华师版二次根式的加减

(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式.
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
2 , 75 , 1 , 1 , 3 , 2 8ab3 ,6b a ,3 2
50 27 3
2b
例1,计算 : (1) 50 32,
(2) 27 2 3 45
例2:计算:3 2 32 2 3 3
（1）、分母不能含有二次根式 如：2 ()
3
（2）、被开方数不能含有小数或分数
如：1或 0.2() 2
（3）、分子分母不能约分 如：a 2 ()
2a
（4）、二次根式不是最简二次根式
如：12 () 2
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两
列火车共运多少？2__x__+__3,问这两
列火车共运多少？_(__2_x___+__3_y__)_吨__
以下问题你能用同样的方法计算吗？
(1)3 3 2 3
(2)3 a 2 a
3 32 2
2
4 8 18 4 2
(1)3 3 2 3 (2)3 a 2 a
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴

2 x 1 4 9 x 6 2 x 3 4 x
练习: 计算：
(1) 24 1 2 2 2 3 1 8 6, 1 8 75)
( 2)( 32
0.5 2
1 )( 3
1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?
3.如何合并同类二次根式? 合并同类二次根式与合并同类项类似.
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
例1, 计算 : (1) 50 32 ,
(2) 27 2 3 45
例2 : 计算: 3 2 3 2 2 3 3
练习
2
与 3 )不能合并
1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3 5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 4 9 2 3 5 2
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 3. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
ห้องสมุดไป่ตู้
a 1, a 1
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
27
4.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
练习
5.计算:
15
2 8 7 18
4 2 8 2
1
2
1 3. 3( 12 ) 27
/ 哈夫节 泊头哈夫节
退下,看本将来取卢俊义性命/"罗成见薛万彻枪法紊乱,壹枪比壹枪沉

1 1 12 1 3 3
解：原式=
3 43 2 3 2 2 3 3
2
1 2 2 3 3 3 3 3
3 1.73
1 2 (2 ) 3 3 3
例2、计算
(1). 27 3 6 2
解：（1）原式 3 3 3 12
3 3 6 3 3 3
解： 化简
2ab2 b3 6b2
b 2 (2a b 6)
2ab2 b3 6b2
b 2a b 6
则
3a b
4a 3b 与 b 2a b 6
a=1
是同类二次根式。 3a－ b = 2
4a＋ 3b = 2a － b＋ 6
b=1
例6. 已知 4 x 2 y 2 4 x 6 y 10 0 2 2 1 x y 2 求 x 9x y x 5 x 。 3 3 y x x 2 2 解： 4x y 4x 6 y 10 0 1 y 3 当 x ,时， 2 （4x2 4x 1） （y2 6 y 9） 0
原ห้องสมุดไป่ตู้ 6 4 2 3 2 4 2 2
(2) (2 2 3 3)(3 3 2 2)
原式 （2 2） （3 3） 8 27 19
2 2
(3) (2 3 3 2)
2
2
2
原式 （2 3） 2 2 3 3 2 （3 2） 12 12 6 18 30 12 6
1、下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
3 2 5
（不正确） （不正确） （不正确） （正确）
⑵
a b a b

2
4
解：原式=4 2 3 2 2 化简 2
=
4
3 2
1
2
9 2 2
别漏了“1”.
例3 计算：
(1)( 2 1)( 2 1)； (2)( 2 1)2
解 (1)( 2 1)( 2 1) (2)( 2 1)2
( 2)2 12
( 2)2 2 2 1+12
21 1
32 2
第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减
华东师大版九年级上册
• 学习目标： 1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二 次根式，会合并同类二次根式. 2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.
• 学习重点： 二次根式加减法的运算.
• 学习难点： 探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确 进行二次根式加减法的运算.
复习导入
计算下列各式：
（1）2x+3x =5x
（2）2x2-3x2+5x2 =4x2
（3）x+2x+3y =3x+3y （4）3a2-2a2+a3 =a2+a3
问题：1.什么是同类项？ 2.同类项怎样合并？
试一试
推进新课
计算： (1)3 3 2 3； 3
(2)3 a 2 a 4 a. 5 a
3 22 2 33 3
22 3
思考 计算： 8 18 12.
分析
先将各二次根式这化里简三：个“加数”中 8 4 2 4有同2类二2次2根，式吗？
18 __9___2____9____2___3___2__，
12 __4__3_____4____3___2___3__ .
解 8 18 12
课后作业
1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题.

