高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练

6.1 平面向量的概念课后训练巩固提升1.正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( ) A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等n 边形,所以n 条边的边长都相等,即这n 个向量的模都相等.2.在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是AB,AC 的中点,则 ( )A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B .DE⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等 D .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗ 相等,因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以由三角形的中位线定理可得DE ∥BC.所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.3.(多选题)下列说法正确的是( )A.1 021 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B.若O 是直线l 上的一点,单位长度已选定,则l 上有且只有两个点A,B,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量 C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行向量D.一人从点A 向东走500 m 到达点B,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示这个人从点A 到点B 的位移1021cm 时,1021cm 长的有向线段刚好表示单位向量,故A 不正确;因为单位长度已选定,向量的起点为O,所以l 上有且只有两个点A,B,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量,故B 正确;方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,故C 正确;根据位移的定义,可知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示这个人从点A 到点B 的位移,故D 正确.4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD,且AB ∥CD,即四边形ABCD 为平行四边形. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ | B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C .BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D .CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,因此|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ |一定成立,故A 符合题意;对于B,根据菱形的性质,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线一定成立,故B 符合题意;对于C,因为BD 与EH 不一定平行,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定共线,故C 不符合题意;对于D,根据菱形的性质,知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FG ⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模相等, 因此CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗ 一定成立,故D 符合题意.故选ABD.6.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= .A,B,C 三点不共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线, 又因为m ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 且m ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m=0.7.如果把平面上一切单位向量归结到共同的起点O,那么这些向量的终点所组成的图形是 .,方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆.O 为圆心的单位圆8.一个4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)如图所示,在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个.9.一辆汽车从点A 出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D. (1)作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.如图所示.(2)由题意,易知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以在四边形ABCD 中,AB ∥CD 且AB=CD,所以四边形ABCD 为平行四边形,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=200千米.。

