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湖南省长沙市雅礼中学2014届高考模拟卷（二）数学（理）试题1．设集合}21{≤<-=x x P ，}01{>-=x x Q ，则=Q P （B ）A ．}11|{<<-x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≤<-x xD ．}1|{->x x2、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （D ） （A ）sin(2)6π=+y x （B ）sin()23π=+x y（C ）sin(2)3π=-y x （D ）sin(2)6π=-y x3．抛物线24y x =-的准线方程是（D ） A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的（A ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5、已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若()0m a n b m n→→+≠与 →→-b a 2共线，则nm等于( A ) A ．21-； B ．21； C ．2-；D ．2；6. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（D ） A ．1321 B ． 2113 C ． 813 D ． 1387、已知样本容量为30，在样本频率分布直方图（如图）中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为（ A ） A.0.4,12 B.0.6,16 C.0.4,16 D.0.6,128、曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是（ D ）A ．1B ．12C ．22D ．139. 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ C ）A ．12B ．16C ．24D ．3210、一只蚂蚁从长方体1111ABCD A BC D -的顶点A 出发，沿着长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（ C ） A ．24 B．C．D．11. 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则OE =_________. 答案.9512、已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和()254R x tt y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________．【答案】13、已知集合{}349,R A x x x =∈++-≤()146,0,R B x x t t t⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B =________.【答案】{|25}x x -≤≤14、已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 答案：1215、设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2f x x x =-则满足()1f x <的x 的集合为___________. 答案：(0, 2)(16,)+ U16、设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．（1）曲线sin y x =的“上夹线”方程为（2）曲线)0(sin :>-=n x n mx y S 的“上夹线”的方程为 答案：（1）1y =；（ 2）y mx n =+\令'()cos F x m n x m =-=，得：22x k ππ=±（k ÎZ ）17、已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且()22223a b c ab +-=。
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=（4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2014年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集，集合，，那么集合等于A. B.C. D.2. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是A. B.C. D.3. 抛物线的准线方程是A. B. C. D.4. 已知复数，则“”是“为纯虚数”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5. 已知向量，，若，则A. B. C. D.6. 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. B. C. D.7. 已知样本容量为，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为，则第组的频率和频数分别为A. ，B. ，C. ，D. ，8. 如图所示，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），其面积是A. B. C. D.9. 某会议室第一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左、右均有空位，那么不同的坐法种数为A. B. C. D.10. 一只蚂蚁从长方体的顶点出发，沿着长方体的表面到达顶点的最短距离为，则长方体体积的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 如图，切于点，割线经过圆心，弦于点，已知的半径为，，则．12. 已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为．13. 已知集合，，则集合．14. 已知平面区域，，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为．15. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为．16. 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．（）曲线的“上夹线”方程为；（）曲线的“上夹线”的方程为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知中，角，，所对的边分别是，，，且；（1）求；（2）若，求面积的最大值．18. 某地去年月份曾发生流感，据统计，月日该地区流感病毒的新感染者有人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加人；但从月日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少人．（1）分别求出该地区在月日和月日这两天的流感病毒的新感染者人数；（2）该地区月份（共天）该病毒新感染者共有多少人?19. 如图，已知面，，；（1）在线段上找一点，使面．（2）求由面与面所成角的二面角的正切值．20. 