北京朝阳区高三数学文科一模试卷及答案

（20）（本小题满分13分）解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）共计3分当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e xx +…………………......1分所以(1)e,(1)2e f f '==………………………………………………………1分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --. ………… 1分（Ⅱ） 共计4分 当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+………………………………1分 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+. 令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<. 所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数………………1分 所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>…………………1分 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零. 于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0x x x x x +-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数. …………………1分（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅲ）共计6分 由（Ⅱ）得322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++…..............1分 (1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上恒为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使'0()0f x =,且在0(0,)x上，()0f x ¢<，在()0,1x 上，()0f x ¢>，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;…...2分（2）当0a =时，当x Î()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ¢>， 故函数()f x 在区间()0,1恒为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；……...........................2分（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值..…….1分 综上所述0a >.（Ⅲ）(解法二)因为()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，所以322()e x x x ax a f x x++-'=在区间(0,1)上有且只有一个零点.即320x x ax a ++-=在区间(0,1)上有且只有一个实根.因为(0,1)x ∈，所以321x x a x+=-在区间(0,1)上有且只有一个零点..................1分 令32()1x x h x x+=-，(0,1)x ∈，则32222222[(1)1]()0(1)(1)x x x x x x h x x x -++---'==>--................1分 所以32()1x x h x x+=-在区间(0,1)上单调递增.所以()(0,)h x ∈+∞.................1分 当(0,)a ∈+∞时，方程321x x a x+=-在区间(0,1)上有且只有一个根，记为1x .当1(0,)x x ∈时，1()()h x h x a <=，即323211111x x x x a x x ++<=--，所以320x x ax a ++-<，所以()0f x '<； 同理，当1(,1)x x ∈时，1()()h x h x a >=，()0f x '> .所以函数()f x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,1)x 上单调递增，所以()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点.故(0,)a ∈+∞. ................3分。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2016.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则()U B A =ðA ．{}2x x ≤B ．{}13x x ≤≤ C. {}23x x <≤ D ．{}23x x ≤≤ 2.已知i 为虚数单位,则复数2i1i+= A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 3.已知非零平面向量,a b ，“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A. 42 B. 19 C. 8 D. 35.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin 0B b A +=，则B = A. π6B. π3C.2π3D.5π66.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A. 3+B.C. 1+D.1+7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）8. 若圆222(1)x yr +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r < B．0r <<C ．0r <D ．0r <<月俯视图侧视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知函数22log (3),0,(), 0,x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩则((1))f f -= .10.已知双曲线221x y m-=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 . 11.已知递增的等差数列}{n a ()n *∈N 的首项11=a ，且1a ,2a ,4a 成等比数列，则数列}{n a 的通项公式n a = ；48124+4+n a a a a +++=____.12.已知不等式组0,,290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D .若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 .13.已知圆22:(3)(5)5C x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P . 若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为 .14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值. 16.(本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-,n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .17. (本小题满分13分)某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表:（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数;（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率； （Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x 2x ，…… n x 的平均数）18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA ．,M N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面11BBC C ；（Ⅱ）若P 为线段1BB 的中点，求证：1//A N 平面APM ； （Ⅲ）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直.若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由．19.(本小题共14分）已知椭圆:C 22142x y +=的焦点分别为12,F F . （Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.NAMPCBA 1C 1B 120. （本题满分13分） 已知函数()e xk x f x k x+=⋅-()k ∈R . （Ⅰ）若1,k =求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设0k ≤，若函数()f x 在区间上存在极值点，求k 的取值范围.。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2【答案】A 【解析】111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是12，选A.（2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 【答案】C 【解析】{}121{10}{1}x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，所以{13}MN x x =-≤<，选C.（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- 【答案】B【解析】(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选B.（4）已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos x x +=则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 【答案】D【解析】因为22131()24x x x +-=+-，所以p 为假命题。

sin cos )4x x x π+=+，所以q 为真命题，所以()p q ⌝∧是真命题，选D.（5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．(22+ B ．()4,0-C．(22--+ D . ()0,4【答案】D【解析】圆的标准方程为22(2)2x y ++=，所以圆心为(2,0)-，半径为。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．3一、选择题（本题满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CADBBACD二、填空题（本题满分30分）三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）11a =，22a =，34a =. (4)分（Ⅱ）因为21()n n S a n *=-∈N ， 所以，当2n ≥时，有1121n n S a --=-，则1222()n n n a a a n -≥=-，即12n n a a -=(2).n ≥所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以12n n a -=. 因为1n n n b a b +=+ ，所以112n n n b b -+-=. 则0212b b -=，1322b b -=，212n n n b b ---=，以上1n -个式子相加得：111(12)12n n b b -⨯--=-，又因为12b =，所以121()n n b n -*=+∈N . ……………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2cos b a A =，得cos 0A >，因为sin A =，所以cos A =.因为2cos b a A =，所以4sin 2sin cos 25B A A ===． 故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==． ……………… 7分（Ⅱ）因为sin A =，4sin 5B =，因为B 为锐角，所以3cos 5B =.所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=……………13分 17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由数据可知，男生确定选考生物的学生有3人，女生确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级有9420=12630⨯人．……………… 3分（Ⅱ）选考方案确定的男生中，选择“物理、化学和地理”的人数是2人． ………… 6分（Ⅲ）由数据可知，已确定选考科目的男生共6人.其中有3人选择“物理、化学和生物”，记为1a ，2a ，3a ；有1人选择“物理、化学和历史”，记为b ；有2人选择“物理、化学和地理”，记为1c ，2c ．从已确定选考科目的男生中任选2人，有12a a ，13a a ，1a b ，11a c ，12a c ，23a a ，2a b ，21a c ，22a c ，3a b ，31a c ，32a c ，1bc ，2bc ，12c c ，共15种选法．两位学生选考科目完全相同的选法种数有12a a ，13a a ，23a a ，12c c ，共4种选法． 设事件A ：从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两位学生选考科目完全相同．则4()15P A =． (13)分18. （本小题满分14分）。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（文史类） 2012.3 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．复数A. B. C. D. 2. 若集合，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B必要不充分条件 已知向量满足，且，则向量与的夹角为A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，，则A. B. C. D. 5. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A．且，则 B．且，则 C．且，则 D．且，则 6. 已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A． B． C. D. 7. 某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对种产品 征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年 增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的 管理费不少于14万元，则的最大值是 A. B. C. D. 8. 函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若,，则 . 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是 .满足约束条件则目标函数的最大值是 ； 使取得最大值时的点的坐标是 . 13. 