人教A 版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念》同步练习一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知平面向量a →=(−2,1)，b →=(1,2)，则|a →−2b →|的值是( )A. 1B. 5C. √3D. √52.（5分）已知向量a →=(2,4),b →=(−2,m)，且|a →+b →|=|a →−b →|，则m =()A. √3B. 1C.2√33D. 23.（5分）已知四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，若BM →=xAB →+yAD →，则x +y =()A. 3B. 52C. 2D. −124.（5分）已知四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则下列向量中与PM →相等的向量是( )A. 12a →+b →−c →B. a →+12b →−c →C. −a →−12b →+c →D. a →+12b →+c →5.（5分）已知直线上OA →，OB →的坐标分别为−1，2，则下列结论不正确的是( )A. OA →<OB →B. |OA →|<|OB →| C. |AB →|=3D. AB 的中点坐标为126.（5分）在△ABC 中，已知BC →=3BD →，则AD →=()A. 13(AC →+2AB →) B. 13(AB →+2AC →) C. 14(AC →+3AB →)D. 14(AC →+2AB →)7.（5分）下列说法中错误的是()A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线C. 单位向量的长度为1D. 相等向量一定是共线向量8.（5分）下列说法正确的是( )A. 单位向量均相等B. 单位向量e →=1 C. 零向量与任意向量平行D. 若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，则a →=±b →9.（5分）若平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等，则|a →+b →+c →|=( )A. √3B. 3C. 0D. 110.（5分）已知不共线的向量a →,b →,|a →|=2,|b →|=3,a →.(b →−a →)=1，则|a →−b →|=( )A. √3B. 2√2C. √7D. √2311.（5分）有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；①若向量AB →与CD →是共线的向量，则A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ；①若a ①b =0，则a =0或b =0；其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 112.（5分）已知a →,b →为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. 如果a →与b →平行，那么a →与b →相等 B. a →与b →相等C. 如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →D. a →与b →共线二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是 ______.14.（5分）若向量AB →=−3CD →，则向量AB →与向量CD →共线.______ (判断对错) 15.（5分）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →=DC →； ⑤若m →=n →，n →=p →，则m →=p →； ⑥若向a →//b →，b →//c →，则a →//c →． 其中错误的命题有______.(填序号)16.（5分）已知平面内三点A （2，-3），B （4，3），C （5，a ）共线，则a=____ 17.（5分）已知向量a →=(m,1),b →=(4−n,2),m >;0,n >;0，若a →//b →，则1m+8n的最小值为__________;三 、多选题（本大题共4小题，共20分） 18.（5分）下列命题中正确的是( )A. 单位向量的模都相等B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若⇀ a 与b →满足|a |>|b |，且⇀ a 与b →同向，则a →>b →D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 19.（5分）下列说法中，正确的个数是( )A. 时间、摩擦力、压强、重力、身高、温度、加速度都是向量；B. 向量的模是一个正实数；C. 相等向量一定是平行向量；D. 向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量． 20.（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是()A. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 若xa →+yb →=0→，x ，y ∈R ，a →，b →不共线，则x =y =0 D. 若|a →+b →|=|a →−b →|，则|a →|2+|b →|2=|a →+b →|221.（5分）已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →+2PB →+3PC →=0→，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是()A. 向量PA →与PC →可能平行 B. 向量PA →与PC →可能垂直 C. 点P 在线段EF 上D. PE ：PF =1：2四 、解答题（本大题共4小题，共48分）22.（12分）已知四点A(x,0)，B(2x ,1)，C(2,x)，D(6,2x ). (1)求实数x ，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，A ，B ，C ，D 四点是否存在同一直线上？23.（12分）如图，半圆的直径AB =6，C 是半圆上的一点，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD =1，BE =4，DE =3.[{"ℎ":"57.0","w":"837.0","x":"63.0","y":"509.0"}](1)求证：AC →//DE →;(2)求|AC →|.24.（12分）已知D,E,F 分别是ΔABC 各边AB ,BC ,CA 的中点，分别写出图中与DE →，EF →，FD →相等的向量．25.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量m→=(a,√3b)，n→=(cosA,sinB)，且m→//n→.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅰ)若c=5，cosB=√21，求a的值.7答案和解析1.【答案】B;【解析】解：a →−2b →=(−4,−3)． ∴|a →−2b →|=√(−4)2+(−3)2=5． 故选：B ．利用数量积运算性质即可得出．此题主要考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B;【解析】解：由题意可得|a →+b →|2=|a →−b →|2， 即a →2+2a →·b →+b →2=a →2−2a →·b →+b →2， 可得a →·b →=0，又a →=(2,4)，b →=(−2,m)， 即有2×(−2)+4m =0， 解得m =1， 故选：B.由已知条件结合向量模的求法可得a →·b →=0，再代入坐标运算即可求解． 此题主要考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：∵四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，∴BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点， ∴BM →=BD →+BC →2=BA →+AD →+4AD→2=−12AB →+52AD →.又∵BM →=xAB →+yAD →，∴x =−12，y =52， 故 x +y =2， 故选：C.由题意先求得BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点，再利用平面向量的线性运算，借助平面向量的基本定理即可求解．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，属于中档题．4.【答案】B;【解析】解：∵四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，∴PM →=PB →+12BC →=PA →+AB →+12BC →=−c →+a →+12b →， 故选：B.直接根据向量的三角形法则进行求解即可．此题主要考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：向量不能比较大小，故A 不正确， ∵|OA →|=1，|OB →|=2，∴|OA →|<|OB →|，故选项B 正确， ∵AB →=OB →−OA →=2−(−1)=3，∴|AB →|=3，故选项C 正确， ∵A 的坐标为−1，B 的坐标为2，∴AB 的中点坐标为−1+22=12，故选项D 正确．故选：A.利用直线上的向量的坐标运算求解．此题主要考查了直线上的向量的坐标运算，考查了中点坐标公式，是基础题．6.【答案】A;【解析】解：根据向量的三角形法则得到AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=AB →+13(AC →−AB →)=23AB →+13AC →=13(2AB →+AC →)；故选：A.利用平面向量的三角形法则，将AD →用AB →,AC →表示，找出正确答案． 此题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题．7.【答案】B;【解析】解：零向量与任一向量平行，故A 正确； 方向相反的两个非零向量一定共线，故B 错误； 单位向量的长度为1，故C 正确；相等向量的模相等，方向相同，一定是共线向量，故D 正确． 故选：B.由零向量的概念判断A ；由相反向量的概念判断B ；由单位向量的概念判断C ；由相等向量的概念判断D.此题主要考查向量的基本概念，是基础题．8.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的概念，属于基础题. 根据向量的概念逐一判定即可.解：单位向量的模相等且为1，但单位向量的方向不确定，故A 、B 错误； 零向量与任意向量平行，故C 正确；若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，只能得出向量a →,b →的模相等，但向量a →,b →的方向不确定，故D 错误； 故选C.9.【答案】C;【解析】解：∵平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等； ∴a →，b →，c →两两夹角为120°，且|a →|=|b →|=|c →|=1；∴|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√(a →)2+(b →)2+(c →)2+2a →.b →+2a →.c →+2b →.c →=√3+6cos120° =0 故选：C ．根据三个向量不共线且两两所成的角相等可知，它们两两夹角为120°；再根据平面向量模的计算公式即可得出答案．该题考查了平面向量模的运算，属基础题．10.【答案】A;【解析】解：∵|a →|=2，|b →|=3，a →⋅(b →−a →)=1， ∴a →⋅b→−a 2→=a →⋅b →−4=1，∴a →⋅b →=5，∴|a →−b →|2=a 2→−2a →⋅b →+b 2→=4−2×5+9=3，∴|a →−b →|=√3， 故选：A ．由已知结合数量积的运算可得a →⋅b →=5，代入运算可得|a →−b →|2的值，求其算术平方根即得．此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量的模长的求解，属中档题．11.【答案】D;【解析】此题主要考查平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于①，向量AB 与CD 是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上， 如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误； 对于①，当|a |=|b |时，a =b 或a =-b 不一定成立， 如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误； 对于①，当a ①b =0时，a =0或b =0或a ①b ，原命题错误； 综上，正确的命题是①，共1个． 故选D.12.【答案】C;【解析】解：∵a →,b →为两个单位向量，∴如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →，故A 不正确，C 正确； 因为两向量相等的充要条件是模相等且方向相同，所以B 不正确； ∵a →,b →为两个单位向量，∴a →,b →为两个向量不一定平行，故D 不正确． 故选：C ．a →,b →为两个单位向量，它们的模是单位长度1，方向是任意的，根据两个单位向量的这两条性质，可以判断四个选项的真假．该题考查了命题的真假判断与应用，解答该题的关键是单位向量的定义及两向量相等的条件，同时考查了两向量的应用．13.【答案】（13，23，-23）;【解析】解：向量a →=(1,2,−2)， 可得|a →|=√1+4+4=3，所以与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是：(13,23,−23). 故答案为：(13,23,−23).求出向量的模，然后求解单位向量即可．此题主要考查单位向量的求法，向量的模的计算，是基础题．14.【答案】对;【解析】解：向量AB →=−3CD →，根据平面向量的共线定理知， 向量AB →与向量CD →共线． 故答案为：对．根据平面向量的共线定理，判断即可．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．15.【答案】①②③⑥;【解析】解：在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误；在②中，若|a →|=|b →|，则a →与b →大小相等，方向不一定相同，故②错误； 在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形，故③错误； 在④中，在平行四边形ABCD 中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →，故④正确； 在⑤中，若m →=n →，n →=p →，则向量相等的定义得m →=p →，故⑤正确； 在⑥中，若向a →//b →，b →//c →，当b →=0→时，a →与c →不一定平行，故⑥不正确． 故答案为：①①①①．在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同；在②中，a →与b →大小相等，方向不一定相同；在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形；在④中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →；在⑤中，由向量相等的定义得m →=p →；在⑥中，当b →=0→时，a →与c →不一定平行．该题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量相等、向量平行的合理运用．16.【答案】6;【解析】解：AB=(2，6) ，AC=(3，a+3) 由已知知AB ∥AC 所以2（a+3）=6×3 解得a=6 故答案为：617.【答案】92; 【解析】此题主要考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的充要条件，属于中档题. 由a →//b →，可得：n +2m =4，则1m+8n=14(n +2m )(1m+8n)，化简利用基本不等式求解即可．解：∵a →//b →，∴4−n −2m =0，即n +2m =4， ∵m >;0，n >;0， ∴1m +8n=14(n +2m )(1m +8n ) =14(10+n m+16m n)⩾14(10+2√n m·16mn)=92，当且仅当n =4m =83时取等号， ∴1m +8n 的最小值是92. 故答案为92.18.【答案】AD; 【解析】此题主要考查向量的有关概念，属于基础题．利用向量的有关概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.解：对于选项A ：单位向量的模均为1，故A 正确，对于选项B ：长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量，故B 错误， 对于选项C ：向量不能比较大小，故C 错误， 对于选项D ：根据相等向量的概念知，故D 正确. 故选AD .19.【答案】CD; 【解析】此题主要考查了向量的基本概念，熟练掌握向量，零向量，平行向量，向量的模的概念是解答该题的关键，属于基础题.直接由向量、零向量、向量相等，向量的模和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案．解：对于A ，时间没有方向，不是向量，故A 错误；对于B ，零向量的模为0，故B 错误；对于C ，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故C 正确；对于D ，根据零向量与任意向量共线，得到向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量，故D 正确．故选CD .20.【答案】ACD;【解析】解：若a →=b →,b →=c →，则一定a →=c →，∴A 正确；若a →与c →不平行，b →=0→，满足a →//b →,b →//c →，则得不出a →//c →，即B 错误；若xa →+yb →=0→,x,y ∈R,a →,b →不共线，则一定得出x =y =0，若x ，y 中有一个不为0，则可得出a →，b →共线，与已知不共线矛盾，∴C 正确；若|a →+b →|=|a →−b →|，则(a →+b →)2=(a →−b →)2，则a →·b →=0，从而得出|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2，即D 正确．故选：ACD.A 显然正确；b →=0→时，可说明B 错误；根据平面向量基本定理即可说明C 正确；进行向量数量积的运算即可说明D 正确．此题主要考查了平面向量和共线向量基本定理，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．21.【答案】BC;【解析】解：∵PA →+2PB →+3PC →=0→，∴PA →+PC →+2(PB →+PC →)=0→，∵E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，∴2PE →+2×2PF →=0→，∴PE →=−2PF →，∴P 为FE 的三等分点(靠近点F)，即PE ：PF =2：1，故C 正确，D 错误，∴向量PA →与PC →不可能平行，故A 错误；当|AC →|=2|EP →|=43|EF →|=23|AB →|时，向量PA →与PC →垂直，B 正确．故选：BC.由题意并根据平面向量线性运算可知PE →=12(PA →+PC →)，PF →=12(PB →+PC →)，代入等式可得PE →=−2PF →，即可判断C 和D ；根据平面中的位置关系，可判断A 和B.本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算及平面向量平行和垂直的判断，属中档题．22.【答案】解：（1）AB →=（x ，1），CD →=（4，x ），∵AB →与CD →共线，∴x 2-4=0，解得x=±2．∴当x=±2时，向量AB →与CD →共线．（2）取x=2时，A （2，0），B （4，1），C （2，2），D （6，4），直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，因此四点不共线．取x=-2时，A （-2，0），B （-4，1），C （2，-2），D （6，-4），直线AB 的方程为y-0=1−0−4−(−2)（x+2），化为：x+2y+2=0．点B ，D 满足直线AB 的方程，因此四点共线．;【解析】(1)AB →=(x,1)，CD →=(4,x)，利用向量共线定理解出x.(2)取x =2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，D(6,4)，直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，即可判断出四点共线．取x =−2时，A(−2,0)，B(−4,1)，C(2,−2)，D(6,−4)，直线AB 的方程为：x +2y +2=0.验证点B ，D 是否满足直线AB 的方程，即可判断出结论．此题主要考查了向量共线定理、向量共线与直线平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】(1)证明：由题意知，在△DEB 中，BD =5，DE =3，BE =4，∴DE 2+BE 2=BD 2，∴△DEB 是直角三角形，∠DEB =90∘.又∵点C 为半圆上一点，∴∠ACB =90∘.∴AC//DE ，故AC →//DE →.(2)解：由AC//DE 知△ABC ∽△DBE.∴AC DE =AB BD ，即AC 3=65.∴AC =185，即|AC →|=185.;【解析】本题考查向量的概念及几何表示、平行向量的概念以及向量的模，属于基础题.(1)根据勾股定理可得DE ⊥BE ，因为AC ⊥BC ，故可得AC →//DE →；(2)由三角形相似得相似比，从而可求出答案.24.【答案】略;【解析】DE →=AF →=FC →；EF →=BD →=DA →；FD →=CE →=EB →.25.【答案】解：（Ⅰ）∵m →∥n →，∴asinB −√3bcosA =0，∴根据正弦定理得，sinAsinB −√3sinBcosA =0，且sinB ＞0，∴sinA =√3cosA ，tanA =√3，且A ∈（0，π），∴A =π3；（Ⅱ）∵cosB =√217，∴sinB =2√77，且C =2π3−B ， ∴sinC =sin(2π3−B)=√32×√217+12×2√77=5√714，且c=5， ∴根据正弦定理得，c sinC =b sinB ，即5√714=2√77，解得b=4，∴根据余弦定理得，a 2=b 2+c 2-2bccosA=16+25-2×4×5×12=21，∴a =√21．;【解析】(Ⅰ)根据m →//n →即可得出asinB −√3bcosA =0，然后根据正弦定理即可得出sinA =√3cosA ，然后即可求出A =π3；(Ⅰ)可先求出sinB =2√77，sinC =5√714，然后根据正弦定理可求出b 的值，进而根据余弦定理可求出a 的值．本题考查了平行向量的坐标关系，正余弦定理，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．。