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是．两人投篮次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得分，否则得分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望．21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆长的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．（3）在（）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线，的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22. 已知函数．（1）当时，证明：；（2）当且时，不等式恒成立，求实数的值．答案第一部分1. A 【解析】，，故．2. D3. D 【解析】整理抛物线方程得，所以，因为抛物线方程开口向下，所以准线方程是．4. A 【解析】当时，复数，是一个纯虚数，当复数是一个纯虚数时，且，，故不能推出，故“”是“为纯虚数”的充分非必要条件．5. D6. D 【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环循环前第一圈是第二圈是第三圈是第四圈是第五圈是第六圈否此时．7. A 【解析】因为小长方形的高的比等于面积之比，所以从左到右各组的频率之比为，因为各组频率之和为，所以第二组的频率为．因为样本容量为，所以第二组的频数为．8. C 【解析】联立得解得或设曲线与直线围成的面积为，则．9. C 【解析】将个座位从到编号，则符合题意的为，，，，共类情况，每一类有种坐法，则共有种坐法．10. C【解析】由题意，设正方体的三条棱长分别为：，，，不妨设：最短距离为，所以，所以，设，则，所以在处取最大值，所以体积的最大值为．第二部分11.【解析】因为切圆于点，圆的半径为，，所以，所以，又，所以，所以由等面积可得．所以．12.【解析】表示椭圆（且）；表示抛物线．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．13.【解析】集合，所以；集合，，，当且仅当时取等号，所以，所以．14.【解析】构成试验的全部区域为为图中的三角形，，，，面积为．基本事件点落在区域为图中的，面积为，代入几何概率的计算公式可得．15.【解析】①当时，即时，；②当时，即时，，所以，当时，，此时：，当时，，此时：，综上不等式的解集为：．16. ，【解析】（）因为，要使直线与曲线相切且至少有两个切点且对任意都有，则需要，故曲线的“上夹线”方程为．（）推测的“上夹线”的方程为，①先检验直线与相切，且至少有两个切点．设，则，令，得，当时，，故过曲线上的点的切线方程为，化简得：，即直线与曲线相切且有无数个切点．不妨设，因为，所以，所以直线是曲线的“上夹线”．第三部分17. （1）因为，所以，因为，所以．（2）因为，且，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当时，面积取最大值，最大值为．18. （1）由题意知，该地区月份前天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，所以月日的新感染者人数为（人），所以月日的新感染者人数为（人）．（2）月份前天流感病毒的新感染者人数和为：（人），月份后天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，所以后天新感染者人数和为（人），所以该地区月份流感病毒的新感染者共有人．19. （1）为的中点，设中点为，则，且，所以，，所以为平行四边形，所以，又，，所以，又，与交于点，所以面，所以面；（2）延长，，交于，连接，因为，，所以，所以，又所以，又与交于点，所以面，所以为二面角的平面角；在中，，；所以．20. （1）记" 次投篮的人依次是甲、甲、乙"为事件．由题意，得答：次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．（2）由题意的可能有取值为．我们设“甲投中”为事件，“乙投中”为事件，则：所以的分布列为：的数学期望：．21. （1），，，所以；所以椭圆方程为．（2），，设，，则，，直线，即，代入椭圆方程，得，因为，所以，所以，所以，所以（定值）．（3）设存在满足条件，则，，，则由得，从而得，所以存在满足条件．22. （1）令，所以，时，，所以在上是增函数，故，即：．从而，时，得证．（2）不等式可化为：，令，则，，①时，有，令，则，故在上是减函数，即，所以在上是减函数，从而，，所以时，对于，有，②时，有，令，则，故在上是增函数，即：．所以在上是减函数．从而，．所以当时，对于，有．综合①②，当时，在且时，有．。
绝密*启用前最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
湖南省长沙市2014届高三二模理科数学试卷（带解析）1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为（ ） A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，1z i zi +=-，11i z i -+==+(1)(1)(1)(1)i i i i -+--+i =． 考点：复数的运算.2．设随机变量X ～N(2，32)，若P(X ≤c)＝P(X>c)，则c 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：由正态曲线的对称性，得x c =是对称轴，故2c =． 考点：正态分布. 3．二项式6(x的展开式中常数项为（ ） A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20 【答案】B 【解析】试题分析：二项展开式的通项为616(kkk k T C x-+=3626(1)k k kC x -=-，令3602k -=，得4k =，故常数项为4615C =．考点：二项式定理.4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q⌝是p ⌝的（ ）A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，,p q q p ≠>Þ，故,p q q p ⌝⌝⌝⌝≠＞Þ，所以q ⌝是p ⌝的充分非必要条件．考点：1、交集和并集的概念；2、充分必要条件.5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B【解析】试题分析：由已知得，直线()y k x b =-过点,0b （），故当[]3,3∈-b 时，k R ∀∈，M N ≠∅，则(,3)(3,)-∞-∞∈+b 时，k R ∃∈，使得M N =∅成立，选B ．考点：直线和椭圆的位置关系.6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A,B 是图象与x轴的交点，若cos 5APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．π 【答案】C 【解析】试题分析：过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，则在Rt APE ∆中，14tan 4PAE T T ∠==；在Rt BPE∆中，14tan 34PBE T ∠==，故t a n A P B P A E PBE∠=-∠+∠t a n t an 1t a n taP A E P B P A E P B ∠+∠=--∠⋅∠216316T T =--，又cos 5APB ∠=-sin 5APB ∠=tan 2APB ∠=-，2162316T T =-，解得24T πω==，所以2πω=．