C ．3,3A B ∈∉ D ．3,3A B ∈∈ 【答案】C 9.若函数223,1()1,1x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是减函数，则a 的取值范围是（ ）A.[3,1]--B.(,1]-∞-C.[1,0)-D.[2,0)- 【答案】A10．定义集合的商集运算为},,|{B n A m nm x x B A ∈∈==，已知集合}6,4,2{=A ， },12|{A k k x x B ∈-==，则集合B AB 元素的个数为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 【答案】A 【解析】由题意知，}2,1,0{=B ，}31,1,61,41,21,0{=A B，则}2,31,1,61,41,21,0{=B A B ，共有7个元素，选A.11．已知()x x f 23-=，()x x x g 22-=，()()()()()()(),,g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩若若，则()x F 的最值是（ ）A.最大值为3-，最小值为1-B.最大值为727-，无最小值C.最大值为3，无最小值D.既无最大值，又无最小值【答案】B 【解析】如图实线部分可知， 有最大值为727-，无最小值，故选B.12．已知函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数有如下说法：①的图像关于y 轴对称； ②方程的解只有；③任取一个不为零的有理数T ，)()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立； ④不存在三个点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B ,))(,(33x f x C ，使得ABC ∆为等边三 角形． ()f x ()f x (())f f x x =1x =。

江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}220,1||A x x B x x =+>=>，则A B = （）A ．{}|21x x -<<B ．{}|1x x >C ．{|21x x -<<-或}1x >D ．{|1x x <-或}1x >2．已知集合{}{}1,1,2,41,2,4,16M N =-=，.给出下列四个对应法则：①1y x=；②1y x =+；③y x =；④2y x =.请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②④3．已知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，则对实数120,0x x >>，“12x x >”是“()()12f x f x <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()233xx f x =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．若函数()y f x =为奇函数，则它的图象必经过点（）A ．()0,0B ．()(),a f a --C ．()(),a f a -D ．()(),a f a ---6．已知函数11(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点A ，且点A 在直线(,0)y mx n m n =+>上，则11m n+的最小值为（）A ．4B ．1C ．2D ．327．设()f x 是定义在R 上的奇函数、对任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2121f x f x x x ->-且(1)0f =、则不等式()0xf x >的解集为（）A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 8．已知函数()2,123,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎝⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．命题“0x ∀>，都有e 1x x >+的否定是“0x ∃>，使得e 1≤+x xB ．若0a b >>，则11a ab b+>+C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数D ．函数()y f x =的定义域为[]2,3，则函数()21y f x =-的定义域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()e 1e 1x x f x -=+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为()1,1-C ．()()0f x f x +-=D ．函数()f x 为减函数11．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于()1,2中心对称.若()()424f x f x x --=-，则（）A ．()()4214f x f x -+-=B ．()()244f f +=C ．()12y f x =+-为奇函数D ．()22y f x x =++为偶函数三、填空题12()1132081π3274⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．已知幂函数()()215m f x m m x -=+-在0,+∞上单调递减，则m =.14．将()22xx af x =-的图象向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数=的图象向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称.若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >+则实数a 的取值范围为四、解答题15．已知集合U 为实数集，{5A x x =≤-或}8x ≥，{}121B x a x a =-≤≤+.(1)若5a =，求()U A B ⋂ð；(2)设命题p ：x A ∈；命题q ：x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．已知函数()()3211f x x ax b x =++-+是定义在R 上的奇函数.(1)求a ，b 的值;(2)解不等式()3279333x x x xf >+-⨯+.17．已知定义域为R 的奇函数()21212x x f x =-+(1)判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；(2)若对任意的[]1,2x ∈，不等式()()²²40f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.18．已知0a >且1a ≠，函数()4,02,0x a x x h x x -⎧≥=⎨<⎩，满足()()11h a h a -=-，设()x p x a -=.(1)若()()()231p x f x p x +=+，[)0,x ∞∈+，求函数()f x 的最小值；(2)函数()()()231p x f x p x +=+，()21g x x b x =-+-，若对[]11,1x ∀∈-，都存在[)20,x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求b 的取值范围.19．对于定义在区间[],a b 上的函数f (x )，若()(){}[]()|,f P x max f t a t x x a b =≤≤∈.(1)已知()()[]121,2,0,1xf xg x x x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭试写出()f P x 、()g P x 的表达式;(2)设0a >且1a ≠，函数()()2131,12x xf x a a a x ⎡⎤=+-⨯-∈⎢⎥⎣⎦，，如果()f P x 与()f x 恰好为同一函数，求a 的取值范围；(3)若()(){}[]()min ,f Q x f t a t x x a b =≤≤∈存在最小正整数k ，使得()()()f f P x Q x k x a -≤-对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的"k 阶收缩函数"，已知1b >，函数()4f x x x=+是[]1,b 上的“3阶收缩函数”，求b 的取值范围.。

