2.2.1(1)用样本的频率分布估计总体分布

第二章 2.2 2.2.1 第1课时一、选择题1．从某批零件中抽出若干个，然后再从中抽出40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为( )A ．36%B ．72%C ．90%D ．25%[答案] C[解析] 用样本的合格率近似代替总体的合格率为3640×100%＝90%.2．在用样本估计总体分布的过程中，下列说法正确的是( ) A ．总体容量越大，估计越精确 B ．总体容量越小，估计越精确 C ．样本容量越大，估计越精确 D ．样本容量越小，估计越精确 [答案] C[解析] 用样本估计总体分布时，样本容量越大，估计越精确．3．(2013·重庆文，6)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )1 8 92 1 2 2 7 9 30 0 3A.0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.6[答案] B[解析] 由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22,22,27,29，共4个，∴其频率为410＝0.4，故选B4．(2013·辽宁理，5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A．45 B．50C．55 D．60[答案] B[解析] 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.5．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长形的面积和的14，且样本容量为200，则第8组的频数为( )A．40 B．0.2C．50 D．0.25[答案] A[解析] 设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频率为200×0.2＝40.6．一个容量为20的样本数据分组后，组距与频数如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.则样本在(－∞，50]上的频率为( ) A．90% B．70%C．50% D．25%[答案] B[解析] 样本在(－∞，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14，故在(－∞，50]上的频率为14÷20＝70%，故选B.二、填空题7．(2013·湖北理，11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示________．(1)直方图中x的值为________．(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为________．[答案] (1)0.004 4 (2)70[解析] 本题考查频率分布直方图和用样本估计总体．∵50×(0.002 4＋0.003 6＋0.006＋x＋0.002 4＋0．0012)＝1，∴x＝0.0044.用户在区间[100,250]内的频率为50×(0.003 6＋0．006＋0.004 4)＝0.7，∴户数为100×0.7＝70(户)．点评：频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1.8．(2014·江苏，6)为了解一处经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.[答案] 24[解析] 由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.三、解答题9．为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)．已知从左至右前3个小组的频率之比为123，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，求抽取顾客多少人？[解析] 前三组频率和为1－0.075－0.175＝0.75.又前三组频率之比为123，所以第二组频率为 26×0.75＝0.25.又知第二组频数为10，则100.25＝40(人)，故所抽取顾客为40人．一、选择题1．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位： g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100 g 的个数是36，则样本中净重大于或等于98 g 并且小于104 g 的产品个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．45[答案] A[解析] 本小题主要考查了频率分布直方图，考查了读图用图的能力．产品净重小于100 g 的频率P ＝(0.050＋0.10)×2＝0.3，设样本容量为n ，由已知36n＝0.3，∴n ＝120.而净重大于或等于98 g 而小于104 g 的产品的频率P ′＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.∴个数为0.75×120＝90.故选A.2．(2014·山东理，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A．6 B．8 C．12 D．18 [答案] C[解析] 第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4，∴志愿者的总人数为200.4＝50(人)．第三组的人数为：50×0.36＝18(人)，有疗效的人数为18－6＝12(人)．二、填空题3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出________人．[答案] 25[解析] 从10 000人中用分层抽样的方法抽出100人，∴抽取比例为100 1.由图可知，0.000 5×500×10 000＝2 500，∴月收入在[2 500,3 000)内的人数为2 500人，∴从中应抽出2 500×1100＝25(人)．4．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g) 492 496 494 495 498497 501 502 504 496497 503 506 508 507492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋盐食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为____________．[答案] 0.25[解析] 袋装食盐质量在497.5～501.5g之间的共有5袋，所以其概率为520＝0.25.三、解答题5．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午800～1000间各自的点击量，得如图所示的茎叶图．根据统计图：(1)甲、乙两个网站点击量s的极差分别是多少？(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？(3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由．[解析] (1)甲网站的极差为：73－8＝65；乙网站的极差为：71－5＝66.(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为414＝27＝0.285 71.