《6.1平面向量的概念》教案小和方向怎样表示？字母表示法：大写字母和小写字母。

箭头表示向量的方向，线段的长度表示大小。

知识探究（三）：向量的模和两类特殊向量思考：有什么含义？向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||.两类特殊向量：零向量和单位向量。

思考：1. 与0有区别吗？为什么？2. 零向量和单位向量的方向呢？3. 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？判断1.向量的模是一个正实数。

（）2.若|a|>|b| ，则a > b。

（）注:向量不能比较大小例1. 如图，分别用向量表示A地至B、C两地的位移,并根据图中的比例尺，求出A地至B,C两地的实际距离（精确到1km）知识探究（四）：向量之间的关系思考：观察图象，探究发现平行向量。

平行向量：方向相同或相反的叫做平行向量. 记作 //.共线向量：平行向量又称为共线向量.思考：是相同的向量吗？学生根据动态变化图，观察探究的出向量之间的关系。

利用例题引导学生掌握本节课知识,并能够灵活运用.利用数形结合的思想，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。

例题的3问三种类型，加深学生对基础知识理解，并能够灵活运用基础知识解决具体问题。

ABABABa b,AB BA《6.1 平面向量的概念》导学案【学习目标】一、向量的概念和表示方法1．向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． 2．向量的表示(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素： ， ， ． (2)表示方法：向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a ，b ，c ，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.AB →AB →AB →CD →思考（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？（2）两个向量可以比较大小吗？同方向的两个向量可以比较大小吗？ （3）两个向量的长度可以比较大小吗？ 二、向量的模及两个特殊向量(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的______ (或称模)，记作______． (2)零向量：长度为______的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于__________________的向量． 思考（1）零向量的方向是什么？ （2）两个单位向量方向相同吗？ 三、相等向量与共线向量1. 且 的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a ＝b .2.方向 的非零向量叫做平行向量，如果向量a ，b 平行，记作a ∥b .任一组 向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做 ．3.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同.( ) (2)向量就是有向线段．( )(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段一定在同一条直线上．( ) (4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( ) (6)任意两个单位向量都相等.( )2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有 。

6.1平面向量的概念——精选题目练习1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．02．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为13．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB→＝OC → B.AB →∥DE → C ．|AD→|＝|BE →| D.AD→＝FC → 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( )A ．相等向量B ．模相等的向量C ．平行向量D ．起点相同的向量5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．7．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD→长度的最小值为________． 8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图．(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量；(2)求证：BE→＝FD →. 10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形．答案：DDDBB 2 532 0⃗ 9.(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB→，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →. 在▱ABCD 中，AD //BC 且.AD =BC 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED //BF ，ED =BF所以四边形BFDE 是平行四边形， 所以BE //FD ，BE =FD 所以BE→＝FD →.10.解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB→∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD→|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD→＝BC →(或AD →∥BC →)． 若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．。

第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )A.1B.2C.3D.4,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.3.如图所示,在正三角形ABC 中,P ,Q ,R 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC⃗⃗⃗⃗⃗ C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗ D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗,方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量. 4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形.又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )A.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是菱形B.在平行四边形ABCD 中,一定有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.若a =b ,b =c ,则a =cD.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cA,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形,又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形,故A 正确;对于B,在平行四边形ABCD 中,对边平行且相等,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;对于C,由向量相等的定义知,当a =b ,b =c 时,有a =c ,故C 正确;对于D,当b =0时不成立,故D 错误.故选ABC .6.(多选题)设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结论正确的是( ) A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO⃗⃗⃗⃗⃗图,∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,长度相等,∴选项A 正确; ∵BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相反, ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,选项B 正确; ∵AB ∥CD ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴选项C 正确; ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BO⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项D 错误. 7.如图,四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 都是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M ,则下列关系不一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线D.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,直线BD 与EH 不一定平行,因此BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,C 项错误. 8.如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问: (1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个. 关键能力提升练9.已知a 为单位向量,下列说法正确的是( ) A.a 的长度为一个单位长度 B.a 与0不平行C.与a 共线的单位向量只有一个(不包括a 本身)D.a 与0不是平行向量已知a 为单位向量,∴a 的长度为一个单位长度,故A 正确;a 与0平行,故B 错误;与a 共线的单位向量有无数个,故C 错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D 错误. 10.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )A.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有一个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) B.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量有9个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 模的√3倍 D.CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线项,由相等向量的定义知,与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;B 项,因为AB=BC=CD=DA=AC ,所以与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量除AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 外有9个,故B 正确;C 项,在Rt △ADO 中,∠DAO=60°,则DO=√32DA ,所以BD=√3DA ,故C 正确;D 项,因为四边形ABCD 是菱形,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故D 错误.11.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是 .(填序号)a =b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ;若|a |=|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ;零向量与任意向量平行,所以若|a |=0或|b |=0,则a ∥b .12.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是边长为1的菱形,已知下列说法: ①AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是单位向量; ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有3个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有3个(不包括AE⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ⑤与向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等、方向相反的向量为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是 .(填序号)由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故③错误;④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量是EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故④正确;⑤正确.13.已知在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,tan D=√3,判断四边形ABCD 的形状.在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵tan D=√3,∴∠B=∠D=60°.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=BC ,故四边形ABCD 是菱形.学科素养创新练14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.(1)画出所有的向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值与最小值.(2)求|BC⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.(2)由(1)所画的图知,⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值√12+22=√5;①当点C位于点C1或C2时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值√42+52=√41.②当点C位于点C5或C6时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√41,最小值为√5.∴|BC。