已知函数则的值为 ；函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 . 14. 已知集合，集合.若为坐标原点，，为集合所表示的平面区域与集合所表示的平面区域的边界的交点,则的面积与的关系式为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）若，其中 求的值； （II）设，求函数在区间上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分） 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示． (Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数的值； 区间[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)[45，50]5050150 (Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (Ⅲ)在()的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第组的概率．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在上是否存在一点，使得最大？ 若存在，请求出的正切值；若不存在， 请说明理由. 18. （本题满分14分） 已知函数,. （Ⅰ）若函数在时取得极值，求的值； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间. 19.（本题满分14分） 已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 20（本题满分13分） 已知各项均为非负整数的数列（），满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为．设，． （Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列； （Ⅱ）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列； （Ⅲ）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷答案（文史类） 2012.3 一、选择题： 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BACBCADC 二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案3 ;0；注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分. 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为，且， …………1分 所以. .…………5分. （II）====. .…….…..10分 当时，. 则当时，的最大值为；当时，的最小值为. ………13分 （16）（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)由题设可知， . ……………2分 (Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人， 利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为， 第2组的人数为， 第3组的人数为， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．………………6分 ，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有： 共种可能． ………… 10分年龄在第组的共1种可能， ……… ………12分至少有1人年龄在第组的．………………13分17）（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：取的中点，连接. 在中，是的中点，是的中点， 所以. ……………2分 ， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以. ………………4分 平面，平面， 故平面. ……………………6分 上存在一点，使得最大. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. ………………………8分 中，. 因为为定值，且为锐角，则要使最大，只要最小即可. 显然，当时，最小. 因为，所以当点在点处时，使得最大. …………11分=. 所以的正切值为. ……………………13分 18）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）. ……………………2分，解得. 经检验符合题意. ………4分，设， （1）当时，，在上为单调减函数. ……5分时，方程=的判别式为， 令, 解得（舍去）或. 1°当时，， 即， 且在两侧同号，仅在时等于， 则在上为单调减函数. ……………………7分时，，则恒成立， 即恒成立，则在上为单调减函数. ……………9分时，，令， 方程有两个不相等的实数根 ，， 作差可知， 则当时，，，在上为单调减函数； 当时，，， 在上为单调增函数； 当时，，，在上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分时，函数的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为. …………………………14分19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得 ，，由已知易得, 解得. ………………………3分.………………………4分II) ①当直线的斜率不存在时，由解得. 设，，则为定值. ………5分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：. 将代入整理化简，得.…6分与椭圆必相交于两点，设，， 则，. ……………………7分，， 所以 ………………………8分 .…….………………13分为常数2. .…….………………14分13分） 解：（Ⅰ）若，则；； ； ； ． 若，则 ； ； ； ． .……….………………4分满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：．易知和是互逆变换． 对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ， 则必有（若，则还可作变换）．反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件．…………………………8分，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为.由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不 变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有， ， 所以为整数，于是，， 所以为除以后所得的余数，即．………13分 高考学习网（ 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.在复平面内，复数z=对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，则集合B可以是（）A. {x|2x＞1}B. {x|x2＞1}C. {x|log2x＞1}D. {1，2，3}4.已知△ABC中，∠A=120°，a=，三角形ABC的面积为，且b＜c，则c-b=（）A. B. 3 C. -3 D.5.已知a，b，c∈R，给出下列条件：①a2＞b2；②；③ac2＞bc2，则使得a＞b成立的充分而不必要条件是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②③6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为( )A.B. C. D.7.