江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（含答案解析）1 函数的定义域为（）A. [1，+∞)B. (1，+∞)C. [1，2) ∪(2，+∞)D. （1，2）∪(2，+∞)【答案解析】 D本题考查函数的定义域和不等式的解法.要使函数有意义，需使，解得故选D2 图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】根据集合的交集、并集、补集的概念，结合所给的韦恩图，选出正确的答案.【详解】由韦恩图可知：阴影部分所表示的集合为集合的并集与集合在全集中补集的交集，即为，故本题选C.【点睛】本题考查了集合交集、并集、补集运算的概念，考查了韦恩图的应用.3 给出下列关系式：①；②；③；④，其中正确关系式的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案解析】 C【分析】根据属于关系、集合相等、子集关系的概念逐一判断即可选出正确的答案.【详解】①:因为是无理数，表示有理数集合，所以不正确；②：因为集合的元素是，集合的元素是，所以不正确；③：因为集合的元素是，所以正确；④：因为空集是任何集合的子集，所以正确，因此有2个关系式是正确的，故本题选C.【点睛】本题考查了属于关系、集合相等、子集关系的概念，属于基础题.4 下列集合中子集个数最多的是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】分别求出四个集合的元素，然后判断出子集的个数，最后选出正确答案.【详解】选项A:方程的解为，因为不是自然数，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项B:因为，不符合三角形两边之和大于第三边，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项C:因为，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项D:因为集合的子集是：和，所以它的子集个数为2个，因此子集个数最多的集合是集合，故本题选D.【点睛】本题考查了集合子集个数问题，确定集合元素的个数是解题的关键.5 下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A. B.C. D.【分析】根据同一函数的定义逐一对四个选项中两个函数进行比较即可选出正确答案.【详解】选项A:因为函数的定义域为：，函数的定义域为全体实数，所以函数和函数不是同一函数；选项B:因为函数的值域是全体实数，函数的值域为：，所以函数和函数不是同一函数；选项C:因为函数的值域是，函数的值域为全体实数，所以函数和函数不是同一函数；选项D:因为，它与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以函数和函数是同一函数，故本题选D.【点睛】本题考查了同一函数的判断方法，判断对应关系是否相同、定义域是否相同是解题的关键.6 .已知函数，且其对称轴为，则以下关系正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】根据函数的对称轴，可以判断出二次函数的单调性，进而可以比较出之间的大小关系.【详解】根据题意，函数，其对称轴为，其开口向上，在上单调递增，则有，故选B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性，考查了二次函数的对称轴的性质.7 若,则的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【分析】把代入函数中，利用这个等式，可以得到，再把代入中，这样可以求出的值.【详解】由题意得，【点睛】本题考查了求分段函数的函数值问题，属于基础题.8 设U＝{1，2，3，4，5} ，若A∩B＝{2}，，，则下列结论正确的是（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案解析】 B【分析】根据题意画出韦恩图，确定出A与B,即可作出判断.【详解】因为＝{1，2，3，4，5} ，若＝{2}，，，所以画出韦恩图：，，则且，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，集合的韦恩图，属于中档题.9 若函数是R上的减函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围.【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A.【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键.10 定义集合的商集运算为，已知集合，，则集合元素的个数为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案解析】 A【分析】根据集合的商集运算定义和并集的定义可以求出集合，最后求出集合元素的个数即可.【详解】由题意知，，，则，共有7个元素，故本题选A.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了并集运算的定义，考查了数学阅读理解能力.11 已知,则的最值是( )A. 最大值为3，最小值－1B. 最大值为，无最小值C. 最大值为3，无最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案解析】 B【分析】根据函数表达式画出各自图象，其实表示的是较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出图象，又表示两者较小值，所以很清楚发现在A处取得最大值，所以选B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.12 已知函数，则关于函数有如下说法：①f(x)的图像关于轴对称；②方程的解只有；③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；④不存在三个点，,，使得△ABC为等边三角形．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案解析】 C【分析】①:分类讨论有理数和无理数的相反数的属性，结合函数的奇偶性可以判断出本说法的正确性；②：根据是有理数还是无理数进行分类讨论即可判断出本说法的正确性；③：根据是有理数还是无理数进行分类讨论即可判断出本说法的正确性；④：取特例，如，，，可以为等边三角形，可以判断出本说法的正确性.