（1）平面向量的概念1、下列命题中正确的是( ) A.温度是向量B.速度、加速度是向量C.单位向量相等D.若||||a b =r r ，则a r 和b r相等2、下列说法不正确的是( ) A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的方向是任意的 C.零向量与任一向量共线D.零向量只能与零向量相等3、如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB u u u r与DC u u u r 的关系是( )A.AB DC =u u u r u u u rB.||||AB DC =u u u r u u u rC.AB DC >u u u r u u u rD.AB DC <u u u r u u u r4、若a b =r r，那么要使a b =r r ，两向量还需要具备( )A.方向相反B.方向相同C.共线D.方向任意5、下列说法正确的是( ) A.若||||a b >r r ，则a b >r rB.若||||a b =r r ，则a b =r rC.若a b =r r ，则a r 与b r共线D.若a b ≠r r ，则a r 一定不与b r共线6、设O 是正方形ABCD 的中心，向量,,,AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是( )A.方向相同的向量B.有相同终点的向量C.相等向量D.模相等的向量7、如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA u u u r相等的向量是( )A.OC u u u rB.OD u u u rC.OB u u u rD.CO u u u r8、下列关于向量的结论： ①若a b =，则a b =或a b =-；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④若向量a 与b 同向，且a b >，则.a b > 其中正确的序号为( )A. ①②B. ②③C. ④D. ③9、在四边形ABCD 中，//AB CD u u u r u u u r ，AB CD ≠u u u r u u u r，则四边形ABCD 是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形10、如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB OC =u u u r u u u rB.//AB DE u u u r u u u rC.AD BE =u u u r u u u rD.AC BE =u u u r u u u r11、当向量a r 与任一向量都平行时，向量a r一定是_________.12、如图所示，,B C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC u u u r相等的向量是__________.13、给出下列命题：①若a b ≠r r ，则a r 一定不与b r共线；②若AB DC =u u u r u u u r，则A B C D 、、、四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r； ④若向量a r 与任一向量b r 平行，则0a =r；⑤若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r .其中所有正确命题的序号为_______________.14、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，,E F 分别是AD 与BC 的中点，则在以,,,A B C D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF u u u r方向相反的向量为_____________.15、某人驾驶汽车从A 点出发向西行驶了150公里到达B 点，然后又改变方向向西偏北60︒行驶了200公里到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了150公里到达D 点.（1）作出向量,,AB BC CD u u u r u u u r u u u r ；（2）求AD u u u r.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：温度只有大小，没有方向，不是矢量，A 错误；速度有大小和方向，应该是向量，加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值.由于速度是矢量，速度的变化既可能有大小上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量，即是一个矢量.时间的变化，只有大小，是一个标量.因此加速度是一个矢量，也就是向量，B 正确；向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不同，C 错误；已知||||a b =r r ，但a r 与b r 的方向不一定相同，则a r 与b r不一定相等，D 错误.故选B.2答案及解析： 答案：A解析：零向量的长度为0，方向是任意的，零向量与任一向量是共线的.故选A.3答案及解析： 答案：B解析：由几何关系知，||||AB DC =u u u r u u u r ，但AB u u u r与DC u u u r 不共线. 故选B.4答案及解析： 答案：B解析：两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件. 故选B.5答案及解析： 答案：C解析：向量不能比较大小，A 错误；模相等，但方向不一定相同，B 错误；若a b ≠r r ，a r可以与b r共线，D 错误.故选C.6答案及解析： 答案：D解析：因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线长度的一半，故向量,,,AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r是模相等的向量.故选D.7答案及解析： 答案：D解析：OA u u u r 与CO u u u r 方向相同且长度相等，则OA CO =u u u r u u u r.故选D.8答案及解析： 答案：D解析：①中只知a b ＝，a 与b 的方向不知，故①不对；②没告诉是非零向量，故②不对，因为零向量的方向是任意的；③正确．对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同；④向量与数不同，向量不能比较大小. 故选D.9答案及解析： 答案：A解析：在四边形ABCD 中， ∵//AB CD u u u r u u u r，∴//AB CD .又∵AB CD ≠u u u r u u u r，∴AB CD ≠. ∴四边形ABCD 是梯形.故选A.10答案及解析： 答案：D解析：设正六边形ABCDEF 的边长为a ，依次分析各选项：对于A ，由正六边形的性质可得AB 与OC 平行且相等，则有AB OC =u u u r u u u r，故A 正确； 对于B ，由正六边形的性质可得AB 与DE 平行，即//AB DE u u u r u u u r，故B 正确；对于C ，在正六边形ABCDEF 中，AD 与BE 均过中心O ，则有2AD BE a ==，即有AD BE =u u u r u u u r，故C 正确；对于D ，在正六边形ABCDEF 中，,2AC BE a ==，则AC BE ≠u u u r u u u r，故D 错误. 故选D.11答案及解析： 答案：零向量解析：由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行.12答案及解析： 答案：BD u u u r解析：设线段AD 的长度为3，则2AC =u u u r，与AC u u u r 的方向相同且模等于2的向量仅有BD u u u r .13答案及解析： 答案：③④⑤解析：本题主要考查共线向量与相等向量的概念.①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反， a r 与b r 有共线的可能，故①不正确;②AB DC =u u u r u u u r，,,,A B C D 四点可能在同一条直线上，故②不正确;③在平行四边形ABCD 中，||||AB DC =u u u r u u u r ，AB u u u r与DC u u u r 平行且方向相同，故AB DC =u u u r u u u r，③正确;④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，故④正确;⑤a b =r r ，则||||a b =r r ，且a r 与b r 方向相同，b c =r r ，则||||b c =r r ，且b r 与c r 方向相同，综合知a r与c r 方向相同且模相等，故a c =r r，⑤正确.14答案及解析：答案：,BA CD u u u r u u u r解析：由题意得//AB EF ，//CD EF ，所以与EF u u u r 平行的向量为DC u u u r ，CD u u u r ，AB u u u r ，BA u u u r其中方向相反的向量为,BA CD u u u r u u u r.15答案及解析： 答案：（1）如图所示.（2）易知AB u u u r与CD u u u r 方向相反， 故AB u u u r与CD u u u r 共线.又150AB CD ==u u u r u u u r， ∴//AB CD ，即四边形ABCD 为平行四边形.∴200AD BC ==u u u r u u u r.。

