高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修2_1

课题：双曲线及其标准方程课时：02课型：新授课教学目标：1， 知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求双曲线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力3.情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。

4.能力目标（1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．新课讲授过程（1）双曲线的定义〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=． 强调：a 的条件是什么；如果去掉绝对值还是双曲线了吗？（2）双曲线标准方程的推导过程提问：已知双曲线的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求双曲线标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比双曲线：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()222210,0y x a b b a-=>>． （3）例题讲解、引申与补充例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2222x y ++=内切，且过点()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2231x y -+=内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为．① ∵⊙C 与⊙M 内切，点在⊙C 外，∴MC r =-，MA r =，因此有MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是(222217y x x -=≤； ②∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11MC r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是22434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；③ ∵M 与1C 外切，且M 与2C 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是()221245x y x -=≥． 例2 已知，两地相距800m ，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -，()1020,0B ，()0,1020C ．设(),P x y 为巨响发生点，∵、C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y x =-……①，又因点比点晚4s 听到巨响声，∴()43401360PB PA m -=⨯=．由双曲线定义知，680a =，1020c =，∴b =，∴点在双曲线方程为222216805340x y -=⨯()680x ≤-……②．联立①、②求出点坐标为(P -．即巨响在正西北方向处．探究：如图，设，的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 探究方法：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．练习：第54页1、2、3 课堂小结：作业：第60页1、2补充作业：1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x yE-=的左、右焦点分别为12,F F，点在双曲线上，且13PF=，则2PF等于（B ）A．11 B．9 C．5 D．32.【2015高考四川，理5】过双曲线2213yx-=的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB=（ D ）（D）。

§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．学习过程一、课前准备复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =二、新课导学※ 学习探究问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？※ 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 .例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？※动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．练2．点,A B的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是49，试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．三、总结提升※学习小结1 ．双曲线的定义；2 ．双曲线的标准方程．※知识拓展GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．在例2中，再增设一个观察点C，利用B，C两处测得的点P发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.D.4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．课后作业1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．2．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？。

双曲线（3）教学目标：1.掌握双曲线的标准方程;2.掌握双曲线的定义教学重点：掌握双曲线的标准方程教学难点：掌握双曲线的标准方程为？2 2问题：若双曲线与x 4y =64有相同的焦点，它的一条渐近线方程是x • .、3y =0，则双曲线的方程是？任务2:认真理解双曲线的定义完成下列例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程例2点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线比是常数5，求点M的轨迹.42 2例3过双曲线;日的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于AB两点，求A,B两点的坐标.16l : x ='6的距离的5⑵变式：求AB ? .MF I B的周长？巩固练习：2 2 2 21右椭圆—+ =1和双曲线----- -- =1的共同焦点为F1, F2, P是两25 16 4 5曲线的一个交点，贝V Ph .PF?的值为（）..21A. — B . 84 C . 3 D . 212x2 v22 .以椭圆亦+話=1的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（）.2 2 2 2A. X-丄=1B. —16 48 9 272 2 2 2C. ——^—=1或——^― =1D. 以上都不对16 48 9 273.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q ,F1是另一焦点，若/ PFQ =—，则双曲线的离心率e等于（）.2A.逅—1B. 运C. ^2+1D.逅 +24.双曲线的渐近线方程为x ±2y =0 ,焦距为10 ,求双曲线的方程为？2 25.方程x+-^=1表示焦点在x轴上的双曲线，求k的取值范围.。

2．3 双曲线一、学习内容、要求及建议1．预习目标(1)通过本节的学习，能熟练利用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程；(2)掌握双曲线的简单的几何性质，如：范围、对称性、顶点(实轴、虚轴)、渐进线和离心率等；(3)能根据双曲线的几何性质确定双曲线方程；(4)了解双曲线在实际问题中的初步应用；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法．2．预习提纲(1)回顾2．2节椭圆的相关知识，回答下列问题：①椭圆的标准方程是如何建立的?②椭圆有哪些几何性质?(2)阅读课本第36－43页，回答下列问题：①平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(大于0小于F1F2)的点的轨迹叫做________，此时两定点叫做________，两定点间距离叫做________．若常数等于F1F2，则点的轨迹是__________．②焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_________________，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为____________________，其中a，b，c的关系为________________；③双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)上的点中，横坐标x的范围是，纵坐标y的范围是；④双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)关于_________对称．它的对称中心叫做双曲线的__________；⑤双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)中，点A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)叫做________，线段A 1A 2叫做双曲线的________，线段B 1B 2(B 1(0，－b )、B 2(0，b ))叫做双曲线的__________．直线__________叫做双曲线的____________．其中实轴和虚轴等长的双曲线叫做____________；⑥双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为___________，双曲线的________________，叫做双曲线的离心率．(3)课本第37页例1、例2是双曲线及其标准方程的基本题型，采用的方法是__________，若将例1条件中的“绝对值”去掉，所求方程为__________________?第38页例3是应用问题，思考部分同学们可以借助电脑等技术手段进行研究；第42页例1介绍了求双曲线基本量的方法，若将方程改为22143y x -=呢? 第33页例2要注意求双曲线的标准方程前，先要确定实轴所在的坐标轴． 3．典型例题(1)双曲线的标准方程①待定系数法：双曲线的标准方程有两种形式，其主要是由于坐标系的建立方式不同而引起的．因此在根据题设条件求双曲线的标准方程时应注意先确定焦点的位置即方程的形式，然后用待定系数法，通过解方程或方程组得解．例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值是24；(2)a =A (－5，2)，且焦点在x 轴上；(3)过两定点(3，415)，(316，5)． 分析： 求双曲线的标准方程需先由条件确定焦点位置(若不确定则要讨论)，然后解方程或方程组得a 、b ．解：(1)由题意设双曲线的标准方程为：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)∵ 2a =24，∴ a =12∵ 一个焦点F 1(0，－13)，∴ c =13，∴ b 2=c 2－a 2=25．故所求双曲线的标准方程为：22114425y x -=； (2)由题意设双曲线的标准方程为：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)∵ 双曲线经过点(－5，2)，∴ 222541a b-=．又a =52，∴ a 2=20，b 2=16，故所求双曲线的标准方程为：2212016x y -=； (3)若焦点在x 轴上，则设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)∵ 双曲线过两定点)5,316(,)415,3(， ∴ 222292251,1625251,9a b b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：2112167a =-=-(舍去)． 若焦点在y 轴上，则设方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，∵ 双曲线过两定点)5,316(,)415,3(，∴ 222222591,16252561,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：22916a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．故所求双曲线方程为：221916y x -=． 