已知圆C：（x-2）2+y2=2，直线l：y=kx-2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（）A. [0，2）∪（2，+∞）B. [2]C. （-∞，0）D. [0，+∞）8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量=（2，-1），=（1，x）．若∥，则x=______．10.执行如图所示的程序框图，输出的x值为______．11.双曲线-y2=1的右焦点到其一条渐近线的距离是______．12.能说明“函数（x）的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题的一个函数是______．13.天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所•天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是______．14.若不等式log a x+x-4＞0（a＞0且a≠1）在区间（0，2）内有解，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=cos2x+sin x cosx．（Ⅰ）求f（）的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增，求实数m的最大值．16.在等比数列{a n}中，a1=，a4=4，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+n-6，数列{b n}的前n项和为S n，若S n＞0，求n的最小值．17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟将统计数据按,,,,分组,制成频率分布直方图：Ⅰ求a的值；Ⅱ记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟“,试估计A的概率；Ⅲ假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计,记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值,并直接写出与的大小关系．18.如图，在多面体ABCDEF中平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD=90°，AB=AD=1，BC=2．（Ⅰ）求证：AF⊥CD；（Ⅱ）若M为线段BD的中点，求证：CE∥平面AMF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．19.已知函数f（x）=ae x-4x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求证：曲线y=f（x）在抛物线y=-x2-1的上方．20.已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2=1上任意一点，直线l：x0x+2y0y=2与圆（x-1）2+y2=6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：==-i+2所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限故选：D．根据1=-i2将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大由，解得A（1，0），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+0=2．即目标函数z=2x+y的最大值为2．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3.【答案】A【解析】解：∵A∩B=A；∴A⊆B，且A={1，2，3，4，5}；∴A．{x|2x＞1}={x|x＞0}，满足A⊆{x|x＞0}；B．{x|x2＞1}={x|x＜-1，或x＞1}，不满足A⊆{x|x＜-1，或x＞1}；C．{x|log2x＞1}={x|x＞2}，不满足A⊆{x|x＞2}；D．不满足A⊆{1，2，3}．故选：A．由A∩B=A可得出A⊆B，可分别求出选项A，B，C的各集合，看是否满足A是该集合的子集即可．考查列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，指数函数和对数函数的单调性．4.【答案】B【解析】解：△ABC中，∵S=bc sin A=bc=，∴bc=4．由余弦定理可得cos A===-，∴=-，解得（c-b）2=9，又b＜c，∴c-b=3．故选：B．根据面积求出bc，再利用余弦定理即可求出c-b的值．本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．【解答】解：①由a2＞b2；得a，b关系不确定，无法得a＞b成立，②当a＜0，b＞0时，满足但a＞b不成立；③若ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，反之不成立，即③是a＞b成立的充分不必要条件，故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知：几何体是正方体的一部分，是三棱锥，所以该三棱锥的体积为：=．故选D．7.【答案】D【解析】解：如图所示，直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则∠CPA=45°，∴|CP|=×=2．设P（x，y），则点P满足：（x-2）2+y2=4，与y=kx-2联立化为：（1+k2）x2-（4k+4）x+4=0，∴△=（4k+4）2-4×4（1+k2）≥0，解得k≥0．∴实数k的取值范围是[0，+∞）．故选：D．如图所示，直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，可得∠CPA=45°，可得|CP|=2．设P（x，y），则点P满足：（x-2）2+y2=4，与y=kx-2联立化简，利用△≥0，即可得出k的取值范围．本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程、一元二次方程有解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），∩B∩C则n（A）=14，n（B）=10，n（C）=8，n（A∪B∪C）=20，因为n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8-20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤=6．故选：B．设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．9.【答案】-【解析】解：∵；∴2x+1=0；∴．故答案为：．根据即可得出2x+1=0，解出x即可．考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．10.【答案】【解析】解：当x=2，n=1时，n≤2成立，则x==，n=2，此时n≤2成立，则x==，n=3，此时n≤2不成立，输出x=，故答案为：根据程序框图进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的应用，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．11.【答案】1【解析】解：双曲线-y2=1的右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程，x-2y=0∴双曲线-y2=1的右焦点到一条渐近线的距离为=1．故答案为：1．确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．12.