6.1 平面向量的概念(精练)【题组一向量与数量的区别】1．(2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一月考)给出下列量：①角度；①温度；①海拔；①弹力；①风速；①加速度．其中是向量的有( )A．2个B．2个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据题意，在①角度、①温度、①海拔、①弹力、①风速、①加速度中，是向量的有①弹力、①风速、①加速度，有3个，故选：B．2．(2021·浙江·高一课时练习)下列各量中是向量的是( )A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．3．(2021·全国·高一课时练习)给出下列物理量:①密度；①路程；①速度；①质量；①功；①位移.下列说法正确的是A．①①①是数量，①①①是向量B．①①①是数量，①①①是向量C．①①是数量，①①①①是向量D．①①①①是数量，①①是向量【答案】D【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D4．(2021·上海·高一课时练习)下列各量中，哪些是向量(即矢量)，哪些是数量(即标量)？(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度向量：__________；数量：____________.(填写相应编号).【答案】(4)(6) (1)(2)(3)(5)【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案为：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).【题组二 向量的几何表示】1．(2021·全国·高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.(1)按1①100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【答案】见解析.【解析】(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180α︒-的正多边形，由多边形的内角和定理可得(180)(2)180n n α︒-=-⋅︒， 解得360nα︒=，且3,*n n N ≥∈．故α应满足的条件为360nα︒=，且3,*n n N≥∈．2．(2021·全国·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且5AC=.(1)画出所有的向量AC；(2)求BC的最大值与最小值．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)画出所有的向量AC，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|①当点C位于点C5或C6时，|BC|所以|BC|3(2021·全国·高一课时练习)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a．(1)试以B为起点画一个向量b，使=b a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．4．(2021·江苏·高一课时练习)在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b a=；c=，并说出向量c的终点的轨迹是什么？(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使5【答案】(1)作图见解析；(2)向量c的终点的轨迹是以A.【解析】(1)由题意，B为起点画一个向量b，使b a=，如图所示.c=，则向量c的终点表示以A(2)因为5【题组三向量相关概念的辨析】1．(2021·湖南·武广实验高级中学高一期末)下列四个命题正确的是( )A．两个单位向量一定相等B．若a与b不共线，则a与b都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B．2．(2021·全国·高一课时练习)下列关于向量的描述正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b 不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅=不一定成立，故选项B 错误； 对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：D.3．(2021·广西·田东中学)下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量；①若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>； ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；①若a →①,b b →→①c →，则b →①c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于①，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误；对于①，向量是有方向的量，不能比较大小，故①错误；对于①，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故①错误；对于①，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．4．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的个数是( )①时间、摩擦力、重力都是向量；①向量的模是一个正实数；①相等向量一定是平行向量；①向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；①零向量的模为零，故①错；①相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故①正确；①零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即①正确.故选：B.5．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段①零向量是没有方向的向量①零向量的方向是任意的①任何向量的模都是正实数A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故①错，①正确；零向量的模等于0，故①错.故选：B.6．(2021·江苏·高一)下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;①向量的大小与方向有关;①任意两个零向量方向相同;①模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;①向量不能比较大小,故①错误;①由零向量方向的任意性知①错误;①向量相等是向量模相等,且方向相同,故①错误.故选：A.7．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；①零向量的方向任意，故错误；①单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；①任意向量与零向量都共线，正确；故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数有( )①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0B．1C．2D．3【答案】AAB CD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；【解析】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//对于①，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故①错误；对于①，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故①错误；对于①，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故①错误.故选：A．【题组四相等向量与平行向量】1．(2021·全国·高一课时练习)下图中与向量a相等的向量是( )A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c【答案】D【解析】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个，故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:①AE AB AD CD CB DE，，，，，都是单位向量;①AB①DE DE，①DC①与AB相等的向量有3个;①与AE共线的向量有3个;①与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE CD BA，，.其中正确的是____.(填序号)【答案】①①①①【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确;①正确;①与AB 相等的向量是ED DC ，，故①错误;①与AE 共线的向量是EA BD DB ，，，故①正确;①正确.故答案为：①①①①4．(2021·上海·高一课时练习)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有______个；(2)______；(3)与AB 相等的向量有______；(4)1AA 的相反向量有______．【答案】8 1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB 11A B 、DC 、11DC 1A A 、1B B 、1C C 、1D D【解析】(1)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以单位向量有428⨯=个；(2)由图可知，1111A D AD BC BC ====1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；(3)由图可知，1111AB DC A B D C ===，所以与AB 相等的向量有：11A B 、DC 、11DC ；(4)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以1AA 的相反向量有：1A A 、1B B 、1C C 、1D D ； 故答案为：8；1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；11A B 、DC 、11DC ；1A A 、1B B 、1C C 、1D D .5．(2021·全国·高一课时练习)O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO ，BO 相等的向量；(2)找出与AO 共线的向量；(3)找出与AO 模相等的向量；(4)向量AO 与CO 是否相等？【答案】(1)AO BF =，BO AE =；(2)BF ，CO ，DE ；(3)CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)不相等．【解析】因为O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形， 所以OA AE OD DE OC CF BF BO =======，AB CD BC AD ===；(1)由题中图形可得：AO BF =，BO AE =；(2)由图形可得，与AO 共线的向量有：BF ，CO ，DE ；(3)与AO 模相等的向量有：CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)向量AO 与CO 不相等，因为它们的方向不相同．6．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．【答案】(1)OD ，BC ，AO ，FE .(2)EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ，AD .(3)与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【解析】(1)因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE.(2)由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.(3)由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.。

名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) 零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D 正确．答案：D向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点． 2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AB →＝12BC →＋DA →C.AD →－DC →＝AC → D ．2CD →＋BA →＝CA →解析：本题考查向量的线性运算．A 错，应为AB →＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD →＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D.答案：D知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 必记结论 三点共线等价关系：A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 向量的基本概念|1．已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，则a ，b 方向相同或相反； ③若a ＝－b ，则|a |＝|b |；④若a ，b 不共线，则a ，b 中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b ＝0，则①②都错误；若a ＝－b ，则|a |＝|b |，③正确；若a ，b 不共线，则a ，b 中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．答案：D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A ．a ＝2b B ．a ∥b C ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a ，b 共线且方向相反，因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．对照各个选项可知，选项A中向量a ，b 的方向相同，选项B 中向量a ，b 共线，方向相同或相反，选项C 中向量a ，b 的方向相反，选项D 中向量a ，b 互相垂直，故选C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．考点二 平面向量的线性运算|(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. [解析] 因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB→－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.[答案]3平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32 B.53 C ．2D ．1解析：取AB 的中点E ，连接OE ，则有OA →＋OB →＋2OC →＝2(OE →＋OC →)＝0，OE →＋OC →＝0，所以E ，O ，C 三点共线，所以有△AEO 与△BEO 面积相等，因此△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为1，故选D.答案：D考点三 共线向量定理的应用|设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [解析] 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.[答案]21．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A、B、C三点共线．2．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－k e2，且A，C，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2，又CD→＝－8e1－2e2，∴CD→＝－2AC→，∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)∵AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线．∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG→＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.答案：6课时跟踪检测 A 组 考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n＝32，所以m －n ＝－2. 答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa 即可，又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC→＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心． 解：如图，记AM →＝AB→|AB→|，AN →＝AC→|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组 高考题型专练1．)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：124．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)， 所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（ ）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确； 对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________． 答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

6.1.1 向量的概念课后训练巩固提升1.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |,且AB ∥CD, ∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴四边形ABCD 为菱形.2.已知向量a,b 是两个非零向量,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是与a,b 同方向的单位向量,则下列正确的是( )A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗B.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ C.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等1.3.如图,在圆O 中,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是 ( )A.有相同起点的向量B.共线向量C.模相等的向量D.相等的向量4.(多选题)下列说法错误的是( )A.向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA⃗⃗⃗⃗⃗ 是同一向量 D.有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等5.如图,已知小正方形的边长为1,向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度分别是 .|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+52=√34,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+22=√13. √34,√136.已知a,b 是任意两个向量,下列条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与b 的方向相反;④a=0或b=0;⑤a 与b 都是单位向量.其中,使向量a 与b 平行的有 .(只填序号)a ∥b.7.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行,而m ∥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴m=0.8.如图,在四边形ABCD 中,M,N 分别是边BC,AD 上的点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且AB ∥DC, 所以四边形ABCD 是平行四边形,所以|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |,且DA ∥CB. 又因为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同, 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理可证,四边形CNAM 是平行四边形,所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NA ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DN ⃗⃗⃗⃗⃗ |.又DN ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 9.如图,四边形ABCD 与四边形ABDE 都是平行四边形,求证:C,D,E 三点共线.ABCD 与四边形ABDE 都是平行四边形, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠0,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有相同的起点D,∴C,D,E 三点共线.。

名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) 零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D 正确．答案：D向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点． 2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AB →＝12BC →＋DA →C.AD →－DC →＝AC → D ．2CD →＋BA →＝CA →解析：本题考查向量的线性运算．A 错，应为AB →＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD →＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D.答案：D知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 必记结论 三点共线等价关系：A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 向量的基本概念|1．已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题：。