点评：判断焦点在哪一条坐标轴上，不是比较x 2、y 2的系数的大小，而是看x 2、y 2系数的正负号，焦点在系数为正的那条坐标轴上．简记为“焦点在轴看符号”．第(3)问也可以将方程设成mx 2+ny 2=1(mn ＜0)的形式．②定义法：由双曲线定义知：平面内动点与两定点距离差的绝对值是常数，且常数大于0小于两定点间距离的轨迹才是双曲线．要特别注意绝对值以及常数的范围．例2 在△MNG 中，已知NG =4，当动点M 满足条件sin G －sin N =21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．分析：求轨迹方程时，若没有直角坐标系，应先建立适当的坐标系，然后将条件坐标化． 解：以NG 所在直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵ sin G －sinN =21sin M ，∴ 由正弦定理得：MN －MG =2．∴ 点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∵ 2a =2，2c =4，∴ a =1，c =2，∴ b 2=c 2－a 2=3．∴ 动点M 的轨迹方程是2213y x -=(x ＞0且y ≠0)． 点评：双曲线的定义中，|PF 1－PF 2|=2a (0＜2a ＜2c )．若2a =0，则P 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线；若2a =2c ，则P 的轨迹是直线F 1F 2去掉F 1与F 2之间的部分．PF 1=PF 2=2a (0＜2a ＜2c )表示双曲线以F 2为焦点的一支，PF 1－PF 2=－2a (0＜2a ＜2c )表示双曲线以F 1为焦点的一支．例3 某人在以AB 为直径的半圆形区域内，要到P 点去，他只能从半圆形区域内先到A 点，再沿AP 到达P 点，或先到B 点，再沿BP 到达P 点，其中AP =100m ，BP =150m ，∠APB =600，问怎样走最近? 分析：本题是一道关于几何建模的应用题，关键是在区域内确定是先往A 还是先往B 的分界线．“最近”的数学语言是；到P 点距离最近．半圆内的点有三类：①沿AP 到P 近；②沿BP 到P 近；③沿BP 、AP 到P 等距．其中③类点集是第①类与第②类点集(分界线)． 解：设M 是分界线上一点，则：MA +AP =MB +BP即MA －MB =BP －AP =50故M 点在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上在△APB 中，AP =100，BP =1500，∠APB =60o故：AB 2=17500以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线弧：226253750x y -=1(x ≥25)． 故当某人在分界线右侧时，沿BP 走最近；当某人在分界线左侧时，沿AP 走最近；当某人在分界线上时，沿AP 、BP 一样近．点评：解决实际应用问题，关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，用数学的观点和方法来处理．③利用定义求焦半径的长、曲线上一点与两焦点构成的三角形的周长、面积、角度等例4 设F 1、F 2为双曲线22144x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=900，求：(1)△F 1PF 2的周长；(2)△F 1PF 2的面积．分析：曲线上的点与两焦点构成的三角形的边长、面积等问题常利用曲线的定义．解：∵ 点P 在双曲线22144x y -=上 ∴ |PF 1－PF 2|=4 在△F 1PF 2中，F 1F 22=PF 12+PF 22－2PF 1·PF 2·cos∠F 1PF 2 ∵ ∠F 1PF 2=900，且F 1F 2=24∴ PF 12+PF 22=32解方程组122212||4,32PF PF PF PF -=⎧⎨+=⎩得：122,2,PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩或122,2.PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩(1)12121222F PF C PF PF F F ∆=++=+++=+(2)12121112)84222F PF S PF PF ∆=⋅==⨯= 故△F 1PF 2的周长为2434+，面积为4．点评：双曲线上一点与两焦点构成的三角形的问题，常利用正弦定理、余弦定理结合双曲线的定义来处理． (2)双曲线的几何性质①已知双曲线方程得几何性质：化标准式 例5 分别求下列双曲线的离心率与渐近线方程：(1)16x 2－9y 2=144；(2)3x 2－y 2=－3．分析：由双曲线的标准方程求描述双曲线几何性质的量时，常先化方程为标准式，并写出基本量a 、b 、c ，然后求得所需．解：(1)原方程化为：221916x y -= 则a =3，b =4，c =5，∴ 53c e a ==渐近线方程为：43y x =±(2)原方程化为：2213y x -=则a =b =1，c =2，∴ c e a ==渐近线方程为：y =点评：双曲线的离心率跟a 、c 有关，故只需化方程为标准式到离心率定义即可．由双曲线方程求渐近线方程时可以不将方程化标准式，只需将方程中的常数项换成0即得，如双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)，将方程中常数项1换成0即得渐近线方程为：22220x y a b-=，即b y x a =±．本题中只需分别将144和－3均换成0即得渐近线方程：43y x =±和y =．②已知双曲线的几何性质求标准方程：定型，定a 、b 例6 分别求下列双曲线的标准方程：(1)一个顶点是A (5，0)，离心率为56；(2)过点M (－5，3)，离心率e =(3)一个焦点是F (6，0)，一条渐近线为y =； (4)焦距是10，虚轴长为8． 分析：由条件求双曲线的标准方程常用待定系数法，用待定系数法时首先需由条件判定焦点所在轴，即方程的形式，若不能判断，则需要讨论焦点位置，其次是求a 、b ，求a 、b 时注意利用恒等式：c 2=a 2+b 2．解：(1)由题意焦点在x 轴上，故可设双曲线的标准方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)则∵ 一个顶点A (5，0)，∴ a =5 ∵ 65e =，∴ c =6 又b 2=c 2－a 2，∴ b 2=11故双曲线的标准方程为：2212511x y -= (2)若焦点在x 轴上，设方程为：2222x y a b-(a ＞0，b ＞0)则∵ e =c =又b 2=c 2－a ，∴ b =a∵ 双曲线过点M (－5，3)，∴222591a b -= 解方程组得：a 2=b 2=16故双曲线的标准方程为：x 2－y 2=16若焦点在y 轴上，设方程为：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)则同理有：b =a ，229251a b-=∴ a 2=b 2=－16(舍去)，∴ 双曲线的标准方程为：x 2－y 2=16(3)法一：由题意焦点在x 轴上，故设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)则由题设2226,,,c b c a b =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得：2212,24.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故双曲的标准方程为：2211224x y -=法二：∵ y =是一条渐近线0y ±=，∴ 设双曲线方程为：2x 2－y 2=λ(λ＞0) 即2212x y λλ-=∵ (6，0)是它的一个焦点， ∴3362λ=，即λ=24 故双曲线的标准方程为：2211224x y -= (4)若焦点在x 轴上，设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)由题意：2c =10，2b =8，∴ b =4，c =5又a 2=c 2－b 2，∴ a 2=9，∴ 双曲线的标准方程为：221916x y -= 若焦点在y 轴上，则同理有：a 2=9，b 2=16，即方程为：221916y x -= 故双曲线的标准方程为：221916x y -=或221916y x -= 点评：由题设条件求双曲线的标准方程时，若条件与焦点、顶点等有关，则方程形式确定；若条件与实轴长、虚轴长、焦距、离心率等有关，则方程形式不定，需分类讨论，但不是简单的交换．在题设条件中，若出现渐近线方程，则经常采用题(3)法二的处理方法来进行．一般地，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)渐近线相同的双曲线方程为：2222x y a b -=λ(λ≠0)．若λ＞0，则与已知双曲线焦点所在轴相同；若λ＜0，则与已知双曲线焦点所在轴不同．特别地λ=0时，则为双曲线的渐近线． (3)直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系问题常联立两曲线方程，消元转化为关于x 或y 的方程，利用判别式、韦达定理、点差等方法来处理．已知直线和双曲线相交，求弦的中点、弦长、范围等问题：联立方程，利用韦达定理、弦长及式结合判别式解决，若直线过焦点，则可利用定义；由已知条件求直线方程或双曲线方程：将条件转化为字母的方程或方程组，解方程或方程组即可．例7 直线y =ax +1与双曲线3x 2－y 2=1相交于A 、B 两点．(1)当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上?当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上?(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点．分析：将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理处理．解：由221,31y ax x y =+⎧⎨-=⎩得：(3－a 2)x 2－2ax －2=0(*) ∵ 直线与双曲线交于A 、B 两点∴ 22230,48(3)0,a a a ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩即：a <<a ≠设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则12223a x x a +=-，12223x x a =- (1)若A 、B位于双曲线的两支上，则220,3a a a ⎧<<≠⎪⎨<⎪-⎩∴ a << 若A 、B位于双曲线的同一支上，则220,3a a a ⎧<<≠⎪⎨>⎪-⎩∴ a <<a <<(2)∵ 以AB 为直径的圆过原点，∴ x 1x 2+y 1y 2=0又y 1=ax 1+1，y 2=ax 2+1，∴ (a 2+1)x 1x 2+a (x 1+x 2)+1=0 ∴ 21212(1)()10a x x a x x ++++=， ∴ 22222(1)1033aa a a a +⋅+⋅+=-- ∴ a 2=1，即：a=±1，满足3a a <<≠±故当a =±1时，以AB 为直径的圆过原点． 点评：直线与双曲线的交点个数问题，常通过联立方程将问题转化为方程的根的个数问题．若直线与双曲线有一个交点，则有两种可能情形：一是直线和双曲线相切；二是平行于渐近线．若直线与双曲线有两个交点，两点可能位于双曲线的同一支上，也可能位于双曲线的两支上，此时可利用方程的根的符号来解决．但却必须注意方程的最高次项系数可能为0的情形．例8 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，过双曲线的右焦点且斜率为515的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ 且PQ =4，求双曲线方程．分析：设双曲线方程，将OP ⊥OQ 和PQ =4转化为变量的方程组，解方程组即可．解：设双曲线方程为：22221x y a b -=(a ，b ＞0)右焦点F (c ，0)．P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)则PQ：()5y x c =-由222222,)b x a y a b y x c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩得：(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －3a 2c 2－5a 2b 2=0(*) 则：22222121222226(35),5353a c a c a b x x x x b a b a --++==--∵ OP ⊥OQ ，∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∵ y 1y 2=53(x 1－c )(x 2－c )，∴ 8x 1x 2－3c (x 1+x 2)+3c 2=0，∴ 8a 2b 2=3b 2c 2－3a 2c 2即：3b 4－8a 2b 2－3a 4=0，∴ (b 2－3a 2)(3b 2+a 2)=0，∴ b 2=3a 2∵ c 2=a 2+b 2，∴ c =2a ，∴ 方程(*)化为：4x 2+4ax －9a 2=0，且x 1+x 2=－a ，x 1x 2=49a 2∵ PQ =44= 即a 2=1，b 2=3，检验知：△＞0，故双曲线方程为：2213y x -=． 