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§2充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.“|x|=|y|”是“x=y”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知p:|x+1|≤4，q:x2＜5x－6,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A.m∥l1且n∥l2B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且l1∥α4.设集合A={x∈R|x-2＞0},B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x(x-2)＞0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列各小题中，p是q的充要条件的是()（1）p:m＜－2或m＞6，q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点；（2）p:f(－x)f(x)=1，q:y=f(x)是偶函数；（3）p:cosα=cosβ，q:tanα=tanβ；（4）p:A∩B=A，q:∁U B⊆∁U A.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)6.已知p：x2−x<0，那么p的一个必要不充分条件是（）A.B.−1<x<1C.D.7.已知集合A={x∈R|12<2x<8},−1<x<m+1}.若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A.m≥2B.m≤2C.m>28.“函数y=(a−1)x+b在区间（−∞,+∞）上是减函数”是“函数y=a x−1（a>0且a≠1）在区间（−∞,+∞）上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）9.对于函数，的像关于y轴对称”是“是奇数”的_条件.10.下列四个式子：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a.其中能使1a <1b成立的充分条件有 .（只填序号）11.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p 是t的条件,r是t的条件.三、解答题（本题共5小题，共45分）12.（本小题满分8分）已知a,b是实数，求证：a4−b4−2b2=1成立的充分条件是a2−b2=1.该条件是不是必要条件？试证明你的结论．13.（本小题满分8分）证明：0<a≤15是函数f(x)= ax2+2(a−1)x+2在区间（- ，4]上为减函数的充分不必要条件. 14.（本小题满分9分）求证：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+ b=−(c+d).15.（本小题满分9分）已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−3a−1<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}.（1）当a=12时，求（∁U B）∩A；（2）命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．16.（本小题满分11分）已知p:|1－x－1|≤2,q:x2－32x+1－m2≤0(m＞0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.§2充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）答题纸得分：______ 一、选择题二、填空题9.__________10.＿＿＿＿＿＿11._____________三、解答题12.解：13.解：14.解：15.解：16.解：§2充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）参考答案一、选择题1.B解析：若x=y，显然有|x|=|y|成立；反之，若|x|=|y|，则x=y或x=－y.2.B解析：由|x+1|≤4⟹－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由x2＜5x－6⟹x2－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.3.A解析：当m∥l1且n∥l2时，由面面平行的判定定理，知α∥β.但当α∥β时，未必有m∥l1且n∥l2.4.C解析：A={x|x-2＞0}={x|x＞2}=(2,+∞)，B={x|x＜0}=(-∞,0),∴A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞).∵C={x|x(x-2)＞0}={x|x＜0或x＞2}=(−∞,0)∪(2,+∞),∴A∪B=C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5.D解析：（2）由f(－x)f(x)=1可得f(－x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）cosα=cosβ是tan α=tanβ的既不充分也不必要条件.6.B解析：由x2−x<0得0<x<1.设p的一个必要不充分条件为q，则p⇒q,但q⇏p,故选B.7.C解析：A={x∈R|12<2x<8}={x|−1<x<3},因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AÜB，所以3<m+1，即m>2.8.B解析：函数y=(a−1)x+b在区间（−∞,+∞）上是减函数的充要条件是a<1，函数y=a x−1（a> 0且a≠1）在区间（−∞,+∞）上是减函数的充要条件是0<a<1，从而易知选B.二、填空题9.必要不充分解析：若是奇数，则的图像关于y轴对称.但当是偶数时，的图像也关于y轴对称.所以“的图像关于y轴对称”是“是奇数”的必要不充分条件.10.①②④解析：当a<0<b时，1a <0<1b；当b<a<0，1a<1b<0；当b<0<a时，1b <0<1a；当0<b<a时，0<1a<1b.所以使1a<1b成立的充分条件有①②④.11.充分充要解析：由题意可画出图形，如图所示.由图形可以看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.三、解答题12.解：是必要条件.证明如下：因为a2−b2=1，所以a4−b4−2b2=(a2−b2)(a2+b2)−2b2=(a2+b2)−2b2=a2−b2= 1.即a4−b4−2b2=1成立的充分条件是a2−b2=1.另一方面，若a4−b4−2b2=1，即为a4−(b4+2b2+1)=0，,(a2−b2−1)(a2+b2+1)=0.又a2+b2+1≠0,所以a2−b2−1=0，即a2−b2=1.因此a2−b2=1是a4−b4−2b2=1成立的充要条件．从而结论成立.13.解：当a=0时，函数f(x)为一次函数，f(x)=−2x+2是减函数，因此不是必要条件.当a <0时，二次函数f(x)的图像开口向下，而已知函数f (x )=ax 2+2(a −1)x +2在区间（-∞，4]上为减函数，这是不可能的.当a >0时，二次函数f (x )的图像开口向上，数形结合可知，只需满足对称轴x =1−a a=1a−1≥4,解得a ≤15.所以0<a ≤15.综上所述，0<a ≤15是函数f (x )在区间（-∞，4]上为减函数的充分不必要条件.14.证明：充分性：因为a +b =−(c +d )，所以a +b +c +d =0.所以a ×13+b ×12+c ×1+d =0成立， 故x =1是方程ax 3+bx 2+cx +d =0的一个根．必要性：关于x 的方程ax 3+bx 2+cx +d =0有一个根为1，所以a +b +c +d =0， 所以a +b =−(c +d )成立．15.解：（1）当a =12时，A ={x|2<x <52}，B ={x|12<x <94}.所以∁U B ={x|x ≤12或x ≥94}，所以(∁U B )∩A ={x|94≤x <52}．（2）若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B .由a 2+2>a ，得B ={x |a <x <a 2+2}.当3a +1>2，即a >13时，A ={x |2<x <3a +1}，所以{a 2+2≥3a +1，a ≤2，解得13<a ≤3−√52；当3a +1=2，即a =13时，A =∅，符合题意；当3a +1<2，即a <13时，A ={x |3a +1<x <2}， 所以{a ≤3a +1，a 2+2≥2，解得−12≤a <13.综上，a ∈[−12,3−√52]．16..解：由p :|1－x －13|≤2⟹－2≤x ≤10,由q 可得(x －1)2≤m 2(m ＞0),所以1－m ≤x ≤1+m .所以¬p :x ＞10或x ＜－2，¬q :x ＞1+m 或x ＜1－m .因为¬p 是¬q 的必要不充分条件,所以¬q ⟹¬p ，¬p ⇏¬q ,故只需满足{1+m ≥10,1－m ＜－2或{1+m ＞10,1−m ≤−2,所以m ≥9.。