思考： 1.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母如何
表示？你能类比法则完成上面的运算吗？ 2.乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字母如何
表示？你能类比公式完成上面的运算吗？
针对性训练3 ： 计算
(1) ( 2 6)( 6 2)
(2) (2 5 2)2
（3）(2 2 3 3)(3 3 2 2)
2.x2 y2
例题 1： (1)( 3 2 1)( 3 2 1) (2)(2 5 3)2 (2 5 3)2 (3)(3 10)2005 (3 10)2005
方法探究： (2 3)2005 (2 3)2005
巩固应用：
(2 5)2005 (2 5)2006
知识点3：拓展应用
（1）选择：下列计算正确的（ C ）
A 102 82 102 82 10 8 2
B 2 3 2 2 3 2 4 32 2
C 3a b 3a b 3a2 b2
2
D 5 6 5 6 11
练习：
(1) 12 0.5 18 1 3
(2)(3 1 147) (9 1算
3 27 12
3
(4)( a3b 3ab ab3 ) ab
小结：1、二次根式的运算顺序与整式运算的运算 顺与类似，都是先高级运算后低级运算；
2、整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然 适应.
学中引 计算下列各题： （1） 5 6 5 2 2 3 （2） 2 3 3 2 2 3 3 2 (2) (2 5 2)2
（4）(2 2)(3 2 2)
拓展提升：
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解：原式
3
2
2 3
2 3
2 3

8 18 dm
新课讲解
8 18
(2 3) 2 5 2.
18 3 2 5, 8 18 5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个面积分别是8dm2和18dm2 的正方形木板．
新课讲解
（1）化为最简二次根式； （2）系数相加减； （3）二次根式不变.
新课讲解
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类 二次根式合并.
2
= 2 12
=2 1
=1.
2
(2) 2 1
2 2 1
2
= 2 2 2 1 12
= 3- 2 2.
新课讲解
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然 适用.
完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2; （a-b）2=a2-2ab+b2.
50 27 3
2b
2与
1 是同类二次根式; 50
75、3与
1 是同类二次根式; 27
2 8ab3与6b a 是同类二次根式.
3
2b
新课讲解
2 二次根式的加减
问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方 式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方 形木板？
8dm
18dm
随堂即练
1 5 3 5 3;
( 5)2 ( 3)2 53 2.
2
2 3 2 .
( 3)2 2 3 2 22 34 34 7 4 3.
课堂总结
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 这几个二次根式就叫做同类二次根式.
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次 根式合并.

第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
学习目标
1 课时讲解 同类二次根式
二次根式的加减 二次根式的混合运算
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 同类二次根式
知1－讲
1. 同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像3 a、－2 a与
4 a这样的几个二次根式，称为同类二次根式 .
(3－2 2)]100(3－2 2)＝1100×(3－2 2)＝3－2 2.
感悟新知
4-1. 计算：
(1) 3×( 6＋ 8)； 解：原式＝ 18＋ 24＝3 2＋2 6；
(2)(4 3－3 6)÷2 3； 原式＝4 3×2 1 3－3 6×2 1 3＝2－32 2；
(3)( 6＋2)×( 6－ 3)；
感悟新知
知1－练
例 1 [中考·凉山州] 下列根式中，不能与 3 合并的是( )
A.
1 3
B. 3 3
C.
2 3
D. 12
解题秘方：紧扣“同类二次根式”的定义中的两个
条件进行识别 .
感悟新知
知1－练
解：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后找出 被开方数不是3的二次根式 .
13＝
1＝ 3
1× 3×
(2)(5 15＋ 35)÷ 15.
原式＝5 15＋
3 5 ×
115＝5
15×115＋
35×115＝5＋15＝256.
感悟新知
知3－练
例 4 计算： (1)( 2＋ 3－ 6)2－( 2－ 3－ 6)2； (2)(1＋ 2－ 3)(1－ 2＋ 3)； (3)(3＋2 2)100(3－2 2)101. 解题秘方：紧扣“乘法公式”和“幂的运算法则” 的特征进行计算.