【答案】f（x）=（x-1）2【解析】解：“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题，即“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，取函数f（x）=（x-1）2，可得：f（0）•f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，故答案为：f（x）=（x-1）2取函数f（x）=（x-1）2，可得：f（0）•f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，满足“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，即”若f（0）•f（2）＞0，则f （x）在（0，2）内无零点”为假命题，得解本题考查了函数的零点与方程根的关系及零点定理，属中档题．13.【答案】243 3402【解析】解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项a1=9，d=9，则a27=a1+26d=9+26×9=243，上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前27项和，即S27====3402，故答案为：243，3402根据条件知每环石块数构成等差数列，首项a1=9，d=9，利用等差数列的通项公式以及前n项和公式进行计算即可．本题主要考查等差数列的应用，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．14.【答案】（0，1）∪（1，）【解析】解：当a＞1时，函数y=log a x+x-4是增函数，可得f（2）=log a2+2-4＞0．解得1＜a．当a∈（0，1）时，x→0时，f（x）＞0，x→2时，f（2）=log a2+2-4＜0，满足题意，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（1，）．故答案为：（0，1）∪（1，）通过a＞1与0＜a＜1，转化求解不等式log a x+x-4＞0（a＞0且a≠1）在区间（0，2）内有解，列出不等式组，即可求解实数a的取值范围．本题考查分段函数的应用，函数与不等式的关系，考查转化思想以及计算能力．15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+sin x cosx=+sin2x=sin（2x+）+，则f（）=sin（2×+）+=sin+==1，函数的最小周期T==π．（Ⅱ）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，当k=0时，函数的单调递增区间为[-，]，若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增，则[0，m]⊆[-，]，即0＜m≤，即实数m的最大值为．【解析】（Ⅰ）利用倍角公式结合辅助角公式进行化简求解即可．（Ⅱ）根据三角函数的单调性的性质求出函数的单调递增区间，结合单调区间关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16.【答案】解：（Ⅰ）由数列{a n}为等比数列，且a1=，a4=4，得，∴，即：q3=8．解得q=2．∴数列{a n}的通项公式\（Ⅱ）由题意，可知：，∴S n=b1+b2+…+b n=（-5+2-1）+（-4+20）+…+（n-6+2n-2）∴+…+2n-2）=．当n≥5时，，，∴S n＞0；当n=4时，；当n=3时，；当n=2时，；当n=1时，．∴n的最小值为5．【解析】本题第（Ⅰ）题可根据等比数列的定义求出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先求出数列{b n}的一般项，通过对一般项的观察发现数列{b n}是一个等差数列加上一个等比数列，在求数列{b n}的前n项和为S n可将等差数列和等比数列分别求和再相加，然后再判断S n＞0时n的最小值．本题第（Ⅰ）题主要考查等比数列的基本概念；第（Ⅱ）题求数列{b n}的前n项S n，时采用的是裂项法分别求和．本题属中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵0.012×5×3+0.040×5×2+0.048×5+a×5=1，∴a=0.036．（Ⅱ）由题意知该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，∴估计A的概率P（A）=0.5．（Ⅲ）=（0.012×5+0.040×10+0.048×15+0.040×20+0.036×25+0.012×30+0.012×35）×5=18.3．由频率分布直方图得＜．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a．（Ⅱ）由频率分布直方图求出该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率，由此能估计A的概率．（Ⅲ）由频率分布直方图的性质能求出，由频率分布直方图得＜．本题考查实数值的求法，考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AF⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，∴AF⊥CD；（Ⅱ）证明：延长AM，交BC于G，∵AD∥BC，M为BD的中点，∴△BGM≌△DAM，∴BG=AD=1，∵BC=2，∴GC=1，由已知FE=AD=1且FE∥AD，又∵AD∥GC，∴FE∥GC，且FE=GC．∴四边形GCEF为平行四边形，则CE∥GF，∵CE⊄平面AMF，GF⊂平面AMF，∴CE∥平面AMF；（Ⅲ）解：设G为BC中点，连接DG，EG，由已知DG∥AB，∴DG∥平面AFB，又∵DE∥AF，∴DE∥平面AFB，∴平面DEG∥平面AFB．∵AD⊥AB，AD⊥AF，∴AD⊥平面ABF，∴多面体AFB-DEG为直三棱柱．∵AB=AF=AD=1，且∠BAF=90°，∴V1=V三棱柱AFB-DEG=S△AFB•AD=，由已知DG∥AB，且DG=AB，∴DG⊥GC且DG=GC=1，又∵DE∥AF，AF⊥平面CDG，∴DE⊥平面CDG，∵DE=AF=1，∴=．∴．【解析】（Ⅰ）由四边形ADEF为正方形，得AF⊥AD，再由平面ADEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质可得AF⊥平面ABCD，从而得到AF⊥CD；（Ⅱ）延长AM，交BC于G，证明△BGM≌△DAM，得到BG=AD=1，再由已知证明四边形GCEF为平行四边形，得到CE∥GF，然后利用线面平行的判定可得CE∥平面AMF；（Ⅲ）设G为BC中点，连接DG，EG，分别证明DG∥平面AFB，DE∥平面AFB，可得平面DEG∥平面AFB．进一步证明AD⊥平面ABF，得到多面体AFB-DEG为直三棱柱．然后利用三棱柱AFB-DEG与三棱锥E-DGC的体积和求求多面体ABCDEF的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求解多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x-4，定义域是R，当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R递减，当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln，f（x）递增，令f′（x）＜0，解得：x＜ln，f（x）递减，故a≤0时，函数f（x）在R递增，当a＞0时，函数f（x）在（ln，+∞）递增，在（-∞，ln）递减；（Ⅱ）由题意，只需证明e x-4x+x2+1＞0，设F（x）=e x-4x+x2+1，则F′（x）=e x-4+2x，设G（x）=F″（x），∵G′（x）＞0，故G（x）在R递增，又G（0）=-3＜0，G（1）=e-2＞0，故G（x）=0在（0，1）内有唯一解，即为x0，即=4-2x0，当x＜x0时，F′（x）＜0，F（x）递减，当x＞x0时，F′（x）＞0，F（x）递增，故F（x）min=F（x0）=-4x0++1=-6x0+5，x0∈（0，1），设g（x）=x2-6x+5=（x-3）2-4，x∈（0，1），则g（x）＞g（1）=0，故F（x0）＞0，故F（x）＞0，即曲线y=f（x）在抛物线y=-x2-1上方．