考点：1、三角函数的周期性；2、诱导公式.7．设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为（ ）A ．4-B ．4C ．3D ．3- 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为133zx -y=，要使得z ，只需直线133zx -y=的纵截距最小，即过点(2,2)C --时，z 取到最大值，最大值为max 264z =-+=．考点：线性规划.8．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅ 的值是（） A ．32 B ．3 C ．32- D ．3-【答案】C 【解析】试题分析：因为//BA DE ，故12D E D F A B B F ==，即133DF BD ==，所以FD DE ⋅33cos324π=A32=-．考点：向量的数量积.9．若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ） A ．12对 B ．18对 C ．24 对 D ．30对 【答案】C 【解析】A'A试题分析：与'A D 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',D C AB ，'',ACD B ；与'AD所成的角为60的异面直线有四对，即：'',DC A B ，'',A BD C ；与'B C 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',DC A B ，'',A BD C ；与'BC 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',D C AB ，'',AC D B ；与'A B 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',AC D B ；与'AB 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',A BD C ；与'D C 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',A BD C ;与'DC 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',AC D B ,综上所述：“黄金异面直线对”共有24对． 考点：异面直线.10．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p,q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，且1,1(1,2)p q ++∈，等价于函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在区间(1,2)的切线斜率大于1恒成立．'()21a f x x x =-+，即211a x x ->+恒成立，变形为2231a x x >++，因为223115x x ++<，故15a ≥．考点：1、导数的几何意义；2、二次函数的最大值.11．（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B,C 两点，1PA PB ==，则PAB ∠=_________.【答案】030 【解析】试题分析:因为PA 是圆O 的切线，由切割线定理得，2=PA PB PC ⋅，则2==3PA PC PB，故2BC =.连接OA ，则PA OA ⊥，在Rt PAO ∆中，tan POA ∠=060POA ∠=，所以030PCA ∠=，又因为PAB ∠ =PCA ∠，所以PAB ∠=030．考点：1、圆的切割线定理；2、圆的弦切角定理；3、圆的切线的性质. 12．不等式43x x a -+-≤有实数解的充要条件是_____. 【答案】1a ≥． 【解析】试题分析：记()43f x x x =-+-，则不等式43x x a -+-≤有实数解等价于min ()f x a ≤，因为434(3)x x x x -+-≥---1=，故1a ≥考点：绝对值三角不等式.13．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3()x t t y =-=⎧⎪⎨⎪⎩为参数. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为2430COS ρρθ-+=，则圆心C 到直线l 距离为______.【答案】d =【解析】试题分析：直线l 0y -+=，圆C 的直角坐标方程为22x +y -4x+3=0，配方得，221y +=(x-2)，故圆心C 到直线l 距离为d =考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程；3、点到直线的距离公式. 14．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b =>>-与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第一象限的交点，其中F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，且122PF PF =，则双曲线的离心率为______.[来【解析】试题分析：由已知得，12F F 是圆2222x y a b +=+的直径，故12PF PF ⊥，由勾股定理得，222124PF PF c +=，又122PF PF =，所以2PF =，1PF =，又212P F P F a -=，故2a =，所以c e a ==．考点：1、双曲线的标准方程和圆的标准方程；2、勾股定理；3、双曲线的定义.15．已知数列{}n a 中，11121n n a a a n +==+-,，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n 的值为 .【答案】11n =． 【解析】试题分析：程序在执行过程中，,n S 的值依次为1,1n S ==；2,3n S ==；3,18n S ==；4,30n S ==；5,57n S ==；6,11n S ==；7,236n S ==；8,484n S ==；9,987n S ==；10,2001n S ==；11,2014n S =>，故输出的11n =考点：程序框图．16．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、 b 、c 是调和的；若满a + c = 2b 足，则称a 、b 、c 是等差的.若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”.若集合{}2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =⊆.则 （1）“好集” P 中的元素最大值为 ； （2）“好集” P 的个数为 . 