6．1 平面向量的概念问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( )(5)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定答案：C如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED →相等的向量有________．答案：AB →，DC →向量的相关概念给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．1．下列说法中正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量与任一向量平行D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C.向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．用有向线段表示向量的步骤已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；(2)问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？ 解：(1)由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°，所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量． 解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.2．[变问法]本例条件不变，与AD →共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B.根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B.2．如图，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与BC →相等的向量； (2)写出与BC →共线的向量．解：(1)因为四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，所以BC ∥AD ∥DE ，BC ＝AD ＝DE ，所以BC →＝AD →＝DE →.故与BC →相等的向量为AD →，DE →.(2)与BC →共线的向量共有7个，分别是AD →，DE →，DA →，ED →，AE →，EA →，CB →.1.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量． 解：画出图形，如图所示．(1)易知BC ∥AD ，BC ＝AD ， 所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ， 所以与OB →长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →. (3)与DA →共线的向量为AD →，BC →，CB →.[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D. 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量； (2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE 綊FD ，所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形；(2)四边形ABCD 是平行四边形．解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C ．BD →的模恰为DA →模的3倍D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC→≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E .因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|.因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC→|，故|DB →|＝32. 答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．。

6.1平面向量的概念考法一向量与数量的辨析【例1】（2023山西）下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是() A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．【一隅三反】1．（2023下·高一课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】A【解析】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.故选：A.2．（2023北京）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C3．（2023·安徽）以下选项中，都是向量的是（）A．正弦线、海拔B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积D．余弦线、速度【答案】D【解析】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC 的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故选：D．4．（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段MN→和有向线段NM→的长度相等【答案】D【解析】A ：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A 错；B ：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B 错；C ：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C 错；D ：有向线段MN →和有向线段NM →的长度相等，故D 对.故选：D考法二零向量与单位向量【例2-1】（2023·广东湛江）下列命题正确的个数是（）（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．故选：B【例2-2】1（2023·新疆巴音郭楞）下列说法正确的是（）A ．单位向量均相等B ．单位向量1e =C ．零向量与任意向量平行D ．若向量a ，b 满足||||a b = ，则a b=± 【答案】C【解析】对于A ：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A 错误；对于B ：单位向量1e = .故B 错误；对于C ：零向量与任意向量平行.正确；对于D ：若向量a ，b 满足||||a b = ，但是a ，b 的方向可以是任意的.故选：C【一隅三反】1．（2023云南）下列说法正确的是（）A ．零向量没有大小，没有方向B ．零向量是唯一没有方向的向量C ．零向量的长度为0D ．任意两个单位向量方向相同【答案】C【解析】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.故选：C.2．（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（）A ．向量的模是一个正实数B ．零向量没有方向C ．单位向量的模等于1个单位长度D ．零向量就是实数0【答案】C【解析】对于A ，零向量的模等于零，故A 错误；对于B ，零向量有方向，其方向是任意的，故B 错误；对于C ，根据单位向量的定义可C 知正确；对于D ，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D 错误.故选：C.3（2023·广东揭阳）下列结论中正确的为（）A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量AB 与向量BA 的长度相等C ．对任意向量a ，a a是一个单位向量D ．零向量没有方向【答案】B【解析】对于A 选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A 错；对于B 选项，向量AB 与向量BA 的模相等，B 对；对于C 选项，若0a ，则a a无意义，C 错；对于D 选项，零向量的方向任意，D 错.故选：B.考法三向量的几何表示【例3-1】（2023·安徽淮北）在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)3OA = ，点A 在点O 的正西方向；(2)OB = B 在点O 的北偏西45 方向；(3)求出AB 的值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)3【解析】（1）因为3OA = ，点A 在点O 的正西方向，故向量OA 的图示如下：（2）因为OB = B 在点O 的北偏西45 方向，故向量OB 的图示如下：（3）223AB OB OA =-= .【一隅三反】1．（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．(1)终点A 在起点O 正东方向3m 处；(2)终点B 在起点O 正西方向3m 处；(3)终点C 在起点O 东北方向4m 处；(4)终点D 在起点O 西南方向2m 处．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析．【解析】（1）从O 向东作长度为3m 的有向线段OA ：（2）从O 向西作长度为3m 的有向线段OB ：（3）从O点起向北偏东45︒方向作长度为4m的有向线段OC：（4）从O点起向南偏西45︒方向作长度为2m的有向线段OD：2．（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B 点的正北方．(1)作出AB 、BC 、CD （图中1个单位长度表示100m）；(2)求DA 的模．【答案】(1)作图见解析(2)2003m【解析】（1）根据题意可知，B 点在坐标系中的坐标为(2,0)-，又因为D 点在B 点的正北方，所以CD BD ⊥，又CB = DB = D 、C 两点在坐标系中的坐标为(-，(-；即可作出AB 、BC 、CD 如下图所示.（2）如图，作出向量DA ，由题意可知，//CD AB 且200CD AB ==，所以四边形ABCD 是平行四边形，则DA BC ==所以DA 的模为3．（2023北京）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)3OA = ，点A 在点O 北偏西45°方向；(2)OB = ，点B 在点O 正南方向．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)∵3OA = ，点A 在点O 北偏西45°方向，∴以O 为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP 的交点即为A 点：(2)∵OB == ，点B 在点O 正南方向，∴以O 为圆心，图中OQ 为半径化圆，圆弧与O R 的交点即为B 点：考法四平行向量与共线向量【例4-1】（2022下·高一校考课时练习）如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心.(1)图中所示的向量中与OA 的模相等的向量有几个?(2)图中所示的向量中与OA 共线的向量有几个?【答案】(1)11(2)4【解析】（1）因为ABCDEF 为正六边形，所以中心O 到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长.因此题图中所示的向量中与OA 的模相等的向量有AB ，OB ，OC ，CB ，DC ，DO ，ED ，EO ，FE ，FO ，AF，共11个.（2）由题知，图中所示的向量中与OA 共线的向量有DO ，DA、CB 、FE ，共4个.【例4-2】（2023·贵州遵义）（多选）下列说法错误的是（）A ．有向线段AB与BA 表示同一向量B ．两个有公共终点的向量是平行向量C ．零向量与单位向量是平行向量D ．单位向量都相等【答案】ABD【解析】对A,有向线段AB与BA 表示相反向量，不是同一向量，A 错误；对B ，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B 错误；对C ，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C 正确；对D ，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D 错误；故选:ABD.【一隅三反】1．（2023·陕西榆林）（多选）如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断正确的是（）A ．AB OC=B ．//AB DEC ．AD BE = D ．AD FC= 【答案】ABC【解析】由正六边形的结构特征可知，AB与OC 方向相同，长度相等，AB OC ∴= ，故选项A 正确，AB与DE 方向相反，//AB DE ∴ ，故选项B 正确，由正六边形的性质可知，AD BE =，故选项C 正确，AD 与FC不共线，所以不会相等，故选项D 错误，故选：ABC ．2．（2023下·江苏镇江）（多选）下列命题中，正确的是（）A ．若a b = 则a b =B ．若a b = ,则//a bC ．若a b > 则a b> D ．若0,a = 则0a =【答案】BD【解析】A ．若||||a b = ，则,a b方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确；B ．a b = ，则//a b，正确；C.||||a b >，则a 与b 不能比较大小；D ．||0a = ，则0a=，因此正确．故选：BD ．3．（2023·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD 为正方形，BDCE 为平行四边形，(1)与AB模长相等的向量有多少个？(2)写出与AB相等的向量有哪些？(3)与AB共线的向量有哪些？(4)请列出与EC相等的向量．【答案】(1)有9个(2)DC ，BE(3)DC ，BE ，CD ，EB ，BA ，EA，AE (4)BD【解析】（1）因为四边形ABCD 为正方形，BDCE 为平行四边形，所以AB BE BC AD DC ====，所以与AB 模长相等的向量有BE 、BA 、EB 、DC 、CD 、AD 、DA、BC 、CB 共9个.（2）与AB 相等的向量有BE、DC .（3）与AB 共线的向量有DC ，BE ，CD ，EB ，BA ，EA，AE .（4）因为BDCE 为平行四边形，所以//CE DB 且CE DB =，所以与EC 相等的向量为BD.一．单选题1．（2023·黑龙江）下列量中是向量的为（）A ．频率B ．拉力C ．体积D ．