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方(较大)，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方(较小)．从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．6．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高：(单位：cm)区间界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142)[142，146)[146，150)[150，154)[154，158)人数58102233201165(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比．[解析] (1)样本频率分布表如下：分组频数频率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158)50.04合计1201(2)(3)由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布三维目标1．知识与技能(1)通过实例体会分布的意义和作用．(2)在表示样本数据的过程中学会列频率分布表画频率分布直方图，通过实例体会频率分布直方图的特征．2．过程与方法(1)会根据具体的样本特征选择合适的方式来表示样本分布．(2)能通过对数据的分析为合理决策提供依据，体会统计在现实生活中的作用．(3)能通过对现实生活中的问题的探究感知应用数学知识解决问题的方法及统计的思想、方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对数据分析，为合理决策提供依据，初步感受统计结果的随机性与规律性，体会统计思想与确定性思维的差异．(2)通过样本频率分布直方图，对总体估计的过程进一步体会统计思想，感受数学对实际生活的应用及对实际问题解决的指导作用，体会数学知识与现实生活的联系．重点难点通过以上分析，确定本节课教学的重点是：会列频率分布表，画频率分布直方图．教学难点是：能通过样本的频率分布估计总体的分布．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的频率知识，不断地观察、比较、分析，采用分组讨论的方式，学生独立画出频率分布直方图，明确其特征，学会对总体进行估计，同时引导学生进行解题方法的总结从而化解难点．引导学生回答所提问题，学生通过小组讨论，教师指导以及对例题的研究与分析，学会列频率分布表，画频率分布直方图从而强化了重点．教学建议通过对现实生活中实际例子的讲解，以及前面知识的回顾，教会学生观察——猜想——发现——概括(归纳)的学习方法，让学生进一步了解“转化”的数学思想方法，在教学中培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，并在教学中逐步提高学生论证问题的能力．根据本节内容较抽象，学生不易理解的特点，本节教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、讲练结合法．采用这种方法的原因是高一学生的领会思想的能力比较差，通过对现实生活中实际例子的讲解，以及前面知识的回顾，使其理解并掌握本节知识．本节课让学生通过熟知的一组数据的代表－众数，中位数，平均数下，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，让学生感受在只能得到频率分布直方图的情况下也可以估计总体数字特征．在课堂结构上，根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究—小组讨论—总结归纳” 的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标．教学流程课标解读1．理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．(重点) 3．能够利用图形解决实际问题．(难点)知识1频率分布直方图【问题导思】美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51, 54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,481．上述44个数据中最大值与最小值的差是多少？【提示】69－42＝27.2．若将上述数据分成下列几组，[41.5,45,5)，[45.5,49.5)，[49.5,53.5)，[53.5,57.5)，[57.5,61.5)[61.5,65.5)，[65.5,69.5)．各组中数据个数是多少？【提示】各组数据的个数依次为2,7,8,16,5,4,2.3．在直角坐标系中，能否将各组统计的数据直观地表示出来？【提示】可以．画频率分布直方图的步骤知识2频率分布折线图和总体密度曲线1.频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．2．总体密度曲线随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．知识3茎叶图茎叶图中的茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数.类型1频率分布表和频率分布直方图例1下表给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).区间界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142)人数58102233区间界限[142，146)[146，150)[150，154)[154，158)人数201165(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.解(1)样本频率分布表如下：分组频数频率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合计1201(2)其频率分布直方图如下：(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.规律方法1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：(1)若极差组距为整数，则极差组距＝组数；(2)若极差组距不为整数，则极差组距的整数部分＋1＝组数．2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．变式训练有100名学生，每人只能参加一个运动队，其中参加足球队的有30人，参加篮球队的有27人，参加排球队的有23人，参加乒乓球队的有20人.(1)列出学生参加运动队的频率分布表；(2)画出频率分布条形图.解(1)计算最大值与最小值的差：61－48＝13.(2)决定组距与组数，取组距为2.∵132＝612，∴共分7组．(3)决定分点，分成如下7组：[47.5～49.5)，[49.5～51.5)，[51.5～53.5)，[53.5～55.5)，[55.5～57.5)，[57.5～59.5)，[59.5～61.5]．(也可以分为[48,50)，[50,52)，[52,54)，[54,56)，[56,58)，[58,60)，[60,62]7组)(4)列出频率分布表：分组频数频率[47.5～49.5)20.05[49.5～51.5)50.125[51.5～53.5)70.175[53.5～55.5)80.2[55.5～57.5)110.275[57.5～59.5)50.125[59.5～61.5]20.05合计40 1.00(5)作出频率分布直方图如图．