点评：解析几何问题处理的基本方法是代数化，在代数化过程中应注意处理条件的灵活性，本题若直接将“PQ =4”代数化，则计算较烦且容易出错．因此在处理直线与曲线位置关系时，一是选择恰当的方程形式，如本题中双曲线方程可设为mx 2－ny 2=1(m ＞0，n ＞0)，以简化方程；二是注意条件的灵活处理，本题先由“OP ⊥OQ ”得出a 、b 间关系，然后再利用“PQ =4”求a 、b ，大大简化了计算过程和计算量． 4． 自我检测(1)若动点P 到点F 1(－3，0)、F 2(3，0)的距离的差的绝对值为4，则动点P 的轨迹方程是_______．(2) 若动点P 到点F 1(0，－2)、F 2(0，2)的距离之差为2，则动点P 的轨迹方程是________ ．(3)双曲线22142x y k k +=+-k 的值为___________．(4)_________． (5)实轴长为6，一条渐近线方程是3x +2y =0的双曲线的标准方程为____________．三、课后巩固练习A 组16=，化简结果是____________________．2．在双曲线的标准方程中，已知a =6，b =8，则其方程是____________________．3．焦点分别是(0，－2)、(0，2)，且经过点P (－3，2)的双曲线的标准方程是_________________．4．已知F 1(10-，0)、F 2(10，0)，若PF 1－PF 2=6，则P 点的轨迹方程是______________；若PF 1－PF 2=102，则P 点的轨迹方程是____________________．5．双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是____________________． 6．双曲线2214x y k +=的焦点坐标为____________________．7．过点(1，1)且ba=的双曲线的标准方程为______________________． 8．若P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线221259x y -=上的一点，且PF 1=12，则PF 2=__________． 9．设P 是双曲线22149x y -=上一点，12F F 、分别是双曲线的两个焦点．若13PF =，则2PF 等于_____________．10．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，过焦点F 1的弦AB 长为m ，另一焦点为F 2，则△ABF 2的周长为____________________．11．已知动点P 满足PA －PB =8，A (0，－5)、B (0，5)，则P 的轨迹方程为___________________．12．双曲线22154x y -=的实轴长为________，虚轴长为________，渐近线方程为_____________，离心率为________．13．双曲线22194y x -=的渐近线方程是____________________．14______________．15．双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为____________________．16．离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它渐近线方程是____________________．17．中心在原点，一个顶点为A (－3，0)，离心率为34的双曲线方程是____________________． 18．以椭圆221169x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是____________________． 19．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为____________________．20．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y +12=0上的等轴双曲线方程是 ____________________．21．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为F 1(13-，0)、F 2(13，0)，a +b =5； (2)焦点在y 轴上，焦距为8，且经过点M (22，－6)． 22．求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =，经过点A (－2，5)； (2)经过点M (2-，3-)、N (315，2)．23．求与双曲线221164x y -=有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程． 24．双曲线C 1与椭圆C 2：2214936x y +=有公共的焦点，且双曲线C 1经过M (－4，372)，试求双曲线C 1的方程．25．求以椭圆22158x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 26．求焦点在坐标轴上，过点M (3，4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线的标准方程．27．与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线方程为________________．28．焦点为(0，6)且与双曲线2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程为_________． 29．求与双曲线22154x y -=有共同渐近线且焦距为12的双曲线的标准方程．30．已知双曲线的离心率为2，且经过点M (－2，3)，求双曲线的标准方程．B 组31．已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是____________________． 32．双曲线2kx 2－ky 2=1的一个焦点是F (0，4)，则k 的值为__________．33．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为m 的值为 ____________．34．已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=___________________．35．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| =____________________．36．设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点分别是12F F 、，P 是两个曲线的一个交点，则12cos F PF ∠的值为____________________．37．设F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且F 1F 2=18，过F 1的直线交双曲线的同一支于M 、N 两点，若MN =10，△MF 2N 的周长为48，则满足条件的双曲线的标准方程是_______________．38．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0160PFQ ∠=，则双曲线的离心率为 ．39．设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ．40．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是__________．41．双曲线2219x y -=上有动点P ，F 1、F 2是曲线的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程．42．求过点E (5，0)且与圆F ：(x+5)2+y 2=36外切的圆的圆心轨迹．43．与两定圆(x +5)2+y 2=49，(x －5)2+y 2=1都外切的动圆圆心的轨迹方程是_________________．44．过双曲线x 2－y 2=a 2的中心作直线l 与双曲线交于两点，则直线l 的倾斜角的范围 为____________________．45．直线17()32y x =-与双曲线2219x y -=的交点个数是_________． 46．过点(0，3)作直线l ，若l 与双曲线22143x y -=只有一个公共点，这样的直线共l 有____条．47．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为_________________．48．直线y =kx +2与双曲线x 2－y 2=6的右支交于两个不同的点，则实数k 的取值范围是____________________．49．双曲线22221x y a b-=的焦点为12F F 、，弦AB 过1F 且两端点在双曲线的一支上，若222AF BF AB +=，则AB =__________．50．直线l 过双曲线22221x y a b-=的右焦点，斜率k =2，若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是______________． 51．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 是C 上的任意点． (1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3，0)，求|PA |的最小值．52．如图，)0,3(F 1 -，)0,3(F 2 是双曲线C 的两焦点，直线34x =是双曲线C 的右准线，A 1, A 2双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的一动点，直线A 1P 、A 2P 交双曲线C 的右准线分别于M, N 两点．(1) 求双曲线C 的方程；(2) 求证: N F M F 21⋅是定值． 53．过P (8，1)的直线与双曲线x 2－4y 2=1相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线的方程．54．已知点(A B 0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值是2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长． 55．求两条渐进线为x +2y =0和x －2y =0且截直线x －y －3=0的双曲线的标准方程．C 组 56．设F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若PF 12 PF 2的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是 ．57．如图，双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A 、2A ，虚轴两端点为1B 、2B ，两焦点为1F 、2F ．若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D ．则 (1)双曲线的离心率e =________；(2)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________． 58．已知曲线C ：x 2－y 2=1及直线l ：y =kx －1．(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．59．已知双曲线221:14x C y -=．(1)求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；(2)直线:l y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A B 、两点．当3OA OB =时，求实数m 的值．60．已知F 1、F 2是双曲线2221()4x y b N b*-=∈的两个焦点，双曲线上一点P 满足PF 1·PF 2= F 1F 22，且PF 2＜4，求双曲线的方程．61．直线l 过点（0，2），交双曲线1222=-y x 于21,P P 两点，且213AP A P =，求直线l 的方程．62．直线：ax －y －1=0与曲线：2221x y -=相交于P 、Q 两点．(1)当实数a 为何值时，PQ =(2)是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．四、自学心得“情侣”曲线－－椭圆与双曲线细心研究，数学奥秘无穷；深入探索，数学联系密切；深入研究椭圆与双曲线，发现它们之间有一组有趣的性质．性质1：若双曲线1C 的弦PQ 和实轴'AA 所在直线垂直，则直线'A P 与直线AQ 的交点的轨迹是以已知双曲线1C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆2C ．