【答案】（1）2012；（2）1006 【解析】试题分析：因为若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则112abc+=且a + c =2b ，则2,4a b c b =-=，故满足条件的“好集”为形如{}2,,4b b b -(b 0)≠的形式，则201442014b -≤≤，解得503503b -≤≤，且b 0≠，符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好集” P 的个数为1006个，且P 中元素的最大值为2012．考点：推理.17．已知函数22()(sin cos )f x x x x =++. （1）求函数f (x)的最小正周期；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，且满足2cos 2a C c b +=，求f(B)的取值范围．【答案】（1）π；（2）1(B)3f < 【解析】试题分析：（1）利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数()f x 的解析式化为()sin()f x A x b ωφ=++是形式，再利用2T πω=求周期；（2）三角形问题中，涉及边角混合的代数式或方程，应考虑边角转化，或转化为角的关系式，或转化为边的关系式处理．本题利用余弦定理，将2cos 2a C c b +=变形为222b c a bc +-=，从而可求出3A π=，从而可求得203B π<<，进而确定f(B)的取值范围．（1）由已知得，1cos 2()12sin cos 2xf x x x -=++1sin 2x x =+2sin(2)13x π=-+，故最小正周期为22T ππ==．（2）由2cos 2a C c b +=得，222222a b c a c b ab +-⋅+=，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，得3A π=，故203B π<<，233B πππ-<-<，故s i n (2)23B π-<-≤，故1(B)3f <≤． 考点：1、正弦的二倍角公式；2、正弦的降幂公式；3、余弦定理.18．在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，1AC BC ==，90,22ACB AE CD ∠===．（1）证明：DF ∥平面ABC ；（2）求二面角A BD E --的大小的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13【解析】 试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取AB 中点G ，连接FG ，则//FG AE ，且1=2FG AE ，由已知得，//CD AB 且1=2CD AE ，故//CD FG ，则四边形DFGC 是平行四边形，可证明//DF CG ，进而证明DF ∥平面ABC ，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线DF 的方向向量垂直于平面ABC 的法向量即可；（2）先求半平面ABD 和BDE 的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角A BD E --是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角A BD E --的大小的余弦值的正负，从而求解．（1）因为ABC EA 平面⊥，CD ∥AE ，所以⊥CD 平面ABC ． 故以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,1)D ， (1,0,2)E ， 11(,,1)22F ．所以11(,,0)22DF =，因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 所以0DF m ⋅=，又因为DF Ë平面ABC ，所以//DF 平面ABC ． 6分（2）由（1）知，(0,1,1)BD =-，(1,1,0)AB =-，(1,1,2)BE =-．设1111(,, )n x y z =是平面ABD 的一个法向量，由110,0n BD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得 11110y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取11x =，得111y z ==，则1(1,1,1)n = 设2222(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，由220,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 22222020y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩，取21x =-，则221y z ==，则2(1,1,1)n =- 设二面角A BD E --的大小为θ，则21211co s 3n n n n θ⋅==⋅，故二面角A BD E --的大小的余弦值为13．考点：1、直线和平面平行的判断；2、二面角的求法.19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为00(01)P P <<，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求0P ； （2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 【答案】（1）013P =；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，依题意，两人累计得分的可能值为0,2,3,5，故事件“X 3≤”的对立事件为“X 5=”，所以所求事件的概率()1()5P A P X ＝－＝；（2）因为每次抽奖中奖与否互不影响，且对方案甲或方案乙而言，中奖的概率不变，故对于张三、李四两人抽奖可看成两次独立重复试验，其中奖次数服从二项分布，设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则X 1～2B 23⎛⎫⎪⎝⎭，X 2～B ()02,P ，则累计得分的期望为E(2X 1)，E(3X 2)，从而比较大小即可. （1）由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为0P ，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，因为()5P X ＝＝23×0P ，所以()1()5P A P X ＝－＝＝1－23×0P =79，所以013P = . 6分（2）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1)， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2)． 由已知可得，X 1～2B 23⎛⎫⎪⎝⎭，X 2～B ()02,P ，所以E(X 1)＝2×23＝43，E(X 2)＝2×0P ， 从而E(2X 1)＝2E(X 1)＝83，E(3X 2)＝3E(X 2)＝60P .若2)(3)E E X >1（2X ，即0863P >，所以0409P <<；若2)(3)E E X <1（2X ，即0863P <，所以0419P <<；若2)(3)E E X =1（2X ，即0863P =，所以049P =． 