(6)取各小长方形上端的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图．类型2茎叶图的绘制及应用例2某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,86,91,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,88,110,101.画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.解甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况大致是对称的，中位数是98分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.变式训练某良种培育基地正在培养一种小麦新品种A，将其与原有一个优良品种B进行对照实验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产量数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,4 45,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,4 15,416,422,430(1)画出两组数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量用其稳定性进行比较，写出统计结论．解(1)茎叶图如图所示．A B9 7358 7363537 1 4838 3 5 69 239 1 2 4 4 5 7 75 0400 1 1 36 75 4 2410 2 5 67 3 3 14224 0 04305 5 3444 145(2)用茎叶图处理现有的数据不但可以看出数据的分布情况，而且可以看出每组中的具体数据．(3)通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均亩产量约为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克．由此可知品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高，但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中在平均亩产量附近．类型3频率分布直方图、折线图的综合应用例3为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25，11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)4；[11.55,11.65]，2.(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；(3)据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几？(4)数据小于11.20的可能性是百分之几？【思路探究】根据画频率分布直方图的步骤先画频率分布直方图，再画折线图，然后结合直方图的特征解决(3)(4)．解(1)频率分布表如下：分组频数频率[10.75,10.85)30.03[10.85,10.95)90.09[10.95,11.05)130.13[11.05,11.15)160.16[11.15,11.25)260.26[11.25,11.35)200.20[11.35,11.45)70.07[11.45,11.55)40.04[11.55,11.65]20.02合计100 1.00(2)频率分布直方图及频率分布折线图，如图(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为1－(0.03＋0.09)－(0.07＋0.04＋0.02)＝0.75＝75%，即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，设为x ， 则(x －0.41)÷(11.20－11.15) ＝(0.67－0.41)÷(11.25－11.15)， 所以x －0.41＝0.13，即x ＝0.54， 从而估计数据小于11.20的可能性是54%. 规律方法频率分布直方图的性质：1．因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．2．在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. 3．频数/相应的频率＝样本容量．4．在频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比． 变式训练为了解某校高一年级学生的体能情况，抽取部分学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ 解 (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由频率分布直方图可估计，该校高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.课堂小结1．列频率分布直方图的步骤：(1)计算数据中最大值和最小值的差．知道了极差就知道了这组数据的变动范围有多大；(2)决定组数和组距．组距是指每个小组的两个端点之间的距离；(3)决定分点；(4)列频率分布表；(5)绘制频率分布直方图．2．列频率分布直方图的注意事项：(1)组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．(2)分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推.当堂双基达标1．从一群学生中抽取一个一定容量的样本，对他们的学习成绩进行分析．已知不超过80分的为10人，其累积频率为0.5，则样本容量是()A．20人B．40人C．80人D．60人【解析】样本容量＝100.5＝20人．【答案】A2．一个容量为20的样本数据，分组及各组的频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2.则样本在区间[20,60)上的频率是()A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【解析】频率＝3＋4＋5＋42＋3＋4＋5＋4＋2＝1620＝45＝0.8.【答案】D3．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)的汽车大约有______辆．【解析】在[50,60)的频率为0.03×10＝0.3，∴汽车大约有200×0.3＝60(辆)．【答案】604．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率[50.5,60.5)40.08[60.5,70.5)0.16[70.5,80.5)10[80.5,90.5)160.32[90.5,100.5]合计50(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；(2)补全频率分布直方图．解(1)分组频数频率[50.5,60.5)40.08[60.5,70.5)80.16[70.5,80.5)100.20[80.5,90.5)160.32[90.5,100.5]120.24合计50 1.00 (2)频率分布直方图如图所示：。