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用样本的频率分布估计总体的频率分布频率分布是一种用于描述数据集中频次分布情况的统计工具，它描述了每个数值或数值范围出现的频率。
在样本中，我们可以利用频率分布来估计总体的频率分布，从而了解总体的特征。
为了确切估计总体的频率分布，我们需要采取一定的统计方法，下面将介绍一种常用的方法，直方图。
一、直方图的构建构建频率分布的首要任务是将数据分为不同的组或区间。
一般来说，我们会根据数据的特点选择合适的组距，然后根据不同的组距将数据分组。
例如，假设我们有一组数据代表了一些班级学生的测试成绩，我们选择了组距为10，那么我们可以将数据分为以下几个组：然后，我们统计每个组内数据出现的次数，即频次，得到每个组的频次数。
二、计算频率频率是频次的一个重要衍生指标，它反映的是不同数据值或数据范围在总体中的比例。
频率的计算公式为：频率=频次/总样本量在直方图中，我们通常将频率表示为每个组的相对频率。
这样可以更好地反映出组与组之间的差异。
三、绘制直方图绘制直方图是一种直观地表现频率分布的方法。
在直方图上，x轴表示不同的组或区间，y轴表示频率。
我们可以用矩形的高度来表示每个组的频率，矩形的宽度表示组距。
通过绘制多个矩形，可以将频率分布更直观地展示出来。
在绘制直方图时，需要注意以下几点：1.组距应该选择合适，既不过小也不过大，以保证直方图的直观性和准确性。
2.直方图的高度应该符合频率的大小，即高度越高表示频率越大。
3.直方图的矩形之间应该没有间隙，以保证数据的完整性。
四、利用样本频率分布估计总体频率分布样本的频率分布可以提供总体频率分布的一种估计方法。
我们可以基于样本数据构建直方图，并计算每个组的频率。
然后，我们可以将样本频率分布与总体的频率分布进行比较。
如果两个分布形状相似并且没有明显的偏差，那么我们可以认为样本的频率分布可以很好地估计总体的频率分布。
当然，在使用样本频率分布进行总体频率分布估计时，还需要注意以下几点：1.样本的选取应该具有代表性，以避免样本偏差对估计结果的影响。
用样本估计总体一、用样本的频率分布估计总体分布（1）频数、频率将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫做该组的频数。
每组数除以全体数据的个数的商叫做该组的频率。
频率反映数据在每组中所占比例的大小。
（2）样本的频率分布根据随机所抽样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况），就叫做样本的频率分布。
为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常我们会将样本的容量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的频率列在一张表中，叫做样本频率分布表。
（3）用样本频率分布估计总体的分布从一个总体得到一个包含大量数据的样本时，我们很难从一个个数字中直接看出样本所含的信息。
如果把这些数据形成频数分布或频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况。
用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，而对于总体分布，我们总是用样本的频率分布对它进行估计。
（4）频率分布直方图的特点从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容，所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
（5）频率分布折线图把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，如图所示。
为了方便看图，一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连，所以横轴上的左右两端点没有实际意义。
（6）总体密度曲线①如果样本容量越大，所分组数越多，频率分布直方图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小。
设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。
y f x()②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的百分比。
a b内的百分比就是图中带斜线部分的面积。
对本例来说，总体密度曲线呈产品尺寸落在(,)中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。
必修3《2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布》教学设计北京师范大学附属实验中学曹付生一、教学内容分析1．教学主要内容：本节课选自人教B版必修三，第二章第二小节，《用样本的频率分布估计总体的分布》，需要2课时完成，本节课是第一课时。
主要是画出样本的频率分布直方图，并能通过频率分布直方图对总体进行简单的估计。
2．教材编写特点本节是本章教材的第二小节，前面研究了随机抽样的方法及数据收集。
本节课主要研究对收集样本如何进行处理，突出对数据描述、处理的方法，特别是频率分布直方图画法，后面接着研究总体密度曲线、用样本的数字特征估计总体的数字特征以及正态曲线等，可以说本节课内容承上启下，地位非常重要。
从教材编写的角度来看，也正是要体现这一特点。
教材编写，通过对样本分析和总体估计的过程，突出了统计的实用性，从实际出发，收集数据，进行分析整理，再回到实际问题，感受数学对实际生活的需要，体现了统计的思想及其在实际问题中的应用价值，真正体会数学知识与现实生活的联系。