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）设F（x）=e x-4x+x2+1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得a=，b=1，则c==1，∴椭圆C的离心率e==，左焦点F的坐标（-1，0），证明：（Ⅱ）由题意可得+y02=1，当y0=0时，直线l的方程为x=或x=-，直线l与椭圆相切，当y0≠0时，由可得（2y02+x02）x2-4x0x+4-4y02=0，即x2-2xx0+2-2y02=0，∴△=（-2x0）2-4（2-2y02）=4x02+8y02-8=0，故直线l与椭圆C相切．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当y0=0时，x1=x2，y1=-y2，x1=±，∴•=（x1+1）2-y12=（x1+1）2-6+（x1-1）2=2x12-4=0，∴⊥，即∠AFB=90°当y0≠0时，由，（y02+1）x2-2（2y02+x0x）x+2-10y02=0，则x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=x1x2-（x1+x2）+=，∴•=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=x1x2+x1+x2+1+y1y2=++==0，∴⊥，即∠AFB=90°综上所述∠AFB为定值90°．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求出，（Ⅱ）根据判别式即可证明．（Ⅲ）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2023年北京市朝阳区高考数学一模试卷1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 若，则( )A. B. C. D.3. 设…，若，则( )A. 5B. 6C. 7D. 84. 已知点，若直线上存在点P，使得，则实数k 的取值范围是( )A. B.C. D.5. 已知函数，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为若为坐标原点，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 或27.在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是( )A. B. C. D.8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )A. 的一个周期为B. 的最大值为C. 的图象关于直线对称D. 在区间上有3个零点9. 如图，M为的外接圆的圆心，，，N为边BC的中点，则( )A. 5B. 10C. 13D. 2610. 已知项数为的等差数列满足，…，若…，则k的最大值是( )A. 14B. 15C. 16D. 1711. 复数，则______.12. 函数的值域为______ .13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则为坐标原点的面积为______ .14. 在中，，，①若，则______ ；②当______ 写出一个可能的值时，满足条件的有两个.15. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力战斗单位数随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数、分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力；正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习胜利.其中所有正确结论的序号是______ .16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，求证：平面BDE；求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；求点D到平面ABE的距离.17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在.求函数的解析式；求在区间上的最大值和最小值.条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立.获奖人数性别人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小结论不要求证明19. 已知函数求的单调区间；若对恒成立，求a的取值范围；证明：若在区间上存在唯一零点，则20. 已知椭圆E：经过点求椭圆E的方程及离心率；设椭圆E的左顶点为A，直线l：与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由.21. 已知有穷数列A：，，…，满足a，…，给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的…，，都有，则称数列A是连续等项数列.判断数列A：，1，0，1，0，1，是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；若数列A：，，…，不是连续等项数列，而数列：，…，，，且，数列：，…，，0与数列：，，…，，1都是连续等项数列，求的值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意，，所以故选：化简，再由集合并集的运算即可得解．本题主要考查并集及其运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，，即，故A正确；取，，则不成立，故B错误；取，，则不成立，故C错误；取，则，故D错误．故选：根据不等式的性质判断A，取特殊值判断本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意，，，，故选：根据二项式的展开式结合已知列方程，求出n值．本题考查二项式的展开式的应用，考查组合数的性质，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：设，因为直线上存在点P，使得，可得P在以AB为直径的圆上，由直线与圆有交点，可得，解得或，故选：求得点P所在的圆的方程，结合直线和圆的位置关系可得所求取值范围．本题考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为定义域为R，，所以为奇函数，且为R上的增函数，当时，，所以，即“”是“”的充分条件，当时，，由的单调性知，，即，所以“”是“”成立的必要条件．综上，“”是“”的充要条件．故选：由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解．本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：在中，因为，所以，则，所以，故选：根据题意可得，从而，再由求解．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属基础题．7.【答案】C【解析】解：如图，连接AC，BD，交于N，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为，而平面，且平面，所以，又，所以，故C正确．对于A，因为长方体中AC与BD不一定垂直，故推不出，故A错误；对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；对于D，由B知，不能推出与BD垂直，而是中线，所以推不出，故D 错误．故选：根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD 可根据长方体说明不一定成立．