北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（理工类） 2016．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数
2i 1i
+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +
2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}2
0N x x x =-<，则下列结论
正确的是 A ．M N N = B ．(
)U
M
N =∅
C ．M N U =
D ．()U M N ⊆
3．
>e e a b
>”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．3
5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c 若
222()tan a c b B +-=，则角B 的值为 A ． 3π
B ． 6π
C ． 23
3
ππ或 D ． 566
ππ或
6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是
A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1
B. 结余最高的月份是7月
至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A ．1
3
B ．12
C ．1
D ．
3
2
8．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A
．0r < B
．0r <<
C
．0r < D
．0r << 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251
()x x
+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）． 10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；
2610410n a a a a ++++
+=______． 11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为
2,
(x t t y t
=-⎧⎨
=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲
线1C 与2C 的交点的极坐标．．．
为 ．
12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共
点，则实数a 的取值范围是 ．
13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14
AM AB nAC =+．若点M 在ABC ∆的内部(不含
边界)， 则实数n 的取值范围是____．
14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第
i （1,2,,12i =）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨
⎩
如果某学生不具有第项能力特征，
，如果某学生具有第项能力特征.
若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =，1212(,,,)B b b b =，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个 同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知函数
2
1
()sin 2
2
2
x
f x x ωω=-
，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()13
f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．
16．（本小题满分13分）
为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．
（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和
为4
的概率
（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变
量X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需
写出结论）．
17．（本小题满分14分）
如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，
A
M
P
C
B
A 1
C 1
B 1