证明：不妨设已知双曲线1C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>则它的两个顶点为'(,0),(,0)A a A a -，因为'PQ AA ⊥，因此设1111(,),(,)P x y Q x y -，则直线'A P 的方程为11()y y x a x a =++ ① 直线AQ 的方程为11()y y x a x a-=-- ②①×②，得22221221()y y x a x a-=-- ③ 又点P 在双曲线上，所以2211221x y a b-=即2222112()b y x a a=- ④将④代入③，消去11,x y ，整理得22221x y a b+=．即是所求椭圆2C 的方程，结论成立．性质2：若椭圆2C 的弦PQ 和长轴'AA 垂直，则直线'A P 与直线AQ 的交点的轨迹是以已知椭圆2C 的长轴为实轴，短轴为虚轴的双曲线1C ．证明与性质1类似，请同学们自己给出证明．由此可见，椭圆与双曲线相伴，双曲线与椭圆相随．2．3 双曲线自我检测(1)22145x y -= (2) 221(0)3x y y -=>(3)4或-6 (4)2(5) 2241981x y -=或22194y x -= 课后巩固练习A 组1．22197x y -=（x ≤-3） 2．2213664x y -=或2213664y x -=3．2213x y -= 4．221(3)9x y x -=≥；y =0(x ≥5．8 6．(0, 7．2221x y -=或2221y x -= 8．2或229．7 10．4a +2m11．221(0)169y x y -=≥ 12．4，5y x =±，5 13．32y x =± 14．3,44ππ15．5534或 16．34y x =±17．22197x y -= 18．22179x y -= 19．220x -25y =1 20．228x y -=21．（1）22194x y -=或22149x y -=； （2）221124y x -= 22．（1）2212016y x -=； （2）2213y x -= 23．221128x y -= 24．22194x y -= 25．22135y x -= 26．221520x y -=或22415555y x -= 27．22168x y -= 28．2211224y x -= 29．2212016x y -=或2211620y x -= 30．2213y x -=或22312323y x -= B 组31．-1<k <1 32．332- 33．2 34．34 35．6 36．1337．2214932x y -=或2214932y x -= 3839．； 40．241．2291(0)x y y -=≠42．以E 、F 为焦点，a =3的双曲线的右支43．221(3)916x y x -=≥44．3[0,)(,)44πππ 45．146．4 47．221 45xy-=48．(1)- 49．4a50．)+∞51．（1）常数45（2）|PA|的最小值为25552．（2）FF21⋅=－10 53．y=2x-1554．．2214xy-=C组56． (1，3]57．（1）;215+=e(2)设θ=∠22OBF,很显然知道θ=∠=∠222AOBOAF,因此)2sin(222θaS=．在22OBF∆中求得,cos,sin2222cbccbb+=+=θθ故222224cossin4cbbcaaS+==θθ;菱形1122F B F B的面积bcS21=,再根据第一问中求得的e值可以解出25221+=SS．58．（1）(1)(1,1)(1,2)--；（2）0或59．(1)2214xy-=．(2)双曲线1C的渐近线方程为2y x=±,设1122(,2),(,2)A x xB x x-由22224320yxx mx my x m⎧-=⎪⇒--=⎨⎪=+⎩,由21600m m∆=>⇒≠又因为2123mx x=-,而1212122(2)3OA OB x x x x x x⋅=+⨯-=-所以23m m=⇒=60．2214xy-=61．设直线方程为：2+=kxy，代入双曲线方程得：064)2(22=---kxxk因为直线与双曲线交于两个不同的点，因此有：260848)6)(2(4)4(02222222≠<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=----=∆≠-k k k k k k 且 设),(),,(222111y x P y x P ，21213,3x x AP A P -=∴= ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=-=+222212221326224x k x x x k k x x 则有，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=22222263242k x k k x －－即：，解得：322=k 236,236+-=+=∴x y x y 或所求直线方程为． 62．（1）1±； （2）不存在。

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2.3。

1 双曲线及其标准方程跟踪训练4.讨论方程错误!＋错误!＝1(m<3)所表示的曲线类型．课后作业1．（2015·江西南昌四校联考)已知M(－2,0），N（2，0）,|PM|－|PN｜＝4,则动点P的轨迹是( ）A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为( ）A．（±5，0） B．（0，±5） C．(±7，0) D．(0，±错误!)3．已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线，则k的取值范围是（) A．－1〈k<1 B．k〉0 C．k≥0 D．k〉1或k<－14．椭圆x24＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则m的值是（)A．±1 B．1 C．－1 D．不存在5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8,那么△ABF2的周长是（)A．16 B．18 C．21 D．26思考:已知定点A（－3,0)和定圆C：（x－3）2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．答案牛刀小试1 A C D B例一解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2｜＝2m，①由双曲线的定义得||PF 1|－｜PF 2｜｜＝2a ， ②由①2减去②2的差再除以4得｜PF 1|·｜PF 2|＝m －a .跟踪训练1。

§2.3 双曲线知识点一 双曲线定义的应用已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点的轨迹方程．解 设F (x ，y )为轨迹上任意一点， ∵A 、B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上 ∴|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |， ∴|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝2∴F 的轨迹方程为：y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．知识点二 求双曲线的标准方程设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－ (±15－0)2＋(4－3)2| ＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法三 若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，再将点A (±15，4)代入求λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性．知识点三 双曲线在实际中的应用A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 的北偏西30°相距4km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解 以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5,23) ∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上 ∵k BC ＝－3，BC 中点D (－4，3)∴直线PD ：y －3＝13(x ＋4)① 又|PB |－|P A |＝4，∴P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上设P (x ，y )则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)②联立①、②式得x ＝8，y ＝53，∴P (8,53)，因此k P A ＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.知识点四 双曲线几何性质的简单应用已知双曲线渐近线的方程为2x ±3y ＝0.(1)若双曲线经过P (6，2)，求双曲线方程； (2)若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； (3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程． 解 (1)设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)， ∵双曲线过点P (6，2)， ∴4×6－9×4＝λ，即λ＝－12∴双曲线的方程为：－x 23＋34y 2＝1.(2)设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1，或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵c 2＝a 2＋b 2，∴13＝a 2＋b 2.由渐近线斜率得b a ＝23，或a b ＝23，故由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝23，a 2＋b 2＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝23，a 2＋b 2＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，b 2＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝9.∴所求双曲线方程为x 29－y 24＝1，或y 24－x 29＝1.(3)由(2)所设方程可得： ⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝23，2a ＝6.或⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝23，2a ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝92.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1，或y 29－4x 281＝1.知识点五 求双曲线的离心率(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________；(2)设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．解析 (1)当焦点在x 轴上时，其渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意，b a ＝34，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b2a2＝1＋916＝2516， ∴e ＝54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±abx ，依题意a b ＝34，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋169＝259，∴e ＝53.(2)直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，即ab ＝34c 2.两边平方得16a 2b 2＝3c 4，∴16a 2(c 2－a 2)＝3c 4. 即3c 4－16a 2c 2＋16a 4＝0，∴3e 4－16e 2＋16＝0.解得e 2＝4，或e 2＝43，∵b >a >0，∴b2a 2>1，∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2>2，故e 2＝4，∴e ＝2.答案 (1)53或54(2)2知识点六 直线与双曲线直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]．∵|AB |＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16.∴3m 2＝70，m ＝±2103.∴直线l 在y 轴上的截距为±2103.考题赏析1．