2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 -公开课11-19

（1）上例的样本容量为100，如果增至1 000，其频率分 布直方图的情况会有什么变化？假如增至10 000呢？ （2）样本容量越大，这种估计越精确. （3）当样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频率分
布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线
.
总体密度曲线
频率/组距
月均用 水量/t
o a b （图中阴影部分的面积，表示总体在某个区间 (a, b) 内取值的百分比）.
0.08 0.16 0.30 0.44
[1,1.5) 1、“分组”， [1.5,2) 2、“频数累计（可省）， 3、“频数”， [2,2.5) 4、“频率”, [2.5,3) 5、“频率/组距” [3,3.5) 最后一行是合计 [3.5,4) [4,4.5] 合计
0.50 0.28
0.12 0.08
74%的居民在 2.5t以下
88%的居民在3t以下，标准可定为3t.
频率分布直方图如下：
频率/组距 连接频率分布直方图中各 小长方形上端的中点,得到 频率分布折线图.
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 o 月均用水量/t
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
利用样本频率分布对总体分布进行相应估计:
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用 紧凑的表格改变数据的排列方式.
(一)从数据中提取信息， (二)利用图形传递信息。
初中我们曾经学过频数分布图和频数分布表， 这使我们能够清楚地知道数据分布在各个小组的个 数.
下面将要学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个 小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布 的规律. 它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况.
（3）因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7，故年龄在
32岁～52岁的知识分子约占70%.
探究三 频率分布表及频率分布直方图的应用
变式练习 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学
生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率 分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为 12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标， 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
第几组频数 第几组频率 样本容量
0.02 1.00
0.04
频数的合计为 样本容量
频率合计为1
知识探究（二）：频率分布直方图
为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频 率分布表中的有关信息用下面的图形表示： y轴：频率/组距 频率/组距 第一步：画平面直角坐标系 0.50 .
0.40
第二步：在横轴上均匀标 出各组分点，在纵轴上 标出单位长度.
月均用水量/t
各组的频率在图中哪里显示出来？
小长方形的面积= 组之和是否为定值？ 各小长方形的面积之和为1.
知识探究（二）：频率分布直方图
频率/组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的 一些数据特点吗？
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.
2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市
成都市市政府为了节约生活用水，计划在本市试 行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量 标准a , 用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的 部分按议价收费. (1)如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那 么标准a定为多少比较合理呢？ (2)为了较合理地确定这个标准，你认为需要做 哪些工作？
3.5 1.4 1.3 1.2 1.0 1.2
1.7
1.9 1.8 1.6 1.5 1.7 1.8
0.6
0.8 0.7 0.9 0.5 0.8 0.6
4.1
4.3 2.0 2.3 2.4 2.4 2.2
这些数字告诉我们什么信息？
很容易发现的是一个居民月平均用水量的最小值时 0.2t，最大值是4.3t，其他在0.2t～4.3t之间.
频率分布相关概念
频数：在统计学中，将样本按照一定的方法分成若干 组，每组内含有这个样本的个体的数目叫做频数
频率：样本中某个组的频数和样本容量的比， 频数 叫做该数据的频率。
频率 样本容量
所有数据（或数据组）的频数的分布变化 规律叫做样本的频率分布。 频率分布的表示形式有： ①样本频率分布表 ②样本频率分布直方图 ③样本频率分布折线图
通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量(单位： t) ，如下表：
3.1 2.5
3.4 3.2 3.2 3.0 2.5 2.6 2.5 2.8 2.6 2.7 2.9 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5
2.0
2.2 2.3
2.0
2.2 2.1
1.5
1.5 1.6
1.0
1.2 1.2
1.6
（2011·湖北高考）有一个容量为200的样本，其频 率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直 方图估计，样本数据落在区间［10，12）内的频
数为（
（A）18 （C）54
）
（B）36 （D）72
小结： 频率分布直方图步骤:
一、求极差，即数据中最大值与最小值的差 二、决定组距与组数 ：组距=极差/组数 三、分组,通常对组内数值所在区间， 取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间 四、登记频数,计算频率,列出频率分布表 五、画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距）
问题： 对一组给定的样本数据，频率分布直方图的外观形状 与哪些因素有关？
同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到 的图和形状也会不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象 有时会影响我们对总体的判断，下面给出以0.1和1为组距重新作 出的频率分布直方图。
问题：频率
组距 如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过 0.5 0.4 标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准 0.3 0.25 （即a的取值）有何建议？ 0.2 0.22 0.1 0.14
知识探究（一）：样本频率分布表
思考1：上述100个数据中的
最大值和最小值分别是什么？ 由此说明样本数据的变化范围 是什么？
第一步: 求极差
（一组数据中的最大值与 最小值的差）. 第二步: 决定组距与组数:
0.2～4.3
思考2：分成多少组合适呢？
如果将上述100个数据按组 距为0.5进行分组，那么这 些数据共分为多少组？
O 0.04
0.15 0.08
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0.06 0.04 0.02
月均用水量/t
若将标准a定为2.5，则
（ 0.14 + 0.06 + 0.04 + 0.02） 100 0 26 0 0 0
若将标准a定为3，则
（ 0.06 + 0.04 + 0.02） 100 0 12 0 0 0
频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在 各个小组的频率的大小.
1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总 体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去 估计总体的分布. 2.总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时， 用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时， 将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分 布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.
频率/组距
0.012 0.012 0.036 0.064 0.028 0.020 0.016 0.012
0.200
7 5 4
3
50
（2）样本频率分布直方图：
频率/组距
0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010
O 27
0.32
0.18
0.06
32 37 42
0.14
47 52 57 62 67 年龄
(4.3－0.2)÷0.5＝8.2. 将8.2取整 故，可取组距=0.5，组数=9
组距：指每个小组的两个端点的距离； 组数：k=极差÷组距，若k为整数， 则组数=k，否则，组数=[k]+1. 将数据分组，当数据在100个以 内时， 按数据多少常分5-12组。
知识探究（一）：频率分布表
思考3：各组数据的取值 第三步：确定分点，将数据分组. 范围可以如何设定？ 以组距为0.5将数据分组时， 各组均为左闭右开区间， 可以分成以下9组： [0,0.5),[0.5,1),„,[4,4.5]. 思考4： 如何统计上述100个数据在各 组中的频数?如何计算样本数据在 各组中的频率?你能将这些数据用 表格反映出来吗?
0.2 3.7
1.8
0.4 1.5
1.9
0.3 0.5
1.6
0.4 3.8
3.3 2.8
2.3
2.4 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2
2.2
2.3 2.4 2.3 2.1 2.1 2.0
1.7
1.8 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5
1.3
1.4 1.3 1.3 1.4 1.0 1.0
3.6
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
（1）居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而 且是“单峰”的；
（2）大部分居民的月均用水量集中在一个中间值
附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少； （3）居民月均用水量的分布有一定的对称性等.
成都华西中学 高二数学组 授课教师：宋丽艳