本题考查了空间中平面位置的关系，考查了长方体的几何特征，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：选项A，因为，所以不是的一个周期，即A错误；选项B，令，则，，令，则，，即，，若的最大值为，则有解，整理得，，因为，，所以，故上式无解，即B错误；选项C，，，所以，所以的图象不关于直线对称，即C错误；选项D，，令，则或，因为，所以当时，，或；当，即时，，综上，在区间上有3个零点，即D正确．故选：选项A，计算，考察是否成立，即可；选项B，考虑和是否能同时成立，即可；选项C，计算可得，从而作出判断；选项D，令，有或，结合正弦、余弦函数的图象，解之即可．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数的对称性，周期性，零点问题等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】【分析】由N是BC边的中点，可得，利用M是的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论．本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：是BC边的中点，可得，是的外接圆的圆心，，同理可得，故选：10.【答案】B【解析】解：设等差数列的公差为d，，…，，，，，…，，解得，，化为，令，时，函数单调递增，而，，则k的最大值是故选：设等差数列的公差为d，根据，…，，利用通项公式可得，根据…，利用求和公式可得，把d代入即可得出k的范围．本题考查了等差数列的通项公式、不等式的解法、数列的单调性、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．【解答】解：复数故答案为：12.【答案】【解析】解：因为当时，，当时，，所以函数的值域为故答案为：利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可．本题主要考查函数的值域，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，联立方程，消去x可得，，韦达定理得，因为，所以，即，所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，所以故答案为：求出焦点坐标，设直线AB方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O 点到直线AB距离，进一步求出三角形面积．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．14.【答案】 6【解析】解：①，，，由余弦定理，，即，解得因为，所以当时，方程有两解，即，取即可，满足条件答案不唯一故答案为：①求出A，再由余弦定理求解即可；②根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出m的范围即可得解．本题考查了余弦定理的应用、考查了三角形解的个数问题，属于基础题．15.【答案】①②④【解析】解：对于①，若且，则，即，所以，由可得，即①正确；对于②，当时根据中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，即，所以战斗持续时长为，所以②正确；对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，即，可得，同理可得，即，解得，又因为，，a，b都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利，所以可得③错误，④正确．故答案为：①②④．对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，所以②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确．本题主要考查了利用给定的函数模型解决实际问题，属于较难题目．16.【答案】解：证明：，D，E分别为AC，的中点，，且，又平面ABC，平面ABC，又平面ABC，，又，且，平面BDE；根据题意可知直线DA，DB，DE两两相互垂直，以DA，DB，DE所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，则根据题意可得：，，，，，，，设平面ABE的法向量为，则，取，直线DE与平面ABE所成角的正弦值为：，；根据可得点D到平面ABE的距离为：【解析】根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明；建系，根据向量法，向量夹角公式，向量数量积，即可求解；建系，根据向量法，向量数量积，即可求解．本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解线面角问题，向量法求解点面距问题，向量数量积的运算，属中档题．17.【答案】解：若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与，矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以，解得，所以由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为【解析】由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解．本题主要考查三角恒等变换，三角函数解析式的确定，三角函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”，由题设知，事件B，C相互独立，且，，所以，，，所以X的分布列为：X012P故X的数学期望，理由：根据频率估计概率得，由知，，故，则【解析】根据古典概型公式计算即可；的所有可能取值为0，1，2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；计算出，，比较大小即可．本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．19.【答案】解：由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，得，在上递减；令，得，在上递增；综上，时，的递增区间为R，无递减区间；时，的递减区间为，递增区间为由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，，即实数a的取值范围为；证明：由知：时，在恒有，故不可能有零点；时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且x趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证．【解析】讨论、，结合导数的符号确定单调区间；由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；根据结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：由题意，，即，椭圆方程为，则，，，椭圆的离心率；直线NQ经过x轴上的定点，理由如下：联立，得，设，，则，，AM：，令，可得，，且，：，令，可得直线NQ经过x轴上的定点【解析】由题意得，求得n值，可得椭圆方程，求出椭圆的长半轴长与半焦距长，进一步可得离心率；联立，得，设，，则，，求出AM方程，可得Q坐标，再写出NQ的方程，取，可得NQ在x轴上的截距，整理得答案．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．21.【答案】解：数列A是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下：，，1，2，是连续等项数列，，，，为，1，0，1，，，，为1，0，1，0，，，，为0，1，0，1，，，，为1，0，1，，所以不存在正整数s，，使得，，1，2，3，所以数列A不是连续等项数列；设集合，则S中的元素个数为个，在数列A中，，，2，，，，，若，则，所以在，，，这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数s，，使得，，所以当项数时，数列A一定是连续等项数列，若，数列0，0，1不是连续等项数列，若，数列0，0，1，1不是连续等项数列，若，数列0，0，1，1，0不是连续等项数列，若，数列0，0，1，1，0，不是连续等项数列，若，数列0，0，1，1，0，，1不是连续等项数列，若，数列0，0，1，1，0，，1，不是连续等项数列，若，数列0，0，1，1，0，，1，，不是连续等项数列，若，数列0，0，1，1，0，，1，，，0不是连续等项数列，所以，N 的最小值为11；因为，，都是连续等项数列，所以存在两两不等的正整数i ，j ，，使得，，，，，，，，，，，，下面用反证法证明，假设，，，，，所以，，，中至少有两个数相等，不妨设，则，，，，所以数列A 是连续等项数列，与题设矛盾，，所以【解析】由连续等项数列的定义，代入求解即可；求出S 中的元素个数，则，，，利用列举法求出N 的最小值；用反证法证明，可得的值．