【详解】①：∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意，都有，故①正确；②：∵当为有理数时，；当为无理数时，∴当为有理数时，；当为无理数时，，即不管是有理数还是无理数，均有，故②正确；③：若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，故③正确；④：取，，，可得，，，∴，，恰好为等边三角形，故④不正确，最后选出正确答案.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性，周期性的判断，考查了方程解的问题，考查了利用特例法进行判断.13 已知集合,则________．【答案解析】【分析】根据集合并集的定义结合数轴求出.【详解】因为集合,,所以.【点睛】本题考查了集合并集的定义，利用数轴是解题的关键.14 已知集合,,是从A到B的一个映射，若,则B 中的元素3的原象为________．【答案解析】 2【分析】根据映射的定义，结合，令，可以求出中的元素3的原象. 【详解】令，解得，所以中的元素3的原象是2.【点睛】本题考查了已知一个映射，根据中的元素，求原象问题；考查了映射的定义的理解.15 若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[]，则m的取值范围是【答案解析】；【分析】作出函数的图象，由图象可得函数取值在[]上的x的范围，由题函数的定义域为[0，m]，即可得解．【详解】解：函数y＝x2﹣3x﹣4的图象如图，当x时，函数有最小值，当x＝0或x＝3时函数值为﹣4，原题给出函数的定义域为[0，m]，所以，从图象中直观看出，故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的图象，考查了函数的值域，考查了数形结合思想，准确作出函数图象是解题的关键，此题是基础题．16 如图放置的边长为2的正三角形ABC沿轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，设是的函数，记，则下列说法中：①函数的图像关于轴对称；②函数的值域是；③函数在上是增函数；④函数与在上有2020个交点.其中正确说法的序号是_______.说明：“正三角形ABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿轴负方向滚动．【答案解析】①④【分析】根据说明在直角坐标系内，画出点运动的轨迹.根据图象可以直接判断出说法①②的正确性；根据图象可以知道函数周期性，进而可以求出函数的增区间，从而可以判断出说法③的正确性；先考虑当，函数与的交点情况，根据函数的周期性，再求出函数与在上交点的个数，从而判断出说法④的正确性，最后选出正确答案.【详解】点运动的轨迹如图所示：则函数图像关于轴对称，故①正确；的值域为，故②不正确；其增区间为和，故③正不确；由图像可知，函数每6个单位一个循环，当，函数与有3个交点，∴当，，有个交点，有2个交点，∴当，有个交点，∴当，有个交点，故④正确．故选①④．【点睛】本题考查了画函数图象，考查了通过函数图象判断函数的性质，运用数形结合是解题的关键.17 已知全集，，（1）求但；（2）求。

2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一上学期数学素养测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ={x|−4<x <12}，B ={x|x <−1}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <4}B. {x|−1<x <−12}C. {x|−1<x <12}D. {x|−4<x <−1}2.已知集合M ={1,2,3}，N ={0,1,2,3,4,7}，若M ⊆A ⊆N ，则满足集合A 的个数为( )A. 4B. 6C. 7D. 83.不等式x 2−ax−b <0的解集是{x|2<x <3}，则ax 2−bx +1<0的解集是( )A. {x|2<x <3}B. {x|−1<x <−15}C. {x|−12<x <−13}D. {x|15<x <1}4.集合M ={x∣x 2=1},N ={x∣ax =1}，且M ∩N =N ，实数a 的值为( )A. 1B. 12C. 1或−1D. 0或1或−15.已知集合A =[−2,5]，B =[m +1,2m−1].若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A. (−∞,3]B. (2,3]C. ⌀D. [2,3]6.关于x 的不等式x 2−(a +2)x +2a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是( )A. −1≤a <0或4<a ≤5B. −1≤a ≤0或4≤a ≤5C. −1<a ≤0或4≤a <5D. −1<a <0或4<a <57.已知x >0，y >0，且2x +y =2，若m m−1≤x +2y xy 对任意的x >0，y >0恒成立，则实数m 的值不可能为( )A. 14B. 98C. 127D. 28.设x,y,z >0，a =4x +1y ,b =4y +1z ,c =4z +1x ，则a,b,c 三个数( )A. 都小于4B. 至少有一个不大于4C. 都大于4D. 至少有一个不小于4二、多选题：本题共3小题，共18分。

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2020-2021学年江西师大附中新高一入学考试数学模拟试卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）|a |＝1，|b |＝4，且ab ＜0，则a +b 的值为（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．±3
D ．±5 2．（3分）
2x −4÷1x −2x 的计算结果为（ ） A ．x x+2 B ．2x x+2 C ．2x x−2 D ．2x(x+2)
3．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示．其
中阅读时间是8﹣10小时的组频数和组频率分别是（ ）
A ．15和0.125
B ．15和0.25
C ．30和0.125
D ．30和0.25
5．（3分）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，
使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种．
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
6．（3分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A （1，8）和B （4，2）两点，点P 是
线段AB 上一动点（不与点A 和B 重合），过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线PC ，PD
交反。

2020届江西省南昌市江西师范大学附属中学高三第一次模拟测试数学（理）试题一、单选题。