3．教材内容的数学核心思想教材内容的数学核心思想是用样本的频率分布直方图估计总体的统计思想方法。
4．我的思考：本节课重在教会学生绘制频率分布直方图，引导学生通过频率分布直方图分析总体的分布，体会统计的思想、方法。
在通读了教材的基础上，与人教A版的相应内容作了比较，再结合学生的情况，最终选择A版内容，更利于完成教学目标。
(1)人教A版教材中的例子与学生关系紧密，提出的问题更切合学生实际。
背景的熟悉使学生易于课堂参与。
(2)教材中问题的设计利于学生统计思想的建立等。
统计思想方法是数学的一个重要的思想方法，中学学习统计，除了掌握必要的统计知识之处，关键是让学生建立统计在现实生活中具有重要的作用，具有统计意识，同时体会到统计结果随机性、科学性，能作为总体的分布的合理性，是生活中某些问题决策必不可少的依据。
统计教学的核心目标正是让学生体会统计思维的特点和作用。
因此在设计中，从实际问题出发，再回到实际问题的决策，前后呼应，使学生真正体会数据处理的全过程、统计应用于现实生活的全过程，突出统计的思想、方法。
用样本频率分布体分布————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2．2．1 用样本的频率分布估计总体的分布荣成二中宋海燕目的要求通过实例体会分布的意义和作用，在表示数据的过程中，学会列出频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。
教学过程1．实例引课为了解某地区女中学生的身体发育情况，不仅要了解其平均身高，还要了解身高在哪个范围内的学生多，哪个范围内的学生少．为了解某次考试成绩，不仅应知道平均成绩，还应知道90分以上占多少，80分～90分占多少，……，不及格占多少等．要解决上面的两个问题，需要从总体中得到一个包含大量数据的样本，并且把这些数据形成频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况。
2．引出课题：用样本的频率分布估计总体的分布看下面的例子某钢铁加工厂生产内径为25．40mm的钢管，为了掌握产品的生产状况，需要定期对产品进行检测。
又由于产品的数量巨大，不可能一一检测所有的钢管，因而通常采用随机抽样的办法。
如果把这些钢管的内径看成总体，我们可以从中随机抽取的100件钢管进行检测，把这100件钢管的质量分布情况作为总体的质量分布情况来看待。
根据规定，钢管内径的尺寸在区间25.325～25.475内为优等品，我们特别希望知道所有生产的钢管中优等品所占的比例，这时就可以用样本的分布情况估计总体的分布情况。
下面的数据是一次抽样中的100件钢管的内径尺寸：(幻灯示)．25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.3525.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.4525.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.3825.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.3725.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.4325.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.4025.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.3625.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.3525.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.3325.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39上面的100个数据有点散乱，从中很难看出产品质量的分布情况，必须对样本数据用统计的方法加以概括和整理。
下面我们列出这组样本数据的频率分布表、频率分布直方图，步骤如下：（1）计算级差（一组数据中最大值与最小值的差）25.26－25.24＝0.32（2）决定组距与组数（样本容量不超过100时，组数常分为5～12组）如果组距定为0.03，那么级差/组距＝0.32/0.03＝10 2/3于是应将样本数据分成11组（组距还可以定为其他的数值）（3）决定分点将第1组的起点定为25.235，组距为0.03，这样所分的11个组是：［25.235，25.265］［25.265，25.295］……（4）列频率分布表分组个数累计频数频率25.235～25.265 1 1 0.0125.265～25.295 2 2 0.0225.295～25.325 5 5 0.0525.325～25.355 12 12 0.1225.355～25.385 18 18 0.1825.385～25.415 25 25 0.2525.415～25.445 16 16 0.1625.445～25.475 13 13 0.1325.475～25.505 4 4 0.0425.505～25.535 2 2 0.0225.535～25.565 2 2 0.02合计100 100 1.00（5）绘制频率分布直方图注：（1）小长方形的面积＝组距×频率／组距＝频率各长方形的面积总和等于1（2）从频率分布表或频率分布直方图容易看出，优等品所占的比例等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估计出所有生产的钢管中有84%的优等品。