本题考查数列新定义，考查数列的周期性，考查反证法的应用，考查列举法，属于难题．。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2019.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A.42i - B. 42i -+ C. 24i + D. 24i -2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，下列命题正确的是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //6. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为A ．2212x y -= B ．22123x y -= C. 2214x y -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.n ()n ∈Z B.2n ()n ∈Z C. 2n 或124n - ()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= . 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .正视图 侧视图13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 . 14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-. （Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<< 求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率． 17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，2AB=，=1EF，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得∠ 若存在，请求出CPD ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2019.3注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分 所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分 当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分 （16）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=， 第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分(Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共15种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分 （17）（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点N ，连接,MN NF .在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN//AB,MN 12=AB . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM//平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得CPD ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB CD ⊥.又因为CD BD ⊥，所以CD ⊥平面EBD . ………………………8分 在Rt CPD ∆中，tan =CDCPD DP∠. 因为CD 为定值，且CPD ∠为锐角，则要使CPD ∠最大，只要DP 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，DP 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得CPD ∠最大. …………11分 易得tan CD CPD =DB ∠=23. 所以CPD ∠的正切值为23. ……………………13分 （18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e xf x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分 （Ⅱ）()2()21e xf x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e xf x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分NCA F EB MD（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =， 方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a =-+，21x a =--，作差可知11a a-->-+，则当1x <-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1-∞-上为单调减函数；当11x a a -+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11a a-+--上为单调增函数；当1x >-时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1-∞-，(1)--+∞，函数()f x 的单调增区间为(11-+-. …………………………14分 （19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a =………………………3分则椭圆的方程为2213x y +=. ………………………4分 (II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.设(1,)3A，(1,3B -，则122233222k k +=+=为定值. ………5分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分 122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分 综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ；4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换． 对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T-−−→2,0,2,0,,0n -1T-−−→3,1,2,0,,0n -1T-−−→1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a 通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1mm m S a S m m =-++．………13分。