1．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D【解析】由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 2．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【解析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.4．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12【答案】B【解析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解. 【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数， 得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ），∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 5．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C【解析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解. 【详解】 函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 6．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.7．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C【解析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】 由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--【答案】C【解析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-. 【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．17B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，224225+= B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 10．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++r r rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r ra b c 【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u ur r ，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r ，故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.11．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u v u u u v ，且1OQ AB ⋅=u u u v u u u v ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>【答案】A【解析】设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =u u u r u u u r，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=u u u r u u u r，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA=u u u r u u u r Q ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+=u u u r u u u r ()223310,02x y x y ∴+=>>故选：A 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 12．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】C【解析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【详解】由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令13x 3＋x 2－23＝－23，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，3050a a -≤<⎧⎨+>⎩解得a ∈[－3，0)，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.二、填空题13．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 【答案】3227a 【解析】由题意容积()22V a x x =-，求导研究单调性，分析即得解. 【详解】由题意：容积()22V a x x =-，02a x <<， 则22(2)(2)(2)(2)(6)V a x x a x a x a x '=-⨯-+-=--，由0V '=得6a x =或2ax =（舍去）， 令0,(0,);'0(,)662a a aV x V x '>∴∈<∴∈则6ax =为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时3max 227V a =. 故答案为：3227a 【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.14．已知数列{}n a 满足123232nn a a a na +++⋯+=，则n a =________．【答案】12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【解析】项和转化可得11(2)222nn n n na n --=-≥=，讨论1n =是否满足，分段表示即得解 【详解】当1n =时，由已知，可得1122a ==， ∵123232nn a a a na +++⋯+=，① 故()()1123123122n n a a a n a n --+++⋯+-=≥，②由①-②得11222n n n n na --=-=，∴12n n a n-=．显然当1n =时不满足上式，∴12,12,2n n n a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩故答案为：12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了利用n S 求n a ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.15．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{A =抽到一等品}，事件{B =抽到二等品}，事件{C =抽到三等品}，且已知()0.65P A =，()0.2P B =， ()0.1P C =，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________ 【答案】0.35【解析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，Q 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，()0.65P A =Q ，∴抽到不是一等品的概率是()110.650.35P P A =-=-=，故答案为：0.35． 【点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______． 【答案】12π【解析】设圆柱的轴截面的边长为x，可求得x =解 【详解】设圆柱的轴截面的边长为x ，则由28x =，得x =∴222212S S S πππ=+=⨯⨯+=圆柱表侧底． 