距离【答案】B【解析】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，故选：A ．3．（203·湖北鄂州）下列关于零向量的说法正确的是（）A ．零向量没有大小B ．零向量没有方向C ．两个反方向向量之和为零向量D ．零向量与任何向量都共线【答案】D【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A 、B 错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C 错误；零向量与任意向量共线，D 正确．故选：D.4．（2023下·河北石家庄·高一校联考阶段练习）下列说法错误的是（）．A ．向量CD与向量DC 长度相等B ．起点相同的单位向量，终点必相同C ．向量的模可以比较大小D ．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【解析】CD 和DC长度相等，方向相反，故A 正确；单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B 错误；向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C 正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D 正确．故选：B5．（2023·陕西）如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中点，则下列判断错误的是（）A ．AB OC=B ．AB DE∥C ．AD BE = D ．AD FC= 【答案】D【解析】对于A ，由正六边形的性质可得四边形OABC 为平行四边形，故AB OC =，故A 正确.对于B ，因为//AB DE ，故AB DE ∥，故B 正确.对于C ，由正六边形的性质可得AD BE =，故AD BE = ，故C 正确.对于D ，因为,AD FC 交于O ，故AD FC =不成立，故D 错误，故选：D.6．（2023·新疆塔城）如图所示，在平行四边形ABCD 中成立的是（）A ．AB CD=B ．AB BC =uu u r uu u rC ．AD CB =D ．AD BC= 【答案】D【解析】在平行四边形ABCD 中//AB DC 且AB DC =，//AD BC 且AD BC =，所以AB DC = ，AD BC =.故选：D7．（2023·广东湛江）下列命题正确的是（）A ．零向量没有方向B ．若a b = ，则a b= C ．若a b = ，b c = ，则a c= D ．若a b ，b c，则a c【答案】C【解析】对于A 项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A 项错误；对于B 项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B 项错误；对于C 项：因为a b = ，b c =，所以可得：a c = ，故C 项正确；对于D 项：若0b = ，则不共线的a ，c 也有0a ，0c，故D 项错误.故选：C.8.（2023黑龙江）给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，向量AB 与向量BA，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a 与b 平行时，a 或b为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB 与CD是共线向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B ．二．多选题9．（2023·辽宁沈阳）下列命题中正确的是（）A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【解析】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A 正确；根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B 错误；向量不能够比较大小，故C 错误；根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D 正确.故选：AD.10．（2023·四川自贡）如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A B 、、C D E F O 、、、、中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量()AB BA 外，与向量AB共线的向量有（）A ．CFB ．CDC ．DED ．OD【答案】AC【解析】对于A ，因为在正六边形ABCDEF 中，AB ∥CF ，所以CF 与AB共线，所以A 正确，对于B ，因为在正六边形ABCDEF 中，AB 与CD 不平行，所以CD 与AB不共线，所以B 错误，对于C ，因为在正六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，所以DE 与AB共线，所以C 正确，对于D ，因为在正六边形ABCDEF 中，AB 与OD 不平行，所以OD 与AB不共线，所以D 错误，故选：AC11．（2022·全国·高一课时练习）下面的命题正确的有（）A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a ，b 满足||||a b > 且a 与b 同向，则a b> D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形”【答案】AD【解析】对于A ，由相反向量的概念可知A 正确；对于B ，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B 错误；对于C ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C 错误；对于D ，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =，可得//AB DC ，且AB DC =，故四边形ABCD 是平行四边形；若四边形ABCD 是平行四边形，可知//AB DC ，且AB DC =，此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =，故D 正确.故选：AD.12．（2023江苏）下列关于向量的描述不正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b=B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】ABC【解析】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅= ，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅= 不一定成立，故选项B 错误；对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：ABC.三．填空题13（2023·高一课时练习）下列各量中，向量有：．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．【答案】③⑤⑥⑧⑩【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度.故答案为：③⑤⑥⑧⑩.14（2023安徽）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA相等的向量有个.【答案】3【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量OA 相等的向量有DO ，CB ，EF，共3个.故答案为：315．（2023下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作//MN AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，则在以A ，B ，C ，D ，M ，O ，N 为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.【答案】2【解析】由题意CD ∥AB 可知，OCD OAB △∽△，所以OC OD OA OB=，所以OC ODAC BD =.因为//MN AB ，所以OC ONAC AB=，OD OM BD AB =，所以，ON OMAB AB=，所以OM ON =.又M ，O ，N 三点共线，所以OM NO = ，MO ON =，故相等向量有2对.故答案为：2.16．（2023天津）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．（1）单位向量共有______个；（25______；（3）与AB相等的向量有______；（4）1AA的相反向量有______．【答案】81AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1 BC 、1C B 、1B C、1CB uuu r 11A B 、DC 、11D C 1A A 、1B B 、1C C、1D D【解析】（1）由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以单位向量有428⨯=个；（2）由图可知，1111A D AD B C BC ====，1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1 BC 、1C B 、1B C 、1CB uuur ；（3）由图可知，1111AB DC A B D C ===，所以与AB相等的向量有：11A B 、DC 、11D C ；（4）由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以1AA 的相反向量有：1A A 、1B B 、1C C、1D D ；故答案为：8；1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1 BC 、1C B 、1B C、1CB uuu r ；11A B 、DC 、11D C ；1A A 、1B B 、1C C 、1D D .四．解答题17．（2023·全国·高一课堂例题）已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图所标出的向量中：(1)试找出与FE共线的向量；(2)确定与FE相等的向量；(3)OA 与BC相等吗？【答案】(1)BC 和OA；(2)BC FE =；(3)不相等.【解析】（1）由O 为正六边形ABCDEF 的中心，得与FE 共线的向量有BC 和OA .（2）由于BC 与FE 长度相等且方向相同，所以BC FE =.（3）显然//OA BC ，且OA BC = ，但OA 与BC的方向相反，所以这两个向量不相等.18．（2023·高一校考课时练习）如图，EF ，CH 将正方形ABCD 分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量AG 外，与AG 平行的向量有哪些?与AG平行且是单位向量的有哪些?【答案】答案见解析【解析】根据平行向量的定义，由图可知，与AC 平行的向量有：GB ，BG ，AB，BA ，EO ，OE ，OF ， FO ，EF ，FE ，DH ，HD ，HC ，CH ，DC ，CD，GA ，其中的单位向量有：GB ，BG ，EO ，OE ，OF ， FO ，DH，HD ，HC ，CH ，GA .19．（2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1．(1)试以B 为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为AB ，使AB a=．(2)在图中画一个以A 为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为AM，且||AM M 的轨迹是什么？【答案】(1)图见解析(2)点M 的轨迹是以A【】细节（1）如图，感觉向量相等的定义，AB 与a的方向相同，长度相等，即2AB = ，即可得到向量AB ；（2）如图，画出一个满足条件的向量AM ，点M 的轨迹是以点A 为圆心，半径r =的圆.20.（2023湖北）如图，ABC 和A B C ''' 是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设ABC 的边长为a ，写出图中给出的长度为3a 的所有向量中，（1）与向量GH 相等的向量；（2）与向量GH 共线的向量；（3）与向量EA 平行的向量.【答案】（1）HC ，LB 'uuu r ；（2）HC ，LB 'uuu r ，GB ，LE ，EC ' ；（3）EF ，FB ，HA ' ，HK ，KB ' .【解析】（1）与向量GH 相等的向量，即与向量GH 大小相等，方向相同的向量，有HC ，LB 'uuu r ；（2）与向量GH 共线的向量，即与向量GH 方向相同或相反的向量，有HC ，LB 'uuu r ，GB ，LE ，EC ' ；（3）与向量EA 平行的向量，即与向量EA 方向相同或相反的向量，有EF ，FB ，HA ' ，HK ，KB ' .21．（2023河南）在如图所示的向量a ，b ，c ，d ，e 中（小正方形的边长为1），是否存在：若存在，分别写出这些向量．(1)共线向量？(2)相反向量？(3)相同的向量？(4)模相等的向量？【答案】(1)a 与d 共线，b 与e 共线(2)a 与d(3)无相同向量(4)a c d== 【解析】(1)a 与d 共线，b 与e 共线(2)a 与d 是相反向量(3)图中无方向相同的向量，所以向量a ，b ，c ，d ，e 中无相同的向量(4)由图可知5,2,22a c d b e ===== ，所以模相等的向量为a c d== 22．（2022·江苏·高一专题练习）在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.（1）写出与12A A 相等的向量；（2）写出与12A B 平行的向量；（3）写出13A A 的负向量.【答案】（1）23A A ，12B B ，23B B ，12C C ，23C C ；（2）13A C ，23A B ，12B C ，23B C ，21B A ，32B A ，21C B ，32C B ，31C A ；（3）31A A ，31B B ，31C C 【解析】（1）如图①标出了与12A A 方向相同，大小相等的向量，是与12A A 相等的向量，有23A A ，12B B ，23B B ，12C C ，23C C ；（2）与12A B 平行的向量是指与12A B 方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有13A C ，23A B ，12B C ，23B C ，21B A ，32B A ，21C B ，32C B ，31C A ，如图②所示；（3）13A A 的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有31A A ，31B B ，31C C ，如图③所示.。