(全国Ⅱ高考)设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)解析 ∵双曲线方程为x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1，∴c ＝2a 2＋2a ＋1.∴e ＝c a ＝2＋1a 2＋2a＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12＋1. 又∵a >1，∴0<1a <1.∴1<1a ＋1<2.∴1<⎝⎛⎭⎫1＋1a 2<4.∴2<e < 5. 答案 B2．(重庆高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝kx (k >0)，离心率e ＝5k ，则双曲线方程为( )A.x 2a 2－y 24a 2＝1B.x 2a 2－y 25a 2＝1 C.x 24b 2－y 2b 2＝1 D.x 25b 2－y 2b2＝1 解析 双曲线的渐近线方程可表示为y ＝±b a x ，由已知可得k ＝ba.又离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5k ，所以k ＝12.即b a ＝12，故a ＝2b . 答案 C3．(湖北高考)如图所示，在以点O 圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB=30°.曲线C 是满足||MA| -|MB||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； (2)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F.若△OEF 的面积不小于22，求直线l 斜率的取值范围．解 (1)方法一 以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系， 则A(-2,0)，B(2,0)，P(3,1)， 依题意得||MA|-|MB||=|PA |-=<|AB|=4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c=2,2a=22，∴a 2=2，b 2= c 2- a 2=2.∴曲线C 的方程为22122x y -=.方法二 同方法一建立平面直角坐标系，则依题意可得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线．设双曲线的方程为22221x y a b-= (a>0，b>0)，则由222211,4,ba b -=⎪+=⎩解得a 2= b 2= 2，∴曲线C 的方程为22122x y -= (2)方法一 依题意，可设直线l 的方程为y=kx+2，代入双曲线C 的方程并整理得(1-k 2)x 2-4kx -6=0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4×6(1－k 2)>0，⇔⎩⎨⎧k ≠±1，－3<k < 3.∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－61－k 2， 于是|EF |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·223－k 2|1－k 2|.而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2，∴S △OEF ＝12d ·|EF |＝12·21＋k 2·1＋k 2·223－k 2|1－k 2|＝223－k 2|1－k 2|.若△OEF 的面积不小于22，即S △OEF ≥22， 则有223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0， 解得－2≤k ≤ 2.③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．方法二 依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入双曲线C 的方程并整理， 得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4×6(1－k 2)>0，⇔⎩⎨⎧k ≠±1，－3<k < 3.∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝Δ|1－k 2|＝223－k 2|1－k 2|，③当E ，F 在同一支上时(如图(1)所示)，S △OEF ＝|S △ODF －S △ODE |＝12|OD |·(||x 1|－|x 2||)＝12|OD |·|x 1－x 2|；当E ，F 在不同支上时(如图(2)所示)，S △OEF ＝S △ODF ＋S △ODE ＝12|OD |·(|x 1|＋|x 2|)＝12|OD |·|x 1－x 2|. 综上得S △OEF ＝12|OD |·|x 1－x 2|.于是由|OD |＝2及③式，得S △OEF ＝223－k 2|1－k 2|.若△OEF 面积不小于22，即S △OEF ≥22，则有 223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0，解得－2≤k ≤ 2.④ 综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2].1．实轴长为45且过点A (2，－5)的双曲线的标准方程是( ) A.x 220－y 216＝1 B.y 220－x 216＝1 C.x 216－y 220＝1 D.y 216－x 220＝1 答案 B解析 由题意知2a ＝45，a 2＝20，若双曲线焦点在x 轴上，则可设方程为x 220－y 2b2＝1，代入点A (2，－5)，得：420－25b 2＝1，即－25b 2＝1620，矛盾．因此设双曲线的方程为－x 2b 2＋y 220＝1.代入A (2，－5)，得：4b 2＝－1＋2520＝14，∴b 2＝16.故选B.2．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．2 2 答案 A解析 因两条渐近线互相垂直．所以两渐近直线的倾斜角为π4、34π.渐近线的方程为y ＝±x ，∴ba＝1，即a ＝b ， c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴e ＝2aa＝ 2.3．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24 答案 D解析 由题意知双曲线的焦点为(0，±43)，即c 2＝48，又因一条渐近线方程为y ＝x .所以ab＝1.即a ＝b ，∴48＝2a 2，a 2＝b 2＝24.故选D.4．F 1、F 2为双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 方程变形为y 2－x 24＝1， 由题意⎩⎨⎧||PF 1|－|PF 2||＝2 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2 ②由①式两边平方得：20－2|PF 1||PF 2|＝4， ∴|PF 1||PF 2|＝8，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8＝4.5．若方程x 2|k |－2＋y25－k＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ．k <－2，或2<k <5B ．－2<k <5C ．k <－2，或k >5D ．－2<k <2，或k >5 答案 D解析 由题意知：(|k |－2)(5－k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧|k |－2>0，5－k <0，或⎩⎪⎨⎪⎧|k |－2<0.5－k >0.解得：k >5，或－2<k <2.故选D. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为____________．答案 x 24－34y 2＝1解析 双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x ＋3y ＝0，∴1＝a 1＋3＝a2，∴a ＝2.又b a ＝33，∴b ＝233， ∴双曲线方程为x 24－34y 2＝1.7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________．答案 x 24－y 212＝1解析 由题意知双曲线仅与x 轴有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0，即x 2－6x ＋8＝0， ∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.∴x 24－y 212＝1.8．如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42.设动圆M 的半径为R ，则有 |MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3. ∴M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.则有b 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)．9．椭圆x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线x2n2－y 2＝1(n >0)有公共焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解 根据椭圆与双曲线焦点都在x 轴上，不妨设P 在第一象限，F 1是左焦点，F 2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，可解得|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m 2＋n 2)．又∵两者有公共焦点，设半焦距为c .则m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，∴m 2＋n 2＝2c 2. ∴|F 1F 2|2＝4c 2＝2(m 2＋n 2)，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴∠F 1PF 2＝90°. 又∵m 2－1＝n 2＋1＝c 2，∴m 2－n 2＝2.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝18[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝12(m 2－n 2)＝1.所以△F 1PF 2的面积为1.10．已知双曲线x 2－y 2＝a 2及其上一点P ，求证： (1)离心率e ＝2，渐近线方程y ＝±x ；(2)P 到它两个焦点的距离的积等于P 到双曲线中心距离的平方； (3)过P 作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值． 证明 (1)由已知得c ＝a 2＋a 2＝2a ， ∴e ＝2，渐近线方程y ＝±x .(2)设P (x 0，y 0)，则x 20－y 20＝a 2， 又F 1(－2a,0)、F 2(2a,0)，∴|PF 1||PF 2|＝(x 0＋2a )2＋y 20·(x 0－2a )2＋y 2＝2x 20＋a 2＋22ax 0·2x 20＋a 2－22ax 0 ＝|2x 0＋a ||2x 0－a |＝|2x 20－a 2|＝|x 20＋y 20|＝|PO |2.∴P 到它两个焦点的距离的积等于P 到双曲线中心距离的平方． (3)设垂足分别为Q 、R ，则由点到直线距离公式知|PQ |＝|x 0－y 0|2，|PR |＝|x 0＋y 0|2，∴S PQOR ＝|PQ ||PR |＝12|x 20－y 20|＝12a 2.∴该矩形的面积为定值.讲练学案部分2．3.1 双曲线及其标准方程.对点讲练知识点一 双曲线定义的应用如图所示，在△ABC 中，已知|AB|=42，且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A( 22,0)、, 0 )． 由正弦定理得sinA =2a R ，sinB =2b R ，sinC =2c R.∵2sinA+sinC=2sinB ，∴2a+c=2b ，即b -a=2c .从而有|CA| - |CB|=21|AB|=由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵b 2= c 2- a 2= 6.所以顶点C 的轨迹方程为221,26x y -= (． 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF 1|-|PF 2||=2a ，而|PF1|-|PF2|=2a 表示一支．P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝9，求|PF 2|的值．解 在双曲线x 216－y 220＝1中，a ＝4，b ＝2 5.故c ＝6.