故答案为：12π 【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a 中，a 1=1，其前n 项和为n S ，且满足()(21)n n S n a n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围．【答案】（1）()n a n n +=∈N （2）(),2-∞【解析】（1）项和转换可得()11n n na n a +=+，继而得到11111n n a a an n -====-L ，可得解；（2）代入可得23nn b n λ=-，由数列{}n b 为递增数列可得，2321nn λ⋅<+，令2321nn c n ⋅=+，可证明{}n c 为递增数列，即1c λ<，即得解 【详解】（1）∵()21n n S n a =+， ∴()1122n n S n a ++=+，∴()()11221n n n a n a n a ++=+-+， 即()11n n na n a +=+，∴11n na a n n+=+， ∴11111n n a a a n n -====-L ，∴()n a n n +=∈N ．（2）23n n b n λ=-．()()2121313n n n n b b n n λλ++-=-+--=2·3n -λ（2n+1）． ∵数列{}n b 为递增数列，∴()23210nn λ⋅-+>，即2321n n λ⋅<+．令2321nn c n ⋅=+，即112321631232323n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+． ∴{}n c 为递增数列，∴12c λ<=， 即λ的取值范围为(),2-∞． 【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【答案】（1）35．（2）45．【解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p543 905 ==．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P724 905 ==．【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．如图，ABCV内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，4AB=，EB=（1）求证：DE ⊥平面ACD ；（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B -ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．【答案】（1）见解析（2）23()16(04)3V x x x x =-<<，最大值833． 【解析】（1）先证明DC BC ⊥，BC AC ⊥，故BC ⊥平面ADC ．由//DE BC ，即得证；（2）可证明BE ⊥平面ABC ，结合条件表示出23()163V x x x =-利用均值不等式，即得解. 【详解】（1）证明：∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴//CD BE ，//BC DE ．∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥． ∵AB 是圆O 的直径，∴BC AC ⊥， 且DC AC C =I ，,DC AC ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥平面ADC ．∵//DE BC ，∴DE ⊥平面ADC ． （2）解∵DC ⊥平面ABC ，//DC BE ， ∴BE ⊥平面ABC ．在Rt ABE △中，4AB =，23EB =在Rt ABC △中，∵AC x =，∴216(04)BC x x =-<<， ∴2111622ABC S AC BC x x =⋅=-V ∴23()16(04)ABC E V x V x x x -==-<<三棱锥．∵()222221616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当2216x x =-，即22x =时取等号， ∴当22x =时，体积有最大值83． 【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20．P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =u u u u v u u u v．（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=，轨迹C 是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）22846003x y x x ⎛⎫+-=<<⎪⎝⎭【解析】（1）设(),M x y ，根据12DM DP =u u u u r u u u r可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以()3,0，)3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用>0∆求得215k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE uuu r，消去k 后得到轨迹方程；根据215k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x由12DM DP =u u u u r u u u r知：(),2P x yQ 点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=∴点M 的轨迹C 的方程为：2214x y += 轨迹C 是以()3,0-，()3,0为焦点，长轴长为4的椭圆（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在设():3l y k x =-，代入2214x y +=得：()222214243640k x k x k +-+-=则()()()2222244143640kk k ∆=--+->，解得：215k <设()11,A x y ，()22,B x y ，则21222414k x x k+=+ ∴()()()31212122224633661414k ky y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ Q 四边形OAEB 为平行四边形∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u u r 又(),OE x y =u u u r ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，消去k 得：22460x y x +-=215k <Q ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围. 21．已知函数(R)a ∈.(Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0a >时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 22f x a =-【解析】（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f （x ）的单调区间；（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a ＜ln 2时，函数f （x ）的最小值是-a ；当a≥ln2时，函数f （x ）的最小值是ln2-2a ． 