综上所述：当0409P <<时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当0419P <<时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当049P =时，他们都选择方案甲或乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等. 12分 考点：1、对立事件；2、二项分布的期望.20．某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为(*)m m N ∈个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y=mf(x)，其中log (4),05()6,52x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩】，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化．．．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．．．．. （1）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化．．．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化．．．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. 【答案】（1）8天；（2）[6,9]【解析】 试题分析：（1）由已知得，经过x 天该药剂在水中释放的浓度 y=mf(x)是关于自变量x 的分段函数，渔场的水质达到有效净化，只需6y ≥，当m=6时，()1f x ⇔≥，相当于知道函数值的取值范围，求自变量x 的取值范围，即可持续的天数确定；（2）由题意知，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，只需在这8天内的每一天均有6()18,m 0mf x ≤≤>恒成立即可，转化为求分段函数求值域问题，使其含于[6,18]即可.（1）由题设：投放的药剂质量为6m =，渔场的水质达到有效净化．．．．6()6f x ⇔≥ ()1f x ⇔≥305log (4)1x x <≤⎧⇔⎨+≥⎩或5612x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩ 05x ⇔<≤或58x <≤，即：08x <≤，所以如果投放的药剂质量为6m =，自来水达到有效净化．．．．一共可持续8天 . 6分 （2）由题设：x (0,8]∀∈，6()18,m 0mf x ≤≤>，∵3log (4),05()6,52x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，∴x (0,5],6()18mf x ∀∈≤≤，且x (5,8],6()18mf x ∀∈≤≤，∴3log 46218m m ≥⎧⎨≤⎩且6218m m ≥⎧⎨≤⎩，所以69m ≤≤，投放的药剂质量m 的取值范围为[6,9]． 考点：分段函数.21．已知A 、B 为抛物线C ：y 2= 4x 上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限l 1、l 2分别过点A 、B 且与抛物线C 相切，P 为l 1、l 2的交点.（1）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程； （2）设C 、D 为直线l 1、l 2与直线x = 4的交点，求PCD 面积的最小值. 【答案】（1）1x =-；（2）9【解析】试题分析：（1）设211()4y A y ，， 222()4y B y ，（120y y >>），1l 方程为2111()4y y y k x -=-，与抛物线方程联立，利用直线1l 与抛物线y 2= 4x 相切，故0∆=，求112k y =，故切线1l 的方程11212y x y y =+。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-==,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a-+->ln a a ⇒<<故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离d =,所以圆心在直线l上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,1. 【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s ,s i n 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++==因为cos sin θθ的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为=,故填【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:则数学期望0120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值;(2)若cos 14BAD ∠=-,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) cos CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠==7=,所以cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得s i n BAD ∠=14=且sin 7CAD ∠==,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠⎛= ⎝⎭=714+7=再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠BC ⇒=⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2) 【解析】(1)证明:四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,ACBD O AC B D O ==∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又AC BD O =且,AC BD ⊆底面ABCD1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D又11O C ⊆面1111A B C D111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形1111O C O B ∴⊥又111OC OO ⊥且1111OO O C O =,111,O O O B ⊆面1OB D11O C ∴⊥面1OB D又1B O ⊆面1OB D111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥且1111O C O E O =,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠=060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形11O C a ∴=,11,BO=112,OO a B O ===, 则111111111221sin 37OO O E B OO B O B Oa a B O a=∠=== 再由11O EC ∆的勾股定理可得1EC===, 则1111cos O E O EC EC ∠===,所以二面角11C OB D --. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11nnn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a+-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+--22141332m m a -⇒=+. 当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222111111112242243321144m m m---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知122e e =,且241F F =. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得12e e ==,且12F F =,因为12e e =,且24F F =,所以22212b a+=且1a ⇒=且1,b a ==所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22mny n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222M AB e x n =+=++)2212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为,⎛ ⎝,则点,P Q 到直线AB 的距离为221224n n n d n +-=,222224n nn d n --=,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()2221222224n n nn dd n ++-+==+,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= =因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,()'0f x x =⇒=则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪∞⎪⎝⎭单调递增的.(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()'0f x x =⇒=,则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2)函数()f x的定义域为1,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭,由(1)可得当01a<<时,()'0f x x=⇒=,则1a>-⇒12a≠,则()f x的两个极值点,()()12ln1ln1f x f x⎡⎡+=++-+⎣⎣()ln141a a=--+⎡⎤⎣⎦,因为112a<<或12a<<,则12<,则设t=12t⎛⎫<<⎪⎝⎭,则()()()212ln144f x f x t t+=-+,设函数()()2ln144g x x x=-+12t⎛⎫<<⎪⎝⎭, 后续有待更新!!!【考点定位】导数含参二次不等式对数。
2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A. 1B. 3C. 5D. 92．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，-4）C．（4，-2）D．（4，2）3．执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+12+13+14B．1+12+13*2+14*3*2C．1+12+13+14+15D．1+12+13*2+14*3*2+15*4*3*24．已知三棱锥的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为（）A．B．C．D．5．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．p ：x ∈A,2xB B ．p ：x A,2x BC ．p ：x0A,2x 0∈B D ．p ：x 0∈A,2x0 B6．若向量a =(1，1)， b =(-1，1) ，c =(4，2)，则c =( )A ．3a +bB ． 3a -bC ． -a +3bD ． a +3b7．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(，2]B ．2)C ．+∞)D ．+∞)8．已知函数f （x ）=|2x-1|-1+a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−∞，32 )B ．(12，+∞)C ．（-∞，1）D ．（1，+∞）二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答．题卡．．中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在极坐标系中，由三条直线θ=0，θ＝3，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于 10．设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy=1，则2x+y 的最大值是11.如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ．已知PD=2DA=2，则PE=．（二）必做题（12～17题）12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a -1＜0”的概率为13.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b+c=2a ，3sinA=5sinB ，则角C=（ ）14．在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．若AC *BE ＝1，则AB 的长为15.如果一个等比数列前5项的和等于10，前,10项的和等于50，那么它前15项的和是16．设函数f （x ）的定义域为D ，若存在非零实数L 使得对于任意x ∈M （M ⊆D ），有x+L ∈D ，且f （x+L ）≥f （x ），则称f （x ）为M 上的L 高调函数，如果定义域是[-1，+∞）的函数f （x ）=x 2为[-1，+∞）上的m 高调函数，那么①实数m 的取值范围是②如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x≥0时，f （x ）=|x-a 2|-a 2，且f （x ）为R 上的8高调函数，那么实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=sin （wx+φ）（w ＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（4π，0），将函数f （x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移2π个单位长度后得到函数g （x ）的图象． （1）求函数f （x ）与g （x ）的解析式。