由P 是双曲线上一点， 得||PF 1|－|PF 2||＝8. ∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|≥c －a ＝2，得|PF 2|＝17.知识点二 求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5，且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，且过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(3)与双曲线x 216－y 24＝1有相同焦点，且经过点(32，2)．解 (1)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1，∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝12569m ＋25n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16n ＝9，∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为：x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为： x 216－λ－y 24＋λ＝1 (其中－4<λ<16)． ∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【反思感悟】 用待定系数法求双曲线的标准方程，首先要定型，即确定双曲线的类型，看焦点位置(如果焦点位置不确定，要分类讨论或设一般式Ax 2＋By 2＝1其中AB <0)设出标准形式，再定量．即确定方程中的参数的值．已知双曲线过P 1⎝⎛⎭⎫－2，325和P 2⎝⎛⎭⎫437，4两点，求双曲线的标准方程． 解 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)，因P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎨⎧4m ＋454n ＝1169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19.∴所求双曲线方程为－x 216＋y29＝1，即y 29－x216＝1. 知识点三 双曲线的实际应用一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸，在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒，已知A 在B 的正东方、相距6千米，P 为爆炸地点，(该信号的传播速度为每秒1千米)求A 、P 两地的距离．解 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则A (3,0)、B (－3,0) ∵|PB |－|P A |＝4×1<6 ∴a ＝2，b ＝5，c ＝3∴P 是双曲线x 24－y 25＝1右支上的一点∵P 在A 的东偏北60°方向， ∴k AP ＝tan60°＝ 3.∴线段AP所在的直线方程为y ＝3(x －3)解方程组)221,453,0,0,x y y x x y ⎧-=⎪⎪⎪=-⎨⎪>⎪>⎪⎩ 得8,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即P 点的坐标为∴A 、P 两地的距离为千米)．【反思感悟】 解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为x 轴，以两定点为端点的线段的中点为坐标原点；然后根据双曲线的定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题．已知A 、B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解如图所示，建立直角坐标系xOy ，使A ，B 两点在x 轴上，并且坐标原点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点P 的坐标为(x ，y)， 则|PA|-|PB|=340×2=680， 即2a=680，a=340.又|AB|=800，所以2c=800，c=400， b 2=c 2-a 2=44 400.因为|PA|-|PB|=340×2=680>0，所以x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为22=1115600444400x y - （x>0.）. 课堂小结：1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为常数2a （0<2a<|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线，两定点F 1，F 2叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫双曲线的焦距.2.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是22221x y a b-=（a>0,b>0），其焦点为 F 1（-c ，0），F 2（c ，0）.3.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221x y a b-=（a>0,b>0），其焦点为F 1（0，-c ），F 2（0,c ）.4.c 2=a 2+b 2，焦距| F 1F 2 |=2c.课时作业一、选择题1．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 答案 B解析 原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双线，故选B.2．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆 答案 C解析 由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．3．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由一个焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k＝9，所以k ＝－1，故选B.4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y22＝1 答案 B解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.5．双曲线x2n －y 2＝1(n >1)的左、右两焦点分别为F 1、F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A.12B ．1C ．2D ．4 答案 B解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ， 由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以∠F 1PF 2＝90°.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.二、填空题6．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．答案 33解析 在双曲线x 264－y 236＝1中，a ＝8，b ＝6，故c ＝10.由P 是双曲线上一点，得||PF 1|－|PF 2||＝16.因为|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝33.又|PF 2|≥c －a ＝2，得|PF 2|＝33.7.x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，则实数t 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 t >4或t <1解析 由题意知：(4－t )(t －1)<0，即(t －4)(t －1)>0， ∴t >4或t <1.8．F 1、F 2是双曲线y 29－x 216＝1的两个焦点，M 是双曲线上一点，且|MF 1|·|MF 2|＝32，求△F 1MF 2的面积为________________________________________________________________________．答案 16解析 由题意可得双曲线的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0,5)， 由双曲线定义得：||MF 1|－|MF 2||＝6，联立|MF 1|·|MF 2|＝32得|MF 1|2＋|MF 2|2＝100＝|F 1F 2|2，所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S ＝12|MF 1|·|MF 2|＝16.三、解答题9．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′＝14 m ，CC ′＝18 m ，BB ′＝22 m ，塔高20 m ．建立坐标系并写出该双曲线方程．解 (1)如图建立直角坐标系xOy ，以AA ′为x 轴，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴．设双曲线方程为22221x y a b-=(a>0，b>0)，则a=21，AA ′=7.又设B(11，y 1)，C(9，y2)， 因为点B 、C 在双曲线上，所以有2212291,7y b-=①9272－y 22b2＝1，② 由题意知y 2－y 1＝20.③由①、②、③得y 1＝－12，y 2＝8，b ＝7 2.故双曲线方程为x 249－y 298＝1.10．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.② 由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求方程为x 22－y 25＝1.2．3.2 双曲线的简单几何性质对点讲练知识点一 由方程研究几何性质求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4， 虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5， 焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .【反思感悟】 求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1 (或y 2a 2－x 2b 2＝1)，再根据它确定a ，b 的值，进而求出c .求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．解 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6， 虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x .作草图：知识点二 由几何性质求方程求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程．解 设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．因为点A (23，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝1216－99＝－14，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14，即y 294－x 24＝1.【反思感悟】 本题解法有两种，一是按焦点位置分类讨论，二是设共渐近线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．已知双曲线的两条渐近线方程为3x ±y ＝0，且焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．解 因为双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，所以可设双曲线方程为3x 2－y 2＝3λ(λ≠0)，当λ>0时，方程为x 2λ－y 23λ＝1，所以a 2＝λ，b 2＝3λ，c ＝2λ.焦点(±2λ，0)到3x ±y ＝0的距离是|±23λ|2＝3，解得λ＝3，所以双曲线方程为x 23－y 29＝1.当λ<0时，方程为y 2－3λ－x 2－λ＝1，a 2＝－3λ，b 2＝－λ，c ＝2－λ，焦点(0，±2－λ)到3x ±y ＝0的距离是|±2－λ|2＝3，解得λ＝－9.所以双曲线方程为y 227－x 29＝1.知识点三 求离心率或离心率的取值范围双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1，0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解 直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2，s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2， 即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.