【详解】(1)函数()f x 的定义域 为(0,)+∞．11()'-=-=axf x a x x因为0a >，令1()0f x a x ¢=-=，可得1x a=； 当10x a <<时，1()0ax f x x '-=>；当1x a>时，1()0ax f x x '-=<， 综上所述：可知函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)()i 当101a<≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,2]上是减函数， ()f x ∴的最小值是(2)ln 22f a =-()ii 当12a≥，即102a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数，()f x ∴的最小值是(1)f a =-()iii 当112a<<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数．又(2)(1)ln 2f f a -=-Q ，∴当1ln 22a <<时，()f x 的最小值是(1)f a =-； 当ln 21a <<时，()f x 的最小值为(2)ln 22f a =-综上所述，结论为当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是min ()x f a =-； 当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 22f x a =-. 【点睛】求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点M 1,2⎛ ⎝⎭对应的参数4πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）若点A ，B 为曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211+||||OA OB 的值． 【答案】（1）2212x y +=．()2211x y -+=．（2）32【解析】（1）先求解a,b ，消去参数ϕ，即得曲线1C 的直角坐标方程；再求解R ，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线2C 的直角坐标方程； （2）由于OA OB ⊥，可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入曲线1C 直角坐标方程，可得12,,ρρθ的关系，转化2222121111||||OA OB ρρ+=+2222cos sin sin cos 22θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得解. 【详解】（1）将1,2M ⎛ ⎝⎭及对应的参数4πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⋅⎩得1cos 4sin 24a b ππ⎧=⎪⎪=⎪⎩，即1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以曲线1C的方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，ϕ为参数，所以曲线1C 的直角坐标方程为2212x y +=．设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ=（或()222x R y R -+=），将点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R =， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=． （2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线1C 直角坐标方程，可得222211cos sin 12ρθρθ+=，222222sin cos 12ρθρθ+=，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+2222cos sin 3sin cos 222θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a +，求解不等式()22163a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞ 试题解析：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +． 由题设得()22163a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为()2,+∞。

2024-2025学年江西师大附中高三（上）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足|z−i|=2,z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. (x−1)2+y 2=4B. (x−1)2+y 2=2C. x 2+(y−1)2=4D. x 2+(y−1)2=22.如图，在△ABC 中，点D 在BC 的延长线上，|BD|=3|DC|，如果AD =x AB +y AC ，那么( )A. x =12,y =32B. x =−12,y =32C. x =−12,y =−32D. x =12,y =−323.纯洁的冰雪，激情的约会，2030年冬奥会预计在印度孟买举行.按常理，该次冬奥会共有7个大项，如冰球、冰壶、滑冰、滑雪、雪车等；一个大项又包含多个小项，如滑冰又分为花样滑冰、短道速滑、速度滑冰三个小项.若集合U 代表所有项目的集合，一个大项看作是几个小项组成的集合，其中集合A 为滑冰三个小项构成的集合，下列说法不正确的是( )A. “短道速滑”不属于集合A 相对于全集U 的补集B. “雪车”与“滑雪”交集为空集C. “速度滑冰”与“冰壶”交集不为空集D. 集合U 包含“滑冰”4.已知直线l ：x +y−3=0上的两点A ，B ，且|AB|=1，点P 为圆D ：x 2+y 2+2x−3=0上任一点，则△PAB 的面积的最大值为( )A.2+1B. 22+2C.2−1D. 22−25.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=xcosπx B. f(x)=(x−1)sinπx C. f(x)=xcos[π(x +1)]D. f(x)=(x−1)cosπx6.已知正数a ，b ，c 满足2022a =2023，2023b =2022，c =ln2，下列说法正确的是( )A. log a c >log b cB. log c a >log c bC. a c <b cD. c a <c b7.已知抛物线C 1：y =x 2+2x 和C 2：y =−x 2+a ，若C 1和C 2有且仅有两条公切线l 1和l 2，l 1和C 1、C 2分别相切于M ，N 点，l 2与C 1、C 2分别相切于P ，Q 两点，则线段PQ 与MN ( )A. 总是互相垂直 B. 总是互相平分C. 总是互相垂直且平分D. 上述说法均不正确8.在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，且AB =AC ，AD = 2CD =22，则BD 的最大值为( )A. 27B. 6C. 25 D. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。