2014年湖南省某校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1. 复数1+√3i与复数−√3+i在复平面上的对应点分别是A，B，O为坐标，则∠AOB等于（）A π6 B π4C π3D π22. 命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”的否定是（）A ∀x∈M，f(−x)≠f(x)B ∃x∈M，f(−x)≠f(x)C ∀x∈M，f(−x)=f(x) D ∃x∈M，f(−x)=f(x)3. 某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程y=b x+a中b̂的值为1，则据此回归模型可以预测，加工90个零件所需要的加工时间约为（）A 80分钟B 90分钟C 100分钟D 1l0分钟4.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3, 4)，则此双曲线的方程为()A x216−y29=1 B x23−y24=1 C x29−y216=1 D x24−y23=15. 已知四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则四棱锥的外接球的表面积为（）A 24πB 6πC √6πD 3π6. 某社区四支篮球队参加比赛，现任意将这四支队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则所有可能的比赛情况共有（）A 3种B 6种C 12种D 24种7. 当0<x≤12时，4x<log a x，则a的取值范围是（）A (0, √22) B (√22, 1) C (1, √2) D (√2, 2)8. 定义全集U的子集P的特征函数f P(x)={1,x∈P0,x∈∁U P，这里∁U P表示集合P在全集U的补集．已知P ⊆U ，Q ∈U ，下列四个命题中，其中的假命题是（ ）A 若P ⊆Q ，则对于任意x ∈U ，都有f P (x)≤f Q (x)B 对于任意x ∈U ，都有f∁UP (x)=1−f P (x)C 对于任意x ∈U ，都有如f P∩Q (x)≤f P (x)⋅f Q (x)D 对于任意x ∈U ，都有f P∪Q (x)≤f P (x)+f Q (x)二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．） 9. 函数f(x)=sin 2x +cos2x 的最小正周期为________．10. 设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是________．11. 设某算法流程图如图所示，其输出结果A =________．12. 积分∫e |x|2−1dx 的值是________．13. 设z =3x +y ，其中x ，y 满足不等式组{x +y ≥0x −y ≤00≤y ≤k ，若z 的最大值为8，则z 的最小值是________．14. 设G 是△ABC 的重心．（1）若从△ABC 内任取一点P ，则点P 落在△GBC 内的概率是________．（2）若点Q 落在△GBC 内（不含边界），且AQ →=λAB →+μAC →，则λ+μ的取值范围是________．15. 如表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i+j ，则（1）a n =________(n ∈N ∗)；（2）表中的数82共出现________次．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若2sinAcosC ＝sinB ，求ac 的值； （2）若sin(2A +B)＝3sinB ，求tanA tanC 的值．17. 某高校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取．假设每项测试相互独立，学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等•且各项测试合格的概率分别为12，12，13．（1）求学生甲和乙至少有一人被录取的概率；（2）求学生甲测试合格的项数X 的分布列和数学期望．18.在如图所示的几何体中，ABCD 为平行四边形，∠ACB =π2，EA ⊥平面ABCD ，EF // AB ，FG // BC ，EG // AC ，AB =2EF ．（1）在线段AD 上是否存在点M ，使GM // 平面ABFE ？并说明理由； （2）若AC =BC =2AE ，求二面角A −BF −C 的大小．19. 在一段笔直的斜坡AC 上竖立两根高16米的电杆AB ，CD ，过B ，D 架设一条10万伏高压电缆线．假设电缆线BD 呈抛物线形状，现以B 为原点，AB 所在直线为Y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线AD 恰与电缆线相切于点D(m, n)． （1）求抛物线BD 的方程；（2）根据国家有关规定，高压电缆周围10米内为不安全区域，问当有一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？20.如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC 中，|OA|=2，|OC|=√3，点P ，Q 满足OP →=λOA →，AQ →=1(1−λ)AB →(λ∈R)，点D 是C 关于原点的对称点，直线DP 与CQ 相交于点M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若过点F(−1, 0)且斜率不为零的直线与点M 的轨迹相交于G ，H 两点，直线AG 和AH 与定直线l:x =−4分别相交于点R ，S ，试判断以RS 为直径的圆是否经过点F ？说明理由． 21. 已知函数f(x)=xsinx ．（1）判断方程f(x)=1在(0, π)内实根的个数，并说明理由；（2）设函数f(x)在(0, +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…a n …，求证：π2<a n+1−a n <π(n ∈N ∗)．2014年湖南省某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. D2. B3. C4. C5. B6. C7. B8. D9. π 10. 10 11. 6312. e 2+e −2 13. −4 14. 13；(23,1)．15. （1）n 2+1，（2）5．16. ∵ 2sinAcosC ＝sinB ，∴ 2sinAcosC ＝sin(A +C)＝sinAcosC +cosAsinC ， 于是sinAcosC −cosAsinC ＝0，即sin(A −C)＝0．因为A ，C 为三角形的内角，所以A −C ∈(−π, π)，从而A −C ＝0， 所以a ＝c ，故ac =1．∵ sin(2A +B)＝3sinB ，∴ sin[(A +B)+A]＝3sin[(A +B)−A]，故sin(A +B)cosA +cos(A +B)sinA ＝3sin(A +B)cosA −3cos(A +B)sinA ， 故 4cos(A +B)sinA ＝2sin(A +B)cosA ，∴ tanA =12tan(A +B)=−12tanC ，∴ tanA tanC =−12．17. 