∵e >1，∴e 的取值范围是52≤e ≤ 5. 【反思感悟】 求双曲线离心率的常见方法：一是依条件求出a 、c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件提供的信息建立参数a 、b 、c 的等式，进而转化为离心率e 的方程，再解出e 的值．已知双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为________．答案 62解析 由题意知cb＝tan60°＝3，即c ＝3b ＝3(c 2－a 2).所以有1＝3(1－1e2)，解之得：e ＝62.课堂小结：1.双曲线22221,x y a b-= (a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(±a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a.2.双曲线的离心率e = ac 的取值范围是(1,+∞),其中c 2=a 2+b 2,且a b离心率e 越大,双曲线的开口越大.3.双曲线22221,x y a b-= (a>0,b>0)的渐近线方程为y=±a b x,也可记为22220,x y a b -=;与双曲线22221,x y a b -=具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为2222,x y a b λ-= (λ≠0).课时作业一、选择题1．顶点为A 1(0，－25)，A 2(0,25)，焦距为12的双曲线的标准方程是( ) A.x 220－y 216＝1 B.y 220－x 216＝1 C.x 216－y 220＝1 D.y 220－x 2124＝1 答案 B解析 顶点在y 轴上，a ＝25，c ＝6，得b ＝4.∴标准方程为y 220－x 216＝1.2．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率是( ) A.53 B.43 C.5＋12 D.6＋12答案 C解析 由2a ·2c ＝(2b )2及b 2＝c 2－a 2， 得c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由e >1得，e ＝1＋52.3．经过点M (3，－1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( ) A ．y 2－x 2＝8 B ．x 2－y 2＝±8 C ．x 2－y 2＝4 D ．x 2－y 2＝8 答案 D解析 设双曲线方程为x 2－y 2＝k ，将M 点坐标代入得k ＝8.所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53 C ．2 D.73 答案 B解析 ||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.二、填空题5．双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线的夹角为________． 答案 90°解析 两条渐近线方程为y ＝±x ，它们相互垂直，故夹角为90°.6．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的虚轴长为________． 答案 4解析 以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点(c,0)与渐近线y ＝b a x 为例，得bca 2＋b2＝2，故b ＝2，虚轴长为2b ＝4.7．双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，则双曲线的离心率e ＝________.答案 54或53解析 若焦点在x 轴上，则b a ＝34，e ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝54； 若焦点在y 轴上，则b a ＝43，e ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53. 8．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．答案 163解析 由双曲线的对称性，不妨设顶点、焦点坐标分别为(3,0)，(5,0)，由题意知圆心的横坐标为3＋52＝4.代入双曲线方程，得圆心纵坐标y ＝±437，圆心到点(0,0)的距离d ＝ 42＋16×79＝ 16×9＋16×79＝ 16×169＝163.三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6， 所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.10．设双曲线y 2a 2－x23＝1的焦点分别为F 1、F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1、l 2的方程；(2)设A 、B 分别为l 1、l 2上的动点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)已知双曲线离心率e ＝a 2＋3a＝2，解得a 2＝1，所以双曲线方程为y 2－x23＝1，渐近线方程为x ±3y ＝0.(2)因为|F 1F 2|＝4,2|AB |＝5|F 1F 2|，所以|AB |＝10. 又因为A 、B 分别为l 1、l 2上的动点， 设A (3y 1，y 1)，B (－3y 2，y 2)，所以|AB |＝3(y 1＋y 2)2＋(y 1－y 2)2＝10.① 设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝3(y 1－y 2)2，y ＝y 1＋y 22.所以y 1－y 2＝23x ，y 1＋y 2＝2y ，代入①得12y 2＋43x 2＝100，即x 275＋3y 225＝1为中点M 的轨迹方程． 中点M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．§2.3 习题课.对点讲练知识点一 直线与双曲线的位置关系已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4y ＝k (x －1)消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0(*) (1)当1－k 2＝0，即k ＝±1，直线l 与双曲线渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)①⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＞01－k 2≠0即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝01－k 2≠0即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点．③⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜01－k 2≠0即k ＜－233或k ＞233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，当－233＜k ＜－1或－1＜k ＜1或1＜k ＜233时，直线与双曲线有两个公共点．当k ＝±1或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点．当k ＜－233或k ＞233时，直线与双曲线没有公共点．【反思感悟】 讨论直线和双曲线的公共点的个数问题，常常归结为讨论含参数的一元二次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题，但要注意转化的等价性．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 右焦点坐标为(3，0)，把x ＝3代入双曲线方程得：y ＝±2，即当直线过右焦点．垂直于x 轴时，l 与双曲线交的弦长|AB |＝4，当l 与x 轴重合时，|AB |＝2.由数形结合知，还存在两条直线，使得|AB |＝4，故选C.知识点二 双曲线的实际应用如图，某村在P 处有一堆肥料，今要把这堆肥料沿道路PA ，PB 送到大田ABCD 中去，已知PA=100 m ，PB=150 m ，BC=60 m ，∠APB=60°，试在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送肥较近，而另一侧的点沿PB 送肥较近，请说明这一界线是一条什么曲线？试求出其方程．解 大田中的点可分为三类，第一类沿PA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|， 即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值)．所以界线是以A 、B 为焦点的双曲线右支的一部分．以AB 所在直线为x 轴，以AB 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则所求双曲线方程的标准形式为22221,x y a b-=∵a=25，=507， ∴c=257，b 2=3 750，注意到点C 的坐标为(257,60)，故界线的曲线方程为：2216253750x y -=(25≤x ≤35)． 【反思感悟】 本题由题意能获得所求分界线是以A 、B 为焦点的双曲线，但由于|MA|>|MB|故为右支．由于没有坐标系因此需建系，并确定方程的形式，应用待定系数法解方程，此题极易忽略x 和y 的取值范围，因此在实际问题中，要注意由问题的实际意义确定变量范围．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4 s ．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m ．试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340 m/s ；相关各点均在同一平面上)解如图所示，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系．设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点．则A(-1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)．设P(x ，y)为巨响发生点，由A 、C 同时听到巨响声， 得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上． PO 的方程为y=-x.因B 点比A 点晚4 s 听到爆炸声，故|PB|-|PA|=1 360.∴P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221,x y a b -=上，依题意a=680，c=1 020，∴b 2=c 2-a 2=5×3402.故双曲线方程为222216805340x y -=⨯， 用y=-x 代入上式，得x=±6805.∵|PB|>|PA|，∴x=-6805，y=6805，即P(-6805，6805)． 故|PO|=68010 (m)．∴该巨响发生的位置离中心的距离为68010 m. 课堂小结：1.双曲线的定义在解题中有广泛的应用，常用于解决有关双曲线上的点与两焦点间关系的习题.2.双曲线标准方程中“标准”的含义有两层：其一是两个焦点在坐标轴上，其二是两个焦点的中点与坐标原点重合.3.一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程2222,x y a bλ-= (λ≠0).求双曲线方程较为方便.然后根据题设中的另一条件确定参数λ的值.4.直线和双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种，可通过根的判别式来判定，需要注意的是当直线与双曲线只有一个交点时，除直线和双曲线相切外，还有一种情况，那就是直线与双曲线的渐近线平行，这也是极易忽视的地方.课时作业一、选择题1．θ是第三象限角，方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 答案 D解析 方程可化为x 2cos θ＋y 21tan θ＝1，∵θ是第三象限角，∴cos θ<0，1tan θ>0，故选D.2．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23B ．1C ．2D ．4 答案 D解析 NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋b －c 答案 A解析 如图所示，△PF 1F 2的内切圆与各边的切点分别为A 、B 、C ， 所以|P A |＝|PB |，|F 1A |＝|F 1C |，|F 2C |＝|F 2B |. |PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2B |＝|F 1C |－|F 2C |，又|PF 1|-|PF 2|=2a ， 所以|F 1C|-|F 2C|=2a. |F 1C|+|F 2C|=2c ， 所以|F 1C|=a+c ，即C 点是双曲线右顶点(a,0)． 