（3）用样本的频率分布估计总体的分布时，要使样本能够很好的反映总体的特性，必须随机抽样。
由于抽样的随机性，可以想到，如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同。
但是，它们都可以近似地看作总体的分布。
（4）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体态势，但是直方图本身得不出原始的数据内容。
所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
3．频率分布折线图把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到分布折线图。
4．总体密度曲线频率分布直方图表明了所抽取的100件产品中，尺寸落在各个小组内的频率大小．样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，则频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．总体密度曲线能够更好的反映总体在各个范围内的百分比，能够提供更准确的信息。
根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a,x=b及x轴所围图形的面积．5．茎叶图常用的统计图表还有茎叶图，下面的例子就是用茎叶图表示数据。
例：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50。
乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。
注：中间的数字表示得分的十位数字。
旁边的数字分别表示两个人得分的个位数字从上面这个茎叶图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26。
因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好。
用茎叶图表示数据有两个突出的优点，一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛是随时记录，方便记录与表示。
但茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有表示两个记录那么直观、清晰。
6．课堂练习1)、对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是（ ） （A ）频率分布直方图与总体密度曲线无关 （B ）频率分布直方图就是总体密度曲线（C ）样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线（D ）如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线2)、在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（ ） （A ）总体容量越大，估计越精确 （B ）总体容量越小，估计越精确 （C ）样本容量越大，估计越精确 （D ）样本容量越小，估计越精确3)、10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的（ ）（A ）频数 （B ）概率 （C ）频率 （D ）累计频率4)、已知样本：12 7 11 12 11 12 10 10 9 8 13 12 10 9 6 11 8 9 8 10那么频率为0.25的样本的范围是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）5)、频率分布直方图中，小长方体的面积等于（ ）（A ）相应各组的频数 （B ）相应各组的频率 （C ）组数 （D ）组距6)、在总体密度曲线中，总体在区间（a ，b ）内取值的概率就是直线______、_______、_______和总体密度曲线围成的图形的面积.7)、对100位大学毕业生在该年七月份求职录取情况调查结果如下：20人录取在行政机关，31人录取在公司，3人录取在银行，18人录取在学校，其余的还在求职中.那么七月0 1 2 38 34 52 54甲 乙份这100位大学生还未被录取的概率为_______________.8)、一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n=_______________.9)分组频数频率[10．75， 10．85） 3[10．85， 10．95） 9[10．95， 11．05） 13[11．05， 11．15） 16[11．15， 11．25） 26[11．25， 11．35） 20[11．35， 11．45） 7[11．45， 11．55） 4[11．55， 11．65） 2合计 100(1)完成上面的频率分布表．(2)根据上表，画出频率分布直方图．(3)根据上表，估计数据落在[10．95，11．35)范围内的概率约为多少?解：(1)(2)略．(3)数据落在[10．95，11．35]范围的频率为0．13+0．16十0．26+0．20落在[10．95，11．35]内的概率约为0．75．10）教科书第67页练习B第2、3题．7．归纳小结①获得样本的频率分布的步骤：(1)求最大值与最小值的差；(2)确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.②图形优点缺点频率分布直方图1）易表示大量数据都是一些信息2）直观的反映分布的情况茎叶图1）无信息损失只能处理样本容量较小数据2）随时记录，方便记录和表示8．布置做业教科书第69页练习A第3、4题。