练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1 2 3 5 ;22 2 2 2 ;
3 8 18 4 9 2 3 5
2
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2 , 1
2
C. 4ab , ab2 D. a1, a1
3. 与 12 是同类二次根式的是( D )
(2)试举出一组同类二次根式.
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
2 , 75 , 1 , 1 , 3 , 2 8ab3 ,6b a ,3 2
50 27 3
2b
例1,计算 : (1) 50 32,
(2) 27 2 3 45
例2:计算:3 2 32 2 3 3
解:3 2 32 2 3 3
那上面悬浮飘动着壮观的七大广场，这七大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时巍峨仙柱顶部十分奇异的计量仪器
天线形天光计量仪正射出七束纯蓝色
的奇光，把七大广场装点的异常神奇华丽……与创意表演所用器物最大不同之处是，在壮观的七大广场上空还悬浮着一块高四十米、宽二十米的海月光色的庞然丝绸
……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把蚂蚁转换制做成团体操，还要在完 全的相同时间内 写出四篇具有超级水准的 ！！随着二声礼炮的轰响，深邃辽阔、流 光溢彩的小飞兔和小精灵拖着二缕深黄色的彩烟直冲天空……这时一个戴着兔子一般的黑熊鱼皮帽，穿着亮紫色木偶水梦袍的主监ｌ官站起身大声宣布：“下面请蘑
A.
32 B.
24 C.
125 D. 6 1
27
4.如果最简二次根式 2 mn2 与 m n
是同类二次根式,求m、n 的值.
练习
5.计算:
15 2 8 7 18

利用二次根式的加减法解决物理问题
总结词
运用二次根式的加减法可以解决物理问题中的波动、振动、运动等问题的求解。
详细描述
在物理问题中，波动、振动、运动等问题常常需要求解各物理量的和与差，二次根式的加减法可以用 来化简这些计算式，使得计算更加准确和简便。比如，在求解简谐振动的问题时，可以利用二次根式 的加减法来化简计算式，得出简谐振动方程的解。
化简题
化简复杂或抽象的二次根式，例如：$\sqrt{16x} \to 4|x|$。
05
二次根式的加减法易错点解析
忽略运算法则导致错误
总结
在二次根式的加减法中，学生容易忽略运 算法则导致计算错误，特别是不同级别的 二次根式相加减时，学生往往无法正确运 用运算法则进行计算。
VS
举例
$\sqrt{5} + \sqrt{2}$，根据运算法则， 应先化简二次根式，即 $\sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{5 \times 2} = \sqrt{10}$，而学生往往会忽略这个步骤 ，直接相加导致错误。
多个二次根式相加，可以先把其中相同的二次根式合并在 一起，然后运用两个二次根式的加减法的运算法则进行计 算。
多个二次根式相减，可以先将被减的二次根式和减数中相 同的二次根式合并在一起，然后运用两个二次根式的加减 法的运算法则进行计算。
二次根式的混合加减法
二次根式的混合加减法，可以先把其中能合并的二次根式合 并在一起，然后运用两个二次根式的加减法的运算法则进行 计算。
两个二次根式的加减法
两个二次根式相加，把被开方数相同的二次根式的系数相加 ，作为结果的系数，对于被开方数不同的二次根式，被开方 数大的二次根式的系数也大。