6.1 平面向量的概念（分层作业）（必做题+选做题）【必做题】一、单选题 1．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B ．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D ．若AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上2．（2022·高一课时练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量3．（2022秋·河南许昌·高一统考期末）已知P 在ABC 所在平面内，满足PA PB PC ==，则P 是ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心4．（2022·全国·高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么（ ） A ．s a > B ．s a <C ．s a =D ．s 与a 不能比大小5．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ） A ．单位向量都相等 B ．相等向量一定是共线向量 C ．若//,//a b b c ，则//a cD ．任意向量的模都是正数6．（2022秋·陕西渭南·高一渭南高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．若a c =，则a c =B ．若//a b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=C ．若//a b ，//b c ，则//a cD ．与非零向量a 共线的单位向量为aa±7．（2022秋·四川泸州·高一统考期末）已知向量()()3,2,1,a b x =-=，若a b ∥，则x =（ ） A ．32B ．23C ．32-D ．23-8．（2022春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量(1,1)a =-，且a 与2a b +方向相同，则a b ⋅的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（-1，1） C ．（-1，+∞） D ．（-∞，1）二、多选题9．（2022·高一单元测试）下列说法中正确的是（ ） A ．若12,e e 为单位向量，则12e e = B ．若a 与b 共线，则a b =或a b =-C ．若0a =，则0a =D ．a a是与非零向量a 共线的单位向量10．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量 B ．若向量//AB CD ，则//AB CDC ．在四边形ABCD 中，若向量//AB CD ，则该四边形为平行四边形 D ．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算 三、填空题11．（2022秋·甘肃庆阳·高一统考期末）在等边△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 的中点，写出一个与向量AB AC +垂直的向量：______．（用字母作答）12．（2022秋·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知点P 满足120PP PP -=，若()11,2P -，()23,0P ，则点P 的坐标为______． 13．（2022·全国·高一专题练习）若()()()1,1,2,4,,9A B C x --三点共线，则x 的值是___________．14．（2022·全国·高一专题练习）给出下列命题： ①若a //b ，则a 与b 的方向相同或相反； ②若a //b ，b //c ，则a //c ；③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ， 其中正确的是________．(填序号)15．（2022秋·高一课前预习）给出下列各命题：（1）零向量没有方向； （2）若|a |＝|b |，则a ＝b ； （3）单位向量都相等； （4）向量就是有向线段； （5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同； （6）若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；（7）若//a b ，//a c ，则//a c ；（8）若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝CD ，BC ＝DA .其中正确命题的序号是________________.四、解答题OA=，OA与x轴的正方向16．（2022·高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知5所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出OA.17．（2022秋·高一课前预习）如图ABCD是菱形，则在向量AB、BC、CD、DA、DC 和AD中，相等的有哪些？18．（2022·高一课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a=，OB b=，=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：OC c（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）与c共线的向量有哪些？19．（2022·全国·高一专题练习）设两个不共线的向量12e e ，，若向量12122323a e e b e e =-=+，，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d a b λμ=⋅+⋅与向量c 共线？【选做题】一、单选题 1．（2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习）下列命题正确的是（ ） A ．若a →，b →都是单位向量，则a b →→=B ．已知,λμ为非零实数，若a u b λ→→=，则a →与b →共线 C ．与非零向量a →共线的单位向量是唯一的 D ．若向量a b →→∥，b c →→∥，则a c →→∥2．（2022秋·山西大同·高一大同市第三中学校校考期中）下列命题中，正确的是（ ） A ．若//a b ，//b c ，则//a c B ．若a b =，b c =，则a c =C ．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D ．若//a b ，则a 与b 方向相同或相反3．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数为（ ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．单位向量均相等C ．零向量与任意向量平行D ．若向量a ，b 满足||||a b =，则a b =±E ．00=5．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的个数是（ ） ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ②若|a →|＝|b →|，则a →＝b →或a →＝－b →； ③若0a λ→→= (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若a b λμ→→=，则a →与b →共线． A ．0 B ．1 C ．2D ．36．（2022·高一课时练习）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，M ，N 分别为AB 与CD 的中点，则在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ）A ．9B ．11C ．18D ．247．（2022·全国·高一专题练习）下列五个命题，共中正确命题序号是（ ） A ．单位向量都相等B ．对于任意向量a ，b 必有a b a b +≤+C ．若向量a ，b 共线，则a b a b ⋅=D ．若a b ，则a 与b 的方向相同或相反二、多选题8．（2022秋·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考阶段练习）有下列说法其中正确的说法为（ ）A ．若,a b b c ∥∥，则a c ∥B ．若ab ，则存在唯一实数λ使得a b λ=C ．两个非零向量,a b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若230,,AOCABCOA OB OC SS++=分别表示,AOC ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△9．（2022·高一单元测试）下面的命题正确的有（ ） A ．方向相反的两个非零向量一定共线C ．若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 10．（2022秋·黑龙江大庆·高一大庆中学统考阶段练习）下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b >B ．若//a b ，则a 与b 方的方向相同或相反C ．若0b ≠且//a b ，//b c ，则//a cD ．对任一向量a ，||aa 是一个单位向量 11．（2022秋·山东东营·高一广饶一中校考阶段练习）有下列说法其中正确的说法为 A ．若ab ，bc ，则a c ：B ．若230OA OB OC ++=，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=；C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向；D ．若a b ，则存在唯一实数λ使得a b =λ 三、填空题12．（2022·全国·高一专题练习）下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量；②对于非零向量,a b ，若//a b ，则a b =±； ③对于非零向量,a b ，若a b =±，则//a b ；④对于非零向量,a b ，若//a b ，则a 与b 所在直线一定重合.13．（2022·高一课时练习）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.四、双空题14．（2022·高一课时练习）已知平面向量a ，b ，c 满足a 与b 的夹角为锐角，4a =，2b =，1c =，且b ta +的最小值为t 的值是_____，向量()12c a c b ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的取值范围是_____.五、解答题15．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在OAB 中，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 交于点M ．过M 点的直线l 与OA 、OB 分别交于点E ，F ．（1）试用OA ，OB 表示向量OM ； （2）设OE OA λ=，OF OB μ=，求证：13λμ+是定值．。