解：（1）记学生甲被录取的事件为A ，学生甲通过这三个项目的事件分别为B ，C ，D ， 由题设知P(B)=12，P(C)=12，P(D)=13， 由于事件B ，C ，D 相互独立，∴ 甲被录取的概率为：P(A)=P(BCD)=P(B)P(C)P(D)=12×12×13=112，∵ 学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等， ∴ 乙被录取的概率为P 1=112，∴ 学生甲和乙到少有一人被录取的概率P =1−C 22 (1112)2=23144．（2）由题设知，学生甲测试合格的项数X 的取值为0，1，2，3， 则P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=12×12×23=16，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)+P(B ¯C ¯D) =12×12×23+12×12×23+12×12×13=512，P(X =2)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD) =12×12×23+12×12×13+12×12×13=13， P(X =3)=P(BCD)=12×12×13=112，∴ X 的分布列为：EX =0×16+1×512+2×13+3×112=43． 18. 解：（1）存在点M ，且点M 是线段AD 的中点， ∵ EF // AB ，FG // BC ，EG // AC ，∠ACB =π2，∴ ∠EGF =90∘，且△ABC ∽△EFG ， ∵ AB =2EF ，∴ BC =2FG ， 连结AF ，∵ FG // BC ，FG =12BC ，在平行四边形ABCD 中，点M 是线段AD 的中点，∴ AM // BC ，且AM =12BC ，∴ FG // AM ，且FG =AM ，∴ 四边形AFGM 为平行四边形，∴ GM // FA ， 又∵ FA ⊂平面ABFE ，GM 不包含于平面ABFE ， ∴ GM // 平面ABFE ．（2）∵ ∠ACB =90∘，∴ ∠CAD =90∘，又EA ⊥平面ABCD ，∴ AC 、AD 、AE 两两垂直，分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，设AC =BC =2AE =2，由题意得A(0, 0, 0)，B(2, −2, 0)， C(2, 0, 0)，E(0, 0, 1)，∴ AB →=(2, −2, 0)，BC →=(0, 2, 0)，又EF →=12AB →，∴ F(1, −1, 1)，BF →=(−1,1,1)，设平面BFC 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)， 则m →⋅BC →=0，m →⋅BF →=0，∴ {2y 1=0−x 1+y 1+z 1=0，取x 1=1，得m →=(1, 0, 1)，设平面ABF 的法向量为n →=(x,y,z)， mjn →⋅AB →=0，n ¯⋅BF →=0，∴ {2x −2y =0−x +y +z =0，取x =1，得n →=(1,1,0)，∴ cos <m →，n →>=1√2⋅√2=12， ∴ 二面角A −BF −C 的大小为π3．19. 解：（1）设抛物线BD 的方程为y =ax 2+bx ，则∵ 点D(m, n)，∴ 抛物线在点D 处切线的斜率为k =2am +b ， ∵ AD 的斜率为n+16m，∴ 2am +b =n+16m，即2am 2+bm =n +16，① ∵ 点D(m, n)在抛物线上， ∴ n =am 2+bm ，② 由①②可得a =16m 2，b =n−16m，∴ 抛物线方程为y =16m 2x 2+n−16mx ；（2）斜坡AC 所在直线方程为y =nm x −16，作直线EF // y 轴且分别与抛物线及AC 相交于E ，F ，则 |EF|=(16m 2x 2+n−16mx)−(n m x −16)=16m 2(x −m2)2+12≥12，∴ 高压电缆与斜坡AC 的垂直距离的最小值为12米，大于11.8米， ∴ 这根高压电缆不会对这个人的安全构成威胁．20. 解：（1）设点M 的坐标为(x, y)，A(2, 0)，B(2,√3)，C(0, √3)，D(0,−√3)． 由OP →=λOA →，得点P 坐标为(2λ, 0)，由AQ →=(1−λ)AB →，得点Q 的坐标为（2, √3(1−λ)）． 于是，当λ≠0时， 直线DP 的方程为：y +√3=√32λx ，① 直线CQ 的方程为：y −√3=√3λ−2x ．② ①×②得，y 2−3=−34x 2，即x 24+y 23=1．当λ=0时，点M 即为点C ，而点C 的坐标(0, √3)也满足上式， 故点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1；（2）设过点F(−1, 0)且斜率不为0的直线CH 的方程为x =my −1，且设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，由{x =my −1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2−6my −9=0 ③由于方程③的判别式△=(−6m)2+36(3m 2+4)>0， ∴ y 1，y 2是方程③的两根，且y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 又A(2, 0)，∴ 直线AG 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，因此点R 的坐标为(−4,−6y 1x 1−2)．同理可得，直线AH 的方程为y =y 2x 2−2(x −2)，因此点S 的坐标为(−4,−6y 2x 2−2)．∴ FR →⋅FS →=(−3,−6y 1x1−2)⋅(−3,−6y 2x 2−2)=9+36y 1y 2(x 1−2)(x 2−2)．又(x 1−2)(x 2−2)=(my 1−3)(my 2−3)=m 2y 1y 2−3m(y 1+y 2)+9 =m 2⋅−93m 2+4−3m ⋅6m3m 2+4+9=363m 2+4． 于是FR →⋅FS →=9+36y 1y 2(x1−2)(x 2−2)=9+36×(−9)3m 2+4×3m 2+436=0．故点F 在以RS 为直径的圆周上． 21. 解：（1）∵ f(x)=xsinx ．∴ 由f(x)=xsinx=1得sinx=1x，在坐标系中分别作出函数f(x)=sinx，和g(x)=1x的图象如图：∵ y=1x 在(0, π)上得到递减，y=sinx在(0, π2]上递增，在(π2, π)上单调递减，且当x=π2时，f(π2)=1，g(π2)=2π<1，∴ f(x)与g(x)在(0, π)上有两个交点，即方程f(x)=1在(0, π)内实根的个数为2个．（2）f′(x)=sinx+xcosx，由f′(x)=0得sinx=−xcosx，即x=−tanx，设x0>0是f′(x)=0的任意正实根，则存在一个非负整数k，使x0∈(π2+kπ,π+kπ)，即x0在第二或第四象限内，则满足f′(x)=0的正根x0都是f(x)的极值点．设函数f(x)在(0, +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1<a2<...<a n…，∴ π2+(n−1)π<a n<π+(n−1)π，π2+nπ<a n+1<π+nπ，则π2<a n+1−a n<3π2，∵ a n+1−a n=−(tana n+1−tana n)=−(1+tana n+1⋅tana n)tan(a n+1−a n)，∵ tana n+1−tana n>0，∴ tan(a n+1−a n)<0，∴ a n+1−a n必在第二象限，即a n+1−a n<π，综上π2<a n+1−a n<π(n∈N∗)．。