所以这个内切圆的圆心横坐标为a.4．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是图中的( )答案 C解析 方程可化为y=ax+b 和x 2a ＋y 2b＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，+∞)，但B 中直线中a<0，b<0矛盾，应排除；D 中直线中a<0，b>0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a<0，b>0，但直线中a>0，b>0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a>0，b<0和直线中a ，b 一致．应选C.二、填空题5．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．答案 a －m解析 利用定义求解．由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝±2m ，①，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，②②2－①2得4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4m ，所以|MF 1|·|MF 2|＝a －m . 6．已知双曲线定义中的常数为2a ，线段AB 为双曲线右支上过焦点F 2的弦，且|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为________．答案 4a ＋2m 解析 因为点A ，B 在双曲线的右支上，所以|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a .所以(|AF 1|＋|BF 1|)－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a .所以|AF 1|＋|BF 1|＝4a ＋m .所以△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .7．双曲线实轴长与虚轴长的和为2，则焦距的最小值为________． 答案 2解析 由题意得a ＋b ＝1，c ＝a 2＋b 2≥2·a ＋b 2＝22(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以2c ≥ 2.三、解答题8．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线与双曲线的交点为A ，B ，求线段AB 的长．解 双曲线焦点坐标为F 1(－2,0)、F 2(2,0)，直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，把该直线方程代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138.|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋13×(12)2－4×(－138)＝3.∴线段AB 的长为3.9．设点P 到点M (－1,0)，N (1,0)的距离之差为2m ，到x 轴、y 轴的距离之比为2∶1，求m 的取值范围．解 设P 点坐标为(x ，y )，依题意有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)①因此点P ，M ，N 三点不共线， ∴||PM |－|PN ||<|MN |＝2.∵||PM |－|PN ||＝2|m |>0，∴0<|m |<1.故点P 在以M ，N 为焦点的双曲线x 2m 2－y 21－m 2＝1②上．由①，②解得x 2＝m 2(1－m 2)1－5m 2.∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0,0<|m |<55.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎫0，55.10．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过原点．解 将y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1可得 (3－a 2)x 2－2ax －2＝0Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2 Δ>0，则a 2<6设A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)则。

2.3 双曲线2.3.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2＋b21．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线D [由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线NP ．] 2．双曲线y 23－x 2＝1的焦点坐标是( )A ．(±2，0)B ．(0，±2)C ．(0，±2)D ．(±2,0)C [根据题意，双曲线的方程为y 23－x 2＝1，其焦点在y 轴上，且c ＝3＋1＝2；则其焦点坐标为(0，±2)．]3．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2C [双曲线x 2k －y 23＝1的焦点坐标为(±3＋k ，0)，椭圆的焦点坐标为(±9－k 2，0)，由椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，可得3＋k ＝9－k 2，因为k >0，所以解得k ＝2．]4．与双曲线x 28－y 210＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．x 26－y 212＝1 [与x 28－y 210＝1具有相同焦点的双曲线方程为x 28＋k －y 210－k＝1(－8＜k ＜10)．]双曲线的定义及应用【例1】 已知F 1，F 2是双曲线x 9－y 16＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． 思路探究：(1)直接利用定义求解． (2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|．[解] (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6．解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22．(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， ∴102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163．PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2求得面积.(2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积.[跟进训练]1．(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4A [|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A ．](2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．9 [由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝(4－1)2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|P A |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|P A |的最小值为9．]求双曲线的标准方程【例(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． 思路探究：(1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9．故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1． (2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20．① ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b 2＝1．②由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1． 法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0． ∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1．1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解．[跟进训练]2．求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程．[解] 由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)， F 2(0,3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程， 得25a 2－16b 2＝1． 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1．与双曲线有关的轨迹问题[1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？ [提示] 一支．2．求以两定点F 1，F 2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？[提示] 以直线F 1F 2和线段F 1F 2的垂直平分线分别为x 轴和y 轴建系．【例3】 如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．思路探究：[解] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |． 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )，∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6． 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程.(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴. ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.[跟进训练]3．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1． 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4． 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|．∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914．∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．1．已知双曲线的一个焦点F 1(0,5)，且过点(0,4)，则该双曲线的标准方程为 ( )A ．x 29－y 216＝1B ．y 216－x 29＝1C ．x 29－y 225＝1D ．y 225－x 29＝1B [由已知得，c ＝5，a ＝4，所以b ＝3．所以双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．]2．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2A [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2，选择A ．]3．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________．16 [由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16．]4．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程．[解] 因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1．。